P COS

Les troncatures sur les sommets auront pour équation — H- - + -=oj celles qui ont lieu sur les angles laté-

tn ' n ' P

raux seront représentées par les trois équations

L’axe du rhomboïde a pour équations x=j/=a. Pour que les troncatures latérales lui soient parallèles, il faut que leurs équations soient satisfaites par les liypothèses

ar=jj^ = £, c’est-à-dire qu’il faut que l’on ait ^ = i

-f- -. Si le décroissement qui donne lieu à cette tron- P

cature sur l’angle n’est pas intermédiaire, on doit avoir le cristal secondaire sera \m prisme hexaèdre

régvilier si re= 'un , car alors ces faces seront parallèles '

à l’axe. Si le décroissement a lieu sur les arêtes, - = o.

11 fout alors que 7» = «poiir que le cristal secondaire soit encore im prisme hexaèdre.

En général, les troncatures latérales conduisent à des dodécaèdres; et les troncatures sur les arêtes du sommet à des rhomboïdes. IjCS formules pi éhminaires , donneront le moyen de calcider tous les angles de ces sohdes.

Par exemple, les trois faces d’un rhomboïde secon-

daire peuvent être représentées par les équations

JC JC 2 2 V

-J — = O, 1 — =0, — ^ =o. Les équations de

la droite d’iutersection des deux premiers plans sont x= — celles de l’intersection du pre-

mier et du troisième sont pareillement Zf

ys= — — Z. Si donc l’on fait a=; — — ,

, b' — — ^ dans cos V, on aura l’angle plan du rhomboïde. Danslecas particulier ou 7n = ra, on a a=^— -i, ij

«'==1,6 '= — I etcosV=P — -.{c—coset).

Le paralléhpipède peut être encore tel, que sa base repose sur les arêtes; alors deux des aïigles a, ê, seulement sont égaux. 11 peut être obhque à base rectangle, ou droit à base oblique. Enfin, sa base peut être un rhorabe : ces cas particuliers produiront de grandes simphfications dans tes formules générales. Il est exU’ême-

( ÏOO )

ment rare que le parallélipipède soit parfaitement irrégulier.

De V octaèdre, du tétraèdre, du prisme hexaèdre.

Si l’on veut seulement placer l’octaèdre le plus symé- Iriquement possible, on peut prendre pour axes cooiv donnés ses trois axes de figure. Soient 2 A, 2B, 2C leurs longueurs j les équations des faces de ce polyèdre seront

si sa base était un rectangle, il vaudrait mieux prendre les axes coordonnés qui doivent être situés dans son plan , parallèles aux côtés de ce rectangle. Les équations des faces seraient alors de la forme

Le tétraèdre a toutes ses faces parallèles à celles d’uii octaèdre ; il peut donc être placé de la même manière que lui, par rapport aux axes coordonnés; c’est-à-dire, que ces axes peuvent joindre deux à deux les milieux de deux arêtes opposées et non adjacentes. Si l’octaèdre et le tétraèdre sont réguliers , le système d’axes sera rectangulaire; si l’octaèdre est symétricpie et le tétraèdre irrégidier, le système sera oblique.

Les axes seront ainsi placés de la manière la plus symétrique par rapport aax corps que nous considérons. Mais comme M. Haüy est par\ enu à faire dépendre le calcul des décroissemens sur l’octaèdre et le tétraèdre, de celui des décroissemens sur le parallélipipède , il vaut mieux pren<lre aloi’S pour l’angle solide à l’origine un des angles solides du tétraèdre. Dans ce cas, les plans

C ÏOÏ )

passant par cette origine parallèlement aux faces de l’oo* taèdre, seront représentés par les équations æ=o,

^^=0, z = o, + =o; A, B, C étant les trois

arêtes du tétraèdre contiguè’s au sommet que Ton considère.

Quant au prisme héxaèdre et au prisme triangulaire , la réunion de deux prismes triangulaires forme aussi un parallélipipède , ce qui ramène encore le calcul des décroissemens sur ces nouveaux corps, à la théorie du parallélipipède que nous avons décrite précédemment.

Je me dispenserai de développer comment Haüy est parvenu à mesurer les angles dés cristaux secondaires de la nature , et à déterminer les nombres relatifs aux décroissemens. Il me svfflira d’observer que sa méthode est applicable à toute formule générale qui donnerait les angles d’une forme secondaire quelconque, et que de telles formules peuvent s’obtenir au moyen des calculs précédons.

35. Un des grands caractères de la généralité d’un calcul, c’est la facilité avec laquelle on peut l’appliquer à des questions totalement différentes. Les formules qui noirs ont servi dans la théorie précédente, peuvent être utiles dans toutes les questimis sur les surfaces qui exigeraientque les axes fussent obliques. Pour prouver en quelque sorte cette assertion , jerapprocherai del’appbcation précédente de cesmêmes formules, une autre application non moins utile, mais sur im sujet bien différent.

La détermination de l’inclinaison des couches minérales par le sondage , dépend de la solution de ce problème : Déterminer î angle avec l’horizon d’un plan

dont on connaît troi^ points, question qui peut se traiter de la manière suivante.

Soient A, B, C (fig. 3o) les projections horizontales des points donnés ou les ouvertures de trois trous de sonde j je désignerai par gr, y" les côtés BC, AC, AB du triangle A BC , par y l’angle BAC , par p, p', p" les ordonnées verticales des points doiiiics, ou les profondeurs des trous de sonde A, B , C. On peut prendre pour axes coordonnés les droites AB, AC, AP, car comme ce système d’axes n’annule aucune des quantités p,p', q, gt", la formule finale ne laissera pas que d’être symétrique, par rapport aux élémens qui déterminent la position des points donnés.

L’équation du plan PP^P" sera de la forme ~ “f" ~

+ -=l. Pour résoudre le problème, il suflitde calculer

l’angle que forme la perpendiculaire à ce plaît avec la droite AP. Si nous désignons par a et i les constantes qtiidélenninent les équations de cette perpendiculaire, les formules préliminaires donneront pour le cosinus, et par suite pour la tangente de cet angle ,

C08Vra-- - - ^==:^— * ■ ■ ■ tangV=t/a*+i’+flûAcpsy;

y i-f-a*-f-D*-^aû^cosy

les mêmes formules donnent encore pour détermmer a , ^ les équations

a ços y4*&=^.

c-l-6co8y=— ;

si donc on en déduit les valeurs de ces constantes et «pi’on les substitue dans tangV, on trouvera, toute

réduction faite,

tangV

/ i , 1 3 cas V

^ ▼ 1— cos“y *

il ne s’agit plus que de calculer et cos y en fonction de;?,/, p", g,

Les traces du plan sur ceux des xz et des devant passer par les points P', P", on doit avoir

— - pq* * n pq'

d’où

D’ailleurs le triangle ABC donne

cos y:

La substitution de ces valeurs dans tang Y conduit à

tang V = a

^ (v+v'+v*) v)(v+v"— vô(v+V— vO '

ou ce qui revient au même,

y/y. (p>—p)(p«— p) 0»"— pQ (p — p")

° aiiurl'. ABC

La symétrie de cette formule la rend d’un usage Ëicile pour la pratique.

Dans le^ cas particulier ou p'z=.p" elle se réduit à tang V ^ désigne par h la perpendiculaire abaissée de A sur BC, on a deux surf. ABC= qh, d’où tang V=^-^, ce qu’il est aisé de vérifier par la Géométiie.

( io4 )

On peut toujours ramener le problème à ce cas particulier, en cherchant sur la ligne PP"dontles équations

sont a:=o,^ + *= I, le point dont l’cMrdonnée verticale serait égale à p’-, or on a pour déterminer sa coordonnéej', l’équation^ H- ^ = i , ce qui don^e, en y

substituant - trouvé précédemment,

Si donc on voulait déterminer la directiftn de la couche , ou ce qui est la mêtae chose une horizontale parallèle au plan , il suffirait de prendre sur AC une

longuem- AD = la droite BD serait la direction demandée. La distance perpendicidaire P entre deux couches parallèles, est facile à calculer d’après cela, lorsque l’on connaît leur distance D sur la verticale ; la simple considération du triangle rectangle dont D est l’hypoténuse et P l’un des côtés conduit à P=iD cosV.

36. IjCS calculs précédons sont fondés sur la forme dont nous nous sommes servi pour l’équation du plan. Cette forme établit une espèce de symétrie entre les coordonnées », y, z, en les rapprochant séparément des quantités qui ont avec chacune d’elles .un rapport plus immédiat qu’avec les deux autres. Le plan n’est pas le seul lieu géométrique dont l’équation puisse posséder cette symétrie. Les lignes et surfaces comprises

dans les équations — i “I + ‘r; + *

Digilized by Googic

( io5 )

jouissent de k même propriété. Cette symétrie rend meme leur étude très kcile, et k discussion suivante en •era k pi-euve.

Théorème sur les courbes et surfaces qui ont pour

équations

La courbe reiicontre les axes en des

points distans de l’origine de a et de b. ^

L’équation de k tangente à cette courbe au point x , y peut se mettre sous k forme >

at.^1 c — I ■ • ' •

les points où cette tangente vient rencontrer les axes,

sont distans de l’origine de — — et de — ^ — : ces *6 „ y'*~

quantités seront moindres ou plus grandes que a , 6 , suivant que l’exposant a sera plus petit que l’unité ou k surpassera. D’où il suit que k courbe est convexe du côté des axes lorsque a <C i ? et concave pour a > i . On s’assurera aisément que dans le premier cas les axes sont des tangentes à k courbe, que dans le second ce sont des normales.

Les seules constantes a et ô suffisent pour déterminer cette courbe ; nous les désignerons sous k dénomination commune de paramètres. Cela posé, on peut déduire de ce qui précède que les paramètres de k tangente au

point de la courbe sont entre eux dans le rapport

de

Parmi les courbes que nous discutons , on distingue 1*. Lorsque o.= i, la bgne droite ^ = i.

3 *. Lorsque 01=3, l’ellipse ^ — i-

3 *. Lorsque a=— - 1, l’hyperbole rapportée à deux parallèles a sesasympUÿtes = 1.

4 *. Lorsque a=ï, la parabole rapportée à deux de

ses tangentes -j-

5*. Enfin, lorsque «t=|, la développée de l’eUipse

fc 3

Pour que Forigine des coordonnées soit le centre de la courbe, il fiiut que a soit pair, les exemples (3 sont dans ce casj la courbe est alors symétrique par rapport atix deux axes coordonnés. Lorsque l’exposant ^ a est impair, l’origine d« coordonnées n’est pas le centre de la coxirbe , cette courbe n’est pas symétrique par rapport aux axes , et même lorsque a est plus petit que l’unité, la courbe ne sort pas de l’angle des coordonnées positives, ex. (i*) ( 4 *)-

L’exposant a seul caractérise l’espèce de courbe que l’on considère ; et pour cela, je désignerai par courbe a, courbe celles dont les exposans seraient et C.

Imaginons que l’on donne pour paramètres à une coifflje a les coordonnées d’un point, que nous nom>-

nierons directeur, seulenaent assujétt à se trouver sur une autre courbe € invariable, que j’appeüerai courbe directrice. L’ensemble de toutes les courbes a ainsi dirigées, sera enveloppé par une courbe y du genre que nous considérons; et il y a cela de particulier, qu’une courbe y est réciproquement l’enveloppe de toutes les courbes C qui auraient leurs points directeurs sur une courbe a. Ce théorème que nous allons démontrer, et dont nous déduirons nombre de conséquences, est analogue à un autre théorème sur les surfaces, que nous démontrerons aussi par la suite.

Soient m et n les paramètres variables de la courbe génératrice a ; elle aura pour équation dans une position particulière ^ .*

Soient a et £ les paramètres constans de la directrice C, elle aura pour équation

vnF

Si l’on éliimne n entre ces deux équations, on n’aura plus qu’tm seul paramètre variable dans Féquation des génératrices, et il sera facile ensuite d’en trouver l’enveloppe. Or, ces deux équations peuv ent se mettre sous^ la forme

si l’on élève la première à la puissance C, la deuxième à la puissance* et, et qu’on les multiplie ensuite l’une par l’autre, n se trouvera éliminé, et les génératrices auront pour équation

on en déduira l’équation de l’enveloppe, en la diflFérenciant par rapport à 771, ce qui donne

ou

éliminant m entre les équations ( 1 ) et ( 2 ) , on en déduit successivement

et

— - mr

telle est l’équation de l’enveloppe y, elle est du genre des courbes que nous discutons, et il existe entre les exposans de la directrice, de l’enveloppée et de l’envelojjpe, la relation

Comme cette équation est symétrique en a et C, la réciprocité que nous avions annoncée s’en déduit aisément.

Dans toute cette discussion , l’angle formé par les axes peut être arbitraire ; nous profiterons de cette générabté dans les exemples, pour en déduire des principes plus étendus. 11 est bon de remanjucr que toutes les fols que

nous considérons la courbe | comme la développée de l’ellipse, nous sous-entendons que les axes sont rectangulaires.

Si as=i, ^=1, on a^=j. Donc si par un point D (fig. ag) pris sur le côté BC d’un triangle ABC , on mène DM, DN parallèles à AB , AC , la diagonale MN du parallélogramme AD sera tangente à la parabole CDB inscrite dans l’angle BAC, et dont B et C seraient les points de contact avec AB et AC. Cette parabole est unique,

. puisque quatre points déterminent ime parabole, et que deux contacts équivalent à quatre points.

On peut déduire de cette propriété un moyen géométrique de mener à ime parabole dont on connaît seulement les deux tangentes en deux points déterminés, une autre tangente assujétie à passer par un point donné sur son plan.

La solution du problème se réduit à trouver sur BC (fig. 39) le point D , pour lequel la diagonale MN passera par le point P. Concevons MN prolongée jusqu’à la rencontre de BC en L, menons par le point P les lignes PE et PF, parallèles aux côtés AB , AC du triangle ABC. Le parallébsme des lignes MB, PE, ND, et celui des trois autres MD , PF, NC, donnent les proportions lb:ld::LM:ln:;ld; lc::le:lf,

d’où LB— LE:LD — LF::LE— LD:LF— LC,

et BE.CF=DE.DF.

11 sufiil donc de partager la ligne EF en deux parties dont le rectangle soit égal à BE . CF.

Le problème aura deux solutions, une seule ou sera impossible suivant ([ue BE . CF sera plus petit , égal ou plus grand (pie ^ EF ; c’est (pi’alors le point sera dehors , dessus ou au dedans de la' parabole.

( IIO )

Si le point P.n’élaitpas dans l’angle BAC, le point D se trouverait sur le prolongement de EF ; il sullirait alors de (.‘onstmire deux lignes DE, DF de différence donnée EF dont le rectangle serait BE. CF; dans ce cas, il y aurait toujours deux solutions.

On petit d’ailleiurs déterminer aisément la droite qui joint les pointa de contact des tangentes menées par le point P à la parabole. A celelfet, on construira les jioints directeurs des tangentes primitives, relativement à ces nouvelles tangentes considérées comme axes; la droite* qui les joindra devra contenir leurs points de contact avec la courbe. On pourrait ainsi construire la parabole par points.

2*. Pour ttsca , ^= 3 , la relation - = i -I- i donne

On en déduit aisément la solution de ce problème indéterminé : Inscrire une ellipse dans un parallélo^ gramme donné. On peut se donner en outre ou bien le rapport des diamètres, ou bien un cercle à la surface duquel celle de l’ellipse proposée devrait être équivalente. Pour le premier cas, il suffit de mener par l’origine une droite telle, que ses coordonnées soient dans le rapport donné; son intersection avec l’ellipse directrice, sera le point directeur de l’ellipse demandée. Pour résoudre le second, désignons par^ le rayon du cercle donné, par aa, 2Ô, les diagonales du parallélogramme, par «T l’angle qu’elles forment entre elles , par » , les demi-diamètres de l’ellipse cherchée ;'On aura pour les déterminer les deux équations

X* V* ni*

ab

ab siû J'

Si l’on ajoute les équations (i) et (a), les inconnues devront encore satisfaire à l’équation résultante

ab 8in

les points directeurs inconnus seront donc donnés par l’intersection de l’eUipse ( i ) et de la droite (3). Le rapport des paramètres de cette droite est toujours celui des axes a et b; elle est donc constamment parallèle à un des côtés du rhombe. Si l’on mène à l’ellipse circonscrite une tangente pai-allèle à cette droite , le point de contact déterminera l’ellipse inscrite dont la surface est un maximum. Pour celte courbe, les différentielles des équations (i) et (a) doivent avoir lieu en même temps j on doit donc avoir

xdx

l’ellipse maximum inscrite est donc semblable à l’eUipsecirconscrite.

Les deux problèmes précédons peuvent servir dans la construction d’une voûte elliptique, lorsque l’espace qui doit la contenir est terminé par une base rectanguiaire ou plus généralement paraUélogramique.

On déduit encore de ce sécond exemple im moyen de mener une tangente commune à deux ellipses concentriques rapportées à deux axes quelconques passant par leur centre commun ; elles ont pour équations Ax*-4-Bjry-f-Cy®= i, A'x* -f- B'ay C'y * = i .

Si on les retranche l’ime del’autre, l’équation résultante

(A — A')x* + (B — B')a:^ + (C — C') / = 0, sera celle de deux droites passant par le centre et par les points d’intersection des ellipses proposées. U est aisé de conclure de là que ces quatre points d’intersection sont les quatre sommets d’un parallélogramme , et qu’en menant par le centre deux diamètres parallèles à sès côtés , ils seront conjugués entre eux pour l’une et l’autre ellipse.

Prenons pour axes ces deux nouveaux diamètres. Les . tangentes conununes demandées forment évidemment un parallélogramme à la fois circonscrit atix deux ellipses. On peut déterminer aisément l’ellipse qui lui est ellemême circonscrite, et qui a ses diagonales inconnues pour diamètres conjugués , car on connaît deux de ses points , savoir , les directeurs des ellipses proposées. Cette considération ramène la solution de ce problème à celui-ci : Faire passer par deux points donnés une ellipse dont on connaît le centre et les directions de deux diamètres conjugués. On trouvera dans le problème de la page 53 tous les élémens nécessanes pour achever la présente solution.

3*. Pour <e= i,C= 2 ,oua=: 2 ,ê=i,ona f •

La courbe -J est, comme nous l’avonsindiqué,la développée de l’eUipsej on peut le démontrer de la manière suivante.

Soit(i)^-|-^= I, l’équation d’une ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; l’équation en x'y' de la normale au point x, ja sera

(ii3)

Pour avoir une équation qui appartiemie au point de rencontre de cette normale, et de son infiniment voisine , il suffit de différencier ( 3 ) par rapport à a; et ^ J', ce qui donne

® ^' + Bÿ = o-

L’élimination de x,y entre (i), ( 2 ) et (3) conduira à l’équation en x'j' de la développée. Si l’on pose

A*(i on en déduira

La substitution de ces valeurs dans les équations (i)et (3), donne les deux équations