AV* ^

entre lesquelles l’élimination de K doit conduire à l’équation de la développée. Or, si F(ar, j', K) = o représente

la première, O représentera la seconde; donc la

développée de l’eUipse proposée est l’enveloppe d’une série d’autres ellipses cpii lui sont concentriques , dont les axes a , b sont liés entre eux par l’équation résul-

tante de l’élimination de R* entre ( 6 ) a = A — — » K*

i = B ^ , et qui est

la suite des points directeurs de ces ellipses est donc une ligne droite, leur enveloppe d’après l’exemple dont nous nous occupons , est donc la couibe |, et celte der-

ftièrc courbe est identique avec la développée de l’el-

Il suit de ce troisième exemple , que si l’on construit

l’ellipse dont les axes sont -g- — B , A — â ’

mêmes sommets que la développée, tousses points seront directeurs des tangentes à la développée , lesquelles sont normales à l’ellipse proposée.

On peut s’appuyer sur cette propriété pom* menef une normale à l’ellipse par un point P donné.

Si le point P était sur la développée, il y aurait itoe des normales qui lui serait tangente en ce point. On construira cette droite en observant que ses paramètres

sont entre eux dans le rapport y/ et que par conséquent son point directeur est celui de l’ellipse circonscrite, dont les ordonnées sont dans le même rapport.

Si le point P était sur im des axes , sur celui des x par exemple , il déterminerait l’abscisse des points de l’ellipse directrice, directeurs des normales demandées.

En général , ces points sont donnés par les intersections de l’ellipse directrice, et du lieu géométiique des points directeurs de toutes les droites passant par le point P. G^tte dernière courbe est Une hyperbole qui passe par l’origine, et dont les asymptotes sont les parallèles aux axes menées par le jjoint donné. En eflet, soient m et n ses coordonnées, Xj j' les paramètres d’une droite quelconque menée par ce point; on devra avoir

et comme * et j déterminent le point directeur de cette

droite, l’équation (8) en est le lieu géométrique : en la discutant on reconnaîtra aisément ce que nous avions annoncé.

Sous le rapport de la Géométrie, on pourra décrire par points cette hyperbole, puiscpie l’on connaît scs asymptotes et l’un de ses points; ses intersections avec l’ellip se directrice compléteront la solution. D’api'ès la forme de la développée à laquelle on veut mener mie tangente par le point, donné, s’il est intérieur, il y aura quatre solutions, deux, seulement lorsqu’il sera extérieur ; enfin, l’hyperbole aura avec l’elüpse directrice deux points communs , et un contact lorsque le point donné sera situé sur la développée même.

Sous le rapport de l’analyse, l’élimination de l’une des coordonnées,y par exemple, entre l’équation (8) et celle de l’ellipse directrice, que je mettrai sous la forme

(9) “ * ’ conduira à une équation du quatrième

degré en x , qui aura ses quatre racines réelles et inégales ^ réelles et deux égales, ou enûn, deux réelles et deux

unagmaires, smvant que Ion aura — H — ^ — i, nega-

tif, nul ou positif. On peut réduire la difficulté à la résolution d’iuie équation du troisième degré de la manière suivante : mettons les deux équations (8) et (9) sous la forme

ix* , ay*

ab

anx amy

ab

ab

e étant ixne indéterminée quelconque, si on les ajoute ^

l’équation résultante sera celle d’un lieu géométrique du second dt^ré, passant par les intersections descourbes (8) et (9). On peut disposer de l’indéterminée r, pour que cette nouvelle équation ,

, ^ zx' . 2,y* , 2xy 2ïia:

représente l’ensemble de deux lignes droites. Cette condition exige que z soit une des racines de l’équation

. , fw? , re* \ 2mra

Si donc on peut résoudre cette dernière équation du troisième degré, qui manque déjà de second terme ^'une quelconque des valeurs dez substituée dans l’équation (10), la rendra décomposable en deux facteurs du premier ordre, qui, combinés successivement avec l’équation (9), donneront les coordonnées des quatre points cherchés.

On pourrait encore se proposer dans l’exemple présent, d’inscrire dans la courbe ime ellijjse dont le rapport des diamètres fïit donné, ou dont la surface fit équivalente à un cercle de rayon R. Le premier de ces problèmes se résout en menant par l’origine une ligne telle que ses coordonnées soient dans le rapport donné; son intersection avec la droite directrice sera le point tlirecteur de l’ellipse demandée.Pour résoudrele second problème, soient x, les diamètres de l’ellipse cberchée , l’angle formé par les axes ; on devra avoir

xy = Le point directeur de l’ellipse sera donc

donné par l’intersection de la droite directrice et d’une hyperbole , qui aurait poui’ asymptotes les axes coof-*

^ giiized by Googk

aonncs. îl y aura en général deux solutions; si elles sff réduisent à une seule, c’est que la surface de l’ellipse inscrite est une extrême jpl^ndeur; alors Ihypeiboe étant tangente à la directrice, ne pourrait Yètve quau point milieu de cette droite; il sera donc le point directeur de l’ellipse inscrite dont la surface est la plus grande, et qui, dans ce cas, est semblable à l’ellipse circonscrite.

On résoudrait absolument de la même manière ces deux autres problèmes : Inscrire dans la courbe y un parallélogramme, ou dans la développée de F ellipse, ùn losange qui ait ses sommets sur les axes, dont leé diagonales soient dans un rapport donné, ou bien dont la surface soit équivalente à celle d’un carré donné

R*.OnveiTaitque,dan3cederniercas,leproblemeaclmefe

deux solutions ; que le parallélogianune inscrit dont la surface est un maximum, a pour point directeur celui de contact d’une tangente à l’ellipse directrice, parallèle au côté du parallélogramme cuconscrit, auquel celui que l’on veut inscrire sera semblable.

La discussion des surfaces représentées par les équations

se fera de la même manière que celle des courbes précédentes Les seules constantes a, 6, c et 1 exposant et suffisent pour déterminer la surface. L’exposant « en spécifie l’espèce, et les paramètresn, é, c la particularisent en elle-même. Je désignerai dorénavant par surface a, l’espèce de surface dont l’exposant est a.

Imaginons, comme dans la discussion precedente < que les coordonnées d’un point que j’appellerai difecteur

servent de paramètres à une surface a, et que ce point soit seulement assujéti à se trouver sur une autre surface C que j’appellerai aussi surface directrice; l’ensemble de toutes les surfaces a sera enveloppé par une autre surface y qui sera du nombre de celles que nous discutons; et il y aura cela de particulier, que la surface (y') pourrait être encore l’enveloppe de toutes les sui’faces € qui auraient pour directrice une surface a. Ce théorème peut se démontrer de la manière suivante.

Désifpions par m , n, pies paramètres d’une surface génératrice a. , par a, b, c ceux de la surface directrice Ç. On devra avoir

l’élimination d’un des paramètres variables, de p par exemple, donne

on obtiendra l’enveloj)pe de toutes les sm’faces a, en différenciant successivement l’écpiation (i) par rapport à m et ra , et éliminant ces deux paramètres au moyen des équations différentielles

/ X* y*\ f nS n^\ X*

clics donnent ^ = z=:'^ ; on en déduit succcs-

elle est compris dam l’équation généré, son esqKtsant y est lié aux exposaus a, € par la relation

cette équation étant symétrique en- a, ^ €, la récâprocité que nous avons annoncée en est une conséquence>> Si l’on feit a=2, ^==2, on,tfcmyc y= i.

Lors donc que la génératrice est,, un ellipsoïde ainsi, que la directrice, l’enveloppe a pour équation

abc

et comprend les hiiit plans qui passent par trois des six sommets de la directrice, en sorte que cette enveloppe est un . octaèdre symétrique.

On peut se prpposer d’inscrire dans un tel, octaèdre un ellipsoïde quelconque. Le problème est alors indéterminé, il suffit de prendre pour axes les trois diago-' nales de ce polyèdre, de concevoir un elbpsoïde qui aurait ces mêmes diagonales 2«, 2C pour diamètres conjugués 3 vm quelconque de ses points pourra servir

de directeur à l’ellipsoïde inscrit demandé. Si l’on ^•ou-^ lait que les paramètres de cette surface fussent dans de» rapports donnés , il , suffirait de chercher l’intersection de l’ellipsoïde, directrice avec un diamètre dont les coordonnées seraient dans les rapports demandés ; c’est un problème de Géométrie descriptive assez simple j de plus, l’Analyse donnerait aisément les coordonnés do* ce point d’intersection.

Supposons que les diagonales dù polyèdre soient rectangulaires ; on pourrtfdemander que l’ellipsoïde inscrit ait une solidité donnée, ^r exemple celle d’une sphère de rayon R. Désignons par », y', s les axes de la surlàce’ inconnue; on devra avoir . /

(i) xyi = BP,

et tous les points d’intersection de cette surface et de PellipsOïde', pburfout Isén^ir de directeurs' à l’ellipsoïde demandé. Le problème est donc' eiicofé indétei'miné ; mais si l’on exigé qü’ert oùtre la "section horizontale de cet ellipsoïde aitime surface donnée, par exemple celle d’un cercle de rayon R', on devra avoir (2) afy=R''% et le point d’intersection de ces deux surfaces et de l’ellipsoïde directrice

Sera le directeur de la surfece demandée. Le demi-axe vertical sera 2 = gr, et les deux demi-axes horizontaux les coordonnées dupoint d’intersection des deux courbe»

ay =R'«.

tfous avons ramené précédemment la recherclie de cette intersection à construire celle d’uneligne droiteet d’une ellipse. 11 y a donc deux solutions; mais les surfaces correspondantes ont le même axe vertical.

Si la solidité de l’ellipseinscrite doit être lapins grande possible, il faudra que l’on ait d’aptès les équations (i) et (3) •

dv dy . dz '

a;* dx , y* dy , z* dz

Multipliant la première dé ces diflërentielles par et

les retranchant, il faudra que l’équation

soit satisfaite, quelquesoit le ce qui exige que l’on

ait (8) ^ ~ • L’ellipsoïde inscrit maximum doit

donc être semblable au circonscrit. Les équations (5)et (6) sont les dificrentiellcs des équations ( i ) et (3) ; en les combinant ensemble, 'on exprime que les deux surfaces sont tangentes; les relations (8) transforment les équations (5) et (6) en '

dx .'■dy , dz

c’est l’équation diflërentiélle du plan tangent. 11 est parallèle à l’une des faces de l’octaèdre, ce qui donne im ’ moyen facile de trouver par la Géométrie descriptive, le point directeur de l’eUipsoïde inscrit, maximum en solidité.

On peut pareillement déduire de cet exemple la solu-

(Iâ2)

lion de ce problème ; Mener un plan tangeni commun « trois ellipsoïdes concentriques. D’après un théo-' rème connu, trois surfaces du second degré concentriques ont toujours un système de plans diamétraux conjugués communs. Prenons ces plans pour les coordonnés, les trois ellipsoïdes auront pour équations

les plans tangens demandés forment évidemment un octaèdre dont les faces sont parallèles deux à deux, et dont les six sommets sont sur les trois axes. L’ellipsoïde circonscrit qui a les diagonales de ce polyèdre pour diamètres conjugués, est celui qui passerait par les points directeurs des ellipsoïdes donn^. Soient A, B, C les trois paramètres inconnus de cette surface} ou devra avoir pour les déterminer les trois équations

ou en déduira facilement g» en fonction de 6’, etc.} substituantensuite ces valeurs dans

(aï ±:— -= 1,

on aura l’écpiation des plans tangens demandés.

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Ce dernier problème n’est qu’un cas particulier de celui-ci : Etant donnés les directions de trois diamètres conjugués et trois points d* une surface du second ordre, la déterminer. Même dans ce cas général, il peut se résoudre par la Géométrie descriptive , au moyen des divers théorèmes démontrés plus haut. Je vais indiquer cette solution. Je crois qu’un peu de réflexion suppléera mix figures qui seraient trop compliquées pour être placées dans cet ouvrage.

Soient OX, OY,OZ les directions des trois diamètres conjugués, A, B, C les trois points donnés. Soient pareillement A', B', G', A", B", C', A"', B'«, C"' les points symétriques de A , B , C , dans les angles solides formés par les plans XOY, XOZ , YOZ , qui ont l’axe OX pom* arête commune.

Au moyen de ces données proposons-nous de con-i struire le plan diamétral de la surface demandée, conjugué à la direction AB". Ce plan* devant passer par le centre O, et par le milieu de AB", il suflit de trouver un autre de ses points. Or, les deux plans parallèles BB'B"B'", CC’C"G"', l’ensemhle des deux plans BB'CC'^ B"B"'C"C"', et l’ensemble des deux autres BB"CC", B'B"'C'C"', peuvent être considérés comme trois surfaces du second degré, ayant huit points communs avec la ' surface proposée 5 leurs plans diamétraux conjugués à la direction AB" se couperont en un point par lequel devra passer le plan diamétral de la surface proposée, conjugué à la même direction (page 3y, théorème) lequel sera dès-lors complètement détenniné.

Cela posé, les courbes ABC, A'B'C' de la surface proposée, sont situées sur un cylindre dont l’a.\e paral-

lèle à la direction O Y, contient les centres de ces mêmes courbes. Ce cylindre, la surface proposée et l’ensemble des deux plans ABC , A'B'C^ ayant mêmes intersections, leurs plans diamétraux conjugués à une direction quelconque , se couperont suivant une même droite (page 35 , théorème). On construira les plans diamétraux de la surface et de l’ensemble des deux plans conjugués à-AB"; le plan mené par leur intersection parallèlement à OY, sera un des diamétraux du cylindre. Par une construction semblable, on déterminera le plan diamétral de ce même cylindre conjugué à AC". L’intersection de cea deux plans sera l’axe du cylindre, et donnera le centre de la courbe ABC. Cette courbe sera donc complètement déterminée.

Maintenant, pour trouver en longueur un des trois diamètres de la surface, il suflit de mener, suivant OX par exemple, un plan qui coupera la courbe ABC en deux points M et N ; ces points suHiront pour construire la section faite par ce plan dans la surface, et par suite la longueur de l’axe OX.

Les problèmes précédens sur l’inscription d’un ellipsoïde dans l’octaèdre, peuvent être utiles dans la construction des voûtes eUiptiques , lorsque les dimensions du toit sont données.