ïel est le moyen d’éliminatHHi que l’on peut

Ixy i,

employer, pour exprimer aualyliquemenl la communauté d’intersections de plusieurs lieux géométriques. En traitant ce sujet, mon principal but est de faciliter la traduction analytique de divers énoncés; si je ne réussis pas complètement, je crois du moins que les propositions suivantes, qui en dérivent aisément, peuvent conduire à la solution d’un grand nombre de problèmes curieux ; et que d’un principe quin’est rienenlui-mème, jedéduisdes corollaires dont l’ulilitén’est pas incertaine.

Problème I. Trouver les conditions nécessaires pour fjue trois droites passent par un même point. /

Solution. Soient les équations des trois droites, ainsi qu’il suit :

l’élimination de A^et y entre elles, donnera sur-Ie-cliamp, pour la condition cherchée, l’équation

ab'c’—ac b" -^ca'b" —— ba c" bc'a"—’.cl/.o" z=o. ( 2 ).

Maison peut parvenir au même résultat, par un procédé lui peu différent qui, à la vérité , n’a dans le cas présent aucuu avantage marqué siir celui-là, mais qtii nous sera fort utile ppur les autres recherchés auxquelles nous aurons. ensuite à, nqqs,liYrerdi .n ru- .

En prenant la sommedçs produits des deux premières é<tuations (i) par deux multiplicateUEs indéteramnés /«,/»', il viendra . i, , ••• .. . ■

(am -j- oW) X -p (bm+ b'm') y -P (cm -f cm') =0 (5) ;

écpiation qui, à cause de l’indétermihâtioh des multiplicateurs m , m'j est propre ài’eprésenter toutes les droites

qiii passent par l’intersection des deux premières droites (i).

Si donc on veut que ces droites se coupent en ma. mciue point, il devra être possible de disposer des indélerniinées m et m\ de manière à faille coïncider la troisième étjuation (i) avec l’équation (3). Cela donnera am drv! — a" , 6m -J- h'vd b”, cm -f- c'm' = c" (4) } et, en éliminant m et m' entre ces trois équations, on retombera de nouv eau sur l’équation ( 2 ).

Problème II. Trouver les conditions nécessaires pour que trois lignes du second ordre se coupent suivant les mêmes points.

Solution. Soient les équations des lignes dont il s’agit ainsi qu’il suit :

ax* -f- zbxy -p cy' -f- zdx -f- aey -\-f =0 1 a'x“-f- 26 'xj' + c'y“-f-a(?x-f-2e'^-py' = o > ( 1 ). a"x“-p a6"xj4- 2d"x-{- ae'y+Z* = O J

Soit prise la somme des produits des deux premières équations , par deux multiplicateurs indéterminés m et m' ; on aura ainsi

(am + a’m' ) x“ -f- a ( bm -p b'm' ) a-;y -p ( cm + c'm')y* + a fdm-pd'm')x-pa (em-p/m') y -P (/m -pf'm') = o (a) ,

équation tpii^ans sa généralité , représente toutes les lignes du second ordre qui passent par les intersections des deux premières lignes ( 1 ).

Remarquons, avant d’aller plus loin , que cette équation pourrait fort bien, en général, appartenir à ime parabole; mais de deux manières seulement, puisque la condition (è/re èW)* = (am -paW) (cm-j-cW)

déteimine le rapport ^ , et ne lui assigne vmiquement

tjue deux valeurs. Remarquons encore que cette équation ne saurait généralement appartenir à un cercle. Il Ëiudrait en effet , pour cela , qu’on eût en même temps,,

équation d’où l’on tire

et par suite

Telle est donc la condition nécessaire et suffisante ^ pQur qu’im cercle puisse passer par les intersections de nos deux courbes. ’ ^ '

Mais cette même équation (2) pourra représenter une infinité d’ellipses et d’hypèrboles; et si l’on veut en particulier, qu’elle représente la troisième courbe (i) ou, ce qui revient au même, si l’on veut que les trois courbes ( i ) aient les mêmes intersections , il faudra qu’ou ait à la fois ,

•a77i-f-a'77i' = a", bm + b'm'^b", dm -|- d'm' =d!’, em-i- e'm' 3 = e", fm -{-f'm' J ^

L’élimination de m et m' entre ces six équations , conduira à quatre autres qui exprimeront les conditions cherchées. ’

Les équations . ; ,

am + a'm' = a", bm + 1 ’ 771 ' = b", dm -f- d'm' = d",

sont (Problème 'I) celles qui exprimeraient que les trois droites -

cjf + •+• d = O ,

a'x~^b'y-\-d' =zo ,

coucourent en un même point. Mais on sait d’ailleurs

tjue cTiacime de ces dernières équations est celle da diamètre de chaque courbe, qui coupe en deux parties égales les cordes parallèles à l’axe des xj et puisque la direction de eet axe est quelconque, on en peut conr dure le théorème suivant ;

Théorème. Si plusieurs sections coniques ont quatre points communs^ dans quelque direction qu*on leur mène des diamètres parallèles, les conjugués de ces diamètres concourront en un même point.

Problème III. Trouver les conditions nécessaires pour que trois plans se coupent suivant une mém^ droite.

Solution. £n supposant que les équations soient ax +by -\-cz

tîx-\-b'y-{~c'z-\rd = o\ (i), a'x-f-

on parviendra aux conditions cherchées, en exprimant que la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs m, m', est la même que la troisième; on obtiendra ainsi les quatre éqtiations

• am + aWr^a', bm-^-Vm'—b",

cm-j-c'/n' =c'', dm-\-dm' =.d' (a), *

entre lesquelles U faudra éliminer m et m\ ce qtii donnera deux conditions.

t)eux quelconques des trois premières équations (a) jointes à la quatrième, prouvent que les traces de nos trois plans sur un des plans coordonnés, c’est-à-dire, sur un plan quelconque , doivent concourir en un même point; ce qui est d’ailleurs évident.

Problème IV. Trouver les conditions nécessaires

Jfour que trois surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe.

Solution. En supposant, pour les équations des surfaces dont il s’agit ,

«'**+*'/• +c'«»+ad' ^jr+ae' xz+if'yz+-i^x+ih'Y+‘il,rz+l' =a Ifo o"x»4^>»4<''**+2<f'j7--H»e''x*+2/'yz+^^x+aAy+aA»ï+/';=o J

et exprimant que la dernière est la somïne des produits des deux autres par deux multiplicateurs indéternûnéa I», m\ on obtiendra les dix équations

am-{-a!Tr!=za'', fm \

hm + b'm' 3= b", gm -j-g'm' =g"j cm + c'm' = c", hm + h'm' = A* > (a) ,

= km + h^m'z= k"\ em -f- e'm' = e", Im Fm' = FJ

entre lesquelles éliminant m et m', on obtiendra les conditions cherchées, lesquelles conséquemment seront au nombre de huit.

La première, la quatrième et la cinquième équation de la première colonne, jointes à la deuxième de la seconde, prouvent que les troisplans dontles équations sont ax -j-dy - 4 -ez -f-g' =0 , a'x-i-d'y+e'z-h^ = 6

se coupent suivant une même droite j mais ces plans sont les conjugués des diamètres de nos trois surfaces parallèles à l’axe des Xj c’est-à-dire à une droite quelconque; on a donc le théorème suivant.

Théorème. Lorsque plusieurs surfacês du second ordre se coupent suivant une même courbe, les plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles de ces surfaces, se coupent tous suivant une même droite»

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Si la troisième équation (i) représentait une sphrarCj il faudrait qu’on ei\t à la fois

am am' = bm =s cm -f* c'm'

dm -f- d'm' == cm + e'm' —fin — o.

entre lesquelles éliminant il viendrait

conditions au nombre de quatre, qui expriment que la commune section des deux premières surfaces (i) est sur une sphère.

Problème V. Trouver la condition nécessaire pour que quatre plans concourent en un même point.

Solution. En supposant que les équations de ces quatre plans soient

flx + + cz + d = ov

‘ ‘ G*X+fc‘[y+c"’i+cî*=o)

on pourrait d’abord j>arvenir à la condition cherchée, en éliminant x,y, z entre ces quatre équations ^ mais on y parviendra également en exprimant que la somme des produits des trois premières, par trois multiphca-' leurs indéterminés m , m', m", est la même que la quatrième; cela donne les quatre équations am-{-a'm' =a", cm-f-c'm' -j-c"m"=c" 1 .

hm->rb'iré->rb''m“=b'', dm + d'm' + d*m'=d* J entre lesquelles éliminant m, m', ni\ on parviendra également à la condition cherchée.

Problème VI. Trouver les conditions nécessaires pour que quatre surfaces du second ordre aient les mêmes points d’intersection.

Solution. En supposant pour les équations des surfaces dont il s’agit ,

! ax» + ly -f~ n’’+ ndxy + aex* -f afyz + ag-x + afty +-xkz + l =t>i a'x> c'z» 4- ad'x^4- ae'x* 4-a/yz+ag^x H-afty-t- aA'i + /'=o,

a''x>4-i'y*.4-c"a>+arf"x)r4-ae"x5+a^'yz4-ag’"x+a6''y+aAr"z4-r'=o, a"'j;’+*‘^*+c*z>4-a£f'xy4-2e"xz+^''yz+ag^x4-aft*^-f.aJl"z+/"=o,

il faudra exprimer que la quatrième est la somme des produits des trois autres par les multiplicateurs indéterminés to, m! J , ce qui donnera les dix équations ,

{ am -h a'm' + aW = a", fm +fm' + fm" = /", bm + b'm'+b"m'’z=y, gm + g'mf cm 4 - c'm' + c"m!' = c*, 'hm + Vm' -j- *"771"= A*

<f77» -P t^TTi' 4- d'/Ti" = cP, Atti 4. k' m' -j- A"t7i" = A*, em 4 - eW 4 - «'tti" = e*y Im 4 - tm' 4 - /"th" = P ,

entre lesquelles éliminant m , m', m", on parviendra aux 'Conditions cherchées, lesquelles seront conséquemment au nombre de sept. 1

Les première, quatrième et cinquième équations de la première colonne , jointes à la seconde de la deuxième, prouvent (Problème V) que les quatre plans dont les équations sont

+ ca 4'g’ =0'». *

a'a;4-tf'j74-c'a4"g^ = o, i

concourent en un même point j mais ces plans sont les ' plans diamétraux' conjugués aux diamètres qui , dans nos surfaces, se trouvent parallèles à l’axe des x, c’estr à-dire à ime droite quelconque j on a donc le tliéorème que voici. ^

Théorème. Lorsque des surfaces du second ordre ■passent toutes par les mêmes points d’iritersecti^^

leurs plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles , concourent tous en un même point.

Si la quatrième des équations (i) appartenait à une sphère, il faudrait qu’on eût

cnt-|- c’né y,

dm 4- d m'-f e“ m*= o ,

ce qiii donnerait en ehminant — ,. — , les trois condi-. tions

de'f — dfe" +fde" - edf + efdT ^fdd'r=iOy

qui expriment que les huit points d’intersection de trois, surfaces dusecond ordre, se trouvent situés sur vme même sphère.

Scholie. Puisque la condition dé passer par la même courbe établit huit relations entre les coefficiens des; équations de trois surfaces , que la condition de passer par les mêmes points n’en établit que sept entre les coefficiens des équations de qiiatre autres surfaces du second ordres , on peut en conclure que les. huit points d’intersectioU: de trois surÊices ne sont pas places d’une manière arbi-. traire, que le huitième dépend des sept premiers, et. enfin que trois surfaces qui seraient assujéties à passer parhuitpoints quelconques , doivent avoir même courbe d’intersection. Le théorème du problème lY a donc lieu pour trois surfaces assujéties à passer par huit points quelconques.

PaoBiÆME YIl. Exprimer que deux sections coniques ont Ifurs points d* intersection situés sur une même ligne droite. ^

Solution. Lç* deux sections coniques seront en gé^

méral représentées par les deux équations

f ajc* -f abxy -f cy» 4- adx + aey -^f =a, Xa'x^-]r^b'xy-\-cy'-\~ sd'x-f-Qe'y-t-f's^zo;

V toute combinaison de ces deux équations qui n’en augmenterait pas le degré sera de la forme (2) (om+a'm') x* + a (6m + b'mT)xy-^ (cm -f- cW)^*

-f- 2 (rfm-l-d'm') a: +a (em +«'m') y -f-

elle représentera un beu géométrique des points d’intersection des courbes ( i ) ; mais si tous ces points doivent se trouver sur tme même ligne droite , il faut que l’équation (2) puisse se réduire au premier degi’é, par la disparition des termes en ce qui donne

(3) am + a'm'= 6m-f- 6'm = cm-f-c'm'“o,

OU bien encore, se décomposer en deux facteurs égaux en a?, y, ce qui exige que l’on ait les équations de condition

f (om 4- û'mO {cm c'm') — {bm + Vm')*',

(4) •< (om 4- a'm') (Jm ~ {dm-^-d'm')*,

l(cm -j-c'm') {fm m'),= (em 4-e'm')*.

Dans le premier cas, l’élimination du rapport ^ entre

les équations ( 3 ) conduit à deux relations 4 = 7 = y

entre les trois premiers coefficiens des équations des sections coniques proposées; elles indiquent qu’elles doivent être de même nature et semblables, leurs axes principaux étant de plus parallèles entre eux. Mais ces conditions ne déterminent nullement la distance respective des centres ou des axes de ces courbes , en sorte quecette manière de résoudre la question démontre ce théorème.

Deux sections conicpies de même nature, dont les.

axes sont proportionnels en grandeur, parallèles en direction , n’ont et ne peuvent avoir (jue deux points ' communs.

Dans le second cas au contraire, l’élimination du

rapport conduiraità des relations entrelescoefficiens

des équations (i) exprimant que les sections coniques i (ju’elles représentent ont un double contact. En effet réquation (3) peut d’abord être considérée conune l’ensemble de deux lignes droites, qui finissent par se contl'ondre en luieseide quand le premier membre de l’équation c[ui les représente devient un qnarré parfait. Tant (jue ces lignes sont diflérentes , elles joignent deux à deux, les quatre poipts communs aux deux sections coniques, ^t l’on concevra aisément d’après cela, que ces coiubes doivent avoir un double contact quand les droites se confondent en ime seule;- cette réunion ne pouvant avoir lieu sans que les. quatre points d’intersection seconfondent aussi deux à deux..

Cette dernière manière d’envisager la question , foun-. nlt une méthode pour trouver la position des axes principaux d’une section conique. En elfet, si l’une des sec-, lions coniques proposées est un cercle de rayon R, dopt le centre ait pour coordonnées a,^, ou pourra éliminer

entre les équations de condition (4), le rapport ^etle

rayon R, la dernière équation en a , représentera le lieu géométrique des centres de tous les cercles qui -pourraient avoir im double contact avec la section conique donnée, et ce lieu géométrique est, comme on le sait d’ailleurs, l’ensemble des deux axes principaux.

On résoudrait deux problèmes analogues aux jn écé-

dens, en cherchant les conditions nécessaires pour qne deux surfaces du second ordre se coupent suivant une courbe plane. Si l’on exprime que la combinaison des équations de ces deux surfaces doit se réduireà ime équation du premier degré, par la disparition des termes d’un degré supérieur , on démontrera ce théorème , que , Deux surfaces du second ordre de même nature, dont les axes seraient proportionnels en grandeur, parallèles en direction , quelle cpie soit d’ailleurs la distance respective de ces mêmes axes, ne peuvent se couper que suivant une courbe plane. Si au contraire on veut que la combinaison du second degré des équations proposées, se réduise à l’ensemble de deux plans confondus , on aura des relations analytiques exprimant (pie les deux surfaces sont tangentes suivant une courbe plane, ou plus généralement tangentes entre elles.

32 . Cette manière» de combiner les *é(piations p<îut encore servir à exprimer la nature particulière de certains lieux géométriipiés. C’est une partie d’un éconcé (pii exige souvent de longues recherches.

Problème I. Exprimer qu^une surface du second ordre est cylindrique.

Soit l’équation do cette surÊice ■ L = Ax“ -f- -f- A*a* -h oByz -j- aB'xz -f- 2B"xy + aCx

— f- aCy^ — P ^

les coordonnées du centre seront données par les é(piar tions

i.^ = Aa: + By + W^ + Ç=c'l '-.^=B-x + A'y+ B«+C'=oCi.); ^ = B'x4-'Py + A"z-pC"=o\

elles représentent trois plans diamé^traux de la surface jsi elle est cylindrique, ils doivent se couper suivant l’axe J l’une quelconque de ces équations doit donc être une conséquence des deux autres. Si donc on multiplie la première par 7 », la deuxième par m' et qu’on les ajoute, on pourra disposer des indéteiminées /«et m! pour que cette somme soit identique avec la troisième. Si donc on élimine m et /«' entre les quatre équatious Am + Km' — B', + A'm' = B ,

B'm 4- Bm' = A", Cm + C'm' = C" , on aura deux relations pour l’expression demandée . . . (AA' — B"“) C"4 (B'B". — AB ) C' -f- (BB* — A'B') C" = o» (A'A" — B> ) C + ( B'B — A"B") C' 4 (B*B — A'B') C" = o.

Problème II. Exprimer qi^une surface du second ordre est conique.

Dans ce cas , le centre est situé sur la surface , et il £iut que l’équation L = o, et les écpiations (a) aient lieu en même temps; la première peut se mettre sous la forme

x ( Ax 4 B"y 4 B'a 4 C ) 4y ( Kx 4 A'y 4 Bz 4 (T) 4z(B'x4By4A"i4C") 4 Cx4C'y4C"*4D=o„ et en vertu des trois autres , se réduit à

(b) Cx 4 C'y 4 C^z 4 D = o; de sorte que potu: achever la solution , il suffit d’exprimer que les quatre plans (a) et (b) se coupent en un même point.

Problème III. Exprimer qi£une surface du second' degré est l’ensemble de deux plans.

Dans ce cas, des quatre équations (a) et (b), deux quelconques doivmt être ime conséquence des deux auti es;^ ce qui donne quatre relations-

Si les plans sont parallèles, deux quelconques des équations (a) sont des conséquences de la troisième; on a

= BB'rziA'B', BB' = A"B‘', BC=B'C' = B"C".

Problème IV. Exprimer qu*une surface du secon^ ordre est dmrévolutien.

Soit toujours L=o, Péquation de la surfeee; soient les coordonnées du centre; l’équation de la surface pourra se mettre sous la forme

(i) A {pe—ay+A'iy— A"(a— c)*4-2B(j— i) (*—«?)

-}- 2 B'(x — ' a)(z(— c)-Î-3B''(x— fl)(^ — i)-f-D'=o.;

Si la surface est de révolution , il faut que la sphère qui. aurait pour, équation

la coupe suivant deux cercles, dont les plans seront perpendiculaires à l’axe de réveliU^ion , et situés à égaledistance du centre. Soient

les équations de l’axe ; cejle des deux plans perpendiculaires seront de la forme

(s -- c) -f. ni (x — o) -f n (jr — 6) = — «,

«t leur ensqpible sera représenté par l’équation

-f-amCx: — c)(zr— c) -}-27n7j(x — a)Qy — b) = ct‘..

Les trois lieux géométriques (i), ( 2 ), (3) doivent donc avoir même intersection ; il faut donc qu’en multipliant la première par l’indéterminée P, la seconde par Q et les ajoutant, le résultat puisse être identifié avec la troi-

sième, ce qui conduira aux équations