AG ; AB : : DF : BD : ; EC : BD

Ce rapport étant donné , il est aisé de construire à priori le triangle ABG, et le problème proposé semblera dépendre de la question suivante :

Le triangle ABG étant donné, et un point C sur la base AG, mener une ligne\i¥ parallèle à la hase, telle, qu^en joignant FC on ait DF : FC:: m : n, ou dans un rapport donné. ^

Maintenant si par le point G on conçoit GX parallèle à FC jusqu’à la rencontre de BC en X , on aura GX: FC::BG: bf::GA:fd, d’où GX:GA::FC.:FD:*.ED:EC.

Ce dernier rapport étant connu , la solution cherchée dépendra de nouveau de celle de ce 3® problème :

Trouver sur la ligne BC un point X tel, que GX soit à GA dans le rapport de deux lignes p et q.

Enfin cette dernière question est facile à résoudre lors* qu’on sait construire une 4* proportionnelle à 3 lignes données.

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En effet , on construira une 4® proportionnelle aux lignes çf, GA, et p-, du point G comme centre avec celte ligne pour rayon, on décrira uii arc de cercle qui coupera la ligne BC en deux points X et X' satisfaisant au 3'problème; joignant GX, menant CF parallèle à cette droite, FD à AC, le 2 ®problèmosera résolu; enfin menant DE parallèle à CF, le problème pioposé le sera pareille- 'ment. Puisqu’il existe deux points X satisfaisant au 3® problème , il existe aussi deux manières de réjjondre à la question primitive. De ces deux solutions, la première DE sera comprise dans l’angle BAC, la seconde D'E' dans son opposé par le sommet. D’après cette construction les bgnes DE, DB, EC sont dans les rapports donnés ainsi que les lignes D'E’, D'B, E'C, comme il serait d’ailleurs aisé de le démontrer synthétiquement.

Le problème général de la détermination des surfaces du second ordre par la Géométrie descriptive, nous donnera par la suite un exemple encore plus frappant du principe ^e nous venons d’énoncer.

lo. U amve assez souvent que le problème auquel on descend, n’est qu’un cas particulier du problème à résoudre. On sait par exemple que pour trouver le centre d’un cercle tangent à trois autres dont les centres seraient c, c\ c", et les rayons R, R', R", il suffit de cliercher le centre d’un cercle passant par le point c' et tangent à deux autres ayant pour centres c et c', et ppur rayons (RrhR") (R'=t;R") ; nouveau problème qui n’est qu’un cas particulier du premier, puisque le point c” peut être considéré comme un cercle de rayon nul. Nous pouvons en donner un autre exemple dans la solution stûvante. • . ^

t*n6w.î;riiE. Èfant donnés les deux côtés aàjacens à V angle A du triangle ABC (fig. 3) , et la ligne AD dont ia direction partage cet angle en deux parties égales, •construire ce triangle.

Soit ABC le triangle demandé^ si l’on conçoit par le point D, DF perpendiculaire sur AD jusqu’à la rencontre de AB en F; paç le point C une parallèle CE à cette ligne, on aura AE= AC, par conséquent BE =

AB — AC; et comme on a de plus EF i FB :: DC : BD

AC : AB, Jle point F est aisé à déterminer à priori T cette ligne AF étant connue, pour trouver l’angle A et par suite le triangle ABC , il suffit de résoudre ce nouveau problème, cas particulier di> proposé :

Problème. Étant donnés le côté AF d’un triangle isoscèle FAF' et la perpendiculaire AD du sommet sur la base, construire ce triangle.

D’aprèscela, l’angle f A sera déterminéen construisant un triangle rectangle dont AF serait l’hypoténuse,

AD un des côtés, l’angle total s’ensuivra , et le problème proposé sera résolu. La Synthèse donnerait aisémeut la vérification de cette solution.

II. U y a des problèmes de Géométrie où l’on>est,' analytiquement conduit à construire une figure sediblable à celle que l’on cherche , et dont les élémens sont .

pris parmi les données. Par exemple, si connaissant les troishauteursd’im triangle, on proposait deleconstruire,

' on pourrait être^ainsi conduit à la construction.

Soient A, A’, Ti' les trois hauteurs ; a , a', a" les trois côtés inconnus ries rectangles aA, a'A', a'7*", représen™

. tant chacun le double de la surface du triangle demandé,

«ont égaux entre eux. On en déduit les proportions

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a : a' : : A' : A , a : a" :: A" : A 5 on peut donc Construire un triangle semblable au proposé, si K est dans cette

figure le côté homologue à a , A et ^ seront les homologues de a! et de a". Connaissant ainsi les angles du triangle demandé , le reste delà solution n’oflre plus de difiicullé.

Méthode inverse.

12. U ne faut pas confondre ce cas particulier avec cette méUiode connue sous le nom inverse, qui consiste à renverser l’énoncé, à prentlre pour données les inconnues, et réciproquement. En résolvant ce nouveau problème, on construit une figure semblable à celle que l’on cherche ; si l’on connaît ensuite ime seule ligne de cette dernière, il sera facile de la construire elle-même.

C’est sur-tout quand il s’agit d’inscrire dans lui polygone donné une figure semblable à vme autre aussi donnée, que l’on préfère la méthode inverse à la méthode directe. La circonscription des figures semblables ayant l’avantage d’ofirir par les segmens capables, des lieux géométriques, des sommets du polygone à construire.

, S’il s’agit, ‘par' exemple, d’inscrire un quadrilatère dont on connaît les angles et le rapport des côtés dans un autre quadrilatère donné, on pourra renverser l’énoncé et se proposer de circonscrire à un quadrilatère donné, un autre quadrilatère semblable à une figure aussi donnée.

Supposons qu’il làiUe circonscrire à ABCD (fig. 4 ) im polygone a'b'c'd' semblable à abed. Le sommet a' devra se trouver sur le segment capable de l’angle a , construit sur l’un des côtés du quadrilatère ABCD sur

le côté AB par exemple , et si de plus l’angle V — h doit correspondre au côté AD, on pourra construire sur les côtés DA, AB, BC, des segmens capables des angles b ^ c, c du second polygone, sur lesquelles circonférences devront se trouver les sommets inconnus du polygone cherché. Si l’on pouvait déterminer de nouveaux lieux gcométri([ues de ces mêmes points, le problème serait résolu. Or soient b\ c\ a\ les points satisfaisant à la question J la droite c^h' passera par le point A, la ligne

A'C' par le point B, de plus on doit avoir

Soit A' le seeond point d’intersection des deu.x cei’cles ADô', AB«', tous les triangles qui auraient leur sommet eu A', et pour base vme double corde telle que a' Ai' seront semblables, puisque leurs angles en a' et U auraient tous pour mesure la moitié des mêmes arcs AA';

le rapport que nous represeixterons par^ pourra

donc être regardé comme connu; par la même raison ,

le rapport = - sera facile à déterminer; on en déduira ^ • ^5 niais si l’on partage l’are A'B' en

deux parties égales au point M, et que l’on conçoive «'M, cette ligne partagera l’angle B'a'A' en deux pai-ties égales , et par conséquent la base A'B' en deux parties A'JN et B'jN , proportionnelles aux deux côtés A'a', B'«'; ce rapport étant connu, il sera làcile de trouver à. priori le jxoint IN , par stdte la hgne MlNa', nouveau lieu géométrique du point a'; joignant a'Bc', a Ab', b'D, c'C, le problème sera résolu. L’inverse s’en déduirait aisément. Ce problème est susceptible de huit solutions,

deux pour lesquelles l’angle a correspond au côte AB» et (leux pour chacun des autres côtés du quadrilatèi’e ABCD.

On résoudrait encore par l’inverse et de la même nianicre , la question suivante.

Problème. Quatre droites étant données sur un même plan, mener une transversale telle, que les trois parties interceptées soient dans des rapports donnés.

i3. Dans l’exemj)le précédent, le rapport des deux figures semblables exigées par la méthode inverse, est absolument indéterminé; mais on peut lier quehjuefois ces deux parties, de manièi’c à faire disparaître cette indétermination ; la construction n’en est que plus élégante, et il n’existe plus, pour ainsi dire, rien d’indirect dans l’analyse de la question proposée. Soit proposé de construire lui cercle assujéti à passer par deux points donnés, et à couper une droite sous un segment capable d’angle connu.

Si M et jN sont les deux points donnés (fig. 5), AB la ligne donnée , que MKAB soit le cercle qui satisfait à la question ; on pourra construii’c sur MIS im segment capable de l’angle connu; et si l’on conçoit prolongées les lignes B]S, AM jusqu’àl^mcontre de ce lieu géométricpie en A' et B', il sera aisé de prouver que les quadrilatères MNAB, MNA'B' sont semblables, et les lignes AB, A'B' parallèles. Soit C le centre du cercle inconnu, G' celui du cercle BINA'; ils se trouveront tous les deux sur la perpen(^culairc élevée sur le milieu de MN, laquelle drpil^ viendra couper la ligne AB en un point P, situé la figure MiNA, de la même manière que le point P' d’intersection de C'P' perpendiculaue sur AJS

et de MN, l’est dans la figure senildaLle NM A'. Oi-, les points P, P' sont faciles à déterminer; le point A' de la figure A'Ii'N, homologue au point M de la figure MNA , sera connu, en Jàisant l’angle C'P'A'=CPM. Connaissant le point A', la ligne A'B' parallèle à AB, et les droites B'MA, A'JNB achèveront la solution.

Avantage de la Géométrie.

1 4- S’il n’est aucime marche tracée pour la rechei’che de la solution d’mi problème, par la simple considération des figures, celte incertitude est peut-être une des grandes richesses de la Géométrie. U arrive souvent en effet, cpi’en suivant une certaine roule pour aller à la découverte, on rencontre la solation d’un prohlèpie diflërent du proposé , cpi’on n’eût sans doute pas trouvé aussi facilement , s’il se fût agi de le résoudre directement. Qui doit-on donc le plus athniier, ou du calcul qui commence ses travaux avec confiance, et finit presque toujours par répondrç à la question , ou de la Géométrie qui part sans rien promettre, et revient quelquefois ofîfir avec la solution du problème, celle de plusieurs autres qu’on ne lui demandait pas; et qu’elle a recueilli sur son passage?

Dans la proposition précédente, la similitude des dexix quadrilatères ABMN, A^B'MN et le parallélisme dçs lignes AB et A'B', fournissent un moyeu très simple de constrijiirCiVin quatbâlalère iascriptlhlc dans lui cercle lorsqu’on en çonnaît les quatre côtés.

Soient les quatre côtés MA = a, AB = ô, BN==c, MM = d. D’après les considérations précédentes, ou

aura AB = û, AB'=«-+-*^, AB'=y , A'B=

pour les quatre côtés du trapèze ABA'B', à la conslrttiX tion duquel se réduit le problème projjosée. On peut trt)uver directement ces quatre lignes en fonction des données, par une construction très simple j il suUit de lormer un quadrilatère quelconque , avec les cpiatre longueurs données, sur le côté d connue homologue au côté ô, constmirc un quadrilatère semblable j les lignes

a ÿ, cp seront les homologues de a, c, d\ pour

ti’ouvei’ le trapèze ABA^B', soit conçue B'Q parallèle à A'B, AQ sera la différence AB — A'B', AB' le côté a,

B'Q le côtéc + ^, on pourra donc constmire

« priori le triangle AB'Q , par suite le trapèze , et enfia le quadrilatère inscrit proposé.

On déduira aisément de la solution précédente, la démonstration de ce théorème.

Théorème. Dans tout quadrilatère inscrit, les dia-‘ gonales sont entre elles comme les sommes des rectangles, des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.'

En effet, les triangles ANB', A'MB sont semblables et donnent les proportions APÎ : MB AB' : B A' :;<*■

îî aô-f-cd î ,

Lieux géométriques.

1 5. Les fpiestions de Géométrie se réduisent presque toujours à la recherche d’im ou de plusieurs points. Lu' point est ordinairement déterminé par l’interseclibn de deu.\ lieux géométriques , sur lesquels il jouit de deux propriétés différentes et réunies. Ce n’est guère cpie lorsque ces lieux géométriques peuvent se rédiüre à la hgue

’Jroîte ou au cercle , qu’il est possible d’employer une analyse purement géométrique , pour déterminer le point demandéj attendu que les constructions synthétiques. ne sont regardées comme ligoureuses , qu’avec l’emploi de la règle et du compas. Or, comme les propriétés de tous les points d’un lieu géométrique, sont les seules qui puissent donner lieu à son emploi, et que les propriétés de la ligne di’oite et du cercle sont très limitées, on conçoit aussi une limite poup la 'quantité de problèmes de Géométrie qu’on pourrait résoudre avec la ligne droite et le cercle , du moins dans ce qui concerne la détermination d’un ou de plusieurs points ; il est même beaucoup de ces problèmes que l’on pourrait attribuer à la Géométrie pure, parce que leur construction ne suppose que la connaissance de ses premiers éléraens, et .qui n’en ont pas moins été déduits de l’Analyse algébrique. Il est vrai que la Géométrie conduit aux mêmes résultats ; mais dans ce cas , son analyse participe un peu des propriétés pour ainsi dire énigmatiques de la. synthèse; c’est le grand défeut de la Géométrie quand elle veut concourir avec l’Algèbre.

i6. En un mot, parmiles lieux géométriques, il n’est guère que la bgne droite et le cercle, considéré surtout comme segment capable, dont on puisse attribuer la découverte à la Géométrie. C’est en étudiant leurs applications à la solution des problèmes, sur-tout à la construction des triangles , qu’on a dû remarquer l’immense avantage, des lieux géométriques, et c’est sans doute cette remarque cpii a donné naissance aux recherches laites sur les sections coniques, et enfin à cette analyse sublime de Descartes, où d’iuie propriété com-

mime à tous les points d’une courlie, on déduit son expression analytique.

Pour donner cependant un exemple de la découverte d’im lieu géométrique, par la seide considération des données , soit proposée la question suivante :

Problème. Trouver le lieu géométrique décrit par unanneau pesant M (fig. 6) mobile sur une corde QMG de longueur constante 1, dont une extrémité C est fixe, et T autre Q assujétie à descendre suivant une verticale AV.

La ^direction verticale d’ime force imprimée à Panneau mobile, doit diviser en deux parties égales l’angle QMC, formé par les deux cordons partiels QM, MCj c’est-à-dire que si on prolonge la ligne CMQ^ jusqu’à* la rencontre en Q' de la verticale AV, le triangle QMQ^ sera isoscèle; on aura donc QM=Q'M etCQ'=QM-f^ CM = / J le lieu géométrique demandé est donc la droite CQ' hypoténuse du triangle rectangle ACQ', facile à construire , puisque AC et CQ'=: l sont connus.

11 arrive souvent qu’en étudiant les propriétés d’une, figure, les cas paiiicidicrs d’un théorème, on découvre comme par hasard un lieu géométriipie j la métlwde qui l’a ainsi déterminé est toujours analytique , puisque le raisonnement seul y conduit. Par exemple, en étudiant les propriétés des tangentes communes à deux cercles, on pourra conclure la réponse à la question suivante :

Problème. Etant donné un point et un cercle, trouver le lieu géométrique du point qui partagerait en deux parties, dans un rapport constant, la ligne menée du point donné, à Vun quelconque des points de la circonférence.

Quoi qu’il en soit , connue il ne faut pas toujours s’attendre à ces découv ertes du hasard , lorsqu’un lieu geomélrûpic est proposé, il vaut mieux le chercher d’abord par l’application de l’Algèbre à la Géométrie; et s’il participe de la ligne droite ou du cercle, on pourra ensuite interroger la Synthèse pour vérifier la solution.

Toute jiropriété du cercle ou de la ligne droite, trouvée par l’Analyse algébrique, et mise au nombre des propositions géométriques, soit par la Synthèse, soit par toute autre méthode purement géométrique, doit reculai’ les bornes de la science de l’étendue, dans la solution des problèmes, puisipi’elle lui fournit de nouveaux beux géométriques, ou pour ainsi dire de nouvel les coordonnées pour déterminer les points inconnus. Si on voulait conserver à la Géométrie l’honneur apparentdela découverte, il faildraitlaisseï’ entrevoir la route qu’elle evit pu suivre pour y an’iv er; mais cette nouvelle méthode analytique serait peut-être aussi loin de la route naturelle de l’inventeur, que la Synthèse même.

Par exemple, l’Algèbre seule à dû trouver que le lieu géométrique du point dont les distances à deux points donnes, seraient dans un rapport constant, estime circonférence de cercle; la Géométrie pure' n’a lait que le prouver ; et si l’on voulait forcer son analyse j\ donner le mêmerésultat,elleconser\erait toujours une certaine apparence énigmatique, qui dévoilerait son impuissance.

On pourrait en effet aborder ainsi qu’il suit, la recherche de ce lieu géométrique : soit M (fig. 7), un des jxiints du lieu géométrûpie, AetB les points donnés tels que l’on ait AM: MB :: a. 'X rapport donné; la ligne MN qui opère la bisection de l’angle M, passe constamment

parle point N, quipartageABen deuxsegmens AN etBN, proportionnels aux lignesael C. Si l’on conçoit N P parallèle à BM, NQ à AM, le parallélogranime MPNQ sera un losange; la diagonale PQ sera donc perpendiculaire sur le milieu de MN; si donc O est son point de rencontre avec AB, on aura ON = ()M; d’aillem\sle parallélisme des lignes AP et NQ, QB et PN donne ON’.OB :: PN : QB :: AN : BN; la ligne ON ou ÜM ne dépend donc que des segmcus conslans AN et BN , elle est donc constante. Le lieu géométrique demandé est donc uu cercle facile à déterminer. On poiuiait sur AN et BN construire des triangl<*s équilatéraux ; la ligne qui joindrait leiu's sommets irait passer par le centre O du cercle cherché, dont ON est le rayon.

Si l’on j)roposait, étant donnés quatre points A, B, C, D en ligxie droite, de trouver hors de cette ligne lu» poirit X tel, que les lignes AB, BC, CD, y soient viies sous un même angle, la recherche du lieu géométrique précédent donnerait pour la construction de ce prohlènie, l’intersection de deux cercles.

Algèbre.

17. Concluons cependant que , lorsrpi’il s’agit de dé-? terminer un lieu géométrique, la position d’une certaine ligne, d’une certaine surface, par rapport à d’autres lignes, d’autres surfaces données, on doit préférer l’apn plication de l’Algèbre à la Géométrie. Cette méthode consiste principalement à mettre les problèmes en équar tion , c’est-à-dii-e , à l’énonçer algébriquement. U faut , ensuitemanier les équations, les données primitives, de façon à obtenir des résultats prom pts et satisfaisans, but que

l’on n’atteint pas aisément. G;pendant la marche sure et’ méthodique de cette analyse, la symétrie, la variété des éliminations, conduisent à des équations finales où la réponse à la cpiestion se trouve écrite Ainsi parvenu au résultat algébrique, il reste à le traduire dans le langage de l’énoncé proposé; c’est là le terme, le fini de l’ouvrage ; mais souvent l’écueil du Mathématicien , un obstacle que la solidité du raisonnement peut seule surmonter.

Il ne faut pas croire cependant , que cette partie soit touj ours la pierre de touche de la sagacité mathématique. 11 est des résultats extrêmement simples , des problèmes dont l’Analyse semble se jouer, et pour lesquels elle ne croit pas nécessaire d’avoir des secrets ; c’est sur-tout quand la Géométrie simple peut répondre d’elle-même à la question, que l’Analyse est si docile ; cette dernière est en effet le guide du Géomètre ; et quand il s’avise de marcher sans elle vers un but quelconque , elle semble lui prouver, par sa simplicité, qu’il serait arrivé plus vite s’il eût suivi ses conseils.

U faut étudier l’énoijcé d’un problème de Géométrie, avant de l’exprimer en Analyse; commencer par écrire les données, par les mettre en équation. S’agit-il d’un point? deux conditions,, deux coordonnées suffisent pour le déterminer sur im plan ; il en, faut trois lorsqu’il est situé d’une manière quelconque dans, l’espace. S’agitil d’rm lieu géométrique continu? il sera exprimé par une ou deux équations entre trois variables. Si c’est ime ligne plane, il suffit d’une seule équation qui établisse une relation entre Içs deux coordonnées de chacun de ses points. C’est ainsi que l’Algèbre traduit un énoncé gco^

métrique dans son propre langage, pour le présenlerv pour le travailler ensuite à sa manière.

Viennent ensuite des éliminations, des transformations, dont l’utilité n’est point incertaine; il ne faut jamais perdre de \ ne le résultat désiré, chercher constamment le j)his comt chemin pour y arriver. La Géométrie, lorsqu’eUeestseulc employéeà la recherche d’une solution, dévie souvent de sa route, pour aller à la découverte; la bonne Analyse au contraire, connaît l’endroit où elle doit frapper, et s’y dirige sans détours.,

Aprèsavoir tracélesdifférentes périodes de la solution des problèmes par l’Algèbre, je vais les parcowir avec plus de détails, et chercher à lever les ddlicultés, à résoudre les cas particuliers qui poiuraient se présenter,

Rotation . .

i8. Dans le calcul, il faut toujoius choisir les notations les plus avantageuses ; soit pour aider la mémoire, soit pour abréger les éliminations. Autant il serait ridicule de faire consister dans de simples conventions, la majeure partie des Mathématiques, autant il serait exagéré de les en bannir entièrement. Elles détruisent quelquefois l’aridité du calcid, et l’on pourrait dire que la notation est à l’Analyse , ce que l’arrangement et le choix des mots est à la clarté du style. Avec son secours, les calculs les plus longs deviennent une somme de transformations semblables, etil ne faut plus pour achever le tout, cpie la patience de répéter la partie principale. C’est avec de pareilles inventions que l’Analyse algébrique, si pénible dans sou origine, est parvenue

au point de donner des leçons de simplicité à la Géométrie même.

19. Quand les données d\m problème peuvent être placées par rapport aux axes coordonnés, de manière à simplifier les équations , sans en troubler la symétrie, il faut toujours en profiter ; mais si cette simplification de position anéantit cette même symétrie, en détruisant les quantités qui pourraient la faire apercevoir, elle ïi’est plus qu’apparente , et il vaut mieux placer les axes coordonnés d’une manière arbitraire. Si l’équation finale est plus longue, la simibtude de ses termes, non seulement donne le moyen de la retenir plus facilement quand l’importance de son usage l’exige, mais encore procure l’immense avantage de pouvoir y lire plus facilement la réponse à la question proposée. C’est une ph rase longue sans afl’ectation , qu’on doit préfereràiuie plus courte , mais souvent moins intelligible.

Expression analytique de la communauté d*ïntersection des lieux géométriques.

■ 20. La mise en équation d’un problème de Géométrie ne se réduit pas toujours à la récapitulation des données; souvent il existe des relations à exprimer, des. écpialions de condition à obtenir, avant d’aborder la i-ccliercbe de la sohition. On ne suimonte pas toujours avec une égale facilité çes obstacles préliminaires; souvent la longueuf fcl le nombre des éliminations à effectuer, pour exprimer une partie d’un énoncé, le fait rejeter entièrement; et il arrive en cela , comme dansbeaucoupd’autres circonstances, qu’un abord peu flatteur fait, mal soupçonner du reste.

Une de ses difficultés premières , est d’^exprimer qu’un> point ordinairement donné par l’intersection de deux lignes, se trouve en même temps sur un troisième lieu géométrique; qu’une ligne toujours déterminée parl’eTiseinble de deux surfaces, leur est commune avec une troisième..

J’essayerai de lever cette difficulté, en m’appuyant sur ce principe évident ; que si l’on combineles équations de deux lieux géométriques d’une manière quelconque , ^ l’équation résultante exprime un troisième lieu géométrique, sur lequel se trouve l’intersection des deux premiers. De ce que cette combinaison peut se faire d’une infinité de manières, je conclurai que si l’intersection de deux courbes, de deux surfaces, doit se trouver sur ime troisième courbe, une troisième surface donnée, il doit exister une équation combinée de celles des deux premières courbes, des deux premières surfaces, qui exprimera la dernière courbe, la dernière surface dor.nêe. Tout se réduit donc, dans tout les cas, à trouver de quelle manière doit s’eflTectuer cette combinaison.

Je supposerai d’abord que les trois lieux géométriques soient du même degrés D, je désignerai par E=o, E' = o, E"= o leurs équations. Si on multiplie respectivement les deux premières par deux indéterminées 7ii et m\ et qu’on les ajoute ensuite, l’équation mE+m’E' = o, résultante de cette combinaison , sera du même degré que les équations proposées , et pourra représenter, vu l’indétermination du rapport tout lieu

géométrique du degré D, passant par les intersections' des lignes ou surfaces, représentées par les équationsv

Es=o,E'=o. Maïs puisque le lieu géomélrûiue dit degi’é D, dont l’équation est E"=îo, doit aussi passer par ces mêmes intersections, il doit aussi pouvoir être représenté par l’équation mE + m'E' = o ; on peut donc disposer et du rapport et de l’une des deux indéterminées m et ot', pour identifier les polynômes mE -j- m'E' et E"; ce qui conduira en général à autant de relations entre /n, w', et les coefiiciens des équations proposées, que l’éipiation du degi’é D entre deux ou 1 rois variables , peut admettre de coefiiciens. Si on ébmine ensuite les indéterminées m et m', on aura les relations définitives (pii doivent exister entre les coefiiciens des équations proposées, pour exprimer analyticpiemeut la communauté d’intersection des lieux géométriques (px’elles représentent.

Il est aisé de voir que dans le cas de trois lignes du degi’é D, situées sur un même plan, on parvient à [7(D-f- 1) (D + 2J — 2] équationsde condition, et que pour exprimer que trois surfaces du même ordre ont même ligne d’intersection, il faut [7fy(D-f- 1) (D-f-2) (D-f- 3 ) — 2] relations entre les constantes cpii les déterminent analytiquement.

• Si l’on voulait exprimer (pie cpiatrè surfaces du degré D, ont mêmes points d’intersectioii , èn Supposant (pie leurs équations fussent E =0 , E'= ()’, E'^= o , E'"=o,^ on démontrerait par des raisonnemeiis semblables aux précédens , (pi’il doit y àvoir identité entre les polynômes mE -f- m'E' -f- m'E" et E"', m , m‘, ni' étant indéterminées. L’élimination de ces trois (constantes entre les écpiations qu’exigerait cette identité conduirait à [773 ( D ^ I ) (D + 2) (D 3 ) — 3 ] relations entre les

cocfilciens des quatre équations proposées, lesquelles devront être satisiaites , pour qu’il y ait communauté d’intersection entre les quatre sui'faces qu’elles représentent.

Le principe ci-dessus énoncé, n’exige pas, pour être appliqué, que les lieux géométriques proposés soient du même degré. Ou peut encore exprimer les rencontres communes de lieux géométriques de familles différentes. Par exemple, lorsque deux sections coniques doivent avoir leurs points d’intersections sur une seule ligne droite, on peut cUerclier la combinaison de leurs deux é(jua tiens, qui pourrait être identifiée à une équation représentant la ligne droitej l’élimination de l’élément indéterminé de cette combinaLsun, conduiraàdes relations analytiques, entre les constantes qm déterminent la forme et la position respective do9 deux coui'bes ; conditions qui existeront nécessairement, toutes les fois que deux combes du second degré devront avoir leurs points conuuuus situés sur une même ligne droite. On peut effectuer cette combinaison, soit en faisant descendre le degré de l’équation combinée à celui de la ligne droite,.par la nullité dçs quan’és et rectangles des coordonnéiîS^SQilvp.faiianlaucontraire monter le degré de l’équq^^rif^ droite, par ime composition

nulle dq deux.facleurs égaux aussi nuis par eux-mêmes.' Ces.d^éci^tes manières de combiner les équations proposée?, peur çxpriqier lesicondiûous demandées, conduisentà des résnlUils diHéretiS, ce qu’on explique aisément eu résolvant la. question sous ces deux points de vue. ' • i