BB" (A" — A ) = B' ( B> — B

Ce résultat étant indépendant des coordonnées du centre, a encore lieu pour exprimer qu’un paraholoïde est de révolution.

Théorie des Transversales^.

a3. Dans toutes les applications précédentes nous, avons nommé ligne du second degré , tout lieu géométrique indiqué pijr une équajion à deux coordonnées x et y élevées seulement aux deux premières puissances, et surfaces du second ordre , toute surface qu’ime équation du deuxième degré à trois variables pourrait représenter. U suit de là, que l’ensemble de deux lignes droites est compris dans la première d^omination, que l’ensemble de deux plans est une surface du second ordre. C’est peut-être pour ces réunions de lieux géométriques du premier degré , que l’Analyse a le plus besoin des théorèmes que nous venons de démontrer. Les problèmes les plus utiles qu’on puisse lui proposer, regardent souvent la ligue droite et le plan ^

elle ne doit donc pas négliger tout ce qu’elle peut- apprendre sur la transformation de leurs équations.

En général , quand on doit considérer les intersections ■d’un ensemble de deux lignes droites avec des lieux géométriques du second degré, il est plus simple d’exprimer cet ensemble par une même équation j on diminue par ce moyen le nombre des éliminations; souvent même cette conformité du degré des équations à combiner peut seule conduire à im résultat prompt et satisfaisant; on dirait que l’Analyse se plaît à mettre en rapport des lieux géométriques d’une même classe, et qu’eUe montre au contraire de la répugnance à rapprocher des classes difiërentes.

Pour donner unepreuve frappante de l’utilité de cette remarque, nous ferons voir avec quelle fricilité l’Analyse peut démontrer les principes de la théorie des transversales.

Problème. Si par un point fixe pris sur le plan d’une section conique donnée, on mène deux sécantes à cette courbe, que Von joigne par des droites les extrémités réciproques des cordes résultantes, quel sera le lieu géométriquede l’intersection de ces nouvelles sécantes?

La bgne du second degré donnée peut , dans tous- les cas, être représentée par l’équation

(0 y*+px* = 37x.

Soit à, ^ les coordonnées du point M donné, C celles du point M' dont on cherche le lieu géométrique; l’ensemble des deux première'^ sécantes aura une équation de la forme

(a) (y — C)“-P2 A(x — *)(y — ff)-|-BCx — les deux autres seront représentées par une autre équa-'

tîon analogue,

(3) e')» -faA' (x-^ctO (y — C) + — «')* o;

Les lignes (i), ( 2 ), (3), devant avoir mêmes points d’intersection , on devra avoir entre les coefficiens des «piations qui les représentent, et les constantes arbitraires m et ni ^ les six relations

= 1 » mA+m'A* =a O ,

^-77lA<fc^*fïl A <* O y

mB«+m'B'<t'+mAff-|-m'A'C' = ( 7 , mC* 4 -ai' 5 '* 4 -amA«C-i- 377 »'AVC' 4 -mB<i»+.m'BV* sss o.

Si l’on substitue A' et B' en fonction de A et B danS les trois dernières, elles deviendront

mZ + + Ttik. («t — = û ,

toB (« — <*') + 'JiA ( Z — ^ ) + (p« — 7 ) = o,

+ m'C* + m A(« 4- *') (ff — C') + (^ + ^)(« — •»')

-f- mB(« -f- •) (<*—•' ) -f- P»'* = 0 ; l’élimination de A et B entre ces trois étpiations con>^ duit à

(m + m')Z7 (pt.' — 9) (« + •') —p«’* = o; considérant que (m -f- m') = i en vertu de la première des équations (4) , on aura

( 5 ) ZZ' + ptut' = ç (« 4 "

on en déduit que le lieu géométrique demandé est une ligne droite, Si le point donné a, C, est extérieur à là courbe (i), la droite (5) joint les points de contact des deux tangentes menées par ce point à la section conique.

Cette réponse à la question proposée fournit un moyen de mener des tangentes à une section conique donnée par un point extérieur, sans autre usage que celui de la règle. Par le point donné M (fig. 8) , on mènera deux sécantes quelconques MAB, MA'B'j on join-

i3ra AA^, BB^; AB' et A'B, le point d’intersection dèft 'deux premières droites, celui des deux dernières devant «tre situés sur la ligne qui joint les points de contact, cette ligne est déterminée , et son intersection avec la courbe donnée déterminera aussi les points de contact, «t par suite les tangentes.

Si la section conique était l’ensemble de deux lignes droites, la nouvelle droite que l’on obtiendrait pour le lieu géométrique, irait nécessairement passer per l’intersection des deux premieBes, On peut déduire de cette' remarque une solation graphique de ce problème. Par un point donné, mener une droite qui aille passer par le point de ccmcours de deux autres droites donnéesqu’on ne saurait prolonger.

L’un des pmnts M, M' pouvant être supposé situé à‘ i’inbni, on peut regarder comme démontrées les deux propositions suivantes, dont la première nous sera très utile par la smte.

Théorème. Si Von joint deux d deux les extrémités réciproques de deux cordes parallèles dfune section conique, les points d* intersection de ces nouvelles sdcantes seront situés sur le diamètre qui divise ces cordes en deux parties égales.

Théorèmf. Si les deux ligneshc, b'c^(fig- 9;, sontpa^ rallèles d la hase BC du triangle ABC, les droites bc^, bc' se couperont sur la ligne qui joint le sommet A et le milieu de la base du triangle.

La réponse à la question précédente pourrait se déduire de la solution du problème suivant , analogue.

Problème. Deux cônes du second degré et une eur~ facsdu même or dre, ayant une intersection commune ^

si le sommet de Vun des cônes reste fixe, que la troisième surface soit aussi constante de forme et de position, quel sera le lieu géométrique du sommet du secondcône?

Les équations des trois surfiices seront, en représentant par x',y\ x", y", z', les cooi-données des sommets des deux cônes , ' : ■

(1) (x ^xy+a{y—y'y+ h{z—z*y + ac{x — x'yy — y') ’

-j-ad(x — x') (a — z')-i- 2 e(y—y) (z — z') =0 ;

( 2 ) (x^'x'y-f-a'cy ’^y.y+yQf’ r^zy-i- acXx—x) (y— y) *

+ ad (x — x')(z—z')+ae'(y — y')(z-~-z') = o,

(5) px'‘ rj- qy^ 4- Tz* = asx 4- zty.

On exprimera que ces trois surfaces se coupent Suivant ime même ligne , au moyen de dix relations entre les coefficiensa, b, c, etc., a', b', c' , etc., p, q, r, s, t, et deux indéterminées m et m!,- si l’on élimine entre ces dix équations neuf des dix coefliciens a,b,c, etc;, a', b',c' . . le résultat sera indépendant du dernier et des* constantes m et m', et l’équation finale

(4) pjfx” + qy'y" 4- rz'z" = .s (x' 4 - ^" ) 4- ^ (/ 4*

indique que le sommet x^',y z" est constamment situé sur un même plan. Lorsque le sommet fixe (x', y', z') est extérieur à la surface (3) , ce plan est celui de contact avec la surface (3) du cône de tangence qui aurait son sommet au point (x', y', z'). En effet, si l’on désignait par x', y', z! les coordonnées courantes; par x\ y', z‘ • celles d’un point de la surface (3), son plan tangent en ce point aurait pour équation , l’érpiation (4); si au contraire x', y, z' sont constans, poiu- exprimer que le plan tangent doit passer par un point fixe, cette éfpia-

tion exprime le plan sur lequel se trouvent tous les points de contact x", z^^

L’un des cônes pouvant se réduire à l’ensemble dô deux plans, on peut regarder comme démontré que :

Si un cône du deuxième degré ayant son sommet en un point m, coupe une surface du même ordre suivant deux courbes planes, les plans de ces deux courbes et celui de contact du cône de tangence, à la surface donnée, ayant son sommet au point m , se couperont tous trois suivant une même ligne droite.

D’ailleurs on sait que si le sommet d’im cône tangent à une surface du second ordre, se meut sur une bgne droite donnée, le plan de la courbe de contact passera toujours par la droite qui joint les points de contact des plans tangens à la surface menés par la droite donnée. On peut donc encore regarder comme démontré par la solution précédente, i*. que si le sonunet z') du

cône (i) se meut sur une droite donnée , le sommet (x", y", z") du cône (a) se mouvra sur une seconde droite, laquelle passera par les points de contact des plans tangens à la sur&ce (3) menés par la première droite.

a*. Que si l’intersection d’un cône du second degré, et d’une surfece du même ordre se compose de deux com’bes planes, que les plans de ces courbes passent par une droite donnée, le sommet du cône sera situé sur la droite qui joint les points de contact avec la surface des plans tangensmenés par la ligne fixe. Enfin , dans ce dernier cas, si parla droite qui joint ces points de contact, on conçoit im plan quelconque, qui couperait la surface suivant une section conique, le cône suivant

deux arêtes, les plans sécans et tangens suivant des lignes droites passant par im même point , on pourra conclure aisément la solution du problème analogue , relatif aux combes du second degré qvii est résolu directement ci-dessus.

Toutes les fois qu’il s’agit de résoudre deux problèmes analogues, l’un dans l’espace, l’autre sur le plan, il vaut mieux commencer par résoudre celui de l’espace ; souvent on en déduit rigoureusement la solution demandée sur le plan, tandis qu’en résolvant d’abord la question la plus simple, on ne ferait que deviner l’autre par analogie. 11 y a même quelquefois de l’avantage à traiter d’abord le problème de l’espace analogue à un problème proposé seulement sur le plan; par exemple, on ignorerait beaucoup de solutions él^antes du problème du cercle tangent à trois autres, si leurs inventeurs ne les avaient été cliercher dans les sphères. U est vrai <pi’en généralisât ainsi un problème, on peut le rendre plus compliqué ; mais aussi cette générabté donne-t-elle ime solution plus appbcable à tous les cas particuÜers de l’énoncé. C’est, pour ainsi dire, une question d’Arithmétique résolue par l’Algèbre, pour obtenir une formule où se trouve écrite la réponse à toutes les questions semblables.

Détermination des courbes et surfaces par la Géomé~ trie descriptive.

24. En appbquant aux'bgnes et sur&ces du second degré, le moyen d’élimination que nous avons indiqué, nous avons déduit de la simple considération de quelques équations, la démonstration de plusieurs théorèmes

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qm peuvent servir à la solution complète des problèmes euivanSk

Problème ï. Etant donnés quatre points sur un plan, déterminer graphiquement tousîesélémens d’une parabole assujétie à passer par ces quatre points.

Soient A, B, C, D(fig. lo) les quatre points donnés ; les droites ABM, CDM peuvent être considérées dans leur ensemble comme ime section conique , ayant avec la parabole à déterminer quatre points communs ; ü en sera de même des droites AJND, BNC. D’après le théorème du Problème //(page 3a), les diamètres conjugués à un système quelconque de cordes parallèles, appartenant à ces deux réunions de lignes droites, et à la parabole demandée, devront se couper en un même point. U suit de là , que si l’on pouvait déterminer la direction des cordes, pour lesquelles les trois diamètres conjugués sont parallèles, la direction de ces diamètres serait celle du grand axe de la courbe cherchée.

Soit donc proposé de mener par le point B une droite BX, coupant AD en X, DG en Y, telle qu’il y ait parallélisme entre les lignes qui joignent les sommets M et N, avec les mUieux respectifs des cordes B Y, BX. Supposons le problème résolu. Considérons le parallélogramme BNXQ, les lignes NQ, BX en seront les diagonales, par conséquent, l’angleGBC=£=DNCetla droite BX partage en deux parties égales la corde RN et toutes celles qui lui seraient parallèles. On devra dono avoir PE = PF, E et F étant les points de rencontre de MP, parallèles à NQ, avec lesdeuxÆÔtésde l’angle CBGj la figure BFYE sera donc un parallélogramme. On aura alors les proportions •

EY:FC:;My:MC, eg ; fy:: mg :my.

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maïs EY=BF et EY : FC :: EG:FY; on a aonfc BF : FC :: my : mc, bf : fc :: mg ; my;

ces deux nouvelles proporüons multipliées l’une par l’autre, donnent

w"*: FC*::âÏG : mc;

©n pourra donc d priori déterminer le point F, et par suite la direction MP qui doit-être celle du grand axe ou de tout autre diamètre delà parabole cherchée. Le point F pouvant être situé sur BC ou sur son prolongement , on voit qu’il existera deux directions MP, et par suite deux paraboles assujéties à passer par les quatre points donnés ; c’est un résultat que le calcul nous avait ofTert dans une autre circonstance. {Problème II, pag. 3 a).

Ayant ainsi déterminé la direction des diamètres de la parabole, proposons-nous de mener une tangente à cette courbe, en un des points donnés, par le point D, par exemple. Cette tangente doit-être parallèle aux cordes que le diamètre DE (fig. 1 1) divise en deux parties ^les. Si d’ün point quelconque de ce diamètre, on pouvait mener deux tangentes à la parabole , la droite qui joindrait leurs points de contact serait conjuguée à ce diamètre , par conséquent parallèle à la tangente au point D. Or, si l’on prolonge BA jusqu’à la rencontre de DE en F, il sera aisé de déterminer la position' de la ligne de contact des tangentes menées par ce point. En eflfet , la ligne FB A est xme sécante ainsi que la ligne FDE, pour laquelle un des points d’intersection avec la courbe est situé à l’infini ; si donc on joint deux à deux les intersections réciproques de ces deux sécantes avec la section conique cherchée par les droites AMD et BM

parallèles à DE , et encore par les droites DBN et NÆ aussi parallèles à DE, les points M et N d’intersection de ces nouvelles sécantes , devant être situés sur la ligne de contact des tangentes , à la parabole menée par le point E, elle sera déterminée par cette construction, ainsi que la .tangente au point D qui doit lui être parallèle.

D’après cela, il sera aisé de trouver la position du foyer, le grand axe, et le sommet de là parabole cherchée. En effet , la tangente en un point D étant construite, pour trouver celle en tout autre point, au point B, par exemple, il suffît d’observer que ces deux tangentes doivent se couper en un même point K (fig. 12 ) , situé sur le diamètre conjugué à la corde BD. Les Ügnesmenées des point de contact au foyer sont autant inclinées sur les tangentes que les diamètres j si donc on les construit au moyen de cette propriété, leur point d’mtersection sera le foyer F, et donnera un des points du grand axe dont on connaît la direction. Pour trouver la position du sommet, on prolongera le diamètre GB deBN=BF; la droite NL, perpendiculaire au grand axe , sera la directrice, et le milieu S de FL le sommet de la parabole.

Problème II. Déterminer graphitpiement tous les élémens d’une section conique assujàtie à passer par cinq, points donnés sur un plan.

Soient A, B, C, D,E (fig. i3) les cinq points donnés; les lignes AB, CD peuvent être considérées dans leiu ensemble comme. une section conique , ainsi que les droites AC, BD; ces deuxlieuxgéoméU’iques du deüxième degré ayant cpiatre points A , B , C , D communs avec la courbe * cherchée, les trois diamètres conjugués aux systèmes

d e cordes parallèles à DE , se couperont en un mêmepoînt P, qu’il est aisé de construire, puisque l’on peut déterminer les deux diamètres conjugués correspondans aux deux lieux géométriques du deuxième degré (AB , CD) et (AC, BD) ; la droite qui joindrait ce point Pet le milieu Q de la droite DE sera donc le diamètre conjugué appartenant à la section conique demandée. Par luie construction entièrement semblable, on construirait la direction d’un autre diamètre de cette même courbe conjugué à la corde AE. L’intersection de ces deux diamètres sera le centre de la section conique cherchée. S’ils étaient parallèles , la combe du second d^é qui passerait par les cinq points donnés serait une parabole, dont on déterminerait les autres élémens comme datta le problème précédent.

Si le centre* n’est pas situé à l’infini, la courbe sera, une ellipse ou une hyperbole; son centre t) et trois de ces points A , B , C (fig. 1 4) suflBront pom la déterminer entièrement. Pour y parvenir, nous nom proposerons d’abord de trouver la position de deux de ses diamètres conjugués. Soit prolongée la ligne AO de OD=AO; D sera la seconde extrémité du diamètre AOD. Si d’un point fixe pris sur ce diamètre on suppose menées deux sécantes à la combe, qu’on joigne deux à deux les extrémités réciproques des cordes qu’elles déterminent; ces nouvelles sécantes se couperont sm une droite conjuguée au diamètre AD (pag* 4®)- Si donc on prend pour point fixe , le point M de rencontre de BC avec DA, et pom sécantes ces mêmes droites, le point P d’inter- •* section des droites AB , CD , et le point Qd’intersectioa de ACetDB détermineront la direction PQdu diamètre

t)E conjugué à AD. Une parallèle BR à OE assignera la nature de la section conique; si elle vient rencontrer le diamètre AO entre A et D , la courbe demandée sera une ellipse, et une hyperbole dans le cas contraire.

Si la section conique doit être une ellipse , on pourra déterminer lalongueur du diamètre coiijuguéà AO , connaissant AD , la direction OE (fig. 1 5) et le point B seulement. Eneffet, soit AO=m, EO=n=le demi-diamètre inconnu; on observera que dans l’eUipse proposée rapportée à ces deuTt diamètres , et dans celle qui aurait pour axes rectangulaires AD=a7n, etHOK.= an, des ordonnées d’égales grandeurs porrespondent aux mêmes abscisses. Si donc on élève PQ = PB perpendiculaire à AD , il suffira de trouver le demi-axe n d’une ellipse dont le second demi-axe OA=:m serait donné, et dont on connaîtrait de plus un point Q. , Pour cela on décrira du rayon A un cercle concentrique à la courbe proposée,

lequel viendra couper PQ en un point 9-, tel que —

PR

sera égal à p^. Pour construire OEs= n quatrième pro-

portionnelle à m, PQ, PR, soit pris OS = m; la droite SR viendra couper OA prolongée en un point V, et VB devra passer par le point Ë.

Connaissant ainsi les grandeurs et les directions de * deux diamèti-es conjugués de l’ellipse proposée , on peut déterminer les deux axes principaux de cette section conique. En effet, la tangente TAT' (fig. i6) parallèle à OE, doit couper les deux directions OT, OT' de ces axes en des points T et T', tels que l’on ait AT X AT' =OE = n* (ce qu’il est facile de vérifier par l’Analyse); si donc au point Aon élève AE=OE perpendiculaire

à la tangente AT, il sullira pour déterminer les points T et T', de construire un cercle qui passerait par lœ points F et O, et qui aurait son centre sur la tangente. Tl' étant le diamètre de ce cercle d’après cette construction, AT X AT'=AF =DE, et l’angle TOT' sera droit. Enfin, pour trouver la longueur des axes de l’ellipse, sur 01 ', comme diamètre, on décrira un cercle qui rencontra AP, parallèle à OT, en un point Q, de sorte que l'Q sera tangent au cercle de rayon ÜQ qui aurait son centre en 0 ; il sera aisé, d’après cela, de démontrer que OQ est le demi-axe A dont 01 'serait la direction J le second demi-axe B.sera ensuite donné par la

proportion = =^, et tous les élémens de l’ellipse se-, ront eonnus.

Si la section conique doit être une hyperbole, on pourra se proposer de déterminer les asymptotes de la courbe. Soit ^0(fig. 1 , 7 ) un demi-diamètre, ATla dketj-» tiondeson conjugué; AT sera la tangente au point A, et si T et T'sont les deux points de rencontre avec les deux asymptotes, on devra avoir AT=AT'. Soit B un autre point de la courbe , C le point milieu de la corde AB ; si A', B' sont les points d’intersection de cette sécante avec •les asymptotes, on devra encore avoir B'Cs=A'C. Supposons menée TS parallèle à AB ; elle coupera OC en un point Ftel,queFT=cFS 3 =AA',puisqueTA=T'A et A'C=B'C. Soit encore D le point d’intersection de AT et CO; les lignes A'F, AD seront parallèles ainsi ' que A'O. et AF, ce qui donnera les proportions CA : CA' :: cd : cf,

CA : CA' :: cf : co.

qui multipliées l’une par l’autre, donnent enfin J