CÂ*: CÂ* :: CD ; CO

on pourra donc aisément déterminer le point A' et par suite les asymptotes. Opérant la bisection des angles qu’elles font entre elles, on aura la direction des axes principaux de l’iiyperbole. Si l’on suppose ce lieu géométrique rapporté à ses deux asymptotes comme axes coordonnés , le produit des coordonnées correspondantes à un point quelconque, doit être égal au quarré de la demi-distance du centre à l’un des foyers j on pourra donc aisément déterminer cette distance entière. Connaissant ainsi les foyers, la distance du centre au pied de la perpendiculaire abaissée d’tm des foyers sur ime asymptote, sera la longueur du demi-grand axe de l’hyperbole, et les élémens de cette courbe seront tous dér tertyinés. ^ *

Problème III. Déterminer le sommet d* un cône dont on donne huit points, savoir, cinq surunpîan, et trois dans l'espace.

Soient A, B, C, D, E les cinq points situés sur un meme plan , F, G , H les trois autres ; les cinq premiers déterminent une section du cône proposé (fig. i8), dont il est facile de déterminer le centre et par suite tousles élémens. Soit S le sommet demandé ; les droites SF, SG, SH étant des génératrices du cône, viendront rencontrer en F', G', H' la courbe ABCDE. Les trois côtés du triangle inscrit F'G'H' rencontreront les côtés correspondans du triangle FGH, en des points M, N, P situés sur la commune intersection des plans ABC , FGH: comme ces points sont faciles à déterminer à priori, la

détermination du triangle F'G'H' ne dépendra que de^ la solution de ce problème.

Inscriredans une section conique donnée untriangle dont les côtés soient assujétis à passer par trois points 'donnés sur une même droite.

Ce problème étant toujours susceptible de deux solutions, on pourra par la construction que nous indiquerons plus bas, déterminer deux triangles F'G'H', F'G"H", dont les côtés passeront par les trois points M, N, P, et de là les sommets S de deux cônes passant par les buit points donnés.

Remarque. Un de ces cônes est déterminé par son sommet S et sa base ABCDE. Avec ces données on peut aisément construire son plan diamétral conjugué à un ' système de cordes parallèles donné. Soit par exemple i^lila direction de ces cordes ; «u mènera par cette Jignedeux plans quelconques j'cbacHi d’<aix coupera le cône suivant l’ensemble de deux droites, ligne du second desré dont il est facile de déterminer le diamètre con-

jugué à la direction SL; on ama ainsi deux diamèti’es conjugués à cette direction; le plan qui les contiendra, sera le plan diamétral demandé.

Revenons maintenant à là solution du problème de- Géométrie plane que nous n’av ons fait qu’indiquer. Afin de ne rien emprunter d’aucune théorie étrangère , j’exposerai ici une construction de ce problème, déduite d’une analyse qui semble devoir au premier abord conduire à des résultats compliqués, mais qui se simpbfie singubèrement.

. Supposons que la section conique proposée soit une

Digilized by Gm’gk

ellipse, son équation sera de la forme

Soient a, C, C', a", C', les coordonnées des points M, N , P; y celles du point G' inconnu, liées par la relation

les droites MG', NG' auront pour équations- Cy -y) (x' - - (X - (y - c ) =

leur ensemble pourra être représenté par l’équation (3) (j' —^0“ **) (x'— « ) — (x — x') {y —y)

X L(x^ - -) (y - 6') + (x' ^ •') cy -c)] + (X - x')* x(y-c)(y-ff')=o.

Les coordonnées de tout point d’intersection des deux lieux géométriques (i) et (3) devront satisfaire à ces deux équations , et à toute combinée de ces mêmes équations. Les équations (i) et ( 2 ) donnant par leur soustraction

X — x' fl* (y 4- y) ,

y— y* S^fx-f-x')’

et par la substitution de ce rapport dans l’équation (3)

r ^ . W-Jj.r '-cri

a» a* J'*’ ab V ab. ■* 7b

Les lieux géométriques (3) et (4) passent tous deux par les points F', H'. Si l’on ajoute ces deux équations après avoir divisé la première para*ô*, on aura, toute réduction faite, en vertu des équations (i) et (a),

G’est l’équation d’une ligne droite qui devant passer^ par les points F', H', n’est autre queF'H'. Si cette droite devait être parallèle à MN, c’est-à-dire si le point Pétait situé à l’infini sur cette droite , l’équation (5) mise sous -,

là forme m = p devrait donner ^

ou biemen substituant, les valeurs de m et de «

inr^T ~ zrznrî”’

c’est en af', y', l’équation d’une droite qui, par son intersection avec l’ellipse proposée, donnera le point G'; on peut aisément la construire d’après les considérations . suivantes.

Les droites T, T' qui joignent les points de contact des tangentes à la courbe (i) menées par les points M, N, ont pour équations

Soient p, q les perpendiculaires abaissées du point G',' m, ra celles abaissées des points M, N sur ces droite»

T et T'j l’équation (6) se réduira à il sullildonc,

pour construire la droite (6), de mener MR parallèle à T, NR à T' et de joindre R avec le point I d’intersection dé T et T'. Cette construction simple devient indépen-. dante de la nature de la courbe proposée j elle a donc.

Keu lorsq^ae cette courbe est une hyperbole ou une pa- ' rabole.

Si le point P est placé d’une manière quelconque par rapport aux points M, N, l’équation (5) devra être sa^r tisfàite en y faisant — l’équation résul-

tante en i^,y', sera celle d’une ligne droite qui, par son intersection avec l’eUipse proposée, donnera le point G'; on pourra encore la construire par des considérations analogues aux précédentes.

•Soient en effet T, T', T" les droites de contact des points M , N , P J P , p', p" les perpendiculaires abaissées du point G' sur ces trois droites ; A et B celles abaissées de N et P sur T, A! et B' de M et P sur T'j l’équation en x! J y' deviendra

Soient encore m , m'y ni' les trois côtés du triangle formé par les droites T, T', T"j soit — sa surface j on doit avoir

si on élimine p" entre (6) et (5), on aura entre p etp' la relation

•elle représente en p et p' une droite que l’on peut construire aisément dans l’angle des deux droites T et T'.

Lorsque le point P est sur MN, on sait que les droites T, T', T* passent par im même point 1; on a donc h—Oy m = o, ot'=o, m"=Oÿ mais les rapports

mm' c • ^ ' , M M' ’ ^

jjjf, sont nnis et égaux a en représentant par

"fir

M, M', M", les longueurs des trois côtés d’un triangle dont les directions seraient parallèles à T, T', dàna ce cas l’équation (7) se réduit à

et la droite G'G" passe aussi par le point I. La constn^ tion des équations (7) et (8) devenant indépendante de la nature de la section conique proposée, sera la même pour l’ellipse, la parabole et l’hyperbole.

I Problème IV. Déterminer le centre et par suite trois diamètres conjugués d’une surface assujétie à passer par cinq points sur un plan, et quatre points dans l’espace.

Soient A, B, G, D , E les cinq points situés sur. im même plan , F, G , H , R les quatre autres ; on déterminera par le problème précédent les deux cônes passant par les huit premiers points. En vertu du Scholie du Problème Vly pag. 38 , les plans diamétraux de cea deux cônes et de la surface, conjugués à un système quelconque de cordes parallèles , se coupent suivant une même droite. Soit donc L la droite d’intersection des plans diamétraux des cônes conjugués à la direction FK j le plan qui la contiendra , ainsi que le point milieu de ] FR , passera par le centre de la surface demandée. Si j l’on construit de la même manière les plans diamétraux de oette sui^ace conjugués aux directions GR et HK, on aura trois plans dont le point d’intersection sera le centre O de la surface demandée.

Pour déterminer complètement la surface proposée , nous considérerons successivement les différentes natui-es de la courbe ABCDE.

1 *. Si cette courbe est une eUipse (fig. ig), soit O' son centre , 00' est la direction du diamètre conjugué au plan ABC ; le plan OO'F détermine ime section MNF -xle la surface aisée à construire, puisque l’on connaît =deux de ces points M , F, le centre O et les directions 00', MNf de deux de ses diamètres conjugués; cette section MNF est une ellipse ou une hyperbole. Si c’est ime ellipse, la surface proposée est im ellipsoïde dont on peut construire le système de trois diamètres conjugués. Soient à cet effet, PQ,M'N' les longueurs des diamètres •de la section MNF, dont 00', MN sont les directions; soit sur le plan ABC, SO'R le diamètre conjugué de MO'N, PQ et S'O'R' les diamètres conjugués de la section PSQ facile à déterminer ; les trois diamètres PQ, M'N', S'R' seront conjugués entre eux. Si la«ection MNF «St une hyperbole (fig. 20 ), la surface proposée est lîn hyperboloïde; cet hyperholoïde n’a qu’une nappe si les points M et N sont sur deux branches différentes de l’hyperbole MNF, il y en a deux au contraire lorsque ces points sont sur une même branche de la courbe ; quoiqu’il en soit , on pourra construire les asymptotes ON", OM? de la courbe MNF qui viendront couper le plan ABC en M" et N"; la courbe menée par ces deux points semblable et concentrique à ABC appartiendra au cône asymptotique de la sur&ce ayant son sommet au centre O, letpiel sera complètement déterminé par cette construction.

2 *. Si la com’be ABCDE est une hyperbole (fig. 21 ) dont O'S, O'S' sont les asymptotes, la surface praposée ne peut-être qu’un hyperboloïde ; les parallèles OT et OT' à O'S et O'S' sont des génératrices de son cône

asymptotique. Si parla droite OT l’une d’elle et le point | F on fait passer un plan , il coupera la courbe ABC en tm point unique M j la section MOF est une hyperbole 1 dont OT estime asymptote. Soit Tle point de rencontre de MF et de OT ; on prendra sur MF, MR = TF, et RO sera la seconde asymptote de l’hyperbole MOF : cette nouvelle génératrice du cône asymptotique viendra rencontrer le plan ABC en mi point V; selon qu’il%era à l’extérieur ou à l’intérieur de la courbe ABC, l’byperboloïde n’aura qu’tme seule nappe ou en aura deux; dans tous les cas, la courbe menée par ce point V semblable et concentrique à l’hyperbole ABC, pourra être considérée comme la base du cône asymptotique dont O est le sommet. ^

3*. Enliri*, si la courbe ABCDE est une parabole , la surface proposée est un byperboloïde ; une parallèle OT aux diamètres de la courbe ABC est une génératrice du cône asymptotique de la surface. Le plan OTF coupe la parabole ABC en un point M , cette section est une liyperbole dontOT est une asymptote; on peut donc déterminer le cône asymptotique comme dans le cas précédent.

Les trois plans qui, parleur intersection déterminent le centre O de la surface demandée, peuvent être tels , que l’un fpielconque d’entre eux soit parallèle à l’intersection des deux autres. Dans ce cas , le centre est situé à l’inbni sur cette droite qui est un diamètre , et la surface est un paraboloïde.

i*.‘Si la courbe ABCDE est une ellipse, le paraboloïde est elliptique. Soit O' (fig. 22 ) le centre de ABC, O'O un des diamètres de la surÊice; le plan O'OF cou-

pera la courbe ABC en deux points M, Nj cette sèctiott MIN F est une parabole aisée à construire, connaissani trois de ces points M, N, F et la direction O'O de seà diamètres; soient PO, RO'S les diamètres des courbes MINF et ABC conjugués à MN ; la section PRS sera une autre parabole de la surÊtce conjuguée à la' courbe MNP et au plan ABC.

3*. Si la courbe ABCDE est une hyperbole, la surface doit être un paraboloïde hyperbolique. Soit toujours CF lecentrede ABC (fig. a3) ,Ô'0 la direction des diamètres de la surface; par la ligne FO parallèle à O'O, on peut toujours faire passer un plan qui coupe l’hyperbole en deux points M et N situés sur une même branche là Section résultante MNF est une parabole dont on pèut fecilement déterminer les éléraens. Soit RO' le diamètre de ABCconjuguéà MN, le plan RO'Ocoupera lescourbes ABC, MNF en des points R, S et P; fa section RSP sera encore une parabole facile à construire. Soit Q le point où elle coupe O'O; si l’on fait descendre en ce point Q comme Immologue à Pla parabole MHNF, son plan sera le conjugué des deux autres ABC , RSP.

3*. Enfin si la courbe ABCDE est une’patàole', son axe doit être nécessairement paraUèle à la direction FO des diamètres du paraboloïde. Si donc on mène unplan par deux des points donnés F et G, et par la ligne FO ü coupera la courbe ABC en un point M, la section MFG sera une parabole facile à construire. Par un troisième point H on mènera un plan qui coupera la parabole ABC en deux points L et N , la parabole MFG en deux autres P et Q; et suivant que la section HLNPQ

*era ou une ellipse ou une hyperbole, on achèvera là construction comme dans un des cas précédens.

Les plans qui par leur intersection déterminent le centre O, peuvent se couper suivant une même droite, alors la surface est un cylindre dont cette droite est l’axe; dans ce cas, la courbe ABCDEdoit nécessairement avoir un centre , et peut être considérée comme la directrice du cylindre.

Enfui si ces plans sont parallèles, la surface ne peut être qu’un cylindre parabolique. Alors la courbe ABCDE ne peut être qu’une parabole dont l’axe est parallèle aux plans diamétraux de la surface. On aura la génératrice de ce cylindre, en menant par le point K un plan parallèle aux plans diamétraux; il viendra couper la courbe ABC en un point M, MK sera la génératrice demandée.

Dans tous les cas , les élémens de la surface que nous avons déterminés suffiront pour construire son plan diamétral conjugué à une direction donnée.

1 *. Quand la surface est un ellipsoïde, on connaît trois de ses diamètres conjugués PQ, M'N', R'S' (fig. 19). Soit XOY le diamètre dont on demande le plan diamétral conjugué. La section M^OX a pour diamètres conjugués M'O et OT, intersection des plans R'OP, M’OX; cUe est donc connue entièrement; on peut y construire un premier diamètre OV conjugué à OX : par une construction entièrement semblable, on aura OU autre diamètre conjugué à OX situé dans la section. R'OX; le plan VOU sera le plan diamétral demandé.

2®. Quand la surface est un hyperboloïde, on connaît son cône asymptotique, lequel a le même plan diamé-;

Diyûi^cv. by

Irai conjugué à la direction donnée que la surface demandée j alors la remarque du problème précédait donne le moyen de construire ce plan diamétral.

3*. Quand la surface est un paraboloïde, on connaît en un point S deux paraboles conjuguées, et une section ABCDEparaUèleauplan tangent de la surface au point S , et dont le centre est sur le*diamètre SO de la surface. Soit SX la direction donnée, on mènera un plan paral- 1 lèle à OSX qui coupera la courbe ABCDE en deux 1 points M et N, et l’une des paraboles conjuguées en un

• point P, on déterminera le diamètre de la section MîNP

• conjugué à la direction SX. On répétera ensuite la même I construction pour un autre plan toujours parallèle à ' OSX. L’ensemble des deux diamètres conjugués à SX I ainsi obtenu, déterminera le plan diamétral demandé.

4*. Quand la surface sera un cylindre , on fera deux sections dans la surface parallèles à la génératrice et à la direction donnée; chacune de ces sections sera l’ensemble de deux droites parallèles ; leurs deux diamètres détermineront le plan diamétral demandé. Si le cylindre n’est pas parabolique , une seule section suffit , tout plan diamétral devant passer par l’axe.

Problème V. Déterminer le centre et par suite trois diamètres conjugués d’une surface du second ordre assujétie à passer par quatre points sur un plan et cinq dans l’espace.

Soient A, B , C, D les quatre points qui sont sur un même plan; E, F, G, H, R les cinq autres. Soient E', E" deux points quelconques du plan A, B, C, D; par les neuf points A, B, C, D, E', F, G, H, K, on fera passer une surface (Problème IF), une autre par les

neuf autres A , B,C, D, E'", F, G , H, K. On déterminera les plaus diamétraux de ces deux surfaces conjugués à la dii'ection EF. Soit L leur droite d’intersection ; le plan qui , la contenant , passera par le milieu de EF, sera un plan diamétral appartenant à la surface demandée. On construira de la même manière les plans diamétraux de cette surface con jugirés aux cordes EG,EH^ on aura alors trois plans dont l’intersection sera le centre O de la surface. Le plan ABCD coupera cette surface suivant une courbe dont le centre O' sera l’intersection de ce plan et du diamètre OO^ conjugué à cette section j la droite OO' est l’intersection de deux plans diamétraux conjugués à deux diamètres parallèles au plan ABCD, plans qu’U est facile de construire au moyen des surfaces auxUiaires. Le centre O' étant connu , la section ABCD s’en déduiyi aisément. On achèvera ensuite la solution comme dans le Problème IV.

Problème VI. Déterminerle centre et par suite trois diamètres conjugués d’une surface du second ordre assujétie à passer par neuf points donnés d’une ma.' nière quelconque dans l’espace.

Soient A, B, C, D, E, F, G, H, K les neuf points donnés. Soient encore D', D" deux points quelconques du plan ABC. On fera passer ime surface par les neuf points A, B, C, D', E, F, G, H, R, vme autre par les neuf points A, B, C, D", E, F, G, H, K. Aumoyen de ces deux surfaces auxiliaires, on construira les plans diamétraux de la surface proposée conjugués aux cordes DE, DF, DG; leur intersection donnera le centre O de la sm-face demandée. Le plan ABC coupera cette surface suivant une combe dont le centre 0' se construira

comme Jansleproblème précédent ; ce centre et trois

points A , B , C , suffiront pour déterminer complètement cette section; le reste de la solution se fera alors comme dans le Problème IP".

Telle est la question la plus générale que l’on puisseproposer sur les surfaces du second ordre. La Géométrie B’y fait 'usage que de la ligne droite et du cercle; et cela devait-être ainsi ^ puisque la solution algébrique dépend de la résolution de neuf équations du premier de- - gré à neuf inconnues..

a 5 . 11 est à remarquer que, dans le problème dont nous venons de nous occuper, il n’est peut-être aucune des propriétés des lignes et surfaces du second degré que nous n’ayo^s énoncée ; aussi n’est-ce pas ime solution totalement géométrmue, puisqu’elle s’appuie sur des propositions que l’Analyse seule a pu faire connaître.

Ne pourrait-on pas conclure de là qu’un des principaux buts de l’étude des propriétés des lieux géométriques, est d’acquérir assez de connaissances sur les courbes et surfaces pour pouvoûr les construire, ou du moins les déterminer complètement par la Géométrie^: lorsque l’on m donne un nombre suffisant de points.

Résolution graphique dès équations jmales.

26. Unautre but non moins important de l’étude des propriétés des courbes et surfaces, c’est la construction des racines dea équations. Une équation à une seule inconnue peut être considérée comme le résultat de l’élimination d’ime ou de deux variables , entre des équations représentant des lignes ou des surfaces.

Bar exemple, si l’on fait le quarré *• de l’Inconnue,.

égal au rectangle py, dans vme équation du troisième ou du quatrième degré, elle sera du second degré en x et J'; et puisque l’élimination dey entre cette équation et x’"=py conduirait à l’équation proposée, si l’on construit les deux sections coniques représentées par les écpialions entre lesquelles se ferait cette élimination , les abscisses de leurs points d’intersection seront les racines de l’équation proposée.

Pareillement, si l’on fait x'=py,y*z=qz dans une érjualion du cinquième, sixième, septième ou huitième degré, on aura trois équations du deuxième degré entre b ois variables; et puisque l’élimination de y et de jç entre ces trois équations conduirait à l’équaüon proposée en jf, en construisant les points d’intersection des trois surfaces du second ordre qu’elles représentent, leurs abscisses seront les racines de l’équation proposée. Pour pouvoir résoudre ainsi graphiquement l’équation générale du huitième degré, il est nécessaire de faire disparaître son deuxième terme; car x’ ne pourrait devenir du second degré en x, j', x, par la supposition de x*=py et dey*‘=-qz. Pareillement pour que cette substitution puisse réussir à transformer l’équation générale du septième degré, en une autre équation du second degré à trois variables, il faut aussi faire disparaître son second terme et la multiplier par x.

27. Toute éfjuation du quatrième d^ré peut être ramenée à la résolution d’ime équation du troisième; c’est ce que le calcvli démontre de plusieurs manières. Cette transformation algébrique correspond au changement d’une des sections coniques qui construisent l’éfpiation en im ensemble de deux lignes droites. En

Digilized b;/ - ' ’Ic

effet , si l’on combine les équations des deux sections coniques par voie d’addition , après avoir multiplié la première par une indéterminée m , la seconde per m ! , l’équation résultante sera de la forme

(mn m'a'ya^ + + m'b')y*+ti{mc -f- m'e') xy

*f- a (md + nid') x a (me + m'e') y -f- a (m/ -j- ^’f) = o,.

et représentera en général une nouvelle section conique passant parles points que l’on se propose de construire; si l’on exprime que ce nouveau lieu géométrique est Ensemble de deux lignes droites, on aura ime équation

de condition du troisième degré en ^ élément de la combinaison. Lorsque ce rapport sera connu , les deuxbgnes droites donneront par leurs intersections avec une des sections coniques primitives, les quatre points dont les abscisses sont les racines de l’équation proposée;

Tïous verrons par la suite un exemple de ce changement , en nous proposant de mener une normale à l’ellipse par un point extérieur.

' Ou'peut trouver immédiatement la relation qui doit lier les coeiliciens d’une é<piation du second degré à deux variables, pour qu’elle représente l’ensemble de" deux lignes droites, en observant qu’alors le centre div lieu géométrique est un de ses points; c’est-à-4&e que les trois équations- , • '

Ax* -f- aBxy Gy* -+- aDx -1^ F = o , .

Ax + -t- D = O ,

jBx -f- Cy E s= o ,

doivent avoir lieu en même temps. La première peut se mettre sous la fonne

+ + (Dx -j- E^-J- F) çs o

et ee réduit, en Terln des deux autres, à

Dx -|- + F = O ;

en sortt que Péqnation de condition demandée, sera le résultat de l’éliiuinalion dexet de y entretrois écpiations du premier d^ré. Par rapport axix coefficiens, cette relation sera du troisième degré.

' a8. Pareillement pour exprimer qu’une surface du second ordre est un cône, ü suffit d’exprimer que le centre est sur la surface, c’est-à-dire que les quatre «{initions

Ax* -f» A'jr* + AV -f* oByz ■+■ aB'xz ûB'a^ -4* “Cx + aC'jf 4 - aC"z -f- D = O ,

Ax ^"y “t~ “i” ^ ® »

B"x ■+■ A'y ■+■ Bi -}- = O

B'x -P By + A"i 4-C*= Q ,

ontHeueB même temps; et commela première se réduis >

en vertu des trois autres, pour trouver la condilmn demandée, il suffira d’ébminer les variables x,^, a, entre quatre équations du premier degré. L’équation résultante sera du quatrième d^ré par rapport aux codlk eiens.

. & donc on combine par l’addition les équations d& deiu sur&ces du second ordre, après les avoir multipliées parles indéterminées nz, l’équation résultante

sera celle d’une troisième: surface, passant par la courbe

d’intersection des deux premières; et le rapport ^ dépendra de la résolution d’une équation du quatrième degré, si l’on veut que cette troisième surface soit une surface conique.

La Géométrie descriptive donne un moyen facile de construire par points, les projections de la courbe d’intersection de deux cônes , et par suite, celles des points d’intersection de trois surfaces coniques. La résolution graphique des équations des huit premiers degrés sera donc con)plétement résolue, si l’on peut ramener la recherche des points d’intersection de trois surfaces du second ordre, à celle des points d’intersection de trois cônes, ür, c’est ce (jue la remarque précédente rend possible, au moyen d’équations du quatrième degré.

29. J^près avoir exprimé analytiquement les conditionsquipeuv en texisterentrelesdonnéesd’un problème, des raisonnemens justes indiquent toujours quelles sont les éliminations à efTectuer, les quantités à obtenir; et comme les méthodes données par l’Algèbre ne sont jamais incertaines quand il s’agit d’effectuer des éliminations, nous pouvons dire que c’est la partie la moins embarrassante dans la recherche d’une solution. Elle est l’intermédiaire entre deux ppints plus épineux pour le mathématicien , savoir, la mise en équation et la lecture géométrique des résultats de l’Analyse.

Les équations finales expriment des relations entre les données et les inconnues. Pour parv'enirà les démêler, ily a des facteurs communs àrétahlir, des termes qui ont disparu à ajouter, des expressions géométriques à reconnaître. Souvent même les transformations qu’elle fait subir aux équations , ne peuvent se prouver que par une sorte de Synthèse. 11 faut partir de l’équaljon transfoimée pour démontrer son identité avec la primitive. C’est par de semblables moyens, que l’Algèbre indique quelquefois l’endroit sur lequel on doit interi'oçer la’

Géométrie, pour obtenir une solution déduite de T* seule considération de ses tliéorémes. Pour en donne» un exemple, proposons-nous de traiter par l’application de l’Algèbre à ta Géométrie le problème suivant.

Problème. Trouver sur une circonférence donnée un point X (fig. 34) tel, qu^en joignant ce point à deux autres A B donnés, les lignes AJL , BX coupent U» circonférence en deux points C', situés sur une pa-

rallèle d AB.

Dans le problème de la page 58 nous avens résolu cette quq^tion d’une manière plus générale, puisqu’au lieu du cercle, nous avons considéré l’ellipse; nous; sommes arrivé à une équation finale qui, dans le cas; particulier du cercle,. se réduit à

yC q- x'- — R* y'C -f- xfm' —R*

tt, C , cl', C sont les coordonnées des points A et F.. Cette équation indique une ligne droite à construire; pour un nouveau beu géométrique du point demandé,, dont les coordonnées sont x',y'.

On peut déduire de cette équation une soluüen synthétique du problème. En effet, sLl’on suppose AX=c?, BX = c?, que l’on désigne par £ et tl' les longueurs des: tangejites au cercle donné, menées par les points A et. B, on aura

(f - -)• + (y' - C' )* = d% (x' - *')“ + C/ — fi' )• = K

et par suite

ÿî -P = kb* + •• + fi* — y»

y? -P xV = H R* + •' * + fi'* — d'*). .

La substitution de ces diffîrentes valeurs dans l’équa?-

lion (6), donnera

—r-=—/r-> àon - = J ou 2, = p.

Be rapport des Idligneurs AX, BX est 'ainsi déterminé; d’ailleurs une proposition géométrique connue, donne un cercle facile à construire, pour le lieu géométrique

de tous les points X , tels que le rapport soit constant. Le point demandé sera donc dxmné par l’intersection de deux cercles.

Des considérations purement géométriques condui-^ raient au même résultat que l’analyse précédente , car on a , soit d’après la nature des données , soit d’après celle de l’énoncé,

ÏX X ÂC = BX X BC' =