W 1*— COS^Y

tangV

cdcukrl.i

Les traces du plan sur ceux des zz et des yt devant passer par les points P'^ P'V on doit avoir

tn p 11 p

D^aillëorâ le tiiangle ABC doime

La sobstitntibn de ces valeurs dans tang Y bonduit à

ou oe qui revient au inéme,

* aftorf. ABC

La symétrie de cette formule la rend d!un usage fiicile pour ia pratujue.

Dans le cas particulier ou p't^szp'^ elle se réduit à

tang V s=: /g^ r /^W p si l'on désigne par h la peipendi--

culaire abaissée de A sur BC, on a deux sur£ ABGs= qhy

d^où tang V ss ^T^ , ce qu'il est aisé de vérifier par la

Géométrie.

{ io4 )

On peut toujours ramener h problème à ce cas par^ ticulier, cndierchantsurklignePP^dontles équations

st>nl ^=0,'^+ csri, le point dont l'ordonnée verticale serait ^ale à /;'; or on a pour déterminer sa coordonnéej^,l'é(juation*^-{-^ = 1 , ce qui dpnue, eu y

substituant - trouvé précédemment^

S donc on voulait déterminer la direction de la couche, ou ce qui est la même chose une horizontale parallèle au plan , il suffirait de prendre sur AC une

longueur ADsss y^^s. i la droite BD serait la direction demandée. La distance perp^idiculaire P entre deux couches parallèles, est facile i calculer d'après cela, lorsque Fon connaît leur distance D sur la verti-» cale; la simple considération du triangle reciai^le dont D est lîiypoténuse et P Fun d^ côtés conduit à P = PcosV.

36. Les calculs précédons sont fondés sur la forme dont nous nous sommes servi pour Téquation du plan» Cette forme établit une espèce de symétrie entre les coordonnées 9f%^x '>^^ ^^ rapprochant s^>arément des quantités qui ont avec diaçune d 'elles un rapport plus immédiat qu'avec les deux autres. Le plan n'est pas le seul lieu géométrique dout l'équation puisse posséder cette syniétrie. Les lignes etsur&ces comprises

dans les équations — 4-'?^ s=si et — ^^^-f-^ssi

( io5 ) jouisseat de la même propriété. Celte symétrie rend miêmeleur étude très &cile, et la discussion suivante en sera la preuve.

TTiéorème $ur les courbes H surfaces qui ont pour

équations

rt« i« * a* b* (f-

La courbe — 4-'^= i rencontre les axes en des

points distans de Torigine de a et de h.

L'équation de la tangente à cette courbe au point x\ y peut se mettre sous la forme

les points où cette tangente vient rencontrer les axes^

août distans de l'cMriffi&e de :et de , rvces

quantités seront moindres ou plus grandes que a^b^ svùr vaut que l'exposant a sera pluspetit que l'unité ou la surpassera. D'où il suit que la courbe est convexe du côté des axes lorsque ^<^iy et concave pour a> i. On s'assurera aisément que dans le premier cas les axes août des tangentes à la courbe^ que dans le second ce sont des normales.

Les seules constantes a et i suffisent pour déterminer cette courbe ; nous les désignerons sotis la dénomination commune de paramètres. Cek posé^ on peut déduire de ce qui précède que les panonètres de la tangente au

(io6) point a^yy\ de la courbesont entre eux dans le rapport

di» n ^ •

Parmi ïts courbes que nous discutons , on distingue i"*. hmBffàe 4t=: i^ la ligne droite - 4*^ = ^«

3*. Loi^sque 4sa 2, Tellipse -^ i4-*^ s?£ i.

3*. Lorsque «=— • i, lliyperbole rapportée à deux parallèles a ses asymptotes ^ -(* - ^=3 1 •

4*. Lorsque ass*;^ la parabole rapportée à deux de

X^ yl

ses langetites -7* H-*'^ âss i.

5*. Enfin, lorsque (s:;=7, la développée de Tellipse

PoUr que f origine des coordonnées soit le centré de la courbe , il 6ut que a soit pair^ ks exemples (a*), (5^) sont dans ce cas; la coUrbe est alors symétrique par rapport aux deux axes coordonnés Lorsque rëxpo^^nt â. est impair, Torig^'ne des coordonnées n'e$t pasle centre de la cQ^be , cette courbe n'est pas symétrique par rapport aux axes , et même lorsque a est plus petit que l'unité , la courbe ne sort pas de Pangle des coordonnées positives, ex. (i*) (4*).

L'exposant a seul caractérise Fespèce de courbe que Ton considère ; et pour cela , je désignerai par courbe «e, courbe f, celles dont les exposans seraient a et C

Imaginons que l'on donne pour paramètres à une courbe a les coordonnées d'un point^ que noua nom*

tneitms direût$ur^ seulement assujéti à se trouver sur une autre courbe C in?ariàb}e, que j'àppelietai courbe directrice. L'ensenible de toutes les courbes « ainsi dirigées 9 sera enveloppé par une courbe y du genre que nous considérons^ et il y a cela de paiticiilier, qu^une courbe y est réciproquement l'enveloppe de toutes les courbes 6 qui auraient leurs points directeurs sur une courbe et. Ce théorème que nous allons démontrer, et dont nous déduirons nombre de conséquences, est ana* logue à un autre théorème sur les surÊices, que nous démontrerons aussi par la suite.

Soient m et n les paramètres variables de la courbé génératrice a, ; eUe aura pour équation dans une posi* tion particulià^

Soient a et 5 les paramètres coïistans de la directrice €y elle aura pour équation

ce

Si Ton âimine n entre ces deux équations, on n^aura plus qu^un seul paramètre variable dans l'équation des génératrices, et il sera facile ensuite d^en trouver l'enveloppe. Or, ces deux équations peuvent se mettre sous la forme

m* 4* tt**

si l'on élève la première à la puissance C, la deuxième à la puissance a , et qu^on les multiplie ensuite l'une par l'autre, n se trouvera éliminé, él les génératrices auront poui équation

( io8 )

on en déduira l'équation de Teuveloppe, en la différenciant par rapport à m, ce qui donne

on (s) T ss — , ij»=a«*+^ a*"*'^;

éliminant m entre les équations (i) et (ii)^ on en déduit successivement

— wn

telle est Féquation de l'enveloppe y; elle est du genre des courbes que nous discutons, et il ^ciste entre les exposans de la directrice^ de l'enveloppée et de l'enve^ loppe, la relation

Gomme cette équation est symétrique en tf et C, la réciprocité que nous avions annoncée s'en déduit aisé* ment.

Dans toute cette discussion y Tangle formé par les axes peut être arbitraire j nous profiterons de cette génâralîté dans les exemples, pour en déduire des principes plus étendus. U est bon de remarquer que toutes lesfoi^qne

( 1^9 nous considérons la courbe 1 comme la développée de l'ellipse^ nous sous-entendons que les axes sont rectangulaires.

Si aszri, C^=iy ana^c=|. Donc si par un point D (fig. 39) pris sur le côté BCd'un triangle ABC , on mène DM,D]N parallèlesà AB, AC, la diagonale MTf du paralr lélogranune AD sera tangente à la parabole GDB inscrite dans l'angle BAC, et dont B et C seraient les points de contact avec AB et AC Cette parabole est unique, puisque quatre points déterminent une parabole, et que deu3L contacts équivalent à quatre points.

On peut déduire de cette propriété un moyen géométrique de mener à ime parabole dont on. connaît seulement les deux tangentes en deux points déterminés , une autre tangente assujélie à passer par uu point donné sur son plan.

La Solution du problème se réduit à trouver sur BC (fig. !29) le point D , pour lequel la diagonale MN passera J)ar le point ?• Concevons MN prolongée jusqu'à la rencontre de BC eti L, menons par le point P les lignes PE etPF, parallèles aux côtés AB, ACdu triangle ABC. Le parallélisme des lignes MB, PË, iSDj et celui des trois autres MD, PF, NC, donnent les proportions

iJ5:Ll>::LMtLN::LD:LC::LE:LF, d'où LE— le: ld— lP::le— ld : lf— lg,

et BE.CF=DE.DF.

Il suffit dotic de partager la Ugne EF en deux parties

dont le rectangle soit ^al à BE.CF.

Le problème aUra deux solutions, une seule ou sera impossible suivant que BË.CF sera plus petit, égal ou

fâus grand que j EF ; c^est qu'alors le point sera dehors , dessus ou au dedans delà parabole.

(no)

Sî le point P n'était pas dans Fangle BAC, le point D se trcNiTerait sur le prolongemeiit de ËF^ il suffirait alors de oonstruire deux lignes De, DF de différence dounéeEF dont le rectangle serait BEXF; dans ce cas^ il y aurait toujours deox solutions*

On peut d'ailleurs déterminer aisément la droite qm joint les points de contact des tangentes menées par le point P à la parabole. A ceteflfet, on construira les points directeurs des tangentes primitives, relativement i ces nouvelles tangentes considérées comme axes; la droite qui les joindra devra contenir leurs points de contact avec la courbe. On pourrait ainsi construire la parabole par points*

a*- Pour Assea, €:ssz2. la relation -= i -f-> donne

On en déduit iiisément la solution de ce proUème

indétemùné : Inscrire une ellipse dans un parallèle^

gramme donné. On peut se donner en outre ou bien le

rapport des diamètres, ou bien un cercle à la surftce

duquel celle de l'ellipse proposée devrait être équiva*

lente. Pour le premier cas , il suffit de mener par l'origine

une droite telle, que ses coordonnées soient dans le rap*

port donné; son intersection avec l'ellipse directrice, sera

le point directeur del'ellipaedemandée. Pourrésoudre le

second, désignons par R le rayon du cercle donné, par

aa^ubj les diagonales du parallélogramme, par «n'angle

qu^elles forment entre elles, par x ^y les demi-diamètres

de l'ellipsQ cherchée } on aura pour les déterminer les

deu:ii équations

Si Ton ajoatç les équatinns (i) et (a), les ineonnue» é^^ yront encore satis&îre à réquation résultante

les ^ints directeurs iiicbimti& seroiat donc donnés par rintersection derellipse(i) etde la droite (3). Le rapport deg pammètres de cette droite est toujours celui des axes aétbi die est donc constamment parallèle à un des côtés du rhombe. Si Ton nl^3 & l'eUipse circonscrite une tangente parallèle icette droite ^ le point de contact déterminera l'eUipsê inscrite dont la surfece est un masimum. Pour cette courbe, les différentielles des équations (i) et (2) doivent a?oir lieu en même tempsj on doit donc ayoir

éfo,^ î*! + ^«D d'où ?=:>•

Fellipse maximum inscrite est donc semblable àfeUips^ circonscrite.

Les deux, problèmes précédens peuvent servir dans la construction d une voûte elliptique, lot-sque l'eâpace qui doit la contenir est terminé par une base rectangulaire ou plus généralement parallélogramique.

On déduit encore de ce second exemple un mojen de mener une tangente commune à deux ellipses concentriques rapportée» à deux axes quelconques passant par leur centre commun ; elles ont pour équations

Sien les retranche FunedeVautre y Téquation résultante

(lia)

sera celle de deux droites passant par le centre et par les points d'intersection des ellipses proposées. 11 est aisé de conclnre de là que ces quatre points d'intersection sont les quatre sommets d'un pai^allélogramme, et qu'en menant par le centre deux diamètres parallèles a ses côtés , ils seront conjugués entre eux pour l'une et l'autre ellipse*

Prenons pour axes ces deux nouveaux diamètres. Les tangentes communes demandées forment évidemment un parallélogi'amme à la fois circonscrit aux deux ellipses. On. peut déterminer aisément Pellipse qui lui est ellemiême circonscrite, et qui a ses diagonales inconnues pour diamètres conjugués , car on connaît deux de ses pmnts y savoir, les directeurs des ellipses proposées. Cette considération ramène la solution de ce problème à€elui-<)i; Faire passer par deux points donnés une ellipse dont on connaît le centre et les directions de deux diamètres conjugués. On trouvera dans le problème de ia page 53 tous les élémens nécessaires pour achever la présente solution.

3*. Pour«=:i,^=!8,ona2=5a,5=i, ona^ssf.

La courbe f est , comme nous Favonsindiqué, la développée de l'ellipse j on peut le démontrer de la manière suivante.

Soit(i)-^+fe=ïj réquation d'ime elQpse rapportée à son centre et à ses axes ; l'équation en xfy de la normale au point x^y sera

Pour avoir une équation qui appartienne au point de rencontre de cette normale, et de son infiniment voisine, il suffit de différencier (7) par raj^ort à x et à j^y ce qui donne

L'élimination de;r, j^ entre (i), (a) et (3) conduira à l'équation en x^^ de la développée. Si l'on pose

A'(i— ^)=sR%anendéduiray=^^, «=^^»*

îjà substitution de ces valeurs dans les équations (i) et (3), donne les deux équations

AV* By*

r%\ AVy . By » ^^^ (A^ — K^'^CB*— K»)3 — ^'

entre lesquelles l'élimination de K doit conduireà Féquation de la développée. Or, si F(»5 j^, R) = o représente

lapï?emièi^, 2g^=o représentera la seconde j donc la

développée de l'ellipse proposée est l'enveloppe d'ime série d'autres ellipses qui lui sont concentriques, dont les axes a , b sont liés entre eux par l'équation résul*

tante de l'élimination de R* entre (6) as= A -— rr-»

K* £s=B — -g-, et qui est

(7) — nB* + Aî=*'*

la suite des points directeurs de ces elKpses est donc une ligne droite, leur enveloppe d'après l'exemple dont nous nous occupons, est donc la courbe |, et cette der-

nière courbe est identique avec la développée de Fel^ lipse*

Il suit de ce troisiènie exemple , que si l'on construit

Vellipse dont les axes sont -g- — B , A — v * ^^ ^^^ ^ ^^

mémessommets que la développée, tousses points seront directeurs des tangent es à la développée ^ lesquelles sont normales à l'ellipse proposée.

On peut s'appuyer sur cette propriété pour mener une normale à l'ellipse par un point P donné.

Si le point P était sur là développée^ il y aurait une des normales qui lui serait tangente en ce point. On constiTiira cette droite en observant que ses paramètres

sont entre eux dans le rapport y -r^, et que par conséquent son point directeur est celui de l'ellipse circonserite, dont les ordonnées sont dans le même rapport.

Si le point P était sur un des axes , sur cehii des x par exemple , il déterminerait l'abscisse des points de Tellipse directrice, directeurs des normales demandées.

En généi-al y ces points sont donnés par les intersec* ttons de l'ellipse directrice, et du lieu géométrique des points directeurs de toutes les droites passant par le point P. Cette dernière courbe est une hyperbole qui passe par l'origine , et dont les asymptotes sont les parallèles aux axes menées parle point donné. En eflfet, soient m et /» ses coordonnées, x^ y les paramètres d'une droite quelconque menée par ce point; on devra avoir

et comme xeij dét erminentle point directeur de cette,

droite, réquatioB (8) en est le lieu géométrique : en la discutant on reconnaîtra aisément ce que nous avions àzinoncé.

Sous le rapport de la Géométrie, on pourra décrire par points cette hyperbole, puisque Ton connaît ses asymptotes et l'un de ses points; ses intersections avec l'ellipse dlrectiîce compléteront la solution* D'après la forme de la développée à laquelle on veut mener une tangente par le point donné , s'il est intérieui\ il y aura quatre solutions, deux seulement lorsqullsera extérieur j enfin, l'hyperbole aura avec l'ellipse directrice deu:! points communs , et un contact lorsque le point donné sera situé sur la développée même.

Sous le rapport de l'analyse, l'élimination de Fane des coordonnées, y par exemple , entre l'équation (8) et celle de Tellipse directrice, que je mettrai sous la forme

(9) "~a +"1^ ^= I î conduira à une équation du quatrième

degré en x , qui aura ses quatre radnes réelles et inégales ^ réelles et deux ^les, ou enfin , deux réelles et deux

imaginaires, suivant que l'on aura*-; 4—--— i^ néga-

tif , nul ou positif. On peut réduire la difficulté à la résolution d'une expiation du troisième degré de la manière suivante : mettons les deux équations (8) et (9) ^ous h forme

— + -|Jr— «=o,

atxy anx ûtny ab ab ab

z étant une indéterminée quelconque, si on les ajouté^

récpiation résultante sera celle d'un lieu géométricpe d u second degi*é , passant par les intersections des courbes (8) et (9). On peut disposer de rindéterminée z, pour que cette nouvelle équation

représente l'ensemble de deux lignes droites. Cette cou*dilion exige que z soit une des racines de l'équation

Si donc on peut résoudre cette dernière équation du troisième degré, qui manque déjà de second teione, une quelconque des valeurs de z substituée dans l'équation (10)) la rendra décomposable en deux facteurs du premier ordre, qui, combinés successivement avec l'équation (9) , donneront les coordonnées des quatre points cherchés.

On pourrait encore se proposer dans l'exemple pré-^ sent, d'inscrire dans la courbe |, ime eUipse dont le rapport des diamètres fiât donné, ou dont la sur&ce fût équivalente à un cercle de rayon R. Le premier de ce9 problèmes se résout en menant par l'origine une ligne telle que ses coordonnées soient dans le rapport donné; son intersection avec la droite directrice sera le point directeur de l'ellipse demandée. Pour résoudre le second problème, soient x^jr les diamètres de l'ellipse chercliée, <r l'angle formé par les axes; on devra avoir

xy s= -ï~j. Le point directeur de l'ellipse sera donc

donné par l'intersection de la droite directrice et d'une hyperbole, qui aurait pour asymptotes les axes coor-^

donnés^ Il y aura en général deux solutions; si elles réduisent à une seule ^ c'est que la sur&ce deFellipse inscrite est une extrême grandeur; alors lliyperbole étant tangente à la directrice, ne pourrait Fêtre qu'au point miUeu de cette droite; il sera donc le point direc-^ teur de Fellipse inscrite dont la surface est la plus grande, et qui, dans ce cas, est semblable à l'ellipse dfoonscrite

On résoudrait absolument de la même manière ces deux autres problèmes : Inscrire dans la courbe | un parallélogramme, ou dans la dépelo^ée de VelUpse^ un losange qm ait ses sommets sur les axes, dont les diagonales soient dans un rapport donné, ou bien dùnt la surface soit équivalente à celte d^un carré donné R\ Onverrait que, dans ce dernier cas, leproblèmeadmet deux solutions ; que le parallélogramme inscrit dont la surface est un maximum, a pour point directeur celui de contact d'une tangente à l'ellipse directrice, parai* lèle au cotié du paraîlâogramme circonscrit, auquel celui que l'on veut inscrire sera semblable.

La discussion des surfaces représentées par les équa^ lions

se fera de la même manière que celle des courbes pre« cédentes* Les seules constantes a , 6, c et l'exposant « suffisent pour déterminer la surface. L'exposant tt en spécifie l'espèce, et les paramètres^, (, c la particularisent en elle-même. Je désignerai dorénavant par surÊtce a, l'espèce de sur&ce dont l'exposant est «•

Imaginons, comme dans la discussion précédente , que les coordonnées d'un point que j'appellerai directeur

serrent de paramètres à une sur&ce a , el que ce point 6oit seulement, assujéti a se trouver sur une autre surface € que j'appellerai aussi surface directrice; Fensemble de toutes les surfiices a sera enveloppé par une autre sur&ce y qui sera du nombre de celles que nous discntonsj et il y aura cela de particulier, que la surface (y) pourrait être encore Tenveloppe de toutes les sur&ces C qui auraient pour directrice ime surface «. Ce théorème peut se démontrer de la manière suivante.

Désirons par m, n ^ jp les paramètres d'ime sur&ce génératrice et , par a^b^c ceux de la sur&ce directrice C« On devra avoir

Pélimiioation d'un des paramètres variables, de p par exemple^ donne

on obtiaidra l'enveloppe de tontes les snr&ces <t , en différenciant sirccessivement Féquation (i) par rapport à m et n, et éliminant ces deux paramètres au moyen des écpiations difl^entielles

( — îl — ^^ ^ —( ^^^ '^^\:ù

elles donnent -^=5---, 7%œ^ ; on en déduit succès-

( ï»9 ) sivement

et enfin on a^ pour Fécpation deFenveloppe,

itC otC irf

ar+^ i*-*-^ c*-*-^

elle est comprise dans l'équation générale , son exposant y est lié aux exposans ce y € par la relation

cette équation étant symétrique eti a et ^, la réciprocité que nous avons annoncée en est une conséquence.

Sil'ou&it «essi^f =ss2, on trouve ^^s^i.

liOrs dono que la génératrice est un dlipsofde ainsi que la directrice , l'enveloppe a pour équation

abc

et comprend les huit plans qui passent par trois des six sommets de la directrice, en sorte que cette enveloppe est un octaèdre symétrique.

On peut se proposer d^înscrire dans un tel octaèdre un ellipsoïde quelconque* Le problème est alors iudé^ terminé , il suffit de prendre pour axes les trois diaga* nales de ce polyèdre, de concevoir un ellipsoïde qui aurait ces mêmes diagonales aa, sb, 2c pour diamètres conjugués; un quelconque de ses points pourra servir

de directeur à Fellipsoïde inscrit demandé. Si l'on voioh ladt q[oe les paramètres de cette sur&ce fussent dans des npporta donnés ^ il suffirait de chercher l'intersection de l'ellipsoïde directrice avec un diamètre dont les coordonnées seraient dans les rapports demandés ; c'est tm problème de Géométrie descriptive assez simple ; de plus y l'Analyse donnerait aisément les coordonnés de ce point d'interseotion.

Supposons que les diagonales du polyèdre soient rectangulaires ; on pourra demander que l'ellipsoïde inscrit ait une solidité donnée, par exemple celle d'une ^hère de rayon R. Désignons par x^y^ x les axes de la sur&ce inconnue; on devra avoir

0) xy% = K\

et tous les points d'intersection de cette surface et de rellipsoïde, pourront servir de directeurs à l'ellipsoïde demandé. Le problème est donc encore indéterminé ; mais si l'on exige qu'en outre la section horizontale de cet ellipsoïde ait une surface donnée, par exemple celle d'un cercle de rayon R', on devia avoir (2) «yr3=R'% et le point d'intersection de ces deux sur&ces et de l'ellipsoïde directrice

sera le directeur de la sur&ce demandée. Le demi-axe

vertical sera xssn^ et les deux demv^axes horizontaux

les coordonnées dupoint d^tersection des deux courbes

Nous avons ramené précédemment la recherche de cette intersection à construire celJe d'uneli^e droiteet d'une ellipse. 11 y a donc deux solutions ; mais les sur&ces correspondantes ont le même axe vertical.

Sila solidité de l'ellipseinscritedoit être lapins grande possible, il &udra que Ton ait d'après les équations (i) «1(3)

Multipliant la première de ces différentielles par — et les retranchant, il faudra que l'équation

soitsatisfaite^^pielquesoitle ^, ce qui exige que Pon

ait (8) - sr-v = -. L'ellipsoïde inscrit nmximum doit

donc être semblable au circonscrit. Les équations (5) et (6) sont les différentielles des équations (i ) et (3) ; en les combinant ensemble, on exprime que les deux sur&ces sont tangentes; les relations (8) transforment les équa* lions (5) et (6) en

c'est Féquation différentielle du pkn tangent. 11 est paraBèle à l'une des facesi de l'octaèdre, ce qui donne un mf^cai &cile de trouver par la Géométrie descriptive, IfB. poinl directeur de Fdlipsbïde inscrit, maximum en sofidité.

On peut pareillement déduire^de cet exemjde la soli»-

tion de ce problème : Mener un plan tangent commun d trois ellipsoides concentriques. D'après un théorème connu ) trois sur&ces du second degré concentriques ont toujours un système de plans diamétraux conjugués communs. Prenons ces plan8 pour les coordonnés, les trois ellipsoïdes auront pour équations

les plans tangens demandés forment évidemment un octaèdre dont les fiices sont parallèles deux à deux, et dont les six sommets sont sm* les trois axes. L'ellipsoïde circonscrit qui a les diagonales de ce polyèdre pour diamètres conjugués, est celui qui passerait par les points directeurs des ellipsoïdes donnés. Soient A, B, C les trois paramètres inconnus de cette sur&ce; ou devra avoir pour les déterminer les trois équations

— •1-xL -L. 2-3-1 îLo-!! L?L— . 1

A^^lP^l^ — ^*

on en déduira facilement 7» g* g' ^^ fonction de a, C, y^ et\ etc.; substituant ensuite ces valeurs dans

on aura l'équation des plan^ tangens demandésti

( ia3 )

Ce dernier problème n'est qu'un cas particulier de celiii'CÎ : Étant donnés les directions de trois diamètres conjugués et trois poirrU dC une surf ax^e du second ordre p l€t déterminer. Même dans ce cas général, il peut se résoudre par la Géométrie descriptive , au moyen des divers théorèmes démontrés plus liaut. Je vais indicjuer cette solution. Je crois qu'un peu de réflexion suppléera aux figures qui seraient trop compliquées pour être placées dans cet ouvrage.

Soient OX . O Y5OZ les directionsdes trois diamètres conjugués, A , B, C les trois points donnés. Soient pareillement AS B', a, A", B'; C, Â!'\ W% C* les points symétriques de A , B , C , dans les angles solides formés par les plans XOY, XGZ, YOZ , qui ont Taxe OX pour arête commune.

Au moyen de ces données proposons-^nous de construire le plan diamétral de la siu*face demandée, conjugué à la direction AB''. Ce jJan devant passer par le centre O, et par te milieu de AB", il suffit de trouver un autre de ses points. Or, les deux plans parallèles BB'B"B% CCeC% l'ensemble des deux plans BB'CC' W&"C'C^y et Fensemble des deux autres BB"CC", B'B'"C'C, peuvent être considérés comme trois sur&ces du second degré, ayant huit points communs avec I9 sur&ce proposée; leurs plans diamétraux conjugués à la direction AB" se couperont en un point par lequel devra passer le plan diamétral de la sur&ce proposée, conjugué à k même direction (page 87, théorème) lequel sera dès-lors complètement déterminé.

Cela posé, les courhcs ABC, A'B'C de la sur&ce ^proposée , sont situées sur un cylindre dont Taxe parai-

itle à la direction O Y, contient les centres dé ces mêmes courbes. Ce cylindre , la sur&ce proposée et Tensemble des deux plans ABC , A'B'C' ayant mêmes intersections, leurs plans diamétraux conjugués à une direction quelconque , se couperont suivant une même droite (page 35 , théorème). On construira les plans ^métraux de la 8ur&ce et de TensemUe des deux plans conjugués à AB''; le plan mené par leur intersection parallèlement à OY^ aéra un des diamétraux du cylindre. Par uneconstruo tion semblable, on déterminera le plan diamétral de ce même cylindre conjugué à AC. Uinterseciion de ces deux pkns sera Taxe dxi cylindre, et donnera le centre de la courbe ABC. Cette courbe sera donc complètement déterminée.

Maintenant, pour trouver en longueur un des trois diaiuètres de la sur&ce, il sufiit de mener, suivant OX par exemple, un plan qui coupera la courbe ABC en deux points M et rï; ces points suffiront pour construire la section &ite par ce plan dans la surface, et par suite la longueur de Taxe OX.

Les problèmes précédens sur l'inscription d'un ellipsoïde dans l'octaèdre, peuvent être utiles dans la construction des voûtes elliptiques, lorsque les dimensions du toit sont données.