f~ cos

r^ous rappellerons que l'angle de deux plans est le

f90 niéme que cdui fonné par deux perpendiculaires à ces! plans, et que celui d'une droite et dW plan, est le complément de Vangle de cette droite et de k perpendiculaire au plan.

Du paralUUpipide.

Supposons d'abord que la forme primitive soit im pa« ralléUpipède quelconque dont les arêtes soient A, B, C , et les angles « ,/^, y. Prenons les axes parallèles aux arêtes. Les huit angles soEdes formés par ces axes cor<* respondent aux huit angle$..solidès du cristal. De sorte que si l'on veut considéi er un décroissement siu* un de ces angles, il suffira de considérer la &ce qui en résul:* ferait sur Fangle à Yon^^joe qui lui correspond. Nous supposerons toujours les plans de déeroissemens menés par cette origine parallèlement à leur' direction ; supposition qui nous est permise , puisque nous ne v<iulona calcula que les angles de ces diflerens plans.

Toyons maintenanf comment nous ferons pour troor Ter l'équation de ces jJans. Considérons l'un des angles solides du cristal, par exemple» celui qui correspond à l'angle de l'oidgine dans lequel les coordonnées sont po-^ aitives. Le décroissentent sera le plus général pos$ihle , s'il a lieu par une soustraction de m fois l'arête A suivant AX, de/i foisl'aréteBsuivantrajie AY, etde;>foi^ 1 arête G suivant Taxe AZ, les trois nombres m,n,/» étant différens; d'où il suit que les paramétres de k &ce résultante de ce décroissement, seront proportionnels à mAy /zB, pC. L'équation d'un plan qui lui serait parallèle, mené par l'origine sera donc

(93 ) Si le décroissement avait lien rar nn autre angle aolide du cristal primitif , il faudrait pareiUemeut coiisidàrer l'angle à Forigine qui lui correspond. Pour comr prendre tous les décroissemens dans une seule équation, il suffit d'indiquer que les paramètres sont susceptibles de dianger de signes, ce qui donnera

Si le décroîssement est du genre que M- Hauy à nranmé intermédiaire, les nombres m, n^ p sont tous différens^s'il a lieu sur un angle sans être intermédiaire, deux de ces nombres sont ^ux; enfin, si le décroîssement a lieu sur une arête, un des nombres m, /i, /^ est infini , et Féquation du décroîssement est de Tune quelconques des fi)rmes suivantes

L'axe du cristal est ordinairement supposé parallèle à IHme des arêtes; quelquefois il joint deux sommets

«igus, et se. équationssout alors delà forme ï=5=ê'

L'angle ipi'une fiice de décroissement Ëiit avec l'axe, est complément de celui que &it cet axe avec une per^ pendiculaire à la &ce. L'angle de deux&ces est le même que Fangle formé par deux perpendiculaires à ]em*s plans. Les formules préliminaires donneront le moyen <le calculer ces angles s'il en est besoin. Enfin, si l'on Teut calculer les angles plans d'un cristal, oncherdiei^

(94) les angles (brméfl par les droites, intersedions delà fiice oue Ton considère et des Ëices adjacentes.

Cette méthode a cela d'avantageux que l'on peut trouver immédiatement l'angle que &it telle £ice d'un cristal secondaire, avec telle face d'un autre cristal , pourvu que l'on connaisse les déa^oissemens qui font nattre ces deux &ces»

Applications.

Si le cristal j«îmitif est un paraUélipipede rectangle, les cosinus des angles «, £, y sont nuls. Les formules préliminaires se simplifient singulièrement, aussi le calcul des angles est-il beaucoup plus simple.

Si le parallélipipède est un cube^ on a de plus Ass B s=C, et l'équation d'un décroissement quelconque est de la fi>rme

la valeur de cosinua Y est

les équations d'une perpendiculaire au pliai

sont *==;È*t J^''*-**

Proposons^ous de calculer Fangle de Poctaèdre ré^ guKer, cristal secondaire provenant d'un décroissement d'une rangée en largeur et d'une en hauteur sur les angles du cube. Il suffira de fidrepssTnss/issa i^les

if)

équations de deux &cea adjaceutes seront

Si a et by dans la valeur de ces Y, appartiennent à la perpendiculaire au premier de ces plans, leur valeur géra -f* i . Si a' et 6' appartiennent à la perpendiculaire > au second leur valeur sera — i , en sorte que cos V='5 .

Pour calculer Tangle plan on observera que la lace

est adjacente aux deux &ces

son intersection avec la première a pour équations

x^zz=iOy jf = o; son intersection avec la seconde

Si donc on Eût dans cosV,*a = — -i, bcs^Oy a' = o, i^'=— ï, on aura cosV=î, d'où V=— g-; et en effet,

chaque face de l'octaèdre est un triangle équilatéral.

Le dodécaèdre rhomboïdal provient d'un décroissement d'une rangée en largeur, et d'une en hauteur sur les arêtes du cube. Les équations de ses Êices seront

xdtys=zo, x±:z=LOf ydzz:=zo,

eiil y aura deux angles à considérer, celui que font les £ices

et celui que font celles représentées par les équations

(96) Les équationa des perpeDdiculaires aux deux premiers

plans donnent aasi, 6=:o> a^ =s i, &'=o, d'où

oosYsssOi Vsss lOO*.

Les équations des perpendicolaires aux deux autres plans donnent as=:t, 6=0, a'sso^ b'sst^ d'où cosV=|,V«s66*f.

Quant a Tangle du rhombe, on observera qnela &ce ip— -^sssoest adjacente aux deux autres jip-("<^=^^f iP-~seso; son intersection avec la première a pour équations x^^zzatOyjr^zssOy son intersection avec la seconde âp*—r=so,^-^z=sso. Donc ^ en supposant a s=— I, Jss— I, a'sss ij^sasi, <m aura pour cosY^-^. On pouvait prévoir ces résultats wl observant quir le dodécaèdre peut provenir dHme troncature tangente à tous les angles de l'octaèdre.

Le dodécaèdre pentagonalde la Minéralogie, provient d*un décroissemtfit d'une rangée en largeur et de deux en hauteur sur les arêtes du cube* Ses &ces auront pour équation

ai:^=0» ap±-=sRO, v±;ît»o.

Les angleaformés par leurs plans sont de trois espèces.

Le premier, formé par les &ces s +'^ sss o, z -— "^ss o ^

donne oosY c=*^|. Le second, formé par les fiices

«+^=BO, «--f-l^so^a pour cosinus fj et enfin, le

troisième, formé parles fiices 4p^-sso,«-—-s=so, a pour cosinus j.

Les angles du pentagone sont pareillemCTit de trois espèces. Le premier est formé par les intersections du

(97) planap — ~=«0, et des deux autres «rt-ïsso, lesquelles ont pour équations xs=z^Zjyz=z2z^ xzsz^Zf y=z—2Zy faisant donc a =ï,i= 2, a's^l-^ô'sss— •a, on aura pour fe cosinus de cet angle co» V=s — -^^ h& deuxième est formé par les droites d'intersection du

plan a;-^ ~=r o, et des deux autres ig i ^ - , o,^y4^=0y

lesquelles ont pour équations Jt= l t^yma^z^ xssi\zy

^j/^sEs-^^z; les hypothèses a===a's=|, 6=2, ô'= — |,

donnent cosVsta— -^» Enfin , le troisième est formé

par les intersections dii plan.ar— ^s=so, avec les autres

plans « -f- ~^ = o , jr -fi- - s=: o j ces intersections ont pour équations a?=:o,^s=5:JS,a:=|0,j^s= — ^je^etlecosY devient -— ~=, en y supposant h^isssj^y «'sss"lf ô'sssx.

Les plans du dodécaèdre pentagonal et ceux de Foctaèdre donnent par leur ensemble l'icosaèdre. On parviendra aisément à calculer les angles de ce solide, puiisque l'on connaît les équations de toutes ses Êices; je me dispenserai de les chercher, et de calculer pareille^ ment les élémens du trapézoèdre solide qui peut dériver du cube par un pointement à trois iàces sur les angles. Mon but n'est pas de donner la théorie com^ plète de la Gristallc^raphie^ mais seulement de laisser entrevoir comment on pourrait la développei* au moyen des calculs précédens.

Si le parailéiipipède est du genre de ceux que M. Haiiy a nommés rhomboïdes , on a tt:=é:=:}^,etAs=Bs=:C* Li'équation générale des décroissemens est

m it p ' j

( 98 ) h forimiJe qui donne Fangle de deux droites donne

Les jé^ations d'une perpendioukire ^u plan

je jf «

sont ^^K • — ' ^ ■ '■ ■ ; — *>

p jn n p cas «

n m 5 ' »co^tf

i. ^ 1 ^ i + ^ p "^ îrt K ' jpcos «r

Les troncatures sur les sontmete^urcmt pour équation

54-1! 4- ^=s:os celles qiid ont limLJ£»r ks angles laté* m ^ n f ^ ^ .

raux seront représentées par les trois équations

L'axe du rhomboïde a pour équations jrass^asjc.î^ottr queles troncatures latérales lui soient parallèles, il faut que leurs équations soient sati3raites par les hypothèses

:!c=r=JS, c'est-à-dire qu'il feut que Ponait — = r A^ - Si le décroîssemenl qui donne lieu à cette ^ron-^

cature sur l'angle n'est pas intermédiaire , on doit avoir 12; =: j9 j le cristal secondaire sera un pnsme hexaèdre

(99) régulier si n^-^m^ car alors ces &ces seront parallèles

à Faxfi. Si le décroUscment a lieu sur les arêtes, - =9 o.

U faut alors que rnssan pour qut; le qristal secoudaire soit encore un prisme hexaèdre.

En général I les troncatures latérales conduisent à des dodéeaèdiHiii^ et les troncatures sur les arêtes du sommet à des rhomboïdes. Les formules prétiminaîrqs donneront le moyen de calculer tous les angles de ces solides.

Par exemple, les trois &ces d'un rhomboïde secondaire peuvent être représentées par les équations ^

"*" f ~^' m "^ n~^^ S "^î**^" ^^ équations de la droite d'intersection des deux premiers plans sont

apsss——«,j^aBs—«j celles de Tintersection du pre^

mier et du troisième sont pareillement ;v es ~ « ^

yssz^ — — «. Si donc l'on fait ass; ^ 6c5= --, a'ss^t

j^' s=r --^ — danscosY, onauraFangleplan du rhomboïde.

Dans lecas particulier ou m:ssn^ on a ae=Sï-*- 1^ 6== i,

a'c=si,6'ca=-~i etcosVsss;? — -.(csscosofr).

Le parallélipipède peut être encore tel, que sa base repose sur les arêtes; alors deux des angl^ a^ Cj y seulement sont égaux. Il peut être obUque a base rectangle^ ou droit à base oblique* Enfin 9 sa base peut être un rhombe : ces cas particuliers produiront de grandes simplifications dans les formules générales. Il est cxtrémt*

{ lOO )

ment rare que le parallélipipède soit parlaitement irrégalier.

De Voetaèdre, du tétraèdre, du prisme hexaèdre.

Si l'on T^t seulement placer l'octaèdre le plus symétriquement possible, on peut prendre pour axes coor« doimés ses trois axes de figure. Soient aA, iiB^^C leurs longueurs; les équations des&ces de ce polyèdre seront

ai sa base était un rectangle, il vaudrait mieux prendre les axes coordonnés qui doivent être situés dans son plan , parallâes aux côtés de ce rectangle. Les équations des &ces seraient alors de k forme

Le tétraèdre a toutes ses &ces parallèles à celles dixm octaèdre ; il peut donc être placé de la même manière que lui, par rapport aux axes coordonnés ; c'est-À-dire, que ces axes peuvent joindre deux à deux les milieux de deux arêtes opposées et non adjacentes. Si l'octaèdre et le tétraèdre sont rentiers , le système d'axes sera rec^ (angulaire; si l'octaèdre est symétrique et le tétraèdre ihrégulier, le système sera oblique.

Les axes seront ainsi placés de la manière la plus $y« métrique par rapport aux corps que nous considérons. Mais comme IML Haûy iBSt parvenu à fidre dépendre le calcul des décroissemens sur l'octaèdre et le tétraèdre, de celui des décroissemens sur le parallélipipède , il vaut mieux prendre alors pour l'angle solide à l'origine un des angles solides du tétraèdre* Dans ce ctti, les plans

{ ÏOI )

passant par cette ori^ne parallèlement aux faces de Poetaèdre, seront représentés par les équations «=:o>

^=o,«rs=o,-£-f-^-f-^=oj A^B,C étant les trois

arêtes du tétraèdre contignes au sonunet que Ton considère.

Quant au prisme hexaèdre et au prisme triangulaire ^ la réunion de deux prismes trbdgulâires forme aussi un parallélipipède , ce qui ram^e encore le calcul des dé^ croissemens sur ces nouveaux corps ^ à la théorie du paraUélipipède que nous avons décrite précédemment*

Je me dispenserai de développer comment M* Haûy est parvenu à mesurer les angles des cristaux secondaires de la nature , et à déterminer les nombres relati& aux décroissemens. U me suffira d^observer que sa mé^ thode est applicable à toute formule générale qui dan-nerait les angles d'une forme secondaire quelconque^ et que de telles formules peuvœt s'obtenir au moyen des calculs précédées»

35. Un des grands caractères de la généralité d'un calcul, c'est la facilité avec laquelle on peut l'appliquer à des questions totalement différentes. Les formules qui nous ont servi dans la théorie précédente, peuvent être utiles dans touJLesles questions sur les surfaces qui exigeraient que lesaxes fossent obliques. Pour prouver en quelque sorte cette assertion y jerapprocherai de l'application précédente decesmémesformules^une autre application non moins utile, mais sur uin sujet bien différente

La détermination de l'inclinaison des couches miné-raies par le sondage, dépend de la solution de ce problème : Déterminer t angle apec Vhorizon ^un plan

dont on etmnaU trois points, question qui peaise traiter de la manière fini vante.

Soient A^ B, G (fig« 3o) les projections horizontales des points donnés ou tes ouvertures de trois trous de sonde; je désignerai par y, q% ç" les côtés BG, AC, AB du triangle ABC, par y Tangle BAC, par p^p'^^p^* les ordonnées verlicaiés des points donnes^ ou les profondeurs des trous de sonde A, B X. On peut prendi'e pour axes coordonnés les droites AB^ AG, AP, car comme ce système d'axesn'annule aucune des quantités p,/^^, //', 9f ç\ 9\ 1* formi je finale ne laissera pas que d'être symétrique, ^r rapport aux élémens qui déterminent la position des points donnés.

L'équation du plan PP'P" sera de la forme — -+- 2^

-^ - = I . Pour résoudre le problème ^ ilsuf&t de calculer

Tangle que formé la perpendiculaire a ce plan avec la droite AP. Si nous désignons par a et h les constantes quidéternûnent les équations de cette perpendicidaire^ les formules préliminaires donneront pour le cosinus, et par suite pour la tangente de cet angle ^

les mêmes formules donnent encore pour déterrniner a , i^> les équations

si donc on en déduit les valeurs de ces constantes et qu'on les substitue dans tâng V, on trouvera , toute

( »o3 ) Iréduction &ite^

/ 1 . * ^cosy \ / m* ' n* ma