AV'' B^^' __

entre lesquelles l'élimination de R doit conduire à l'équation de la développée. Or, si F(ar, j', K) = o représente

la première, ^=0 représentera la seconde: donc la

développée de l'ellipse proposée est l'enveloppe d'une série d'autres ellipses qui lui sont concentri({ues , dont les axes a, 6 sont liés entre eux par l'équation résultante de l'élimination de R' entre (6) a = A ~,

è = B — "kT j ^t qui est

la suite des points directeurs de ces ellipses est donc une ligne droite, leur enveloppe d'après l'exemple dont nous nous occupons, est donc la courbe J, et cette der-

nière courbe eut ideiilique avec la développée de l'ellipse,

il suit de ce troisième exemple , que si l'on conslriiit

Veilipse cioiil Jes axes .^ont -k- — - B, A — -, el, quiK les

mémessomntels que la développée, tousses points seroot directeurs des tangeniesala développée, lesquelles sont nonnales à 1 f»'lipse proposée.

<)n peut s'appuyer sur cette propriété pour mener une normale à l'eilipse par un point P donné.

Si le point P ét'Hil sur la développée, ii y aurj^it une des Dormales qui lui serait taiiepnte en ce point. On (•oiistruji'd cette droite eu observaiit que ses paran^ètres

nQTit entre eux dans le rapport \/ -pr-y et que par conséquent sou point directeur est celui derellipse circonserite, dont les ordonnées sont, dans le même rapport.

Si le oomt P était sur un des axes, sur celui des x par exeuïple , ii d et erminerai t ) abscisse des points de 1 ellipse directrice, directeurs des normales demaiidées.

En général, ces points sont donnes par les inteisections de Tellipsc directrice, et du lieu géométrivjue des pomis directeurs de toutes les droites passant par le point P. Cette dernière courbe est une hyperbole qui passe par l'origine, et dont les asymptotes sont les parallèles aux axes menées parle point donné. En effet, soient 771 et rt ses coordonnées, .t, y les paramètres d'une droite quelconque menée pcr ce point; on devra avoir

et comme x et j' délermmentie point directeur de cette.

( ^ï-> ; droite, l'équation (-S) en est le lieu géométrique : cri la discutant on reconnaîtra aisément ce que nous avions annoncé.

Sous le rapport de la Géométrie, on pourra décrire par points cette hyperbole, puisque l'on connaît ses asymptotes et l'un de ses points; ses intersections avec l'ellipse directrice compléteront la solution. D'après k forme de la développée a laquelle on veut mener une tangente par le point donné, s'il est inléru:ur. il y aura quatre solutions, deux seulement lorsqu'il sera uxtérieurj enfin, l'hyperbole aura avec l'ellipse directrice deux points commuiis, el un contact lorsque le point dominé sera situé sur la développée même.

Sous le rapport de l'analyse, l'éh raina lion de l'une des coordonnées, y par exemple, entre l'équatioii (8; et celle de l'eljipse directrice, que je mettrai sous la tonne

(9) ~ ~f"'r. -^^i j conduira à ime équation du quatrième

degré en .T, qui aura ses quatre racîjies réelles et inégales ^ réelles et deux ^ales, on enfin, deux réelles et deux

imaginaires, suivant que l'on aura --^ 4- -t~~ i? néga-

tif, nul ou positif. On peut réduire la difficulté à la résoiation d'une éq'uation du troisième degré delà manière suivante : mettons les deux équations (S) et (9) sous U

forme

' SX* , 2 y*

2xy nnx a>ny ^ c£» ab ah

z étant une indétermuiée queloontpie, si on les ajoute,

( no ) réqiiation résultante sera celle d'un lieu géométrique cl u second degi'é , passan t par les in \ ersections des courbes (8) et (9). On peut disposer de Findélerminée z, pour que cette nouvelle équation

^ -^ a^ ^ ô» ^ ab ah ab

représente Fensemble de deux lignes droites. Cette condition exige que z soit une des racines de l'équation

ab

Si donc on peut résoudre cette dernière équation du troisième degré y qui manque déjà de second îenne, une quelconque des \aleurs àez substituée dan.-- rétfuation (10), la rendra décoraposabîe en deux fadeurs du premier ordre, qui, combinés successivement avec l'équation (9)5 donneront les coordonnées des quatre points chercbés.

On pourrait encore se proposer dans l'exemple présent, d'inscrire dans la courbe |, ime ellipse dont le rapport des diamètres fiit donné, ou dont la surface fiit équivalente à un cercle de rayon R. Le premier de ces problèmes se résout en menant par l'origine une ligne telle que ses coordonnées soient dans îe rapport donné; son intersection avec la droite directrice sera le point iiirecteurde Fellipse demandée. Pour résoudre le second prol)lème5 soient x^j les diamètres de i'eilipsc cliercb-ée , J' l'angle formé par les axes; on devra avoir

xy := -. — j. Le point directeur de l'ellipse sera donc

donné par l'iritersection de la droite directrice et d'une byperboîe , qui aurait pour asymptotes les axes coot-

( 117 ) donnés. 11 y atira en général deux Solutions; si elles se réduisent à une seule, c'est que la surface de l'ellipse inscrite est lUie extrême grandeur; alors l'hyperbole étant tangente à la directrice, ne pourrait l'être qu'au point milieu de cette droite; il sera donc le point directeur de l'ellipse inscrite dont la surface est la plus grande, et qui, dans ce cas, est semblable à l'ellipse circonscrite

On résoudrait absolument de la même manière ces deux autres problèmes ; Inscrire dans la courbe ^ un parallélogramme, ou dans la développée de l'ellipse, un losange gui ait ses sommets sur les axes, dont les diagonales soient dans un rapport donné, ou bien dont la surface soit équivalente à celle d'un carré donné R*. On verrait que, dans ce dernier cas, leproblèraeadmet deux solutions ; que le parallélogramme inscrit dont la surface est un maximum, a pour point directeur celui de conlact d'ime tangente à l'ellipse dii*ectrice, parallèle au côté du parallélogramme circonscrit, aucpel celui que l'on veut inscrire sera semblable.

La discussion des surfaces représentées par les équations

a* b* c* se fera de la même manière que celle des courbes précédentes. Les seules constantes a , 6, c et Texposant a suffisent pour déterminer la surface. L'exposant a, en spécifie l'espèce, et les paramètresa, h, c la particularisent en elle-même. Je désignerai dorénavant par surface a, l'espèce de surface dont l'exposant est a.

Imaginons , comme dans la discussion précédente, que les coordonnées d'un point que j'appellerai directeur

( Iï« )

servent de paramètres à ime surface ex, e\ que ce point soit seulement assujéll à se trouver siu- une autre surface C que j'appellerai aussi surface directrice ; Fcnsemble de toutes les suriaces cl sera enveioppé par une autre surface y qui sera du nombre de celles que nous discutons j et il y aura cela de parlicnlier; que la svu'face (y) pourrait Atre encore l'enveloppe de toutes les surfaces Q qui auraient pour directrice une surface a. Ce tliéorème peut se démontrer de la manière suivante.

Désignons par m, 72 , p les paramètres d'ime surfece génératrice a. , par a, b^ c ceux de la surface directrice ©. On devra avoir

l'élimination d'un des paramètres variables, de p par exemple, donne

on obtiendra l'enveloppe de toutes les surfaces a , en différenciant successivement l'équation (i) par rapport à m et « , et éliminant ces deux paramètres au moyen des équations dittérontj elles

ni*

elles donnent "7- = — , -7, = — : on en déduit succès-

sivement

c«-hC-

et enfin on a, pour Féquation deFeriyeîoppe,

elle est comprise dans l'équation généralcj son exposant y est lié aux exposans a, , C par la relation

cette équation étant symétrique en a et ^, la réciprocité que nous avons annoncée en est une conséquence.

Si l'on fait « =: a , ^ =: 2 , on trouve ^^ = i .

Lors donc que la génératrice est un ellipsoïde ainsi que la directrice, l'enveloppe a pour équation

abc' et comprend les huit plans qui passent par trois des six sommets de la directrice , en sorte que cette enveloppe est un octaèdre symétrique.

On peut se proposer d'inscrire dans un tel octaèdre un ellipsoïde quelconque. Le problème est alors indéterminé, il suffit de prendre pour axes les trois diagonales de ce polyèdre, de concevoir un ellipsoïde qui aurait ces mêmes diagonales aa, :2b, 2c pour diamètres conjugués; un quelconque de ses points pourra servir

de directeur à Fellipsoïde insent demandé. Si l'on voulait que les paramètres de cette surface fussent dans des rapports donnés, il suffirait de cbercher l'intersection de l'ellipsoïde directrice avec un diamètre dont les coordonnées seraient dans les rapports demandés ; c'est xm problème de Géométrie descriptive assez simple ; de plus , l'Analyse donnerait aisément les coordonnés de €8 point d'intersection

Supposons que les diagonales du polyèdre soient rectangulaires 5 on pourra demander que l'ellipsoïde inscrit ait une solidité donnée, par exemple celle d'une sphère de rayon R. Désignons par a:, j^, z les axes de la surface inconnue j on devra avoir

(l) xyz.:=K\

et tous les points d'intersection de cette surface et de l*eUipsoïde, pourront servir de directeurs à l'ellipsoïde demandé. Le problème est donc encore indéterminé j mais si l'on exige qu'en outre la section horizontale de cet ellipsoïde ait une surfece donnée , par exemple celle d'un cercle de rayon R', on devra avoir (2) xyz=K'*y et le point d'intersection de ces deux surfaces et de Telîipsoïde directrice

sera le directeur de la surface demandée. Le demi-axe

vertical sera z==-^ et les deux demi-axes horizontaux

les coordonnées dupointd*intersection des deux courbes ... ^ Y*

xy = R".

Nous avons ramené précédemment la recherche de cette

intersection à construire celle d'une ligne droite et d'une

ellipse. 11 y a donc deux solutions ; mais les surfaces

correspondantes ont le même axe vertical.

Sila solidité de l'ellipse inscrite doit être la plus grande

possible, il faudra que l'on ait d'après les équations (i)

et (3}

-p. dx dy . dz

a* Midti[)liant la première de ces différentielles par — et

les relrancliant, il faudra que l'équation

Boit satisfaite, quelquesoitle -i^, ce qui exige que l'on

ait (8) - =•? = - . L'ellipsoïde inscrit maximum doit

donc être semblable au circonscrit. Les équations (5) et (6) sont les différentielles des équations (i)et(3)jen les combinant ensemble, on exprime que les deux surfaces sont tangentes -, les relations (8) transforment les équations (5) et (6) en

, - dx . dy . dz

(3> T + T + T = ° = c'est l'équation diflcrciitielie du plan tangent. 11 est parallèle à l'ujie des faces de l'octaèdre, ce qui donne im raojen Êicile de trouver par la Géométrie descriptive, le point directeur de l'ellipsoïde inscrit, maximum en solidité.

On peut pareillement déduiie de cet exemple la solu-

tion de ce probième : 3Tener un plan tancent commun fi trois ellipsoïdes concentriques. D'après un théorème connu, trois surfaces du second degré concentriques ont toujours un système de plans dianiélraux conjugués communs. Prenons ces plan.^ pour les coordoniies, les trois ellipsoïdes auronl pour équations

les plans tangens demandés forment évidemment un octaèdre dout les faces sont parallèles deux à deux, et dont les six sommets sont sur les trois axes. L'ellipsoïde circonscrit qui a les diagonales de ce polyèdre pour diamètres conjugués, est celui qui passerait par les points directeurs des ellipsoïdes donnés. Soieiit A, B, C les trois paramètres inconnus de cette surface; on devra aroir pour les déterminer les trois équations

^i 1~ B» Tr ^a = V»

on en déduira facilement -r» g» f ? en fonction de a, ^, ^/j ct\ etc.; substituant ensuite ces valeurs dans

on aura l'ccpiation des plan^ tangens demandés.

( 1^3 ) Ce dernier problème n'est qu'un cas particulier de celiii-ci : Etant donnés les directions de trois diamètres conjugués et trois poitUh d^ une surface du secoîid ordre , la détcnniner. Isïè.me danii ce cas général, il peut se résoiîche par Ja Géométrie descriptive, au moyen des diviTS tliéorèmes démontrés plus liaut. Je vais indifjuer Cette solution. Je crois qu'un peu de rétlexion ouppléeta aux figures quj seraient trop compiiquées pour être placées dans cet ouvrage.

Soient O.X , O Y,OZ les direclionsdes trois diamètres conjugués, A , B^ C les trois points donnés. Soient pareillemenl A', J3', (/, A", B'', C', A'", B'", C" les points symétriques de A , B . C , dans les angles solides formés par les plans XOY, XOZ^ YOZ , qui ont Taxe ÔX pour aréle comnriune.

Au moyen de ces données proposons-nous de construire le pian diamétral de la suriâce demandée, conjugué à la direction AB''. Ce phn devant passer par le C'en [ 1-e O, et par le milieu de AB", il siiiTil de trouver lUi autre de ses points. Or, les deux plans paniUéles BB'B"B'", CC'C'C"', l'ensemble des deux pians BBCC, B''B"C"C'^. et l'ensemble des àeux autres BB"CC", B B'"C'C'", peuv ent être considérés comnie trois surfaces du second iie^^é^ ayant huit points communs avec la surface fToposée; leurs plans diamétraux conjugués à la direction AB" se couperont en un point par lequel devra passer le plan diamétral de la surface proposée, coniugué à la même diiection (page 87, théorème) lequel sera dès-lors complètement déterminé.

Cela posé, les courbes ABC, A'B'C de la surface proposée , sont situées sur un cylindre dont Taxe parai-

ifcle à la direction 0 Y, contient les centres de ces mêmes courbes. Ce cylindre , la surface proposée et Fensemble des deux plans ABC , A'WO ayant mêmes intersections , leurs plans diamétraux conjugués à une direction quelconque , se couperont suivant uiiemérne droite (page 35 , théorème). On construira les pians diamétraux de la surface et de l'ensemble des deux plans conjugués à AB"; le plan mené par leur nitersection parallèlement à OY, sera un des diamétraux du cylindre. Par une construction semblable, on déterminera fs plan diamétral de ce même cylindre conjugué à AC". L'interscclian de ces deux plans sera l'axe du. cylindre, et donnera le centre de la courbe ABC. Cette courbe sera donc complètement déterminée.

Maintenant, pour trouver en longaeur un des trois diaiiiètres de la surface, il sufiit de mener, suivant OX par exemple, ud plan qui coupera ia courbe ABC en deux points M et N; ces points suffiront pour construire la section faite par ce plan dans la sm'face, et par suite la longueur de l'axe OX.

Les problèmes précédens sur l'iriscription d'im ellipsoïde dans l'octaèdie, peuvent être utiles dans la construction des voûtes elliptiques, lorsque les dimensions du toit sont données.