AC :BC':: AX:BX

d'où l'on déduit aisément

AX AC f*__AX*

d» \ r t AX

OU eniin p = ^ .

I^' Analyse algébrique indique ici à la Géométrie la solution la plusdirecte de la question proposée. Onpourrait en eliet trouver d'autres moyens de construction, en taisant remarquer l'identité du point demandé avec celui de contact d'un cercle tangent au cercle donné, passant par les points A et B. Mais cette transformation de l'énoncé ne donnerait qu'une solution indirecte.

Le plus souvent , l'étude des équations finales ne fait qu'indiquer le moyen de simplifier la construction des lignes dont les intersections doivent donner le point

demandé. C/est ordiiiairemeîit. par des considérations géométriques j que Fon vient à bout de cette simplification. On peut donner un exemple de cette siiupiifieation, sans s'écarter delà question prérédenie. Supposons en efî'et ou'il faille que la droite CC, au lieu d'être parallèle à AB, aille passer par un troisième point D. Dans ce eas, nous résoudrons ce nouveau problème; Inscrira dans un cercle donné un triangh dont les côtés soient a&sujétis d passer chacun par un point donné. Ce n'est qu'uji cas particulier du problème de la page 58, et cependant on ne j:»eut arriver qu'à simplifier de même la construction de l'équation finale.

Les opérations que l'on fait subir aux équations filiales, pour simplifier la consfraotion des lieux géométriques, ne les laissent pas toujours tels qu'ils se présentent. Très souvent au coDtraire, une certaine combinaison des différentes parties du résultat, donne une nouvelle ligne plus facile à construire que les primitives. C'est ainsi qu'en traitant parFAnaly se algébrique le problème de mener une tangente à un cercle donné par un point extérieur, on obtient d'abord outre celle de la circonférence donnée , Féqnation d'iuie ligne droite autre lieu géométrique des points de contact; combinant ensuite cette nouvelle équation avec celle du cercle donné , on parvient à trous er un autre cercle facile à déterminer de grandeur et, de position, sur lequel doivent aussi se Iroitver le^ mêmes pomts de tangence.

Transformations des coordonnées.

3o. Si les constructions à effectuer, maloré toutes les rccherciies que l'on pounait làire pour Jes abré^sr,

( 77 '^ étaient encore trop compliquées, on pounait placer les données par rapport aux. axes coordonnés, de manière à faire disparaître le plus grand noniLre de lignes relatives à leur position arbitraire. Mais alors la constractioa n'a lieu que d'après ces seuls axes principaux; il est vrai qu'ils ont souvent des position s tellement liéesà lafigure proposée, qu'une construction par les ordonnées et lesabscissciî , peutquslqiietbis se démon tfeu' s^nothétiquement.

La position la plus avantageuse n'est pas toujours évidente. On ne 5;ait pas toujours (pieiles lignes iJ faut supposer nulles ou égaies en grandeur, quelles directions doivent être perpendiculaires; parallèles aux axes coordonnés, ni mêtne quel doit être l'angle de ces axes. 11 faut alors chercher par la transformation des coordonnées dont les formules contiennent des indéterminées, <juelles sont les valeurs de ces constantes arbitraires qui coiTespoudent au but propose.

Le changement du système des axes est d'une grande uùlitépour dé^oilerles secrets de l'Analyse. La discus- <lou complète des lieux géométriques , la détermination de certains points particuliers, la démonstration, de l'identité de certaines lignes , enfin beaucoup de recherches précieiiRes, ne sauraient s'effectuer sans le secours de la transformation des coordonnées; il est m.ême des problèmes qui semblent ne pouvoir être résolus analytiquem^eut que par son emploi. Tel est celui qui suit.

Problème. Trouver le lieu géométrique du. point d'intersection de deux droites tangentes d une courbe du second degré , et perpendiculaires entre elles.

Je suppose d'abord que la courbe ait un centre ; son équation, rapportée à deux axes rectangulaires, sera de

(78) la forme

(i) 771X* + ny» = i;

Soient aeib les coordonnées du point I d'intersection des deux tangentes que je désignerai par T et T'; X, Y les cosinus des angles que forme la droite T avec les axes AX et A Y; X', Y' les cosinus de ceux que la deuxième tangente T' forme avec les mêmes axes- x'^y' les coordonnées variables par rapport aux tangentes IT, IT' recta ngidaires considérées comme axes ; toutes ces quan^ tités seront liées entre elles par les relations

x^Xx' + y'^ + a', ^==:Yx'-4-Yy-f-* (a), X' + X"=i. Y«-f-Y'*==i, XY-fXY' = o (3).

Si l'on élimme x et y entre les équations (2) et (i),

l'équation résultante

y'{mX'''\' »Y») + X ^CmX" -f nY') -f aa^^'(mX'» -f- nY'} -f. 2y(maX'-|-7tèY')-}-ûx'(maX-f n^'Y)+(ma'-f-w3*-.i) — o,

exprime la courbe rapportée aux axes TI, T'I. Puisque cette courbe doit être tangente aux nouveaux axes, il faut qu'en faisant dans son équation j'' =: o , ces valeurs de x' correspondantes soient égaies, ce qui donnera l'équation de condition

mn ( b'X^ -f- a*Y» — • aabXY) = mX* + nY* ; il (ànt aussi qu'en y faisant x'^=o, les deux valeurs de y' soient égales, ce qui donne une nouvelle équation de condition symétrique de la précédente

mn ( b*X'* -4- c»Y'« — aaiX Y^ ) =:mX'» + nT^; en ajoutant ces deux équations . l'équation résultante se réduit, en vertu des relations (3), à

cette dernière résout le problème. On y voit que îe lieu

( 79 ) géométrique demandé est ud cercle concenlriffue à î?i courbe donnée par l'équation (i). Si cette courbe est

une ellipse, les quantités —, - seront positives et égales

à A', B», A et B étant ses demi-axes , en sorte que le rayon du cercle sera l'bypoténuse d'un triangle rectangle dont A et B seraient les côtés. Si l'équation (i) représentait im cercle , le cercle (4) aurait pour rayon la diagonale du quarré du rayon donné, ce dont il est aisé de s'assurer d priori par la Géométrie simple. On l^erra aisément que si l'équation (i) représentait une

liyperbole, une àes quantités ~, - étant négative, sui-

vant que l'angle des asymptotes dans lequel se trouve la courbe, sera plus petit , égal ou plus grand cpi'im droit, le lieu géométrique sera un cercle, se réduiia à un point, ou n'existera pas.

Si l'on répétait les mêmes calculs, en supposant quela courbe donnée fîit une parabole, on trouverait sa directrice pour le lieu géométrique demandé; d'ailleurs, en considérant la parabole comme une ellipse dont les

axes A et B sont infinis, et le rapport — fini et égal à j?,

on prouve aisément que le cercle (4) se réduit à une ligne droite, c'est-à-dire à un cercle de rayon infini, ou dont la courbure est nulle. En efifet, l'équation du cercle rapportée au sommet de l'ellipse est

et donne/>4-3û = o lorsque -^ = o, - =/?. Ainsi on peut conclure généralement que si le lieu géométrique

( So )

demandé existe, c'est un cercle concentrique à la courbe du second degré donnée.

Par des calculs identiques auxprécédens , on peut résoudre les deux problèmes sid\ ans.

Trouver le lieu géomctrique de l'intersection de trois pUtTi s rectangulaires tangens â une surface du second degré.

Trouver le lieu géométrique de l'intersection corn-* jnune de trois droites rectangulaires tangentes à une surface du second degré.

Si l'on suppose que la surface soit représentée par i équation

ces lieux géométriques seront

pour le premier ;

\îi p/ ' \m p/ \m nj mn pn pm

pour le second. En sorte que si la surface du second degré était un ellipsoïde aux axes 2A, liB, 2C, les lieux géométrique-i lui seraient concentriques; le premier représenterait une sphère de ravon V A'**+-B*-t-C* et le second Feiiipsoïde qid aurait pour axes

L'ellipsoïde donné poun'ait se réduire à une splière de ra von R ; alors les (ieux lieux géométriques seraient deux sphères con cent riqîies entre elles et la proposée ^ l'une

de ravon R V 3; l'îii^^trc de rayon R V|.

(8. ) Symétrie.

3i. Il feut remarquer dans la solution précédente, (pie la symétrie de quatre équations entre les quatre mconnues X , Y, X', Y', a suffi pour les éliminer toutes, et obtenir une é({uation finale indépendante de ces inconnues.

En général, la symétrie entre les données d*un problème abrège, diminue, les travaux du calculateur j on ne saurait rejeter un principe qui fournit des moyens d'élimination si rapides, qui simplifie les immenses résultats de l'Algèbre, et seit à les démontrer, à les énoncer de la manière la plus élégante.

Ilarrive quelquefois qu'un problème misen équation, établit une symétrie réelle entre les données et les inconnues. Cette symétrie remarquée, étudiée avec soin , met la solution demandée sous la puissance du calcul ^ pour ainsi dire au moment où il s'y attend le moins.

Pour donner un exemple de ces heureuses rencontres, je me propose de résoudie le problème suivant par la Trigonométrie.

Problème. Construira un triangle équilatéral gui ait ses sommets sur trois circonférences concentriques de rayon donnés.

Soit ABC (fig. a5) le triangle demandé, x son côté, O le centre commun des trois cercles donnés, OA =« , OB=:ô, OC:=c leurs rayons. L'un des angles égaux du triangle équilatéral, l'angle BAC par exemple, est égal à la somme ou à la différence des deux angles CAO, BAO, dont les cosinus sont

e„,CA0 = 2l±^^i. co. BAO = '• + "•-»

aox a^ •

(82 ) on a donc réquation

arc ( cos = — ] 3: arc f cos= ) ir:= = o,

\ s.ax J \ aux J 3

Cette équation est symétrique en a et x. On déduit de cette remarque , que si les trois circonféreûces concentriques avaient pour rayons b,c, x, a serait le côté du triangle équilatéraî demandé; si donc on inscrit entre les deux circonférences de rayon b et c, ime droite ÎVI]N = a, que l'on construise sur cette ligne un triangle équilatéraî MINP, la ligne inconnue x sera égale à la distance OP du sommet isolé de ce triangle équilatéraî au centre commun des cercles donnés. Il est aisé de voir qu'il y a deux solutions, c'est-à-dire, que l'inconnue x est susceptible de deux, valeurs. Deux constructions sem- Llables auraient encore été indiquées si l'on avait considéré l'un des angles ABC, BGA.; et comme les trois triangles IVINO de ces trois constructions ont les cotés égaux, on en déduit la proposition suivante.

Théorème Si sur les trois côtés d'un triangle ABC (fig. 2Cy),oncG7istruit des triangles éqnilatéraux ABM^ ACIN, BCP, les lignes AP, BN, CM serc-nt égales.

Et en eôét , par un raisonnement semblable à celui dont on fait usage dans la proposition du quan^é de l'iiypolenuse, on prouverait que les triangles ABN, ACM sont égaux ainsi que les triangles ABP, MBC, que par consécpieîit BP^' = AP=CM.

Il est d'ailleuj's très aisé de voir que ces droites se coupent en un même point. En effet, si nous considérons la droite AP, elle coupe en un point O le cercle CPB, partage l'arc CPB, et par suite l'angle BOC=:| d'angle droit en deux parties égales- d'où il suit que BOA

(85 ) =COA ={, que les Hgnes CO, BO opèrent pareiUement la bisection des angles AOB , AOG, qu'elles passent donc par les points M et N milieux' des arcs AMB, AjNB appartenans aux cercles AOB, AOC J es droites AP, BN, CM se coapeatdoncen un mémepoi^nt

i U. U après cela, il est aisé de résoudre le problème

I suivant,

Problè^. Trouver sur le plan d'un triangle un point d'où ses trois cotés soient vus sous un même angle.

C'est aiusi que la Synthèse en démontrant un théorème que l'Analyse à trouvé, en fait une proposition asolee, d ou peuvent encore découler plusieurs autres propositions.

Méthodes indirectes.

32. Une des preuves les plus incontestables de la richesse , de la généraHté de la Géométrie , c'est sans contredit le secours qu'elle tire des sciences qui lui doivent sinon leur naissance, du moins leur accroissement et îeurclarté- carsila science del'étendue prête ses figures aux autres sciences exactes et naturelles qui les considèrent à leur manière, soit avec la rigueur des démonstrations, soit avec l'incertain de l'expérience, elle peut souvent déduire de ces nouvelles considérations qu'on lui croit absolument étrangères, des principes à démontrer, quelquefois même les points de départ des ■ plus belles théories.

' La Mécanique est sans doute la science qui promet le plus de découvertes à la Géométrie; la Statique emprunte souvent sa synthèse, ses principaux théorèmes,

et hii donne en échange, soit une nouvelle démonstration d'un principe déjà connu, vSoit la solution d'un problème dont elle a traduit Ténoncé dans son propre langage. C'est ainsi qufr la recherche du centre de gravité d'un triangle , prouve que les lignes qui joignent le* sommets et les miheox des côtés opposés, se coupent toutes trois en un. même point. Quelquefois la j^cience de l'équilibre se fa it un jeu des problèmes les plus difficiles de la Géométrie, et va quelquefois de pair avec les calculs les plus élevés de l'Analyse ajgébricjue-

Les maxima etminima des distances ou des sommes de distances, sont sauvent l'écueil de la Géométrie» de l'Algèbre même; et beaucoup de problèmes sur les extrêmes grandeurs resteraient sans solution , si le calcul infinitésimal ne s'en était occupé. Un des grands avantages de la Statique dans ces sortes de questions , si toutefois elle peut les traduire, c'est défaire connaître les relations que les conditions entre les longueurs établissent entre leurs directions respectives, car il n'est pas d'équilibre qui ne soit du autant à la direction des forees » qu'aux rapports de leurs intensités. Comme cette transformation des lignes aux angles est souvent très difficile à trouver parla Géométrie simple, il n'est pas étonnant qu'elle se présente alors inférieure à la Statique, comme on peut le voir dans la solution suivante.

Problème. Trouver un point tel, que la somme des distances de ce point à trois points donnés soit un minimiim.

Si l'on suppose trois anneaux fixés aux points A, B, C (fig. 27) , et un quatrième attaché au point O extrémité d'une corde , laquelle passera successivement par

(85) ies anneaux fixe B, A , par l'anneau mobile O, et enfin, par le quatrième fixé en C • il est évident qu'une force quelconque qui tirerait le cordon suivant CM, sera en équilibre avec la résistance des anneaux fixes, lorsque la somme des cordons partieb sera un minimum; le point demandé est donc la position de l'anneau mobile O, lorsque l'équilibre à lieu. IVlais les cordons partiels AO, BO, CO doivent être tendus également; l'anneau

0 est donc tiré suivant ces trois directions par des forces égales; si donc l'équilibre à Heu enti-e ces forces, il faut qve U du-ection de l'une quelconque d'entre elles divise

1 angle des deux autres en deux parties égales , ou ce cpii revient au même, qvie les angles ACB, AOC, BOC soient égaux entre eux et aux quatre tiers de l'angle «Iroit.^Le point demandé sera donc l'intersection de deux'segmens capables de >- d'angle droit, construits sur deux deà côtés du tr langîe ABC, Le dernier problème du ebapitre précédent donne encore un moyen de déterminer le pomt O.

ïl pourrait arriver que Tun des angles du triangle, Tangie A par exemple, ftU plus grand que | d'angle droit, alors K construction ne serait plus possii>le. Mais il aisé de voir que le point demandé serait ie sommet A lui-même. En effet, si l'on conçoit que ce point soit toujours situé .nir la ligne AO, le point O intérieur au triangle ABC satisfera toujours au problème, même si le point A se confondait avec lui, c'est-à-dire si l'angle A était égal à f d'angle droit: à plus forte raison ce point Asera-t-il encore la solution du problème, lorsque l'angle A sera plus grand que f d'angle droit.

Par une supposition entièrement semblable, on prou-

( S6 ) verait que le point qui jouil de la propriété de donner un minimum pour la somme de ses distances, à autant de points fixes que l'on voudra, est celui autour duquel seraient en équilibi'e autant de forces égales dont les directions serait, assujéties à passer chacune par un des points donnés. On peut exprimer analytiqueraent que l'équilibre a lieu relativement à tes mêmes directions, car on doit a\ oir en désignant par X, Y, Z les angles que forme l'une d'entre elles avec trois axes rectangulaires quelconques., par XV Y', Z'ies mêmes angles pour une seconde direction , et ainsi de suite

(i) cos X 4- cos X' -4- cos X* -{- etc. = 0 , cos Y -f- cos Y' -f- C03 Y" -i". . . = o , coa Z -f- cos Z' -f- cos z* -f- . . . =0.

Si les points donnés sont situés dans uu même plan, l'équilibre sera enîièrement exprimé par les deux premières équations. Si de plus les points se réduisent à trois, on aura

cos X -f- CCS X' = — cos X*, cos Y -f- cos Y' = — cos Y".

Ajoutant les carrés de ces équations et observant que cos*X -j- cos*Y = 1 ,

COS»X'-f C03»Y'= 1 ,

coa^X''+ cos'Y" == 1 , et cos X cos X' -f- cos Y cos Y' = cos Y,

Y étani: l'angle formé par les directions OA et OB, on trouvera 2cos V «4* i = o; l'angle V est donc effectivement égal à f d'un droit.

Si les points sont au nombre de quatre, toujours daas un même plan, les équations

coa X -f- CCS X' = — (cos X" •+- cos X*) , CCS Y 4- cos Y' = — ( cos Y" -f cos Y"} ,

{ 87 ) dont on déduit en ajoutant leurs quarrés

cos Xcos X'-h cos Y C03 y'= cos X" cos X- + cos Z'cos Z'",

indiqueront pour le point demandé, le point d'intersection des diagonales du quadrilatère.

Le Calcul infinitésimal donne aussi les équations (i). En effet, si a , ^ , ;^,, a', ^', y, etc. , sont les coordonnées des points donnés, x, y, z celles du point cherche, la somme des distances sera

et devra être un minimum. La différent la t ion successive par rapport aux trois variables, donne des équations identiques avec les équalions (i) trouvées précédemment.

33. Nous avons à peu près passé en revue tous les moyens que le géomètre peut employer dau^ la solution des problèmes. Il est vrai que nous n avons lait qu'effleurer plusieurs d'entre eux , pour nous attacher aux principaux 5 peut-être même ceux que nous avons négligés, ont Us une marche plus difficile à suivre que les autres. Mais le degré d attention que Ion doit apporter à un sujet quelconque doit toujours être proportionné à son degré d'utilité.

Nous aurions peut-être dû approfondir un peu plus cette méthode mixte, où des considérations purement géométriques fournissent des équations étrangères à l'Analyse deDescartes. La recherche de ces sortes d'équations officies mêmes difficultés que la Géométrie simple; et SI leur résolution ne dépend que de l'Algèbre, elh entre souvent pour la moindre partie dans la solution des problèmes. On peut d'ailleurs appliquer à la fois à

(88) cette méthode mixte, les principe? qne nous avons énoncés en traitant séparément des méthodes simples qu'elle renferme.

Je ne ferai que citer pour exemple la théorie de la cristallisation si élégamment traitée par son auteur. De simples considérations géométriques Tont conduit à ses calculs, et cette méthode ofire ici ce grand avantage, qu'en ne perdant pas, pour ainsi dire, la Géométrie de vue , il est phis facile d'interpréter à son profit les résultats de l'Algèbre.

34. Ce n'est pas que cette théorie ne puisse se calcu- Icj' par abscisses et ordoxmées ; cette manière d'aborder îa question côre même de son côté de grands avantages. Mais peut-être serait elle ia&uÛisante si l'on chercliait à connaître les rapports des longueurs, plutôt que les angles des cristaux Peut-être aussi ce nouveau calcul e3.igerait-il des connaissances mathématiques un peu plus grandes, du minéralogiste qui voudrait étudier cette théorie, et que peur reniédier à cet inconvénient les méthodes les plus élémentaires sont toujours préférables.

Cependant , pour prouver que l'Analyse de Descartes n'est pas incapable de traiter une des plus belles applicatioric: du calcul à la Géométrie ^ je vais indiquer la marche que l'on pourrait prendre. Si je réussis à donner une analyse simple et facilement apphoabie, je m'applaudirai d'avoir jfeit rentrer sous le domaine d'un calcul qui doit être général, im sujet qui semblait le fiiir Et si, malgré mes tentatives, ce calcid se trouve compliqué, on ne poun-a du moins rien conclure contre î» généralité de son application.

(89) Préliminaires.

Les axes que nous considérons serout obliques; nous désignerons par a, ^, > les angles YAZ, XAZ, XAY. L'équation du plan sera toujoui s mise sous la fomie

les quantités m, », p que j'appeilerai les paramètres du plan, représenteront alors les djistances de l'origine des coordonnées auA points où, le plan vient rencontrer les axes des x, desj^ et des z

Dans ce système d'aies, la distança d'im point dont les coordonnées sont x, y^z à rorigine , est exprimée par la formule

D* = x*-4"V*-t-i*-t- <ï>zcos-4-2rzcoâ»-|-axy cos>; et pom* avoir la distance entre deux points dont les coordonnées soient x. y, z pour le premier, x', y, x' pour le second; ii suûiLd'y changer x^y, z en [x — x'\

Cette formule peut se démontrer ainsi qu'il suit.

Supposons par le point M (fig. 28), MJP parallèle à AZ, Kî à A Y et menons APA'. Le triangle APM donnera

r>» —*• 4- apV 2& . Ip cos mpa'.

Mais le triangle APQ donne

AP = a:* -f- y* -f a^' cos y > et la projection de AP sur AZ étant égale à la somme des projections de AQ et de QP, on a AP cos MPA' y= X cos ^ -\-y cos a.

Substituant ces deux valeiu-s dans D% la formule préoédemment énoncée sera démontrée.

(90) La foraiiile qui donne le cosinus de Fangîe que forme les deux droites, dont les équations sont 5? = az, v = bz pour la première , et x:=sa'z 5 j' = è'z pour la seconde , est alors

-, i-ha*' -hbC-h (ni'-f-rt'/j) cos v + (i -f- h') ces «-f- (a -f- a') cas C tos V s^ . . .- — . .

y i-i- a» -i- b* -h'^ab cos y-i-ia cos C-h 2ècosaV^i + a'»-f- i/* -f-etc.

Pour la démontrer, soit pris sur la première droite im point M aux coordonnées x,y,z, et dont la distance à i'orig^ine soit l'unité j soit également pris sur la seconde droite un point M' aux coordonnées x', y\ z , tel que AM' = AM = i . Le triangle MAM' donnera cos V

2 — MM' c? 1 • 1 1 1 *

= . substituant la valeur de JVJM' en fonction

àest.y.z, x' , y' , z\ et observant queÂ^Ï=:ÂM'= i, on aura

cos Y= \z2!-\-xx' -\-yy -f- {xy' ^y x) cos y -f- {yzl-^-y'z) cos a

-j- {xz! -f- xz) cos«.

Si dans l^s équations qui expriment que AM == i , AM'' = i , et dans cette valeur de cos Von lait x=az, y:=hz^ x'z=.az',y'^=^b'z', ces équations ne contiendront plus que z et z'-, et si l'on élimine ces deux quantités , le résultat sera la formule à démontrer.

Pour trouver Téquation d'une droite perpendiculaire à im plan , il suffit d'exprimer que la droite est perj>endiculaire aux traces de ce plan.

Soit (i) x = az^y:=zbzy les équations inconnues de la perpendiculaire, et

celle du plan donné; sa trace sur le plan desj/z a pour

équations xz=:o,y:=^ z-^n. On exprimera (jp.i'ene

est perpendiculaire à la droite (i),en exprimant que

cos V est nul , lorsqu'on y fait a' = o , 6' =— • - , ce qui

donne entre a et ^ une première équation de condition

( - — - cos« ) 4-a(- C06ta cosy ) -f- b f -cos« l = o.

On peut en déduire l'équation exprimant que la droite (i) est pejpendiculaire aune autre trace du plan, en y changeant les lettres b,C et n., en a^ oL^rn, et réciproquement, d'où

( COsC )-f-^f — COS«f cosy ) -f-ûf -COsC J::=0.

\m p y \Tn p / ' \m p/

Ces deux expiations donneront les valeurs de a et ù y et les équations de la perpendiculaire au plan seront connues.

Pour calculer les équations d'une perpendiculaire à l'un des plans coordonnés, par exemple, au plan des xy^ il suffira de fane dans les relations précédentes

— = o, - = o, ce qui les réduira à

d'où bz=

a cos y + ^ + coi « = o , a-^b coj y -f- cos Ç z±T c ,

cos a. — cos te cos y

sm-'y

cos C cos * cos y

sin^y

Si a=:^ = ^, ces valeurs se réduisent encore à

1^ cos «

J -f- cos et

JSous rappellerons que l'angle de deux plans est le

f 9=» ) même que celui formé par deux perpendiculaires à ces plans, et que celui d'une droite et d'un plan, est le complément de Fangle de cette droite et de la perpendiculaire au plan„

Du paraîïélipipède.

Supposons d'abord que la forme primitive soit un paraîïélipipède quelconque dont les arêtes soient A, B, C, et les angles &, ^, ^. Prenons les axes parallèles aux arêtes. Les huit angles solides formés par ces axes correspondent aux huit angles -Solides du cristal. De sorte que si Ton veut considéier un décroissement sur un de ces angles , il suffira de considérer la fùce qui en résulterait sur l'angle à l'origine qui îui correspond. ÎNous supposerons toujoijif s ies plans de décroissemens menés par cette origine parallèlemeat à leur direction ; supposition qui nous est permise, pmsque nous ne voulons calculer que les angles de ces différens plans.

Voyons maintenait comment nous feroos pour trou- Ter l'équation de ces plans. Considérons l'un des angles solides du cristal, par exemple, celui qui correspond à l'angle de l'origine dans lequel les coordonnées sont positives. Le décroissement sera le plus générai possible j s'il a lieu par une ioustraction de m fois î'ar été A suivant AX , de 7i fois Taréte B suivant î'ajte A Y, et àep fois Taréte C suivant l'axe AZ, les trois nond^res m,n,p étant différens; d'où il suit que les paramètres delà iàce résultante de ce décroissement, seront proportionnels à niA, nB, ^?C. L'équation d'un plan qui lui serait parallèle, mené par l'origine sera donc

(93) Si le décroissement avait lieu sur un autre aogle solide du cristal primitif, il faudrait pareillement considérer l'angle à l'origine qui lui correspond. Pour comprendre tous les décroL«isemens dans une seule équation, il sufiit d'indi(juer que les paramètres sont susceptibles de cl^anger de signes , ce qui donnera

mA nB pC Si 1p décroissemeot est du genre que M. Haiiy à nommé intermédiaire, les nombres m, riy p sont tous diliérens ; s'il a lieu sur un angle sans être intermédiaire , deux de ces nombres sont égaux ; enfin , si le décroissement a lieu sur vme arête, un des nombres tw , n^p est infini , et l'équation du décroissement est de l'une quelconques des formes suivantes

mA

mA

nB

L'axe du cristal est ordinairement supposé parallèle à l'une des arête» j quelquefois il joint deux sommets

aigus j et ses équations sont alors de la forme -^-=5 =^'

L'angle qu'une Êice de décroissement fait avec l'axe, est complément de celui que fait cet axe avec une perpendiculaire à la &ce. L'angle de deux faces est le même que l'angle formé par deux perpendiculaires à iems plans. Les formules préliminaires dormeront le moyen de calculer ces angles s'il en est besoin. Enfin, si l'on •veut calculer les angles plans d'im cristal, on cherchera

( 94 ) les angles formés par les droites , intersections delà face que l'on considère et des faces adjacentes.

Cette méthode a cela d'avantageux que l'on peut troiwer immédiatement l'angle que fait telle face d'un cristal secondaire, avec telle face d'un autre cristal, pourvu que l'on connaisse les décroissemens qui font naître ces deux faces.

Applications.

Si le cristal primitif est un parallélipipède rectangle, les cosinus des angles a , C, ^ sont nuls. Les formides préliminaires se simplifient singulièrement, aussi le calcul des angles est-il beaucoup plus simple.

Si le parallélipipède est un cube, on a de plus A= B =C, et l'écfuation d'un décroissement quelconque est de la forme

la valeur de cosinus Y est

cos V s=-

V^i + a^ H- è V 1 + a'* + ^'** les éc[uations d'une perpendiculaire au plan

sont x= — z, v=^e.

Proposons-nous de calculer l'angle de l'octaèdre régulier, cristal secondaire provenant d'un décroissement d'une rangée en largeur et d'une en hauteur sur les angles du cube. Il suiHra de fairep=:/n=/z=3 13 les

(95 1 équations de deux, laces adjaceutes seront

Si a et 6, dans la valeur de ces V, appartiennent à la perpendiculaire au premier de ces pians, leur valeur sera + i . Si a' et b' appartiennent à la perpendiculaire, au second leur valeur sera — i, en sorte (jue cos V=^ .

Pour calculer l'angle plan on observera que la l'ace

est adjacente aux deux faces

ar--^-î-a = o, — jc-f-^ -f- î = o; son intersection avec la première a pour équations

son intersection avec la seconde

Si donc on fait dans cos V, a = — i , bt=.o^ a' = o b'=-- I, on aura cosy = ^, d'où V = ~;eteneflet, chaque face de l'octaèdre est un triangle équilatéral.

Le dodécaèdre rhomboïdal provient d'un décroissemeut d'une rangée en largeur, et d'une en hauteur sur les arêtes du cube. Les équations Je ses faces seront

x±.y = o, x±iz=zo, y:izz=zo,

et il y aura deux angles à considérer, celui que font les faces

a;-f-2 = Oj X — a = o,

et celui que font celles représentées par les équations

(96) Les équations des perpendiculaires aux deux premiers plans donnent a =1, b = o, a'=:— i, 6'=o, d*où cosY=o, V= loo*.

Les équations des perpendiculaires aux deux autres plans donnent a= i , 6=0, a' =o, b'=- 1 , d'où cosV = -i-, V = 66'f.

Quant à Tangle du rhombe, on observera que la Êice ar— j'ssso est adjacente aux deux autres «-4" 2 = 0, je — jsc=oj son intersection avec la première a pour équations .r'-|-«=*o,j'-j-z=o, son intersection avec la seconde a?— r = o,j^ — z=o. Donc, en supposant a=— i,6=— i,a'= i,6'=:i, on aura pour cosV,|. On pouvait prévoir ces résultats en observant que le dodécaèdre peut provenir d'une troncature tangente à tous les angles de l'octaèdre.

Le dodécaèdre pentagonalde la Minéralogie, provient d'un décroissemfflit d'une rangée en largeur et de deux en hauteur sur les arêtes du cube. Ses faces auront pour équation

i y -i* i- ar

zi:-i = o, x±:-=o, y±:-=o.

Les angles formés par leurs plans sont de trois espèces. Le premier, formé par les fîices z -f- - = o,z — -^-szso^ donne cosV = — f. Le second, formé par les Ëices z-f- i-=co, flp-|--=o, a pour cosinus |j et enfin, le

troisième, formé par les faces x-f--=o,5p— -=o,a pour cosinus j.

Les angles du pentagone sont pareillement de trois espèces. Le premier est formé par les intersections du

(97 ) plan T — -==0, el des deux autres jz=t:-^ = o, k.s-

queJlcs ont pour équalions x=^z,y.=:2z, xz=:~ z j/=: — 2Z) faisant donc «==î, 5 =-2, «'=^=^,0'= — 2.

on aura pour îe cosinus de cet au^le ces >'=:= l. L»

deuxième est formé par les droites d'iiAtersection du plan X — ^ = o j et Aqs deux autres :; - — -- = o , v-f-^^—Q

lesquelles ont pour équations *= | s , j-'= 2z .r y = — ; 5: ; les hypothèses a = a' = | ^ ^î =; 2 , ^':::= donnent cosY== — ^. Enfin, îe troisième est il.rrné

par les ijitersectlons du pian x — |=o, avec les autres

plans ,r -f- ~ = o , jK -4- ^ =:: o : ces intersections ontpour

équationsx=o,r=ir,.T=ic,jK=— is,etlecosV devienl — --'--^, e« y supposant ht=z^, «'==:-!•. ^,'^1.

Les plans du dodécaèdre penîagonal et ceux de l'octaèdre donnent par leur ensemble l'icosaèdre. On parviendra aisément à calculer les angles de ce solide, puisque l'on connait les équations de toutes ses laces: je me dispenserai de les c}jercîier, et de calcider pareillement les élémens du trapézoèdre solide qui peut dériver du cube par un poinîement à trois faces sur les angles. Mon but n'est pas de donner îa théorie coni- })îète de la Cristallographie, mais seulement de laisser entrevoir comment onpourrait la développer au moven des calcids précédens.

SileparaliélipipèdeestdugenredeceuxqueM.Hauv a nommés rhomboïdes . on a a = ^ ==: ^^ et A =B= C, L'équation générale des décrois^emens est

(9») la formnie cpi donne Fangle de deux droites donue

co^V

Les ,éqijat ions d'iaïc perpendiculaire au plau

m n p rn cos et

sont î^ = "inrjrï — zt" ""'

p 771 n p cos cf.

n m p nco^a

p m n p cos a

Les troncatures sur ies sommets auront pour équation

Si^Z -L -=:o: celles qui ont lieu s\.\r les angles laté-

vaux seront représentées par les trois équations

TU rt- p

L'axe du rhomboïde a pour équations jr=r^=sr. Pour que les troncature;? latérales lui soient parallèles, il faut Gue leiws équations soient satisfaites par les hypothèses

a;=::=r = ^j c'est-à-dire qu'il faut que l'on ait — = - -+r - Si le décroissement qui donne lieu à cette tron-*

cature sur l'angle n'est pas intermédiaire, on doit avoir «=:r)j le cristal secondaire sera un prisme hexaèdre

(99) régulier si «=:- 2m, car alors ces faces seront parallèles

a l'axe. Si le décroisscmeut a lieu sur les arêtes, - = o.

11 faut alors que m = »pour qi»e le cristal secondaire soit encore un prisme hexaèdre.

En général, les troncatures latérales conduisent à des dodécaèdres; et les troncatures sur les arêtes du sommet à des rhomboïdes. Les formules préliminaires donneront le moyen de calculer tous les angles de ces solides.

Par exemple, les trois faces d'un rhomboïde secondaire peuvent être représentées par les équations —

-•J — = o, — -| — = 0, {■' - =0. Les éqnations de

la droite d'intersection des deux premiers plans sont 3e=: — — Zjj'sr:— 2; celles de l'intersection du pie -

mier et du troisième sont pareillement x:=:—z,

V = z. vSi donc 1 on lait a =: , 6=-ri a =-^»

5' = danscos Y.onaural'artgleplan du rhomboïde.

Dans le cas particulier ou m=;«,ona a=— î,^=ï, o'=i,Z>'= — \ etcosV=;r ,rc = cos6t).

Le parallél ipipède peut être encore tel, que sa base repose sur les arêtes; alors deux des angles a, ^, ^ seulement sont égaux. Il peut être oblique àbase rectangle^ ou droit à base obhqiie. Eniin, sa base peut être un rhombe : ces cas particuliers produiront degrand<'S simplifications dans les tbrmules générales. H est extrèmt-

( xoo ) ment rare que ie paraîléîipipède soit parfaitement î régulier.

De V octaèdre y du tétraèdre , du prhnie hexaèdre

Si l'on veut stuJenient placer l'octaèdre le plus symétriffiiemerit possible, on peut prendre pour axes coordonnés ses trois axes de /igme. Soient 2A, 2B, 2C leurs longueurs; les équations des faces de ce polyèdre seront

■ f __ *T" 'al. T "^-~" 2 •

si sa base était un rectangle, il vaudrait mieux prendre les axes coordonnés qui doivent être silués dans son plan , parallèles aux côtés de ce rectangle. Les équations des faces seraient alors de la forme

Le tétraèdre a toutes ses faces parallèles à celles d'un octaèdre; il peut donc être placé de la même manière que lui, par rapport aux axes coordonnés; c'est-à-dire, que ces axes peuvent joindre deux à deux les milieux de deux arêtes opposées et non adjacentes. Si l'octaèdre et le tétraèdre sont réguliers , le système d'axes sera rectangulaire ; si l'octaèdre est symétrique et le tétraèdre ilrégulier, le système sera oblique.

Les axes seront ainsi placés de la manière la plus symétrique par rapport aux corps que nous considérons. Mais comme M. Haûy est parvenu à faire dépendre le calcul des décruissemens sur l'octaèdre et le tétraèttre, de celui des décroissemens siu- le paraîléîipipède , il vaut mieux prendre alors pour Fangle solide à l'origine un des angles solides du tétraèdre. Dans ce cas, les plans

{ lOI ^

passant par cette origine parall'èlement aux faces de l'oc taèdrCj seront représentés par les équalions a: = o,

j' = o,£ = o, ----}-^-f"?^=^'j-A^>I^> C étant les trois

arêtes du tétraèdre contiguës au sommet que l'on considère.

Quant au prisme hexaèdre et au prisme triangulaire , la réunion de deux prismes trbDguIaires forme aussi un parallélipipède , ce qui ramène encore le calcul des déci-oisscmens sur ces nouveaux corps, à la théorie du parallélipipède que nous avons décrite précédemment.

Je me dispenserai de développer comment M. Haiiy est parvenu à mesurer les anales des cristaux secondaires de la nature, et à déterminer les nombres relatifs aux décroissemens. 11 me suilira d'observer que sa méthode est applicable à toute Ibnnule générale qui donnerait les angles d'une forme secondaire cpielconfpie , et que de telles formules peuvent s'obtenir au moyeu des calculs précédens.

35. Un des grands caractères de la généralité d'un calcul, c'est la facilité avec laquelle on peut l'appliquer à des questions totalement ditierentes. Les formides qui nous ont servi dans la théorie précédente , peuvent être utiles dans toutes les questions sur les surfaces qui exigeraient que les axes dissent obliques. Pour prouver en quelque sorte cette assertion , je rapprocherai de l'application précédente de ces mêmes formules, une autre application non moins Utile, mais sur un sujet bien différent.

La détermination de l'inclinaison des couches minérales par le sondage, dépend de la solution de ce problème : i)<r'ter/7î2/z^r /'««^/c apec V horizon cV un plan

dont or? connaît trois potnls , questiofi qui peut se traiter delà rnani<ïre suivante.

Soiriil A, B, C (fig. 3o) les projections horizontales des points donnés ou 'es ouverlmes de trois trous de sonde; je désignerai par ^, «y', q" les cotes BC, AC, AB du triangle ABC, par y Tangle BAC, par p, p' •, p" les ordonnées verticales des poiiils donnes, ou les profondeurs des Irons de sonde A, B , C. On peut prendre pour axes coordonnés les droites AB, AC, AP, car comme ce système d'axes n'annule aucune des quantités j9,j7^, ^", ç, q\ q\ la formule finale ne laissera pas que d'être symerrique, par rapport aux élémens nui déterminent la position des points donnes.

L'équation du plan Pp'p^' sera de la forme — -f-- + - = i . Pour résoudre le problème , il sufht de calculer p *

l'angle que forme la perpendiculaire à ce plan a\^ec la droite AP. Si nous désignons par a et ft les con^tant^^fi qui déterminent les équations de celte perpendictdaire, les formules préliminaires donneront pour le cosinus^ el par suite pour la tangente de cet angle »

y i-f-^^-f-^^+saècosy les mêmes formules donnent encore pour déterminer a. by 'es équations

ti cos y -^ è C=r ^ ,

a-f-^cosy..^ — :

TU

si donc on en déduit îcs valeurs de ces constantes et qu'on les substitue dans tang Y, on trouvera , toute

( .03 ) réduclion faite^

tang V

/l \ 1 2 COS y

—P y TZTcôs^T »

ii ne s'agit plus que de calculer —, -, et cos y en fonction de p, /?',/, q,q',c{'\

l.cs (races du plan sur ceux des :cz et des yz devant passer par les points P', P", on doit avoir

d ou — =:: ^ f- . - = ' 7-,

tn pq n pq

D'ailleurs le triangle ABC donne

cos y = ' — —-y-i — ^.

La substitution de ces valeurs dans tang V fconduit à

ou ce ([ui revient au même,

targ Y = r.arï: ABC

La symétrie de cette formule la rend d'un usage facile pour la pratique.

Dans le cas particulier oiip'==p" elle se réduit à

tang Vrn:^ >^ ^rj ^^ ^'^^^ désigne par h la perpendi-

cidaire abaissée de A surBC, on a deux surf. ABC= çh,

d'où tang y = ^ , - , ce qu'il est aisé de vériiier par la

Géométrie.

( îo4 )

Od peut toujours ramener le problème à ce cas par-^ ticuliei', eoclierchantsurla iigne PP"clontles équations

sont a;:=o j ~-f- = i, le point dont Tordonnée verticale serait égale à jp'; or on a pour dé! erminer sa coor-

Il p subëtitiiant - troiwé précédemment,

donnée v?l'éqiiation--f-~ = i , ce qid donne , en y

Si donc on voulait déternikier la direction de la couche, ou ce qui est la même chose ujie horizontale parallèle au plan , il suffirait de prendre sur AC une

longueur AD = ~-f^ — —' la droite BD serait la direc-

tion demandée. La distance perpendicalatre P entre deux couches parallèles, est facile à calculer d'après cela, lorsque, l'on connaît leur distance D sur la verticale; la simple considération du triangle rectangle dont D est l'hypoténuse et P lun des côtés conduit à P = DcosV. '

36. Les calculs précédons sont fondés sur la forme dont nous nous sommes servi pour l'écpiation du plan. Cette forme établit une espèce de symétrie entre les coordonnées ar, y, z, en les rapprochant séparément des quantités qui ont avec chacune d'elles un rapport plus immédiat qu'avec les deux autres. I^e plan n'est pas le seul lieu géométrique dont l'équation puisse posséder cette symétrie. Les lignes et surfaces comprises

dans les équations |-r- = i et — 4-'; — i =f

( io5 ) jouissent de la même propriété. Cette symétrie rem) mémeleur élude très facile, et la discuasion suivante en sera la preuve.

Théorème sur les courbes et surfaces qui ont pour

équations

La combe — -f''<-=i rencontre les axes en des a* b'^

points distans de l'origine de a et de b.

L'équation de la tangente à cette courLe au point x,

y peut se mettre sous îa forme

les points où cette tang-ente vient rencontrer les axes,

sont distans de Torifiine de —^ — et de ——•ces

quantités seront moindres ou plus grandes quea, è, suivant que l'exposant a sera plu s petit que Tmiité ou la surpassera. D'où il suit que la courbe est convexe du côté des axes lorsque rt<i, et concave pour a> i. On 3'assurera aisément que dans le premier cas les axes sont des tangentes à la courbe, que dans le second ce sont des normales.

Les seules constantes aeib suffisent pour déterminer cette courbe; nous les désignerons sous la dénomination commime de paramètres. Cela posé, on peut déduire de ce qui précède que les paramètres de la tangente au

( io6 ) point j*',y, de îa courbesont entre eux dans le rapport

de a

Parmi les courbes que nous discutons, ou distingue i". Lorsque a=: i, la ligne droiîe - -4--? = i.

2°. Lorsque <£= 2, Tellipse -^ -|--{^ = i.

3". Lorsque ct==— - i, J'hjpprboie rapportée à deux

parallèles a ses asymptotes - -f-- = j.

4°. Lorsque fit=:-î, la parabole rapportée à deux de

jpâ y»

ses (angenles — -f- t = i-

S*'. Enfin, lorsque «5=f , la développée de l'ellipse

fl3 è'3

Pour que l'origine des coordonnées soit le centre de îa combe, il faut que a. soit pair, les exemples (2*), (5*) sont dans ce cas; la coUrbe est alors symétrique par rapport aux deux axes coordonnés Lorsque l'exposant a c^t impair, l'origine descoordonneesn'e=5tpasle centre de la courbe , cette courbe n'est pas symétrique par rapport aux axes, et même lorsque a est plus petit que l'unité, la courbe ne sort pas de l'angle des coordonnées positives, ex. (^i") (4*).

L'exposant a seul caractérise Tespèce de courbe que Ton considère; et pour cela, je désignerai par combe cty courbe Cj celles dont les exposans seraient a. et C

Imaginons que l'on donne pour paramètres à une courbe a, les coordonnées (Tun point, que nous nom*

( I07 ) merons directeur^ seulement assiijéti à se trouver sur une aulre courbe Q invaiiable, que j'appellRrai courbe directrice. L'eiiieinble de toutes ies courbes a ainsi dirigées, sera enveloppé par une courbe y du genre que nous considérons, elll 3 a cela de partinilier, qu'une courbe y est récipioquement l'enveloppe de toutes les courbes ê' qui auraient leurs points directeurs sur une courbe a. Ce tbéorème que nous allons démontrer, et dont nous déduii-ons nombre de conséquences, est analogue à un autre théorème sur les surfaces, que nous démontrerons aussi par la suite.

Soient m et 72 les paramètres variables de la courbe génératrice a ; elle aura pour équation dans une position particulière

Soient a et 5 les paramètres coïistans de la directrice €", elle aura pour équation

Si l'on élimine n entre ces deux équations, on n'aura plus qu'un seul paramètre variable dans l'équation des génératrices, et il sera facile ensuite d'en trouver l'enveloppe. Or, ces deiLX équations peuvent se mettre sous la l'orme

b^ ~ oF

si l'on élève la première à la puissance ^, la deuxième à lu puissance * , el qu'on les multiplie ensuite l'une par l'autre, n se tromera éliminé, el les génératrices amont poui équation

( io8 )

on en déduira l'équation de l'eriA eioppe, en la différenciant par rapport à 771, ce qui donne

on (2) ^ =~-, /7.:=X*+"^ a^~+'^î

éliminant m entreles équations {i)Gi (2) , on en déduit successivement

ei Cv) ■>-^+''

teJJe est l'équation de J'enveloppe y; eUe est du genre des courbes que nous discutons, et il existe entre les exposans de la directrice, de l'enveloppée et de l'enveloppe , la relation

Comme cette équation est symétrique en et et ^, la réciprocité que Jious avions annoncée s'en déduit aisément.

Dans toute cette discussion , l'angle formé par les axes peut être arbitrai! e • nous profiterons de cette généralité Clans les exemples, pour en déduire des principes plus étendus. 11 est bon de remarquer que toutes les fois que

( I09 nous considérons la courbe 1 comme la développée de l'ellipse, nous sous-enlendons que les axes sont rectangulaires.

Si a = I , ^ = I , on a ^ = 1 . Donc si par un point D (lig. ig) pris sur le côté BC d'uii tiiangle ABC , on mène DM, DN parallèles à AB, AC, la diagonaleiMNdu parallélogramme AD sera tanacnt*^ ^i la parabole CDB inscrite dans l'angle BAC, et dont B et G seraient les points de contact avec AB et AC. Celte parabole est imiijue, puisque quatre points déterminent une parabole, et que deux contacts équivalent à quatre points.

On peut déduire de cette propriété un moyen géométrique de mener à une parabole dont on connaît seulement les deux tangentes en deux points déterminés, une autre tangente assujétie à passer par un point donné sur son plan.

La Solution du problème se réduit à trouver .sur BC (fig. 39) le point D , pour lequel la diagonale MîN passera parle point P. Concevons MJS prolongée jusqu'à la rencontre df^ BC en L, menons par le point P les lignes PE etPF, parallèles aux côtés AB, AC du triangle ABC. Le parallélisme des lignes MB, PE, ÎSD, et celui des trois autres Ml), PE, NC, donnent les proportions

LB:Ln::LM:L?s::LD: LC::LE:LF, d'où lb~le:ld— LF::LE— ld:lf— -LC,

et BE.CF = DE.DF.

Il suffit donc de partager la ligne EF en deux parties

dont le rectiin»le hoit égal à BE.CF.

Le problème aUra deux solutions, une seule ou sera impossible suivant que BE.CF sera plus petit, égal ou plus gi^and que ^ EF ; c'est qu'alors le point sera dehors , dessus ou au dedans delà parabole.

Si le point P n'était pas dans Fangie BAC, le point D se trouverait i^uv le prolongement de EFj il suilirait aiors de construire Jeux lignes DE, DF de difféience donnée £F dont ie rectangle serait BE.iJ»F: dans ce cas, 11 V aurait toujours deuj^ solufioas.

On peut d'ailleurs déterminer aisément la droite qui joint les points deconiucl des tangentes menées par le poin» P à la parabole. A cet efïét, on constniini les points directeurs des tangentes piimitives, relativement à ces nouvelles iangentes considérées comme axes; la droite qui les joindra devra contenir Jeur^ points de contact avec la courbe. On pourrait ainsi construire la parabole par points.

2*. Pour fit = 2 , ^= 2 . îa relation - = - -f- ? donne

On en déduit aisément la solution de ce problème indétermuié : Inscrire une ellipse dans un parallélogramme donné. On peut se donner en outre ou bien le rapport des diamètres, ou bien un cercle à la surface duque] ceUe de l'ellipse proposée devrait être équivalente. Pour le premier cas , il suffit de mener par l'origine une droite telle, que ses coordoimées soient dans le rapport donné; son intersection avec l'ellipse directrice, sera le point directeur derellipsedemandée. Povirrésoudie le second , désignons pa? R le rayon du cercle donné, par 3a, ib, )es diagonal es du parallélogramme, par cT l'angle qu'elles forment entre elles , pfir :ç ,^ les demi-diamètres de l'ellipse cherchée j on aura pour les déterminer les

deux équations

( ru ) d'où (a) £f^ =

cib ab sin Jt*

Si l'on ajoute les équations (i) et (a), les inconnucb devront encore satisfaire à l'équation lésnllanle

(3) ^-f-y^rbi/^i^a. '^.C; a ' b V ^ nbùnn*

les points directeurs inconnus seront donc donnés par rintersection de l'empse(i ) et de la droite (3). Le rappo.t des paramètres de celte droite est toujours celui des axes a et b- e]Je est donc constamment parallèle à un des cotés du rhombe. Si l'on mène à l'ellipse circonscrde une tangente parallèle à cette droite, le point de contact déterminera l'ellipse insente dont la surface est un maximum. Pour cette courbe, les différentielles des équations (i) et f 2) doivent avoir lieu en même temps j on doit donc avoir

^^y* -.-'f'^ = 0. dou ^^=p

Fellipse maximimi mscrite est donc semLlaLle à l'ellipse circonscrite.

Les deux problèmes précédens peuvent servir dans Ja construction d une voûte elliptique, lorsque l'espace qui doit la contenir est termmé par une base rectanoulaire ou plus {généralement parallelogranùque.

On déduit encore de ce second exemple un moyen de mener une langenle communs à deux ellipses concentriques raj)portée^ à deux axes quelconques passant par leur centre commun; elles ont pour équations

Si on les retranche l'une del'autre, l'équation résultante

(A — A') x^ 4- (B — BO a;y 4- (C ~ C) ^ — o , sera ceîlc de deux droites passant par le centre et par les points d'intersection des ellipses proposées. 11 est aisé de conclure de là que ces quatre points d'intersection sont tes qiiaire sommets d'un parailélogi-amme, et qu'en meriaut par le centre deux diamètres parallèles h ses cotés, ils seront conjugués entre eux pour l'une et l'autre ellipse.

Prenons pour axes ces deux nouveaux diamètres. Les tansenîes conimunes demandées forment évidemment un paralîéiogi'amme à la fois circonscrit aux deuxellipses. On peut déterminer aisément Tellipse rpii lui est ellemême circonscrite, et qui a ses diagonales inconnues pour diamètres conjugués , car on connaît deux de ses points , savoir , les directeurs des ellipses proposées. Cette considération ramène la solution de ce problème à celui-ci: Faire passer par deux points doimés une ellipse dont on connaît le centre et les directions de deux diamètres conjugués. On trouvera dans leproblèmi^ de la page 53 tous les élémens nécessaires pour achever la présente solution.

3". Pour a=ï, ^=2, oua = 2. ^=i, on a^=f.

La courbe I est , comme nous l'avons indiqué, la développée de l'eilipsej on peut le démontrer de la manière suivante.

Soit (i) -^--4-^=1, l'équation d'iuie ellipse rap-

portée à son centre et à ses axes ; l'équation en x'y' de la normale au point x .. y sera

(ii3) Pour avoir une éqiialiori qui appartienne au point de rencontre de cette normale, et de son infiniment voisine, il stiffit de diirérencier (q) par rapport à a; et à y^ ce qui donne

L'élimination à%x,y entre (i), (2) et (3) conduira à l'équation en x'j^ de la développée. Si l'on pose

Afi— -)=:K%onendédmrav=:-?^, ^=A"fl

La siilistitution de ces valeurs dans les équations (i)et (3), donne les deux équations