NIVEAU A PERPENDICULE OU DES MAÇONS

Description. — Le niveau à perpendicule (pg. 13) se compose essentiellement de deux règ-les de bois, assemblées ordinairement à angle droit et d'égale longueur AC, BG. La ligne AB se nomme la ligne de foi. Un perpendicule ou fil à plomb est fixé au point G, sommet de l'angle et centre d'un arc de cercle gradué ah. Le zéro de la graduation est à l'une des extrémités a de cet arc de cercle.

Théorie. — Lorsque le niveau AGB est placé sur une droite RR' boi'izontale, la ligne de foi AB est horizontale; le fil aplomb CV, ayant une direction verticale, est perpendiculaire à la ligne de foi RR' et détermine sur l'arc ab une division j'.

Si l'on connaît le point j-, il est facile de déterminer l'inclinaison o d'une règle RR' sur l'horizon. On place le niveau AGB sur cette règle. La di'oite Cr étant perpendiculaire à RR', le fil à plomb Cp prend la direction CV verticale et détermine sur l'arc ab une division m. Si nous désignons par m et /• les nombres de degrés déterminés, sur la graduation, par les points m et r, les angles ç etVGI, égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires, sont mesurés par l'arc mr et l'on a

Mais si l'on ne connaît pas r, pour le déterminer ou l'éliminer, on retourne le niveau. B vient en B', A en A', m en m' et le fil à plomb, dans la nouvelle position du niveau, gardant toujours la même direction verticale C'V, détermine une division n. Il est facile de voir

ciiAP. II. ~ nivellements! 57

que n est symétrique de m par rapport à r, car les deux angles

m'G'r', nC'r sont éyaux à s. On a donc

Le point r étant ainsi déterminé, on pourra le prendre pour le zéro de la graduation. On aura alors l'inclinaison d'une droite, sans retournement, en prenant l'arc mr ou nr. On ne se sert cependant pas du point r, car une foule de causes peuvent déranger la position de ce point. Pour mesurer l'inclinaison d^me droite RR' on emploiera toiijoiu^s la méthode du retournement et la formule 9 = { (n — m).

Nivellement. — Pour rendre horizonlale une droite RR' mobile autour d'une de ses extrémités R, il suffira d'élever ou d'abaisser R' jusqu'à ce que le fil à plomb tombe en r, ou mieux au milieu de l'arc mn dé(;erminé par le retournement.

Le lecteur voit aussi qu'un niveau à perpendicule porté par un axe de rotation, monté lui-même sur trois vis calantes, permet de rendre vertical cet axe, en opérant comme nous l'avons dit, dans le Cours pour le niveau à bulle d'air.

REMARQUE

La manœuvre du retournement qui nous a donné le point r est journellement employée par les ouvriers et les artistes. C'est le type des opérations conjuguées. Leur but est de faire connaître l'état des instruments, les erreurs qu'ils peuvent donner, de les éliminer ou de les évaluer.

NIVEAU A BULLE d'aIR.

Le niveau à bulle d'air n'est pas autre chose qu'un niveau à perpendicule retourné dont le centie est en bas. La bulle remplace la balle de plomb et se meut sur son arc de cercle comme la balle sur le sien. La sensibilité de ces deux niveaux augmente avec le rayon de leur arc de cercle. La grande supériorité du niveau à bulle d'air tient à ce qu'on peut donner à son rayon une très grande longueur, plusieurs centaines de mètres, sans lui rien ôter de sa commodité;

58 Livr.K II. — MÉTHODES générales d observation.

tandis qu'il serait difficile de manier un niveau à perpendicule dont

le fil aurait seulement une dizaine de mètres.

Construction du tube. — Dans la Ihéorie du niveau à bulle (n° 136 du Cours), nous avons supposé que la coupe intérieure du tube était exactement circulaire. Voici les divers moyens que l'on a employés jusqu'à ce jour pour obtenir un tel tube :

1'' Primitivement on prenait un tube cylindrique AB et on le chauffait à la lampe jusqu'à ce que le verre fût ramolli. On le suspendait alors par ses deux extrémités A et B. Le tube ramolli, sous l'action de la pesanteur, se déformait légèrement et prenait la forme A'B' (fig. i4) qui n'est pas circulaire. Aussi l'on pouvait avec ces tubes grossiers vérifier l'horizontalité d'une droite, mais non mesurer son inclinaison.

2° Plus tard, on prit une tige en fer cylindrique, de rayon un peu moindre que celui du tube. On garnissait cette tige d'émeri, on l'introduisait dans le tube et on frottait. Il y avait usure de la tige et du tube, suivant deux courbes qui s'appliquaient exactement l'une sur l'autre dans toutes leurs parties et qui, par suite, étaient des arcs de cercle de même rayon. Mais le frottement ne s'effectuant pas toujours dans le même sens, on n'obtenait jamais des arcs de cercle parfaits. De plus l'on n'avait, par ce procédé, que des arcs de cercle d'un rayon donné par le hasard.

3° Actuellement, on taille à l'avance la tige de fer en arc de cercle d'un rayon déterminé, de telle sorte que l""" de la division du tube réponde àl", 5", 10" ou que le rayon de cet arc soit 500™, 100'", ôO"". Cette tige, ainsi taillée, prend le nom de calibre; et, par frottement avec le calibre, on obtient dans le tube un arc de cercle presque parfait.

Comme le rayon de cet arc est excessivement grand, il a fallu, pour tracer le calibre, résoudre le problème suivant : Tracer un arc de cercle de rayon donné, sur une corde donnée, sans recourir au centre. On se sert généralement pour cela d'un compas spécial.

La flèche x de l'arc de cercle d'un calibre, décrit sur une corde 2rf, avec le rayon R, est évidemment donnée par la formule

x=[{ — KlV — d\ La corde 2d du calibre se confond sensiblement avec la louiiueur 2i

qu'on veut lui donner, vu la petitesse de cette longueur relativement à R (fig. io). D'ailleurs II se calcule par la formule

S! l'on veut que la longueur X d'une division du niveau réponde à un angle de s". La flèche du calibre de longueur 21, pouvant donner un niveau dont la bulle marche d'une division égale à \, lorsque l'inclinaison varie de s", est donc fournie et calculable par l'expression

On trace le profil circulaire du calibre au moyen de x porté sur le compas suivant (fig. 16) :

Trois tiges sh, sd, sh' sont articulées autour du point S portant un crayon traceur. Ces trois tiges peuvent glisser chacune dans l'une des trois coulisses a, e, a' portées par la règle hh' . Ces trois coulisses peuvent d'ailleurs tourner sur elles-mêmes autour de trois pivots en ligne droite sur hh' . Le pivot de e est au milieu des deux autres à la distance d. La tige Sd est divisée à partir de S et sa coulisse e munie d'un vernier.

Plaçons la tige Sd perpendiculairement à hh' et amenons l'extrémité de la longueur x sur le zéro du vernier. Les tiges S 6, Sb' font alors un angle que nous rendons invariable en reliant invariablement ces tiges au moyen de la barre f et de ses vis de pression g, g' . Faisons marcher le crayon S, grâce au glissement de Sb, Sd, SI' dans leurs glissières respectives. Nous tracerons ainsi le profil du calibre demandé.

Graduation du niveau. — Quand on a calibré le tube, on en divise la partie extérieure en parties égales.

Anciennement les artistes, Gambey par exemple, ne graduaient pas le niveau dans toute sa longueur; ils ne marquaient que les deux extrémités, chacune par un trait, laissant au milieu un espace non gradué. C'est que, pour eux, le niveau était seulement destiné à niveler exactement et non à mesurer les erreurs de nivellement. Lorsqu'on rencontre, dans un instrument d'astronomie, un niveau

C9 LIVIIE II. — MÉTHODES GÉNÉRALES d'oBSERVATIUN.

non gradué, il est bon de coller dessus une petite bande de papier divisée en parties égales.

Comme on n'observe que les extrémités de la bulle, on se dispense parfois d'effectuer la graduation entre f et g dans la partie moyenne du tube (fîg. il). On rapporte alors les extrémités aux divisions f et g. Le milieu de fg peut être considéré comme le zéro de la graduation. On dit que la bulle est entre ses repères, lorsque son milieu coïncide avec celui de fg.

REMARQUES

1° Plus les niveaux sont sensibles, plus les tâtonnements pour les régler sont longs, car plus la bulle tend à rester fréquemment à l'extrémité du tube. Les constructeurs devraient donc avoir le soin d'accoler toujours deux niveaux, l'un très sensible, l'autre beaucoup moins. Avec ce dernier, on effectuerait rapidement un nivellement approché, que le premier rendrait ensuite rigoureux. On gagnerait par là beaucoup de temps j)our les instruments portatifs et beaucoup de précision; du temps, parce que les niveaux actuels sont trop sensibles pour des nivellements rapides; de la précision, parce qu'ils ne le sont pas assez pour un nivellement parfait et pour la mesure rigoureuse des inclinaisons.

2" Lorsqu'on fait tourner l'apidement la partie supéi-ieure d'un théodolite et qu'on observe la bulle de chaque niveau mis en place, on peut faire facilement les remarques suivantes :

La bulle du niveau mobile se rapproche de l'axe vertical de rotation parce que le liquide, plus dense que la bulle, se porte à l'extrémité la plus éloignée de cet axe, en vertu de la force centrifuge développée.

La bulle du niveau fixe reste toujours en arrière du mouvement et va buter à l'extrémité qui suit l'autre. Cela est dû à l'inertie de la huile et à son faible frottement sur le liquide et les parois du tube.

Il résulte de là qu'avant de lire un niveau il faut attendre que la bulle ait repris sa position d'équilibre.

Le niveau mobile du théodolite est généralement moins sensible que le niveau fixe et c'est à tort. On peut se servir à volonté de l'un ou de l'autre de ces niveaux et même des deux ensemble pour le nivellement

CIIAP. II. — NIVELLEMENTS. 61

de l'axe verlical. Ce nivellement doit être commencé avec le moins sen.sible des niveaux, pour diminuer le nombre des tâtonnements, et achevé avec le plus sensible pour augmenter la précision.

;^ Pour que la bulle ait toujours la même longueur en été et en hiver, quelques niveaux présentent un petit réservoir rempli du même liquide que le tube et communiquant avec celui-ci par un petit canal. F:n f^tisant passer du liquide du tube dans le réservoir ou inversement on arrive facilement à donner à la bulle la même longueur en toute

saison.

CJtPrcher les conditions pour que, dans le nivellement d'une droite I) ou d'un axe A, avant ou après le retournement du niveau, la huile en équilibre soit : i" entièrement libre et visible; 2" entièrement libre mais en partie cachée; S" butée à une extrémité du tube.

Solution : Désignons par

0 le centre de l'arc du niveau (fig. iS) ; OV le rayon vertical de cet axe;

OR la direction de l'axe de rotation A ou de la perpendiculaire à la droite D.

i = VOll l'angle de ces deux rayons, compté de OV, positivement dans le sens f; 2i — EE' la longueur visible du tube; A: z=r EM, /,;' = E'M' les longueurs des parties de ce tube cachées

par la monture; m = le milieu de EE';

a — ROM, compté de OR positivement dans le sens f; 2/.=: la longueur de la bulle; ^y = l ~ X, quantité toujours positive par construction ;

On sait que i est l'inclinaison de A sur la verticale ou de D sur l'horizontale, tandis que a représente le défaut de réglage du niveau.

62 LIVRE II. — MÉTHODES GÉNÉRALES d'oBSERVATION.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, kz=k' , condition réalisée très approximativement par les constructeurs. Au moyen de ces données, il est facile, pour la position actuelle du niveau, de calculer les angles

cc = VOE, x'=VOE',

i/ = VOM, ^r^VOM',

comptés à partir de OV, positivement dans le sens f. On a évidemment

Si la bulle est en contact extérieur en E avec EM, ou en E' avec E'M', on aura, pour la distance zénithale z on z' de son milieu,

Si, de plus, la bulle est en équilibre dans la première ou la seconde de ces positions, on aura

; = 0, ou z' = 0, c'est-à-dire

(1) i 4- a + w = 0, pour l'extrémité E,

Réciproquement, la relation (1) exprime le contact extérieur en E.

Il est clair d'ailleurs que ces deux conditions ne peuvent avoir lieu en même temps, sans supposer o) nul ou l = X, ce qui est contraire à la construction du niveau. D'après cela, on a le tableau suivant pour les positions d'équilibre de la bulle :

L'exlréniité droite e L'extn'Miiité gauche e'

de la bulle est: de la bulle est :

Si z <. 0, cachée dans E M ( , , ^ n ■ 1 1

' ^ » r r-^r J alors r'<0, visible

= 0, en contact en E avec EM. (

^ et si z' < 0, visible

> 0, visible | =0, en contact en E' avec E' M'

' > 0, cachée sous E' M'

qu'on peut mettre sous la forme

cachée -K visible

(1) / "" / =i + a en E id.

( <;w visible id.

— w^i-j-a I =w id. en E'

( >w id. cachée -K

Supposons maintenant la bulle, non déformée, en contact en M ou M' avec le fond du tube; on aura, pour la distance zénithale ^ ou t^ de son milieu,

'C, = y — \ = i + ct.-{-l + k — X = i + a + 0)' i;' rrz y' H- A = i + a — l — k -\- \ =■ i + a — u)'

en posant

w' = i — X + k == tù + k.

Si de plus la bulle est en équilibre dans l'une ou l'autre de ces positions, on aura

i; = 0, ou î;' = 0.

On pourrait construire un tableau analogue au précédent, en y changeant w en co' et qui donnerait les conditions pour que la bulle soit libre ou non. Mais comme une extrémité visible est libre a fortiori, il suftira de considérer les deux cas extrêmes du tableau (I), savoir : — w:>i4-aetco<;i + a.

Dans le premier cas, si on a :

^ <; 0, la bulle butte contre le fond M du tube;

!^ = 0, la bulle est en contact avec M et sans déformation;

î^ :> 0, la bulle est libre.

Dans le deuxième cas, si on a :

:' <0, la bulle e.st libre;

!;' =0, la bulle; est en contact avec le fond M' du tube, sans déformation ; ;;' > 0, la bulle butte contre M' .

64 LIVRE II. — MÉTHODES GÉNÉRALES d'OBSERVATION.

On peut résumer toutes les conditions précédentes de la manière suivante, si on remarque que l'on a w <; (,/ :

— w' > i + X L'extrémité e butte contre AI.

— cd' = i -\- y. — est on contact en M.

— w' <^ i -}~ 3t <^ — 0) — est libi'e et cachée.

i -|- a = — (D — est en contact en E.

CIJ\ / ' M>i~t-:t> — w BiiUa entièrement libre et visible. '

i ' t "4- a = (jj L'extrémité e' est en contact en E'. ;

oj' > i -j- a >» w — est libre et cachée. \

oj' = i -|- a « — est en contact en M'. (

w' <^ j -j- a — butte contre M'. j

On voit comment se succèdent, d'iuie façon continue, les divers aspects sous lesquels se présente la bulle, lorsque l'observateur fait varier le binôme i + t. dont les deux termes sont à sa disposition, depuis une valeur inférieure à — w', jusqu'à une valeur supérieure à + w'.

Si l'on retourne le niveau, bout pour bout, les considérations et les formules précédentes subsistent. Il n'y a qu'à cbanger le signe de la valeur numérique de a dans les tableaux, en appelant toujours e et e' les extrémités de droite et de gaucbe pour l'observateur qui n'a pas cbangé de place après le retournement.

On doit l'emarquer que la bulle peut buter du même côté de l'observateur, avant et après le retournement, par exemple lorsque i étant assez grand en valeur absolue a est nul ou très petit. Elle peut aussi buter à droite, puis à gaucbe ou inversement, par exemple lorsque i est nul ou très petit, a étant assez grand en valeur absolue.

Quel est le nombre des ynanœuvres, indiquées au n°142 du Cours, pour rendre la huile libre et entièrement visible, lorsqu'elle hutte d'abord à une extrémité du niveau et que les quantités a, i sont également inconnues?

Solution : On sait que, dans ce cas, on commence par amener la bulle au milieu du tube en agissant sur la vis u da réglage du niveau,

c'est-à-dire par faire a = — i. Ensuite, on retourne le niveau bout pour bout, ce qui donne a =: + i.

Si la bulle butte encore, on diminue i d'une certaine quantité - en

P agissant sur une des vis i' de calage de l'axe A à niveler. On ramène

la bulle par n au milieu du tube, ce qui donne a = — i H On

P retourne le niveau et la valeur commune de a et de l'inclinaison de

A est alors z

Si la bulle butte encore, on continue de la même manière et après le {m + 1)e retournement du niveau, la valeur commune de a et de

l'inclinaison de A est i — m - ■> en supposant que, dans cbaque

répétition de la manœuvre, on fasse, par r, varier cette inclinaison

sensiblement de la même quantité - ? ce qui est facile pour une main

exercée.

La bulle sera libre et entièrement visible lorsqu'on aura (tableau II de l'exercice précédent)

double inégalité qui se réduit, dans la pratique, à

m ^ p (i — — I lorsque i est positif,

î>i > jj 1 1 -t- ~ I — négatif,

c'est-à-dire finalement à

(1) m ^p(i~ gj

en prenant i en valeur absolue.

REMARQUE SUR LE NIVELLEMENT d'uX AXE VERTICAL.

Le niveau étant réglé, placé parallèlement à deux vis calantes v, v' de l'axe, la bulle amenée au milieu du tube par le jeu de ces vis,

66 LIVRE II. — MÉTHODES GÉNÉRALES d'oBSERYATION.

il arrive souvent qu'une faible rotation, ou variation de niveau en azimut, jette cette bulle à une extrémité, puis rnérne d'une extrémité à l'autre. C'est une preuve que l'on est très loin du nivellement. Si, de sa position initiale, on faisait tourner le niveau d'environ 180'', la bulle s'écarterait du milieu; et si, après l'avoir fait rétrograder, par V, v' de la moitié de l'écart, on revenait sensiblement à l'azimut primitif, on verrait la bulle s'écarter encore énormément de sa dernière position; et ainsi de suite, de sorte qu'on ne finirait pas. Dans ce cas, il faut régler immédiatement la troisième vis r" dont | l'écart considérable produit ces anomalies de la bulle. Ayant rendu le niveau perpendiculaire aux deux premières vis et, par la troisième, amené la bulle au milieu, si on revient au parallélisme avec les deux premières vis, toutes les anomalies précédentes disparaissent.

Si l'on s'obstinait sur les deux premières vis, ces anomalies dans la position de la bulle pourraient faire croire que le terrain, le pied ou la monture de l'instrument travaillent ; tandis qu'en réalité elles ne tiennent qu'à ce que ne remettant, dans les retournements, le niveau aux mêmes azimuts qu'à Vœil et non rigoureusement, une petite différence d'azimut déplace énormément la bulle lorsque la troisième vis n'est pas réglée.

Quelle est la ligne droite nivelée, lorsqxCon retourne bout pour bout un niveau rigide, dejorme quelconque, sur un corps solide de forme aussi quelconque? Applications à la lunette méridienne.

Solution : Supposons qu'avant le retournement les points a, b du niveau coïncident respectivement avec les points M, N du corps, et qu'après le retournement a, b aient permuté leurs positions, c'est-àdire que a coïncide avec N et b avec M. La droite nivelée ou plutôt dont le niveau donne l'inclinaison est MN (fxg. i9).

Il résulte de là que si les crochets du niveau de la lunette méridienne forment un seul et même dièdre, cas ordinaire, le retournement du niveau sur l'axe de rotation de la lunette, prise dans une position donnée, donne l'inclinaison de la druite ab représentant la direction de l'arête de ce dièdre lorsque le niveau repose sur les tourillons; car

c'est sur cette droite que le retournement a effectivement lieu. Si les tourillons sont égaux, l'inclinaison ^ ainsi obtenue est celle de l'axe de rotation xxj, puisque alors ah est parallèle à xy.

Si les coussinets forment un seul et même dièdre, cas ordinaire, c'est sur l'arête AB de ce dièdre qu'on retourne en réalité la lunette lorsqu'on change sa position directe ou inverse; c'est-à-dire que le retournement de la lunette revient à une rotation de son axe de 180* autour d'une droite uz perpendiculaire à AB et située dans un plan vertical. Si pendant cette rotation on imagine, parla pensée, le niveau lié invariablement à la lunette, on voit que ah prendra la direction a' h' symétrique de ab par rapport à uz; et, après le retournement, on nivellera la direction a'h' comme on avait nivelé ah. Soit ^' l'inclinaison de a'h' .

L'inclinaison p de A B ou de la bissectrice de l'angle aOa sera

par suite, on aura, en supposant égaux les dièdres des coussinets et des crochets,

angle ^ aS A = H^ - P) = 1 (? - l^')- Donc l'inclinaison de l'axe xy de rotation sera

^ — \{^ — ^') position directe,

?' + 4 (h — ^') position inver.se.

et { (,3 — ?') représentera l'inégalité des tourillons.

Déterminer les indications de la huile pour les deux positions extrêmes d'équilibre du niveau rf'ane lunette méridienne, en tenant compte du frottement des crochets sur les tourillons de la lunette, dont Vaxe de rotation est supposé horizontal et dirigé de l'ouest à Vest.

Solution : 1° La symétrie du niveau permet de décomposer son

68 LIVRL n. — MÉTHODES GÉNÉRALES d'oBSERVATION.

poids P en deux autres - > appliquées respectivement en des points

équidistants de l'axe, sur chaque montant que supporte chaque tourillon. Soient :

0 le centre de la section droite et circulaire d'un tourillon menée par le montant correspondant du niveau ({ig. W) ;

Oi/, Oz les droites horizontale et verticale de cette section, menées par 0 ;

BAC le crochet reposant sur le tourillon ;

G le point d'application du poids - sur le montant termmé par ce

crochet.

Nous pouvons supposer les trois points 0, A, G en ligne droite par construction. Pour que le niveau soit en équilibre, il suffit qu'il y ait équilibre sur chaque montant entre les forces qui le sollicitent, savoir :

Le poids p = -; les réactions N, N' du tourillon dirigées suivant

les rayons OC, OB des points de contact C, B de ce tourillon avec le crochet BAC; les frottements f, f en G et B. Désignons par 9 l'angle de frottement; posons

a=OG, r=:OB = OG,

8 = Z0G, A = BAO = OAG, f=^\go, /" = N' tg c,

et écrivons l'équilibre de chaque montant en exprimant que les sommes des projections des forces sur Oy, sur 0: et que la somme de leurs moments relative à 0 sont nulles. On a ainsi les trois relations :

I Ncos(A — 6) — /■sin(A — 0) — N'cos(A + 6) — /■'sin(A+6)=:0,

(1) Nsin(A — e) + /'cos(A-6) + N'sin(A-|-e)— f cos(A + 0)=p, ( {f+f')r = 2jasm^,

ou bien

( N sin 2A :=p cos 9 cos (A + 6 — ç),

(2) I N' sin '21 = p cos ç cos (A — 8 -t- ç), ' (N 4- N') r tg ç = pu sin 0,

d'où l'on tire N, N', 5 pour chaque valeur de ô. Si N, N' sont positifs

et ç inférieur à l'angle ^^ du frottement au départ, l'équilibre a lieu pour la valeur considérée de 6. Comme ç et 6 sont très petits, et 2 A inférieur à 180'\ les conditions d'équilibre deviennent ainsi

A-l-6 — ?<90°, A — 6 + s<90°, (N + N') r tg^^ > pa sin 0,

ou, en remplaçant (N + N') par sa valeur, pour 9 =: ç„, tirée des deux premières équations (2),

(4) a sin 6 sin A <: r sin Çg cos (0 — o^.

Dans tous les niveaux de lunette méridienne A ■= 45°, sin A = — ;

la double inégalité (3) est toujours satisfaite en même temps que l'inégalité (4) qui peut s'écrire

rsin2?o A; sin 2 9^

\p) ig u

2 (« sin A — r sin^ 90) 2 (sin A — k sin' 9^)

en posant k :=-• Dans tous les niveaux — est plus petit que 1 et

dans la plupart beaucoup plus petit. On peut donc remplacer (5), avec une exactitude suffisante, par

'' -fc^/2.9„.

sin A

Nous avons cherché jusqu'ici les conditions d'équilibre lorsque le point G est situé à droite de Or. Elles conviennent encore au cas où G est situé à gauche de 0:;, si on a le soin de changer le signe de 9, 9^ ou du frottement et le sens de l'inégalité (5). On trouve ainsi la condition définitive et unique

2° Appelons a l'azimut de la fiole OA du niveau par rapport à la ligne ouest-est OE, ^ son inclinaison sur l'horizon lorsque 6 = 0, et cherchons la valeur ^' de cette inclinaison pour une valeur quelconque de 6.

Les directions OA, OE et la projection OC de OA sur l'horizon forment un trièdre déterminant sur la sphère de centre 0 un triangle

70 LIVRE ir. — MÉTHODES GÉNÉRALES D'OBSERVATION.

ahc rectangle en c (f\g. n'j. Lorsque 6 = 0, ce triangle donne les relations :

cos Y =^ cos a cos Jj,

sin ^ = sin y sin fc,,,

qui permettent de calculer son hypoténuse 7 et son angle b,, en supposant a, ^ connus.

Pour une valeur quelconque de 6, l'hypoténuse y reste fixe, l'angle h devient b„ — 0, et a, ^ deviennent a', ^'. On a donc

sin l'a' = sin y sin (bj — 6), ou bien

sin ^' = sin ^ cos 0 — sin y cos h^ sin 8;

mais on sait que

sin Y cos Ijq = cos ^ sin a, donc

sin ^' = sin 3 cos 0 — cos ^ sin a sin 0.

Si nous considérons a, P, 6' comme des infiniment petits du premier ordre et si nous négligeons les termes d'ordre supérieur au second, nous aurons

(7) (J' = 3 — aO — i ^6*.

Les limites ± k V^l ç, de 0, correspondantes aux positions extrêmes d'équilibre du niveau sur l'axe de la lunette, étant aussi très petites, nous aurons pour ces limites,

(8) 3' =3+ xkV^o.-^k^'.l

D'une position extrême à l'autre du niveau, la bulle oscille d'une quantité égale à la valeur absolue de 2 1/2 xkoç^.

Aussi, a-t-on toujours soin de régler le parallélisme de l'axe de la fiole du niveau et de l'axe de rotation de la lunette, c'est-à-dire de rendre a et ^ ^^"às. pour que jî' soit indépendant de 9 dans les nivellements.

CIIAP. II. — NIVELLEMENTS. 71

Régler le parallélisme du niveau et de Vaxe horizontal A d'une méridienne.

Solution : La monture du niveau porte deux vis : l'une horizontale h qui permet de faire varier l'azimut de la fiole, l'autre verticale v qui permet d'en faire varier la hauteur lorsque cette monture repose, par ses pattes ou crochets, sur l'axe horizontal A. Ces deux vis permettent de rendre parallèles l'axe F de la fiole, cylindrique extérieurement, et l'axe A de rotation de la lunette, si on a le soin de noter dans quel sens marche la bulle lorsqu'on écarte légèrement le niveau vers le nord ou vers le sud, après l'avoir fait reposer sur les tourillons dans la position qui répond sensiblement à 6 = 0. Prenons un exemple sur un niveau reposant au-dessous de l'axe.

1° On écarte le niveau vers le nord, la bulle monte à Vouest; — sud, — Vest.

Cela prouve que la fiole n'est pas réglée en azimut et que son axe F a, par rapport à A (fig. 22), la position indiquée sur la figure, (l""» partie), qui représente la projection horizontale du niveau. Il faut donc agir sur la vis h dans le sens de la flèche f, jusqu'à ce que la bulle reste stationnaire dans son tube, ou bien s'avance toujours du m.ême côté est ou ouest lorsqu'on écarte le niveau vers le nord ou vers le sud. La fiole du niveau est alors réglée en azimut.

2° Supposons qu'après le réglage en azimut, la bulle s'avance toujours vers l'est lorsqu'on écarte le niveau vers le nord ou vers le sud. Cela prouve que l'axe FF de la fiole est situé relativement à l'axe A, comme le montre la figure (2® partie), qui l'eprésente la projection du niveau sur le premier vertical.

On agira donc sur la vis v jusqu'à ce que la bulle reste immobile dans son tube, pour des oscillations du niveau de 5" à 10" et du nord au sud.

Cette manœuvre est justifiée par l'équation (7) de l'exercice précédent. Lorsque a et ^ ne sont pas nuls, le signe de h' — P e^t celui du

72 LIVRE II. — MÉTHODES GÉNÉRALES D'oBSERVATION.

terme — xO beaucoup plus grand que le terme .suivant — | ,'ÎO'. Ce signe chancre donc avec celui de H, c'est-à-dire que, suivant qu'on écarte le niveau vers le nord en donnant à 6 des valeurs positives ou vers le sud en donnant à 6 des valeurs négatives, la bulle se déplace vers l'ouest ou vers l'est.

Lorsque a est nul, ^' — ^ ne change plus de signe avec 0, et à partir de 6 =: 0 tout déplacement du niveau fait marcher la bulle dans le même sens, que ce déplacement ait lieu vers le nord ou ver? le sud.

CHAP. III. — mesurp: des angles. 73