CHAPITRE I
Trigonométrie sphérique
Des foi')}iulcs fondamentales, pronier type (11° 4 du Cours),
/ cos a = cos h cos c + sin b sln c cos A,
(1) I cos b = cos c cos a ■+■ siu c sin a cos B,
\ cos c =^ cos a ces b + sin a sin b cos C,
déduire les trois autres types.
Solution : 1'^ Pour avoir la première formule du dcuxVone type,
c'est-à-dire la relation entre a, b, A, B, il suffit d'éliminer sin c, cos c
entre les deux premières équations (1), indépendantes de C, de la
forme
771 sin c 4- ?i cos c = p,
771' sin c -f- n'cos c = p\ et l'identité
sin' c + cos' c = 1.
Il est encore plus simple d'ajouter et de relranciier membre à membre ces deux équations (l ), ce qui donne
, j (cos a -k- cos b) (i — cos c) = sin c (sin b cos A + sin a cos B), ^ "^ { (cos n — cos h) (1 + cos c) = sin c (sin b cos A — sin a cos B),
4 LIVRE I. — MÉTHODES GÉNÉnALES DE CALCUL.
puis de multiplier les équations (2). On obtient en ellet (cos' a — cos- h) sin' c r= sin- c (siu* h cos" A — sin- a cos- B),
ou
siu- h — sin- a =: sin- h cos' A — sin- a cos" B,
c'est-à-dire, si on se borne aux triangles dont les côtés et les angles sont plus petits que 180'^,
sin h sin A = sin a sin B.
On arriverait de même aux deux autres formules du deuxième type.
2° La première formule du tro'uxcmc t'jpe est une relation entre a, b, A, G. On l'aura en éliminant sin c, cos c entre la première, la troisième équation (1), et l'identité s'n-c -h cos' c = 1. Il ser.i plus court de remplacer, dans la première équation (1), cos c par sa valeur tirée de la troisième, ce qui donne successivement :
cos a = cos a cos- h ■+- sin a sin h cos h cos C -i- sin h sin c cos A,
cos a sin- b = + sin a sin h cos h cos G -f- sin ?> sin c cos A,
cos a sin h = sin a cos î; cos G -4- sin c cos A,
cot a . sin b =z cos o cos G H — : • cos A,
sm a
cot a sin 6 =: cos b cos G + sin G cot A.
3^ La première formule du dernier t]]pe est une relation entre a, A, B, G. On l'obtiendra en éliminant fe, c, entre les équations (1).
Dans la première et la deuxième de ces équations, je remplace cos c par sa valeur tirée de la troisième. J'ai ainsi, d'après 2",
cos a sin b =: sin a cos b cos G -H sin c cos A, • • cos b sin a= sin b cos a cos G -f- sin c cos B,
ou, en remplaçant sin «, sin b, sin c par les quantités proportionnelles sin A, sin B, sin C, ...
cos a sin B = sin A cos b cos G + sin G cos A, ' ; cos b sin A = sin B cos a cos G ■+- sin G cos B.
Si, pour éliminer cos b entre ces dernières relations, on les ajoute
CHAP. I. — TRIGONOMÉTRIE SPHERIQUE. 5
après les avoir multipliées respectivement par 1 et cos C, on a, en réduisant et divisant par sin C,
cos A = — cos B cos C + sin 13 sin C cos «.
Démontrer les deux formules :
sin h sin c -f cos h cos c cos A = sin B sin C — cos B cos C cos a, sin- a (1 + cos A cosB cos C) = sin- A (1 — cos a cos h cos c).
Solution : On sait c[ue
cos a ■=■ cos h cos c + sin h sin c cos A, cos A =: — cos B cos C + sin B sin C cos a.
Si nous ajoutons ces équations après avoir mnlliplié la première par cos A, la deuxième par — cos a, nous aurons
,., ( sin h sin c cos- A + cos h cos c cos A =::: — cos B cos C cos a
{^ + sin B sin G cos- a.
Mais on sait aussi que
sin h sin A = sin a sin B, sin c sin A = sin a sin C,
(2) sin h sin c sin' A .= sin 15 sin C sin- a.
Si on ajoute membre à membre les égalités (1) et (2), on oblient la
première formule qu'il s'agissait de démontrer et qui nous sera utile
plus tard.
La deuxième formule à df'montrer se'tir(^ innnéiliafcineiil d<'
la première [)ai' la substitution à sin \) sin c el sin B sin C. di-
cos a — cos h cos e cos A + cos B cos C • • , ■
et •> suivie de qnelcpies
cos A cos a
réductions évidentes.
(l LIVRE I. — METHODES GENERALES DE CALCUL.
Établir les formules de Delamhre, sans s'appuyer sur lei^remier cas de la résolution des triangles.
Solution : Sachant que
^ sin c sin A = sin a sin C, \ sin c sin B = sin h sin C,
C sin c cos A = cos a sin h — sin a cos h cos C, ( sin c cos B := cos h sin a — sin h cos a cos G,
si on ajoute et retranche les relations (1), on a :
sin , c cos — - — cos l c sin — — — = sin — sin — - — cos — cos
sin I c sm — - — cos ^ c cos — - — = sin - cos — - — cos - sin — - — ■ 2 2 2 2 2 2
Les équations (2) ajoutées donnent
. A— B A + B o + b a-hh
sm I c cos — - — cos-l c cos — - — = sin IL sin — - — sin | G cos — - — !
formule qui, appliquée au triangle polaire, devient
. A + B A + B rt + b « — &
cos f c sin — - — cos l c cos — - — =: sin } G cos — ^— cos f G cos — ^r —
Posons
a = sin 2 G sin — - — ? a = sm j c cos — ~ — -.
n -in " + ^ /3' 1 A + B
^ = sm I G cos — -^ — 5 ji = cos |- c cos ;
V = cos I G sin 7 y' = sin -t c sin — - — ;
ô = cos i G cos — ; — ■> 0 = cos J c sm ;
CIIAP. I. — TRIGONOMÉTRIE SPIIÉRIQUE. 7
les quatre équations précédentes s'écriront d'où l'on tire
et, par suite, a et a' étant toujours positifs dans les trianfiles dont les éléments sont plus petits que 180,
a = x' , ce qui entraîne
ou les formules de Delambre.
Interpréter géométriquement les quantités auxiliaires m, M, employées au n° 14 du Cours, jjour trouver a, B, connaissant &, c, A; ou hien A, fe, connaissant B, C, a, dans ttJi triangle sphérique.
Solution : 1° Dans le premier cas (fig. i)
tçç M = tj? h cos A,
m cos M = cos ?J.
Du sommet C du triangle sphérique A, B, C, abaissons l'arc de grand cercle CD perpendiculaire au côté opposé AB. Posons
CD = .T, BX = y.
Le triangle rectangle CD A donne
tg y =z i^r l) cos A, cos h = cos X cos ;/,
ce qui montre que
M z=i y, m = cos x.
8 LIVRE I. — MÉTHODES GÉN'ÉRALKS JtK CALCUL.
2*^ Dans le deuxième cas (fig. 2), m, M s'interprètent de la même manière sur le trianj^le polaii'e A'B'C de ABC.
Si CD' est l'arc de grand cercle perpendiculaire à A'B', on a
M = A'D', m^cosD'C;.
5^ EJxercice.
Démontrer le Uiéorhme suivant, très utile en géodésie :
Théorème de Legendre. — Étant donné idi triangle sphérique dont les côtés a, h, c sont très petits et regardés comme du premier ordre 2dar rapport au rayon 1 de la sphère; si l'on C07istruit le triangle rectiligne dont les côtés a', h' , c' sont respectivement égaux en longueur à a, b, c; si, en outre, on néglige les quantités du quatrième ordre :
1° Les surfaces s, s' de ces deux triangles sojit égales;
2" Les angles A, B, C du triangle sphérique sont respectivement égaux aux angles A',B', C du triangle rectiligne, augmentes du tiers de l'excès sphérique s.
Démonstration : Dans la formule
cos a = cos h cos c + sin h sin c cos A,
remplaçons les sinus et cosinus de «, h, c par leurs valeurs développées en séries; nous aurons, en y négligeant le sixième ordre,
-^ [' - 9 {' - I) ''' ^' ou
par suite
/h- -h c- — a- «* — h' — c' — Qh-c*\ / , h- 4- c-\ e„sA= ( ^^^^— + ^^ j ^1 +~^y
ClIAP. 1. — TRIGONOMKTRIE SPHÉRIQUE. 9
Cette valeur de cos A est exacte au quatrième ordre près; mais à ce degré d'approximation, elle se simplifie et se réduit à
Ir + c^ — a- a' + h' -t- c' — 'Ib^-c- — 1a-h^ — ^a-c^
cos A = — ; h — — ; ■ 5
'2b c '■lAbc
c'est-à-dire à
(i) cos A = cos A' — - bc sin- A' .
Si nous posons
X sera de l'ordre de bc ou du second ordre. Nous aurons donc, en néglif^eant le quatrième ordre,
(2) cos A = cos A' — X sin A',
et en comparant (1), (2)
X =■ - bc sin A' = b o
Il résulte de là
A + B + G = 180° -t- s', ou bien :
Du premier tijfe des formules diffcrcntieUes données au n" 16 du Cours, tahleau B, déduire les types sxiivants.
Solution : On procédera, par voie d'élimination, en suivant la marche indiquée dans le premier exercice, ou toute autre marche analogue.
Ainsi, pour obtenir la première formule du deuxième type, on
éliminera d'abord oc entre les deux premières formules du premier type, ce qui donne
sin h sinC cosA.cA — sin c sin A cos B.oB = 00? A.oa — cosB.Bb + cos B cos G . 0 a — cos A cos G , c b =: cos a sin B sin C.oa — cos h sin A sin G.$6;
si on remplace ensuite sin h sin G par sin c sin B dans le coefficient de cA et si on divise par sin c sin A sin B, on trouve
. A -v A * r. -Ti cos a sin G , cos h sin G ^,
cot A.cA — cot B.cB = — -. la cb,
sin A sm c sm B sm c
ou
cot A.oA — cot B.cB = cot a.oa — cot /;.ob.
Pour obtenir la première formule du troisième type, il suffira d'éliminer de même oc entre la première et la troisième formule du premier type. On a d'abord
sin&sinG.oA+sinasinBcosB.BGr=sin*B.cft — (cosG4-cosAcosB)s?>,
puis
sin c .sinB.oA + .sin a sinBcos B.oG = sin^B.oa — sinA.sinBcosc.ob,
c'est-à-dire,
sin c.gA = sin B.ca — sin A cos c.oh — cos B sin o.oG.
On procédera de même pour établir les formules des autres types.
