PO
Le triangle POG donne donc
cos PC = sin OC. sin 0,
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 143
c esl-à-dire
cos (9 + /(.) = cos a sin s,
cos h
d'où
is; 0 =: -h-
sin /' — cos a
En un lieu de latitude donnée 9, on a mesuré, à Vépoque sidérale 9, V azimut a d'une étoile E dont l'ascension droite A^ est connue: calculer la déclinaison 'j) et la distance zénithale z de l'étoile.
Solution : L'angle horaire t de l'étoile se calcule d'abord par la formule
On connaît, alors, dans le triangle PZE, le côté PZ et les deux angles adjacents; on peut donc calculer les deux autres côtés.
Sous quel angle i, à quelle hauteur h, à quelle époque sidérale 6, une étoile connue E (Ai, 'T) traverse-t-elle le vertical ZV d'azimut donné a, en un lieu de colatitude connue 9?
Solution : Si l'on désigne par q, l, z l'angle parallactique^ l'angle horaire, la distance zénithale de l'étoile E au moment où elle traverse le vertical ZV, on a évidemment
et le triangle sphérique PZE (fig. 44), formé parle pôle P, le zénith Z,
la position E de l'étoile, dans lequel PZ, PE, Z sont connus, donne immédiatement q, f, z par les formules suivantes (n" 12 du Cours) :
sin q = sin 9 sin a coséc if,
I ^ sin Ha -g)
" 2 sin I (« + q) ^'^' '
Nous ne nous arrêterons pas à la discussion de ces formules qui se trouve détaillée dans tous les traités de trigonométrie, à la suite de la résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux. Nous nous contenterons de la résumer en disant qu'on aura deux, une ou zéro solutions suivant que d, défini par
sin d = sin a sin s,
et représentant la plus courte distance sphérique de P à ZV, sera inférieur, égal ou supérieur à 'I.
L'axe optique d'une lunette de théodolite, en un lieu de colatitude o, est dirigé sur le point A de la sphère céleste dont les coordonnées horizojitales commues sont a et z. Le vertical ZA fait l'angle dominé i avec le plan m déterminé par cet axe et l'un des deux fils rectangulaires du réticule. Calculer les coordonnées horizojxtales a, ^ et méridiennes t,p du pôle Q de ce plan m.
Solution : L'axe optique passant par la croisée des fds du réticule, le plan nt coupe la sphère céleste, ayant pour centre le centre optique de l'objectif, suivant un grand cercle qq' passant par A et incliné de i sur AZ. Un petit arc seulement de ce grand cercle est visible dans le champ de la lunette, de part et d'auti^e de A. Le pôle Q de ce cercle est dit pôle de m.
L'angle i (fig. 45) ne dépend que de l'orientation du réticule et reste invariable lorsque la lunette tourne autour de l'un quelconque des axes du théodolite supposés bien nivelés.
Le complément de i est l'inclinaison du iil considéré sur une horizontale du plan réticulaire supposé perpendiculaire à l'axe optique.
Le triangle sphérique ZQA dans lequel on connaît :
ZA — z, AQ = 9G», QAZr=90'^ — i, donne
ZQ=:r, AZQz=y.-a, ZQX=zv,
par les formules
^ cos ^ r=: sin 2r sin ê,
(1) I cos (a — a) = — cot z cot ^,
' séc V =: sin i^ séc z,
a et !^ étant calculés, le triangle PQZ, dans lequel on connaît
ZQrr:^, ZP == 9, PZQ = 180° - a, donne ensuite
PQ=P, ZPQ = t, ZQP=u, par les formules
cos p := COS 9 COS 'Ç, — siu (j sin ^ cos a,
(0) i sin t =r sm a. sin L.coséc p,
[ sin u = sin 9. sin t.coséc 'Ç.
REMARQUE
Si l'on prolonge le grand cercle PQ jusqu'à sa rencoiltre B avec ^ g' la position de B relative à A sera donnée par la grandeur de l'arc AB ou par 180° — ii — v.
Détermine)', en nn lieu, la hauteur du pôle et la méridienne en mesurant au théodolite une série d'azimids et de hauteurs d'une étoile.
Solution : La solution a été développée dans le n" 17t2 du Cours, auquel nous renvoyons le lecteur.
En un certain lieu, on a mesuré une série de distances zénithales z' , z", z'", ... d'une certaine étoile, aux époques T , T., T", ...
lu
marquées iiar un chronomètre sidéral dont la marche constante est connue et égale à M.
On demande la colatitude o du lieu, la distance 2Jolaire ':£ de l'étoile, la série des angles horaires t' , t', t'", ... et la série des azimuts a' , a", a", ... correspondants aux mêmes époques.
Solution : 1° Soient, à une époque ronde instrumentale T connue et choisie vers le milieu de la série, )• la correction du chronomètre et t l'angle horaire cori'espondant. Nous aurons, en désignant par A) l'ascension droite de l'étoile :
; t = T + /• - Al,
\ en posant :
D'ailleurs, les relations usuelles
.'' cos z' = cos '2 cos 0 + sin '^ sin o cos t\ ''3) j cos z' = cos '£ cos 9 + sin [^ sin ç; cos f,
en nombre égal à celui des mesures, si l'on y remplace t' , t", ... par leurs valeurs (1) et si l'on pose
X = cos i? cos 5, Y = sin UÎ' sin s cos t, Z = sin ;-!? sin 9 sin t,
prennent la forme
l cos r' = X + Y cos y.' — Z sin a',
(4) ^ cos c" =: X + Y cos a" — Z sin a",
On résoudra le système (4) \rdv la méthode de Gauchy ou des moindres carrés, pour calculer ensuite t, [£, 0 par les formules
(5) '^Zi=-\
(6) cos (y? + 9) = X — Y' séc t = X — Z coséc f,
(7) cos (^1 — 5) = X + Y séc ( = X + Z coséc t.
L'équation (5) admet, entre 0 et 2z, deux solutions :
t, et f, = (z + t,),
t^ étant plus petit que ■::. Le problème admet seulement la solution ij ou t^ suivant qu'à l'époque T l'astre est à l'ouest ou à l'est de l'observateur, c'est-à-dire suivant que sa distance zénithale auiimente ou diminue.
La valeur de t étant choisie, les formules (6) et (7) donneront, entre 0 et x, les valeurs '■2m, '•In de {[t -+■ 9), {'I — ?)• Par suite, l£ et ç étant compris entre 0 et ::, on aura
:l 4- ç =: 1m ou 2- — 2m, 'i — 9 = ± 2?i,
m étant toujours plus grand que n. On tire de là quatre solutions pour les équations (6), (7), savoir :
On choisira celle qui convient au problème d'après certaines remarques que l'observateur ne manque jamais de faire ou certaines notions qu'il a toujours sur les grandeurs de [î et o.
La solution s, correspond à ç;<;^' î-? >- 5,
Pour choisir la solution convenable, il suflit donc de savoir dans quel hémisphère se trouve l'observateur et si Tétoile franchit son méridien du côte nord ou du côté sud.
2° t, 2, 9 étant connus, les équations (1) donneront la série t' ,t', ... des angles horaires, puis les formules
(8) sin fjî = sin a' sin z' coséc t' =: sin a" sin z" coséc t" = ...
donneront la .série a' , a", ... des azimuts.
REiL^RQUE.
Après le calcul de t, on connaît (r — ,h) qui est éiial à (l — T). Si donc, aux données de l'énoncé, on ajoute celle de r, on en conclura A) et réciproquement.
En un certain lieu, on a mesuré avec le théodolite une série d'azimuts a' , a", a", ... d'u7ie certaine étoile, aux époques T', T", T'", ... d'un chronomètre sidéral dont la marche constante est connue et égale à M.
On demande la colatitudc o du lieu, la distance polaire [2 de l'étoile, la série des angles Jioraires t' , t", t'", ... et la série des distances zénithales z' , z", z", ... correspondant aux mêmes époques.
Solution : Nous avons les relations bien connues
cot '^ cos ç- := sin 9 cos i' — sin t' cot a', (i) . cot 'I cos 9 = sin z cos C — sin f cot a",
en nombre égal à celui des mesures. Si donc nous introduisons les quantités T, t, r et a', a", ... définies comme dans l'exercice précédent, si de plus nous posons
( X = tgstu'^cosL y = tgotg$sint, Z = séc s tg ;! sin t, ^ ' { U r= séc o tg îT cos t,
CIIAP. I. — MOUVEMENT DIURNE ij'UNE SEULE ÉTOILE. 149
le système (1) devient
[ i = X cos a' — Y sin % — Z cet a' cos a' — U cot a' sin a', i?>) ! 1 = X cos a" — Y sin a" — Z cot a" cos x" — U cot a" sin a',
Le système (3) étant résolu par rapport à X, Y, Z, U par la méthode do Caucliy on celle des moindres cai'rés, on aura (, c, ij? par les formules
tg 9 cos f tg o sin t séc o sin i séc cp cos t
Ce calcul exige que l'on ait mesuré au moins quatre azimuts, quoique les inconnues se réduisent à trois distinctes. Si l'on se bornait à la mesure de trois azimuts seulement, les équations (3) seraient du deuxième degré par rapport aux quantités X, Y, Z, U.
Connaissant t, o, '2^ les équations (l) et (8) de l'exercice précédent donneront successivement les séries t', t", ... et s', z\ ....
La remarcjue finale de cet exercice s'applique encore ici. Mais voici une autre remarque qui ne sera pas inutile.
Les valeurs de 2', 2", z"\ ... ainsi calculées d'une manière indépendante de la rétraction, puisque ce phénomène n'affecte pas les mesures a', a', a"\ ... peuvent être comparées aux distances zénithales Z,' , j;", C'", ••• si l'observateur a eu le soin de mesurer ces distances en même temps que les azimuts. Les différences (2' — C)» (z" — ';"), {z'" — z'"), ... seront les réfractions observées. Ce procédé peut conduire à la construction empirique d'une table de réfraction.
Calculer la distance angulaire 2o de deux étoiles E „-b, ^), E' (^l)', y?') données par leurs coordonnées équatoriales.
Solution : On a évidemment :
cos 2o = cos ^ cos <-!' + sin ^ sin T cos (.^ — ^'),
ou bien, par des transformations faciles qu'il est inutile de développer,
cos 2s = cos 2P sin' d + cos 2Q cos- d, sin- 0 = sin- P sin^ d + sin^ Q cos- d, cos' c := cos' P sin' d + cos' Q cos' d, en posant
'I' + li^ = 9.P, ^I' —■! = 'iQ, Jl' —A^ = 2d.
REMARQUE
Ces formules donnent aussi la distance angulaire de deux points de la terre, supposée sphérique, qui auraient respectivement ^-b, ïh' pour longitudes et '£, 'J!' pour latitudes.
Connaissant les hauteurs affectées de la réfraction Ji, h' et les azimuts a, a' de deux étoiles E, E', calculer leur distance angulaire apparente A' , Corriger A' de V effet de la réfraction .
Solution : On a évidemment :
(1) cos A' = sin /( sin /«' + cos h cos h' cos (a' — a),
pour déterminer A' . Si on veut corriger A' de la réfraction, connaissant les erreurs oh, zli' dues à cette cause, qui affectent h, h' , il suffit de (lifférentier l'équation (1) en y considérant (a' — a) comme invarialjle. On obtient ainsi, en désignant par B, C les angles en E, E' du triangle ZEE' (fi g. 40),
(ti) cA' = o/j.cos C + Ih' cos B.
On obtiendrait immédiatement ce résultat par la première formule différentielle du tableau B (n" 16 du Cours), en y posant :
oA = 0, ca = ol', ob = >h, lc = oh'.
Géométriquement, le résultat s'obtient à vue.
Calculer les coordonnées équatoriales a, t> du milieu M de la distance angulaire 'Ho de deux étoiles connues E Çk», if), E' {^\>\ UC").
Solution: Les triangles EPM, E'PM (fig. 47) donnent respectivement :
sin y? sin (a — 3S) = sin M. sin c, — sin 'X' sin (a — Jj')= sin M. sin o, et
cos ^ r= cos To cos 3 + sin irj sin o cos M, cos lî' = cos îT) cos 0 — sin lo sin o cos M,
en désignant par M l'angle PME. L'une des formules de l'exercice 59 ayant donné o, on tirera a, to des deux équations
sin ^ sin (x — Jh) + sin T sin (a — .-b') = 0, '2 cos T,> cos 0 = cos i£ + cos T .
La première donne la formule
sin S sin A^ •+■ sin $' sin .h'
tg a =
sin S cos ,'b 4- sin ^' cos A:>'
152 LIVRE ni. — LA. TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
OU, en posant
tg- à =z tg d tg Q cot P,
la formule
tg s + 1g 'i/ ^ . ,,
1 tu S.tii 'J
c'est-à-dire
et la deuxième équation donne immédiatement
(2) ces î.> = cos P cos Q .séc c.
REMARQUE
<L est Pangle du grand cercle médian et du grand cercle bissecteur correspondants à l'angle P du triangle EPE'.
Calculer les coordonnées éqiiatoriales {ci,^)) gI {a'^p') du pôle A du grand cercle G passant par deux étoiles données E (.jb, S), E' {J\[)' , 'I') et du pôle A' du grand cercle de symétrie G' de ces étoiles.
Solution : Gonsidérons les trois triangles sphériques PAE, PAE', PAA' (fjg. 48) et désignons par ii, ti' les angles en A des deux premiers. L'angle en A du troisième sera évidemment | (z + tt + u') et ces triangles nous donneront respectivement les trois couples de relations suivants, (1, 4), (2, 5), (3, 6) :
(1) cos j3 cos ^ -f- sin p sin S cos (J[) — a) = 0,
(2) cos p cos ^' + sin p sin T cos {^^3' — a) =zO,
(3) cos p cos 2^' -t- sin p sin p' cos {a' — a) = 0,
(4) sin ]3 cos u = cos S,
(5) sin p cos tt' = cos (?' ,
(ti) sin p sin | (tt 4- h' ) :== — cos p' .
Les deux relations de chaque couple s'obtiennent immédiatement en appliquant les formules fondamentales de la trigonométrie sphérique au calcul des cosinus de (AE, PE), (AE', PE'), (AA', PA').
1» Les é(juations (1), (2) peuvent s'écrire :
tg jj cos «.cos ^h + tg- p sin a.siu ^h + cot ;.? = 0, tg p cos «.cos ^h' + tg p sin a. sin A)' + cot [^ = 0,
ou, en résolvant par rapport à tg jj cos a, tg j) sin a et introduisant les quantités s, d, P, Q précédemment définies (exercice 61),
sinîJÎ'sinii" tg2)cosrtsin'2d = sin(.s — d)cos;i' sin::^— sin(s + rf)cos'isinl|!'
= — sin s cos d sin 'iQ — cos s sin d. sin 'iP, •sin'i'sin;J?'tgpsinasin'2d=rcos(s— d)cosli!'sinfP — cos(s+d)cos^|sini£'
= — cosscosdsin2Q + sin s sin d sin 2P, et conduisent aux. formules
(, 2 sin îJî sin :i" tg p cos (a — s) = — séc d.sin 2P, ^2 sin iJ? sin [X' tg p sin {a — s) = coséc d.sin 2Q,
qui donnent, commodément pour le calcul numérique, {a — s) et j? par leur tangente.
REMARQUE
La somme des carrés de ces formules fournit la relation (8) (2 sin IJi' sin [l' tg pf = sin' 2P séc- d + sin^ 2Q coséc' d, qui nous sera utile dans l'exercice suivant.
2° Après avoir calculé a, p par les formules (7), on calculera successivement ii, n' , p' ^ a' par les formules (4), (5), (6), (3) qui sont très pratiques.
REMARQUE
Si on retranche les équations (4), (5), membres à membres, en se rappelant que
u' — w==Eb:' ==2c
15i LIVRE III. — L\ TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
est donné par les formules de l'exercice 59, on obtient la formule
sin p sin ^ {u + u') sin 5 := sin P sin Q,
ou, d'après (G),
— cos p' sin 0 = sin P sin Q,
qui conduit à l'égalité
j , sin-o — sin'Psin'Q sin'Psin'd + sin-Qcos'd — sin'Psin-Q
^ ^ ~ sin-Psin'Q ~" sin^P.sin' Q '
immédiatememt réductible à la forme plus simple
tg* p' = cot- P cos- ci + cot- Q sin- d.
Cette expression de tg- jj' nous sera utile dans un exercice procliain.
A quelle heure sidérale 6, deux étoiles données E {A), ^), E' (X', il') ont-elles même azimut, à 180° près^ dans un lieu de colatitude ç, et quel est cet azimut?
Solution : 1" Soient (fig. W) : t, V les angles horaires des étoiles à l'époque 6 ; a leur azimut commun à 180° près. Posons :
Nous avons, pour déterminer les inconnues a et t, les deux relations
-, , \ cot 'J sin s = cos 9 cos t — sin f cot o,
( cot T sin 9 = cos 9 cos t' — sin t' cot a.
Par élimination de cot a et introduction de t, d, P, Q, ces relations donnent immédiatement
sin -: cos d sin 2Q + cos - sin d sin ^P = cot z sin^dsinli' sin ^',
et, par suite,
(2) sin {-. 4- 6) =r 2 cos tl^ cot s. sin 'X sin S?' sin d coséc 2Q,
l'angle auxiliaire ù étant calculé par la formule
tg '^ ^ tg cl sin 2P coséc ^Q.
Ayant calculé t par l'équation (2), on aura t' =^ - + d, 1 = - — d,
oL ensuite a par l'une ou l'autre des équations (1). Enfin 0 par la
liiiiiiule :
Si l'on désigne par m le second membre de la relation (2), le problème ne sera possible que si m^ est inférieur ou égal à l'unité. Dans le premier cas il y a deux solutions, qui se réduisent à une seule dans le deuxième.
La condition m^ ^1, après substitution à cos '^ de sa valeur en fonction de tg ^1^, c'est-à-dire de rf, P, Q, peut s'écrire
(2 cot 9 sin 'I sin ^Y < sin- 2P séc^ d + sin^ 2Q coséc* d,
ou
cotg^ 9 <tg-2J,
en vertu d'une relation connue, p désignant la distance polaire du pôle du grand cercle passant par les deux étoiles.
A quelle heure sidérale 0, deux étoiles connues E {h, '!)■, E' (el)', [î') sont-elles à la même distance z du zénith d'un lieu de colatitude s et quelle est cette distance?
Solution : Soient t, t' les angles horaires des étoiles E, E' à l'époque 0. On a :
(1) cos z = cos 9 cos '£ + si n ç. sinix'cos ^ = cos ç cos Li" -^ sin ç sin 'X' cos f ' ,
quatre équations qui déterminent 0, t, t' et z.
Les équations (1) et (3) donneront pratiquement 0 et c dès que t
et t' seront calculés. Pour rendre ce calcul symétrique, posons :
c2' + iS = 2P, t' + t = 2t
Mj'.x — 20, t' —t =2d = Aj — A)',
et mettons l'égalité des deux valeurs de cos z sous la forme
t2cot9,sinPsinQ=:sin(P + Q) cos (- + d) — sin (P — Q)cos(': — rf),
cot 9 sin P sin Q =: cos t cos d cos P sin Q — sin - sin d sin P cos Q, cot o = cos t cos d.cot P — sin -: sin d cot Q.
Posons :
tg- à = tg d tg P cot Q,
et nous aurons, pour calculer t, l'équation :
(4) cos (t + 'b) = cos (^ cot tp ,tg P séc d. Le problème aura deux solutions, si la condition
cos^ <ii cot^ 0 tg- p séc- d <; 1,
oa, en prenant pour cos^ ù sa valeur en fonction de tg^ t!;, c'est-à-dire de (tg d.tg P cot Q)^, si la condition,
(5) cot^ 9 <; cos^ d cot^ P + sin^ d cot- Q,
est remplie. Ces deux solutions se réduiraient à une seule si cot^ o était égal au second membre de l'inégalité (5).
T étant calculé, t, t', 0 et « s'obtiennent immédiatement par les formules précédentes.
Établir, a priori, les conditions de possibilité des deux exercices précédents.
Solution : 1° Pour que deux étoiles puissent avoir même azimut, à 180° près, à un moment commun, il faut et il suffit que le grand cercle G, déterminé [lar elles sur la sphère céleste, puisse devenir
vertical ou passer par le zénith Z de l'observaleur, dans le courant de sa rotation diurne autour de l'axe du monde PP'. En d'autres termes, il faut et il suffît que les pôles Aj, A, de G puissent traverser l'horizon ou se lever et se coucher.
Soient j9,, p, les distances polaires de Aj, \^ et supposons Aj plus voisin que A^ du pôle P de la sphère céleste, visible pour l'observateur. Nous avons
Pj -<:]), =■ 180° — ;>i.
La condition du lever et du coucher de Aj est exprimée par
90° — ç <Pi, où © désigne la colatitude, ce qui entraîne l'inégalité
c'est-à-dire la condition du lever et du coucher de A2. Si p désigne la distance polaire d'un pôle quelconque de G, la condition double de son lever et coucher peut s'écrire
ou encore
cot-;? < tg- jj.
Si nous remplaçons, dans (1), tg- p par sa valeur trouvée dans l'exercice G2, nous aurons la condition déjà établie dans l'exercice 63.
Ainsi l'exercice 63 a 0, 1, 2 solutions, suivant que le point A,, assimilé à une étoile, est circompolaire, touche l'horizon, se lève et se couche pendant sa rotation diurne,
2" Pour que deux étoiles puissent avoir même distance zénithale, à un certain moment, il faut et il suffit évidemment que les pôles A|, Al du grand cercle G' de la sphère céleste, mené à égale distance de ces étoiles et perpendiculairement à G, puissent se lever et se coucher; en d'autres termes, que le cercle de symétrie G' de ces étoiles puisse devenir vertical ou passer par le zénith de l'observateur.
Si p' désigne la distance polaire d'un pôle (juelconqne de G', r inégal! té
(2) cot^.<tg^j)',
exprime la condition nécessaire et suffisante de l'exercice 64, après substitution à tg' p' de son expression donnée dans l'exercice 62.
Ainsi, l'exercice 64 a 0, 1, 2 solutions, suivant que le point k[, assimilé à une étoile, est circoinpolaire, touche l'horizon, se lève et se couche pendant sa rotation diurne.
Corollaire. I
Si les inégalités (1) et (2) sont l'une et l'autre satisfaites, les deux étoiles, dans leur révolution diurne, auront successivement même azimut et même hauteur aux heures sidérales respectives 0 et 6' du lieu de colatitude o, heures calculables par les formules données précédemment.
On voit d'ailleurs que pour deux étoiles données, il y a en général une infinité de valeurs de 9 qui satisfont à la fois à ces inégalités.
REMARQUE
Les conditions de possibilité des deux exercices précédents résultent immédiatement de ce que la condition de réalité des racines de toute équation de la forme
a un X -h h cos x =z c, est
Quelle est la condition pour que deux étoiles E (A>, 'I), E' (^^', if') , traversent en même temps V horizon d'un lieu de colatitude 5?
Solution : 1° La condition nécessaire et suffisante pour que E, E' puissent traverser en même temps l'horizon du lieu, est que l'un des pôles A du grand cercle EE', pendant sa révolution diurne, passe par le zénith ou le nadir du lieu, c'est-à-dire
tg- p = tg- î,
en désignant par j? la distance polaire de A, ou bien, en adoptant les notations des exercices précédents et remplaçant tg^ p par sa valeur tirée de (8) (exercice 62),
(i) ('2 sin '.2 sin T tg of — sin- 2P séc' d -4- sin^ 2Q coséc- rf.
Supposons la condition (1) remplie et calculons les angles horaires (, t' des étoiles E, E' à l'époque de leur passage par l'horizon. Les formules connues
COS t := — COt Ç-.COt IJ?, COS t' =z — COt O . COt '£' ,
donnent
où T est un angle pris en valeur absolue entre 0 et z. Le signe vioins répond au lever, le signe ^^ius au coucher.
L'époque sidérale 0 à laquelle les deux étoiles sont en même temps à l'horizon du lieu est fournie par l'une ou l'autre des formules
où les valeurs de t, t' doivent être prises avec des signes tels que l'on ait
Les levers de E, E' ou leurs couchers sont simultanés s'il faut prendre les valeurs de t, t' , toutes deux négatives ou positives. Le lever de E est simultané du coucher de E' ou inversement s'il faut prendre t négatif et t' positif ou inversement.
Dans l'intervalle de 24 heures sidérales, la simultanéité des passages de E, E' par l'horizon considéré n'aura lieu qu'une seule fois, à moins que l'on ait
<2d = A' — A^ = 0, ou 180".
Dans le premier cas, l'équation (1) se réduit à
sin* 2Q r= 0, on doit avoir
2Q = 0, ou 'I'^^^;
les deux étoile.? se confondent.
160 IJVRE Iir. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
Dans le deuxième cas, l'équation (i) se réduit à
sin^ 2P = 0, on doit avoir
2P = 180°, ou T + :î = 180°;
les deux étoiles sont diamétralement opposées et le lever de l'une est toujours simultané du coucher de l'autre. Cette simultanéité se produit à 12 heures sidérales d'intervalle ou deux fois en 24 heures.
2° On obtient facilement la condition cherchée en appliquant le problème 64^ dans le cas où z = 90».
On a en effet :
cos t :^ — cotg 0 cotg yj, ;
COS t' =: — cotg s cotg S£" ;
d'où
cotg o sin 2P
2 cos T cos a := . ' — — - 5
. sin ;X sm a
^ ^ ^ cotg 9 sin 2Q
2 sm T sm a := : — ^r — •
sm li^ sin 'I'
Eliminons - et nous aurons la relation demandée
(5) (2 sin i^ sin :i" tg s)- =: sin- 2P séc- d + sin- 2Q coséc- d.
Deux étoiles connues se lèvent et se couchent en même temps en un certain lieu. Trouver la colatitude de ce lieu et le temps.
Solution : Il suffit de reprendre les formules de l'exercice précédent qui donnent immédiatement ç, t, t' et 0.
Le lieu des points zénithaux dont l'horizon est traversé au même moment par deux 'étoiles données se compose évidemment des deux, parallèles célestes décrits par les pôles du grand cercle que délerminent ces étoiles.
G8« Exercice.
Deux étoiles connues E (,ib, '!), E' (.1.', T) ont même azimut, n 180" j)res, à une heure sidérale donnée 0 d'un certain lieu. Calcider cet azimut a et la colatitude 9 du lieu.
Solution : En conservant les mêmes notations, les équations (1) et (2) de l'exercice 63'' s'appliquent à celui-ci. Connaissant 0, on a d'abord
on tire ensuite 9 de l'équation (2) et a de Tune ou l'autre des équations (1).
Deux étoiles connues E (Jj, 'J!), E' (A<' , 'I') ont même dislance zénithale à une heure sidérale donnée 6 d'un certain lieu. Calculer cette distance z et la colatitude 0 du lieu.
Solution : En conservant les mêmes notations, les équations (i), (2), (3), (4) de l'exercice 64^ s'appliquent à celui-ci. Connaissant 9, 011 a d'abord
e rrr 0 - .1,, V =^- .1/, T == 0 - ^ (,l, -+- .1/).
On tire ensuite 9 de l'équation (4) et :; de l'une ou l'aulie des équalions (1).
Deux étoiles connues E Çl), :i"), E' (,V, '.i!') ont même azimut connu a, à la même époque sidérale d'un lieu. Calculer cette époque 0 et la colatitude 9 du lieu.
162 LIVRE III. — LA TFnnr: et le mouvement dierne.
Tl'' Exercice.
Deux étoiles connues E (,{>, 'I), E' (^h' , ;i") ont même distance zénithale connue z, à la même époque sidérale d'un lieu. Calcule)' cette époque 6 et la colatitude z, du lieu.
Le lecteur trouvera aisément la solution de ces deux exercices faciles.
En un lieu de colatitude donnée ç, qïiclle est Vhcure sidérale^ à "t laquelle les hauteurs de deux étoiles données E {,\h 'I), E' (A/, ^') sont égales et de signes contraires? Calculer, pour cette époque, ] les azimuts a, a' et les distances zénithales z, z' de ces étoiles.
Solution : Si nous désignons par t, t' les angles horaires de E, E' à l'époque 0, nous avons le systène d'équations
(2) cos z = cos [^ cos ç -1- sin ;i' sin ç cos t,
(3) cos z' = cos 'X' cos 0 + sin ÎJ!" sin ç; cos t' ,
entre lesquelles l'élimination de ;:, z' donne
(4) (cos il' + cos il') + tg 5 (sin ^ cos t + sin (ï" cos (') =: 0, ou, en conservant la notation des exercices précédents,
(5) sin P cos Q cos d.cos- + cos Psin Q sin rf sin t + cot z. cos P cos Q = 0 ; -: étant déterminé et calculé par l'équation (5), ou aura
on calculera enfin z, z' par les formules (2), (.3) et a, a' par celles-ci :
sin a = sin y? sin i coséc z, *sin a' = sin '^ sin t coséc z' ,
Nous abandonnons la discussion au lecteur.
En un lieu de colatitude donnée 9, quelle est V époque sidérale 6 à laquelle les azimuts a, a' de deux étoiles connues E (^^, ^), E' {,y , !i") sont égaux et de signes contraires? Calculer, à cette époque, les valeurs de a, a' et des distances zénithales correspondantes z, z' de E, E'.
Solution : Si nous désignons par t, i' les angles horaires E, E' à l'époque 6, nous aurons d'abord le système d'équations
(2) cot 'I sin 9 = cos 0 cos t — sin t cot a,
(3) cot •!' sin 9 = cos 9 cos (' — sin t' cot a' ,
entre lesquelles l'élimination de a, a' donne
(4) (sin (' cot 'I. + sin t cot [i') = cot 9 sin {V + t). Posons
^^ ( f'-t = A^- ^' = 2d, 'l'—'î^'lQ,
nous pourrons, pour déterminer l'inconnue auxiliaire t, mettre l'équation (4) sous la forme
(6) sin 2P cos d sin ■: + sin 2Q sin d cos - = cot 9 sin '-? sin ;i" sin 2t,
T étant connu par la résolution de l'équation (6), les premières formules (5) donneront t, t' et. les formules (2), (3) donneront a, a'. On calculera ensuite 0, -, z' par les relations
f) = t + A^ = t' + ,1)' , sin z = sin ;.? sin t coséc a.
sin z' = sin il" sin V coséc a' .
Nous ne nous arrêterons pas à la discussion du problème.
104 LIVRE Iir. — LA TF.RRE ET LE MOUVEMENT nirRNE.
On a ohset'vé les époques sidérales 6, 6' pour lesquelles deux étoiles connues E {.h, ;i*), E' Çh' , î£') atteignent respectivement la même distance zénithale. Calculer cette distance z et la colatitude 5 de V observateur.
Solution: Les aniiies horaires t, l' des rloux étoiles aux époques f), 0' sont
et, pour déterminer z et ç;, nous avons les deux relations
(1) cos z =1 CCS 9 ces Li? + sin s sin :-!^ cos t,
(2) cos - = cos 9 cos !l' + sin o sin 'X' cos t',
qui donnent
,^. , cos S' — cos i£
(3) tg O = r : ■ , j
' sin y; cos t — sin y; cos t
ç étant calculé par la formule (3), z sera calculable par l'une ou l'autre des formules (1), (2).
7o« Exercice.
On a observé les époques sidérales 0, 0' des passages de deux étoiles E {A), '^), E' {Jj' , %') à travers le même cercle vertical. Ccdculer la colatitude o du lieu et l'azimut a du cercle vertical.
Solution : Soient t, t' les angles horaires, on a
( cotg- ^X sin 9 = cos 9 cos t — sin ^ cotg a, { cotg 'J' sin 9 = cos 9 cos t' — sin (' cotg a, • ou bien
S *^°^ ' tg a cos 9 — cotg l-P tg a sin 9 = sin t, ^ cos t' tg a cos î> — cotg û' tg a sin 0 = sin i'.
ClIAP. II. — MOUVEMF.NT DIURNE DE DEUX ÉTOILES. 165
Prenons tg a cos 9, ty a sin 0 pour inconnues. Les équations (3) résolues par rapport à ces quantités nous donneront
V ^ ' cos t cotg- IX — cos t cotg X
^•'*-* j sin t cotg IJJ' — sin V cotg SS ^
I 1- a cos 9= ,.,„ i eoto- iX"- cos t' c";^^ "~
En désignant par M, N les seconds meudjres de (4), on déterminera s et a par les relations
\y) '^ "^ N sin o cos o
On a observé, au même moment, les distances zénithales z^, ', de deux étoiles connues E. (A.„ iX,), E,(A.,,;I,). Quelle est la colatitude 9 de rohscrvatenr et Vheure sidérale locale 0 de Vobsevvation?
Solution : Désignons par t, , t, les angles horaires de E^, E, au moment de l'observation et posons
on sait que
et que les triangles PZE,, PZE, (fig. 50) formés par le pôle P de la sphère céleste, le zénith Z du lieu cherché, respectivement avec chacune des étoiles, donnent immédiatement les relations
cos z^ = cos li\ cos 9 + sin '.ij sin 9 cos t^, • cos z, = cos 'I,^ cos 9 4- sin li'^ sin 9 cos t.^,
ou bien, en remplaçant ij , /, par
t, r= T + (/, /, = T — rf, et posant
a; = cos 9, ij =^ sin 9 cos t, it = siî' ? «i" ''
les relations équivalentes
X cos U\ + y sin 'X^ cos d — u sin $j sin d = cos z^, X cos ij?, + ij sin 'ï^ cos d + u sin m?, sin d = cos r^,
qui, jointes à
donnent pour a;, y, u deux systèmes de valeurs simultanées x', y', i/' et x", y", u". Si ces systèmes sont réels, les valeurs o', t' et s" t" de 9, T correspondant à chacun de ces systèmes, sont fournies par les équations
(1) C0S9'=X', COSt' =7/' COSéc^', sinT'=r:H' COSéCç',
(2) COS o" = x", cos t" = y" coséc o", sin -." = u" coséc 9",
9' et 9" devant être compris entre 0 et ::, -' et t" étant donnés à la fois par leur sinus et leur cosinus ne sont susceptibles que d'une seule détermination par les équations (1), (2).
Il y aura deux lieux Z', Z" répondant à la question et l'heure sidérale locale de l'observation sera pour chacun d'eux respectivement
Quant à la réalité des valeurs de x, y, u, à laquelle est subordonnée l'application des formules (1), (2), (3), (4), le moyen le plus court de la constater consiste à calculer la distance angulaire 5 des étoiles par la relation
cos 0 == cos ^, cos 3*2 -h sin X^ sin ^^ cos 2d,
et de voir si l'on peut former un triangle sphérique avec c, z , ^,, c'est-à-dire si l'un quelconque de ces arcs est plus petit 'que l'a somme des deux autres. Lorsque ce triangle est possible, il existe évidemment deux lieux à l'intersection des cercles décrits de E , E, comme pôles avec z„ z, pour rayons respectifs, qui répondent'! il question et l'emploi des formules précédentes donne des résultats léels.
REMARQUES
I, Si l'on observe simultanément trois étoiles, on a trois
équations linéaires en x, y, u, le problème n'admet plus qu'une seule solution.
II. Si l'on observe quatre étoiles ou un plus grand nombre, il faut résoudre les équations en a>, ;/, u par la métbode des moindres carrés, pour obtenir la solution unique la plus probable.
On a observé les azimuts simultanés a, a' de deux étoiles connues E Lh, '£), E' {.h\ '!')• Calculer la colatitude o de l'observateur et Vheure sidérale 0 de l'observation.
Solution : Si t, t' désignent les angles horaires simultanés des deux étoiles, nous avons les quatre relations :
(I) 6 = e -i- .ii = t' + ^y,
(2) cot 'X sin ç = cos ? cos t — sin t cot a,
m cot '£' sin cp = cos ? cos t' — sin t' cot a',
pour déterminer les auxiliaires t, t' et les inconnues ?, 0. Posons
, S£' + ii=r2P, .r^ ^ t' + t = 1-,
G4) \ .^- .j; ^ QQ, ^'^^ ( t' - f = A. - .1/ = 2cZ,
les équations (2), (3) pourront s'écrire
(cotL£ sinc>=:(cosocosrf + cota sind)cos- + (coS9sincZ-cota cosd)sinT, P |cotS'sin9=(cosicosd-cota'sind)cos--(cos9sind + cota'cos.0sniT.
Les équations (0) étant résolues par rapport à ç et -, les relations (5) et (1) donneront t, C et G.
Voulant, pour déterminer l'heure, prendre au sextant la hauteur de Vétoile A, on a mesuré, par erreur, la distance angulaire
A'B =: S d'une étoile B à l'image A' de A sur le hain de mercure OH le miroir en verre. Com^aissant les coordonnées équatoricdes Jh, 2); Jh' , iD' des deux étoiles, calculer :
i" Leurs distances zénithales z, z' et leurs angles horaires t, t' au moment de V observation ;
2° Uangle, à ce moment, du limbe du sextant avec le vertical de X ou de A'.
Solution : 1° Soient (fig. 50 bis) :
o = \d latitude de l'observateur; V + t = 1x; t' -t = '2y. = ^h-A)';
m = AB la distance angulaire des deux étoiles; 2co = leur différence d'azimut AZB au moment de l'observation.
On a les relations
( cos z =: sin 0 sin £D + cos o cos ID cos t, ( cos z' = sin 9 sin CD' + cos o cos lî)' cos t' ,
fournies par les triangles PZA, PZB. Les triangles ZAB, ZA'B donnent ensuite
cos m =z cos z cos z' + sin z sin z' cos ^w, cos s = — cos z cos z' + sin z sin z' cos Su,
d'où l'on tire, en retranchant membre à membre,
2 cos z cos z' = cos m — cos s.
L'arc s est donné par l'observation et l'arc w par la formule
cos m = sin 'J) sin iD' 4- cos 2) cos 2)' cos 2 a,
on peut donc regarder 2 cos z cos z' comme connu.
Les équations (i) multipliées membre à membre donnent
cos m — cos s = 2 sin' o sin IT sin 2)'
2 cos* s cos 2) cos 3) ' cos < cos f ' .
(2) j +2sin5COSî(sinLi)cosii)'cost' +sinM)'cosiî)cosf)
CHAP. IL — MOUVEMKNT DHIRNE DE DEUX ÉTOILES. IbO
Mais
2 cos t cos t' = cos 2x + cos 2 a.
I/équation (2) est donc de la forme
i ;')) A cos 2x + B cos .r + C sin x + D = 0,
où
A = cos- 5 cos £t) cos iD' ,
B— sin 2 9 sin ('i^ + fi^') cos a,
C= sin 2^ sin ('i»' — !J>) sin a,
.L)=:2sin^9sinM^sinlJ)' + cos'î cos lO cos [S^' cos 2a — (cos iu — cos s).
L'éqnation (Ij) est du quatrième degré en sin x ou cos x et il est facile d'interpréter les quati'e solutions.
On connaît une valeur approchée de la racine x qui nous intéresse en répondant à la question. En effet, l'erreur commise est due à ce que les étoiles A et B, que l'on a d'ailleurs reconnues après l'observation, sont sensiblement dans le môme vertical. On a donc approximativement
en prenant le signe + ou le signe — suivant que B sera au-dessous ou au-dessus de A. On tire de là d'abord
Avec cette valeur de z, on déduit t de la première équation ([) et, par suite, une valeur approchée {t + a) de x. En partant de cette valeur approchée, on déduit, par la règle des approximations successives de Newton, la solution exacte de (3) qui convient à la question.
X étant trouvé, les formules précédentes donnent innnédiatement f t' ~ "'
2" Au moment de l'observation, le plan du limbe du sextant est celui de l'arc A'B; les angles qu'il forme avec les verticaux ZAA', ZB sont donnés par le triangle ZA'B dont les trois côtés sont actuellement connus. On a ainsi :
cos -' + cos s cos z
cos t = : : •
sm s sin r
3" Si l'on veut tenir compte des effets clz, dz' de la réfraction sur z, z' , il suffit de calculer cl s par la formule
ds = dz cos A' + dz' cos B,
puis de recommencer les calculs précédents en y remplaçant s par s + ds.
