OLL
peut atteindre une valeur très sensible, dans certains cas, par exemple lorsque L^ peut passer très près de 0 dans le cours de l'éclipsé. Mais, dans tous les cas, l'angle 7 est représenté, sur la sphère 0, par
l'angle PIL' qui diffère très peu de l'angle PS'L' parce que S', comme s, est toujours très rapproché de I à cause du grand éloigne-
ment du Soleil ou de la petitesse de l'angle OSL = lOs qui est surtout marquée pendant une éclipse de Soleil. On a donc sensiblement
7=rPS^',
î représente, à peu près, à une époque quelconque de l'éclipsé, pour l'observateur M, l'angle de position du centre de la Lune par rapport au centre du Soleil, compté de gauche à droite sur le disque solaire, à partir du point nord de ce disque, point déterminé par le cercle horaire PS'.
Les points du disque solaire, touchés par le disque lunaire aux moments où l'observateur M traverse la surface du cône d'ombre ou de pénombre sont donc connus et définis par les valeurs correspondantes de î. La Lune s'avançant de l'ouest à l'e^t sur le Soleil, le
premier contact a lieu à l'ouest pour une valeur de 7 supérieure à 180», et le deuxième contact a lieu à l'est pour une valeur de a inférieure à 180°, quel que soit d'ailleurs le cône considéré, c'est-àdire qu'il s'agisse d'une éclipse partielle, du cône de pénombre; ou d'une éclipse totale, du cône d'ombre pure. On prendra donc toujours, dans les formules (23),
le signe inférieur, pour le premier contact ou d'entrée; le signe supérieur, pour le deuxième contact ou de sortie.
Nous désignerons les valeurs correspondantes de 7, - par a,-, T; et c^, Tg. Si, dans la lunette astronomique qui retourne les objets, on désigne par P l'angle de position d'un contact, compté dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, sur l'image du disque solaire, à partir de son point nord, on a toujours
quel que soit le contact, ou
' ( + 2*^ contact.
On corrigera séparément les éléments 7;, Tj et 7^, -g de chaque contact par une deuxième approximation, en prenant T^ + t; pour le premJer et T,, + t^ pour le deuxième au lieu de T^ et recommençant la série des calculs précédents. Ajoutons qu'une troisième approximation est généralement superflue.
La moyenne des valeurs finales de T;, Te répond sensiblement à l'époque de la plus grande phase de l'éclipsé.
Si, dans la première approximation, on avait
Lo < m sin (M — N),
'V ne serait pas réel et il n'y aurait probablement pas d'éclipsé pour M. La moyenne t,„ des deux valeurs imaginaires conjuguées de x est toujours réelle :
-:,„ = cos (M -- N),
et une deuxième approximation, en partant de T,, + -,„ au lieu de T^
ç' ^poR-sino' cos(Ô-a)'^^^ ""^
r/ ^ PqPi sin ç' .cos p sin (0 — a)
dT
dT
en donnant à o, p leurs valeurs à l'époque pour laquelle on veut ^', r/.
est nécessaire pour décider s'il y a réellement éclipse ou simplement ^ appulse, c'est-à-dire si le bord de la Lune passe seulement très près j de celui du Soleil. Dans ce dernier cas, -„ répond à l'époque de la plus courte distance des deux bords.
7° Nous avons dit que les valeurs numériques de x, y, z, r, calculées pour des valeurs équidistantes de T, permettent de former leurs différences de divers ordres et, par suite, les valeurs numériques de leurs dérivées x' , y\ ;', -/;'. Mais la faible variation de a, p permet de calculer plus simplement ;', •/;' par les formules tirées de (13)
OCCULTATION D'UNE ÉTOILE 3*c PAR LA LUNE C
Une étoile n'est autre chose qu'un soleil, de diamètre apparent nul, situé à une distance infinie de la Terre et dont la position est fixe sur la sphère céleste. Les formules d'occultation se déduisent donc des formules d'éclipsé de Soleil, en y introduisant les valeurs particulières
h=0, m-ixi'=0, .h'=M, T=^^.
On a alors, en faisant p^ =z i,
H = 0, a = .h^, p = ^I^, g = i, f=0, log/^=r: 1,43537
et, en adoptant la notation de la Connaissance des temps, mise entre parenthèses,
sin ^f sin (lif — A^^)
sin lo
sin d?^c cos 'If — cos ^^ sin f e cos (jbc — Ai*)
sin jf)
^ ^ =: (u) = R sin s' sin t,
i r, = (v) =: R sin ^j^ cos 9' — R cos I^f. sin 9' cos t,
La Connaissance des temps fournit, pour l'époque Tg en temps moyen de Paris, les valeurs de (Po), (q^), (p'), {q') qui dépendent exclusivement des coordonnées de la Lune et de l'étoile à cette époque. Elle donne, en outre, l'angle horaire à Paris, t^, de l'astre occulté pour l'époque Tq.
L'angle horaire t de cet astre, pour le lieu M, à l'époque de l'occultation, peut, dans une première approximation, être pri.<
égal à
et, par suite, les formules
/ ^„ = (u,) = R sin ç' sin {t, + 'I) y;^ = (v^) — R cos 9' sin ^^ — R sin 9' cos ^^ cos {t^ + J),
;; = (it') = R sin 9' cos (to + ï)
r/9 ■^ô = (^') = I^ sin 9' cos 1?^ sin (f,, + H!) • 77^'
log ^ = log 3609,86 X lo X sin 1' = 1,41916,
permettent d'obtenir facilement les valeurs de (h), {y) au temps du lieu T„ + H!, 'et avec une exactitude suffisante celles de leurs variations horaires {u') et (r').
En posant
(Po) — ("0) = "^ sin M, {p') — (u') = n sin N,
(?o) — (^'«) = "^ cos M, (g') — ('''') = '1 cos N,
cos 6 =z - sin (M — N), log A: = 1,43609,
on obtiendra aisément les quantités m^ M, n, N, 'h. Les auxiliaires îu, n étant toujours prises positivement, les angles M, N sont complètement déterminés. L'angle 'b doit toujours être pris entre 0 et + 180".
Les formules
/ m cos (M — N — <l)
\ -; = pour 1 immersion,
^ n cos 6
i m cos (M — N + 'l\ .,
f Te = ^■^ pour 1 emersion,
[ n cos 'b
dans lesquelles t^, Tg sont exprimés en fraction d'heure moyenne, donnent en temps moyen du lieu, comme première approximation, les époques de l'immersion 'bi et de l'émersion ïj^
Si l'on voulait obtenir une plus grande précision dans le résultat, il faudrait recommencer le calcul en déterminant séparément, pour les époques de la rentrée et de la sortie, les quantités {p), ('/)•.. Pour l'éinersion, par exemple, on calculera
{P)-(Po) + {P')'e,
le nouvel angle horaire
r ^ t + t, • ^ • 15^= f + ^e'%- 15.3600", ai al
et ainsi de suite.
Enfin, P et a désignant, sur le petit disque stellaire, les mêmes quantités que sur le disque solaire dans les éclipses de Soleil, et P' étant l'angle de position d'un contact compté sur l'image de la Lune comme précédemment P sur celle du Soleil, on a les relations évidentes
P + a = 180% P' — P r= 180°, d'où
270° — N — 'J; immersion.
270° — N + '^ émersion.
149e Exercice.
Calculer l'effet d'un petit déplacement de l'observateur sur les époques d'immersion ou d'émersion d'une étoile occultée par la Lune.
Solution : L'équation générale d'une occultation est (voir Connaissance des temps) :
(1) [(p - u) + (p' - u') zf -f- [{q -v) + (q' - v') tI' = k\
où p, q,p', 7', sont des fonctions du temps de Paris calculées pour une époque T connue; ii, v, u' , v' des fonctions de la position r, '£, v de l'observateur à la surface de la Terre; t la correction de T, telle que T 4- T soit l'heure, en temps de Paris, de l'immersion ou do l'émersion.
- est donc une fonction de [î, 9 et si les coordonnées de l'observateur varient de cZ:i,', do,-: variera de dx. En différentiant l'équation (1), . on a la relation
(2) F[{p' — u')d- — du — -clu'] + Q[(q' — v')d---dv — '.dv']=0, ' en posant
(3) P = (iJ - u) + {p' - h') t, Q = {q - v) + {q' - v') -,.
Si T est l'époque exacte, obtenue par un calcul préalable, de l'immersion ou de l'émersion, on aura t = 0 et les équations (3) et (2) deviendront
(4) P=zp — u, Q = q — v,
Vdîi+Qdv
P(p' -ii') + Q(q' -v') d'ailleurs, on a
du=z - u' d'i — /' sin 0' sin /(. dç-
dv =: - v' dli + )' (cos Ç-' cos '3 + sin 0' sin 'J) cos h) dç', K
en supposant di£ et do' assez petits pour que dr soit négligeable.
Si le déplacement de l'observateur est l et f dans les sens respectifs de la longitude et de la latitude, on aura sensiblement
-/' cos o' .d'i = l, r di' = f, et, par suite,
( du ^l cos /i — f^'in 9' sin /*,
^ ^ ( dv ^= l sin LD sin h + f (cos 0' cos SD + sin 0' sin LD cos h).
l et /"sont exprimés en rayons terrestres équatoriaux et d- en heures moyennes.
Les formules (4), (5) et (6) ou (7) résolvent la question.
