G' = W + D* - 2DD' — (D' — D)'- = D'« (1 — H

ou, enfin,

si nous posons

La Connaissance des temps donne directement A' , ^' et A^, ^, mais elle ne donne pas directement D' et D, rapportés à une même unité de longueur. Désignons par p^ le rayon équatorial de la Terre, par A le demi-grand axe de l'orbite terrestre et posons

(10) d'=^' smif>' ='^, sinïrf = ^- ^ ^ A A D

La Connaissance des temps donne la constante xo' , parallaxe horizontale équatoriale moyenne du Soleil et les variables d' , lo pour tous les jours de l'année à midi moyen de Paris, d' est la distance du Soleil à la Terre mesurée avec A, et î;> est la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune.

On tire des définitions (10)

d' 1 ,^ sin V)'

(11) D' = -— • po, ^ = :rz^- ?o, H =

sinc^' '^'" sind ^'" d' smiiS'

sin Jf>'

La direction {a, p) deOz est évidemment celle de l'axe commun aux cônes d'ombre et de pénombre perlés par la Lune sur la Terre.

2" Ouvertures des cônes d'ombre et de pénombre. — Si

nous désignons par r et ;•' les rayons des globes lunaire et solaire,

l'ouverture /de ces cônes est donnée par la formule évidente

r' ± r ( + pénombre,

sin /■= ,

G ( — ombre.

Posons

h sera le diamètre apparent moyen du Soleil, et nous aurons

r' A . , sin h — = — sin h ^= -r

sm ij par suite,"

^' . , (sin h ± k sin ïr>') po sin h ± k sin î;^'

(12) smf= j:r—. r, = r, ;

^ ^ ' G sin o gd

en substituant aux constantes h, k, vi leurs valeurs numériques

h = 15' 59",788, k — 0,2725, log sin xr>' = 5,6186145,

on trouve

log (sin h + k sin tij') = 3,668.804,

log (sin h — kûnx,y) = 3,666.903.

3° Sommets des cônes d'ombre et de pénombre. — La

distance o au centre de la Lune des sommets des cônes est donnée par la formule évidente

sin f 4° Prenons pour axes de coordonnées rectangulaires (f\g. iOS) :

Oz précédemment défini;

Oij dirigé du côté du pôle nord P, dans le plan du cercle horaire

Pldel; Ox du côté de l'est, de telle sorte que l'ascension droite de Ox est

90° 4- a et celle de 0 y est 180° + a.

Désignons l'arc IL par u et l'angle PIL par v\ cet angle étant

compté à partir de IP, de gauche à droite pour le personnage fictif ayant les pieds en 0 et la tète en I.

Les coordonnées x, y, z sont données par les formules

/ . sin 2 sin Qi — «)

X ^=D sin u sin v = -. — — • p.,

sin xii ^

z =T) COS M

sin p cos iî — cosp sin $ cos {A^ — a)

sin iT) cospcosS-4-sin]3sin^cos(Ao — a)

\) \ sin «cos IX — cos w sin ix cos Ut) — a)

(Vz) ( ?/ = D sin u cos v =^ -. — ^-p.,

^ - 1 sin iT) ^^

sin x6 ''"*

Les coordonnées ^, •/;, ^ c^'un lieu terrestre M, de colatitude &', de rayon p =:= Pipo, sont, à l'époque sidérale 0 de ce lieu,

/ ç = R.sin o' sin (0 — <^).?oî (-4:3) < Tj = R.[sin p cos o' — cos jj sin ç' cos (6 — c^)].pQ, ' '(:=:?<. [cos p cos îjs' + slu p sin 9' cos (0 — fOl'po-

Les distances c au plan xOj/ des sommets des cônes d'ombre et de pénombre sont évidemment

-h pénombre,

— ombre. *

^ sin f (

Le plan, mené par M parallèlement à œO?/, coupe les cônes suivant des cercles dont le rayon L est évidemment {c — l) tg /, et si M est sur l'un de ces cônes, sa distance M^Li à LS sera égale à ce rayon, c'est-à-dire qu'on aura

- (15) {X - ^f- + {y - r,y = (c - 0^ tg' f =. L\

relation fondamentale dans la théorie des éclipses. Posons :

Désignons par c l'angle de M,Lj avec Oy, compté de gauche à droite, à partir de 0^ nous aurons, à une époque quelconque, les équations

l'A sin, = .-.:,

( A cos 7 = î/ — r„

dont le système peut remplacer l'équation (15) lorsque A = L.

5" il/, ;î', d' , Ai, îî, îT» so:it des fonctions du temps moyen T de Paris, dont les valeurs sont données de jour en jour par la Connaissance des temps. Le temps sidéral 6 du lieu M est aussi une fonction de T facile à former.

Soient :

65 le temps sidéral de Paris correspondant à l'époque moyenne T^ :

^ la longitude de M comptée à l'ouest de Paris ;

T = Tq + T une époque quelconque, temps moyen de Paris;

On aura à cette époque

avec

si T est exprimé en heures moyennes et 6 en secondes sidérales.

Les formules précédentes permettent de calculer x, y, z, ^, y;, Z et leurs différences; par suite, leurs dérivées x' ,y' ,z\^' , r/, '^' relatives à T pour une époque déterminée, temps de Paris, soit T^. Pour l'époque T, on aura les séries

Pour de petites valeurs de -:, on pourra borner les séries à leurs deux premiers termes, et si l'on pose

m sin M = a^g — Cg, n sin 'N =: x'^ — çô, m cos M = y^ — r,^, n cos N = t/^ — t/q,

les équations (17) deviennent

^ A sin 7 = m sin M + n sin N.t,

/ ^ ^ ' ( A cos j r= m cos M + )i cos N.T,

Les deux termss l, a'C de L sont calculables pour chaque époque T. On peut donc aussi mettre L sous la forme de série

(19) L=rL<, + L;T + ....

Le terme principal l de L varie très lentement et on peut borner

cette série à ses deux premiers termes et même à L^ avec une approximation bien suffisante pour de petites valeurs de i.

Supposons que T^ soit l'époque de la conjonction du Soleil et de la Lune en ascension droite, ou une époque voisine, et cherchons l'époque T ou T^ 4- x à laquelle le point terrestre M traverse la surface d'un cône. On aura alors A = L, ou, dans une première approximation,

et l'élimination de A entre (18) et (20) donnera, pour déterminer t, l'équation du second degré

(24-^ :^2 Ll = ru« + 2mn cos (M — N).t + n^S

qui n'est autre chose que l'équation (15) après que ses divers termes sont exprimés en fonction de t.

6° Au lieu de résoudre l'équation (21) par rapport à t, il est préféraljle, sans être plus long, de résoudre les équations (18) après y avoir fait A = L^ : outre t, on obtient ainsi c qui est très utile dans la pratique.

Généralement, les équations (18) lient les trois quantités A, a, t et déterminent deux quelconques d'entre elles dès que la troisième est supposée connue. En supposant A connu, nous avons, pour calculer 7 et x, les formules

( A sin {g — N) = m sin (M — N),

( A cos (s — N) = m cos (M — N) + îit,

ou, en posant

G — N^OO" — à,

tïi cos (i = — sin (M — N),

** '' ^ m ,,, ,, A . . m cos (M — N + (L)

•: = cos (M — N ) H sni 'b = ;

n n n cos o

La première relation (22) donne pour (^ deux valeurs -V et — 'V, en désignant par 'V l'arc unique, compris entre 0 et + ::, qui la vérifie.

Les valeurs correspondantes de - et 7 sont

(^ "l ^/ I m cos (M — N ± -V)

\ " n cos -y

Il importe de remarquer la signification astronomique de l'angle c C'est, par définition, l'angle de Oy avec le plan MM^LjLS dans lequel l'observateur M voit les centres de la Lune et du Soleil, suivant les directions ML, M S. Menons par le point 0 les rayons OL', 0 S' de la sphère géocentrique, parallèles à ces directions respectives. Les points S' , L' seront les positions apparentes, reportées sur cette sphère, de S et L vus de M.

Le grand cercle L'S' passe par I puisque son plan est parallèle à LS ou OZ. Les petits arcs de grand cercle S's, L'L prolongés se coupent sur OM prolongé, en Z zénith géocentrique de M. L'angle

en I des deux arcs IsL, IS'L' est de l'ordre de — — ou de ^/ et