I.oi"sque, dans 1 équation (5), on prend
on en tire
par conséquent,
.Si, d'ailleurs, on pose
p cos--+-isin-
lp= =-
I P ■ ■ P ? cos 1 sin -
• P sm -
t — tans - = ■
COS -
on aura
sin - =: / cos -
et, par suite, la formule {17 i donnera
lin vertu de cette dernière formule, toute fonction entière, ou même rationnelle de ip, pourra être transformée en une fonction rationnelle de
t = taiig -•
Il y a plus : comme, en vertu de l'équation (3), jointe à la formule 18), on
a 11 ni
il es( clair que toute fonction rationnelle de i,, et de i p pourra encore être transformée en une fonction rationnelle de t. On trouvera , par exemple, en ayant égard aux équations (2),
(2o) . cos/5 = — — , sin/;
Etant données deux directions déterminées par deux angles polaires p, p', on peut demander la valeur de la quantité positive n propre à représenter l'angle aigu ou obtus, mais inférieur à deux droits, cpii se trouve compris entre ces mêmes directions. Or il est clair que cette quantité se réduira toujours à l'un des quatre angles compris dans les deux formules
■2.kTi±{p' — p),
k ou — A étant uu nombre entier. Donc, par suite, on aura
{21) COSn =COs(j3' — p) = 'f'-f-Hf-f',
ou, ce qui revient au même,
(22) cosn= v'-/> + 'f'-P'.
Telle est l'équation cpii sert à exprimer la valeur de cos n à l'aide des quantités géométriques \p, i^' et de leurs conjuguées i p, i pi.
Dans ce qui précède, nous nous sommes bornés à considérer des quantités géométriques dont les modules étaient réduits à l'unité. La considération de celles qui offrent des modules distincts de l'unité fournit aussi des démonstrations très-simples de diverses formides de trigonométrie rectiligue, comme nous allons le fiiire voir. ' ^
Soient d'abord r, r' deux rayons vecteurs mesurés à partir du pôle dans les directions que déterminent les angles polaires p, p' ; et nommons A, B les extrémités de ces rayons vecteurs. Si l'on multiplie le rayon vecteur r par le cosinus de la quantité positive H propre à représenter l'angle aigu ou obtus compris entre les deux rayons , le produit ainsi obtenu r cos n représentera la projection algébrique du rayon vectein- r sur le rayon vecteur r' . Pareillemenl , /' cos II représentera la projection algébrique du rayon vecteur r. Ola posé, le produit de l'un des rayons par la projection algé-
brique de I autre sera
rr' cos n.
< )r. en iiuiltipliaiil par rr' les deux membres de la formule (22). ou trouvera ( a 3 ) rr' cos O = —^ '-^ :
et les quatre quantités géométriques
seront évidemment les alfixes des deux points A, B et de ceux qui leur sont conjugés. En conséquence, on pourra énoncer la proposition suivante :
Théorème. Deux rayons vecteurs <''tant mesurés à partir tlii pôle dan^ deux directions données, le produit du premier rayon par la projection algébrique du second rayon sur le premier, et le produit du second rayon par la projection algébrique du |)remier sur le second, seront égaux à la demi-somme des i\*^u\ produits dont chacun a pour facteurs les affixes de l'extrémité de riin des rayons et du point conjugué à l'extrémité de I autre.
Corollaire. Souvent on désigne à l'aide de la notation (r, /') 1 angle aigu ou ol)tus comj^ris entre les deux rayons vecteurs /•, /' mesurés tians i\fux directions données. Si l'on adopte cette notation, la formule (aSj deviendra
■^4) /•/ ' cos (r, T'j = ^^''~^^'r''p\
et Ton en tirera
(25) /•;, r p -h ip I :,,, — 2 rr' co^ (r, / ' ;.
Soit, maintenant, H^, la somme des deux quantités géométriques rp, r p,. D'après ce (pu a été dit à la page iGo, la f[uantité géométrique Ej, représentera, en grandeur et en direction, la diagonale (K". du parallélogramme qui aura pour côtés les rayons vecteurs OA, OI>, et pour sommets, d'une part ie point O, d'autre [)art, les trois points A, B, ('. dont les .iffjxes sont respectivement
!) ailleurs, si à ces trois derniers points 011 •ilu-iilu- ieiirs conjugués,
Ex tl An. ti ,!,■ I".}i. math, T. IV. '43" liv.) 29
c'est-à-dire les li-ois points dont les affixes sont
on obtiendra un second parallélogramme égal an premier, ces deux parallélogiaiinnes étant deux figiu'es symétriques par rapport à l'axe polaire. Donc R j. sera encore la somme des deux quantités géométriques r p, r'p! ; et 1 équation '
entraînera la suivante, ;;, . i . , ,, , ,
Or, des formules (26) et (27), combinées entre elles par voie de multiplication, on tire, eu égard à l'équation (aS), la formule connue
(28) ,' 7?= = /* -^ r'='+ 2/r'cos (r,r'). -■ ■' ir''',
Soient, maintenant.
ij
des quantités géométriques en nombi-e quelconque, et
les points dont elles représentent les affixes. Poiu- obtenu- la somme Hj, de ces quantités géométriques, il suffira, d'après ce qui a été dit [page 160], de mener par l'extrémité A du rayon vecteur OA, une droite AB égale et parallèle au rayon vecteur OA', puis par le point B une droite BC égale et parallèle au rayon vecteur OA", etc.,..., puis enfin de joindre le pôle O a l'extrémité R de la dernière des droites successivement tracées, et de fermer ainsi le polygone OABC. ... HK par un dernier côté OR qui représentera, en grandeur eten direction, la somme cherchée. D'ailleiirs, si aux sommets A, B, C,..., H, Ron substitue les points conjugués à ces mêmes sommets, alors, a la place du polygone OABC . . . HR, on obtiendra celui auquel on peut le superposer en faisant subir au plan qui le renferme mie demi- révolution autour de l'axe polaire; et il est clair que, dans le nouveau polygone, le dernier côté, représenté en grandeur et en direction par R^p, sera la somme, non plus des quantités géométriques données
mais de leurs conjuguées Donc J "équation
entraînera la suivante
Or, des équations (29) et (3o), combinées entre elles par voie de nudtiplication, on déduira immédiatement, eu égard à l'équation (aS), la formule connue
f 3 1 ) /?^ = r" -t- /''^ H- r"^ -4- . . . + 2 rr' cos l' r, r' ] -+■ 2 /v " cos ( r, /■") + ...
-I- 2 ;■'/■" cos (r, r" 1 ~i- . . .
+ etc.
Parmi les formules auxquelles on parvient quand on considère des quantités géométriques dont le module diffère de l'unité, on doit remarquer encore l'équation qui fournit la somme des n premiers termes d'une progression géométrique. Si, pour plus de simplicité, on suppose le premier terme réduit à l'unité, et si l'on repivsente la raison par r^,, l'équation dont il s'agit sera
(lette érpiation subsistant, quelles que soient les valeurs du module /• el de l'argument p, on peut y remplacer p pai' — p. On trouvera ainsi
D'autre part, on a
f I — Vf,) (i — r p) = I — 2 rcos /> -+- ^^
Par conséquent ou peut, dans les formules ( 3 :».) el (33), remplacer les rapports
t—rp
par les rapports
Cela posé, les formules (Sa) et (33) donneront
1 — 2 rcosp
I — 2 rcosp + r'
Chacune de ces dernières équations se partage en deux autres, lorstpi on égale entre elles, dans les deux membres, les parties purement algébriques et celles qui constituent les coefficients de i. A.lors, en ayant égard aux formules , .
on trouve
j /•;; = j„p r" =: r"{cos7ip + isinnp) ,
I rjp = i„p r"= r" (cos ?ip — i sin 7ip), ••. ■-■'ï\ i ■:.
I + /• cos p + r^ cos 2 p + . . . + r "~ ' cos ( « — i ) />
(37) i I — rcosp — r" cos np -{-r"'^' cos[n — 1)/> *'•
I — Ircosp+r^ tili'O --'Ml 1 '1' '■ t'
et
!/• sin/j + /■- sin 2/; -+-... + /■""' sin [^n — i)p rsinp — r" sin /?/) -H r"-*-' sin ( « — i);; I — 2 /• cosp + r'
Lorsqu'on suppose ;, - ' '
le module /•" de r^ décroît pour des valeurs croissantes de n, et devient infiniment petit, tandis que le nombre n devient iufiniment grand. Donc, alors, en vertu de la formule (3»), la somme des ri premiers termes de la jirogression géométrique
(39) '^■v .-!- .witr ■\'V" '■?' 'f' .--,!^^' — '' ; '■ s'approche uidéfiniment, pour des valeurs croissantes de n, de la Hmite
C'est ce qu'on exprime en disant que la progression géométrique se réduit, pour r < r, à une série convergente qui a pour somme la limite s. Alors
( '^-^9 ) aussi, les torniules ^32,, (33) donnent
et les formules (37), ( 38) donnent
I — r cosp
43) I -+- /■ COS p -h /•'■' COS 2 p -\- . . . := —
(44) 'sni p -+- r'- sin 2 p
2 /■ COS p -^ r-
/■siii/>
I — 2 rcosp -+■ r-
Il est bon d'oliserver qu en vertu de l'équation (40' jointe a la première (les formules (36), i„p sera le coefficient de /■" dans le développement dn
rapport en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et
entieies du module 1 . Donc, par suite, i„pSera le coefficient de ^ dans le develoj)pement du rapport
et, eu adoptant les notations du calcul des l'ésidus, on tirera de la formule (4 1
(45) ^np=L\
OU, ce qui revient au même,
I — 2 rcosp -+- r-'j (r"'^']
Si, dans les deux membres de cette dernière formule, on égaie entre elles les
quantités purement algébriques et celles qui représentent les coefficients de 1 .
on trouvera
p I — rcosp
( 47) ^"^ "/^ = *^ (■-T>cosp + r-Kr-f
et
C rsiup
On pourrait d'ailleurs déduire immédiatement les formules -^4?) et (48) des
équations (43), (44)- Ajoutons que les équations (47) et (48) pourront encore être présentées sous les formes
(4q) cos ni) — ^- ( I -f — ! — ) -i ,
^ •" ' ot \ I — 2 r cos /^ -H r' y [/•"+'!
( 5o) sin np =: sin p ^ -
2 rcosp -i- r- [/■"+') .,:'.' •'. i 1 ''.■■ .:;l \'i
Nous avons lappelé plus haut les deux équations qui se déduisent ininiédiatenient du théorème de Moivre, et qui transforment le cosinus et le sinus de l'arc np en fonctions entières du cosinus de l'arc p. Si, au théorème de Moivre, on substitue l'équation (46), ou, ce qui revient au même, les équations (49) *^^ (5o), on poiuTa en déduire immédiatement celles qui trans-
torment cos Aio et —. — - en fonctions entières de cos p. Effectivement,
' sin p '
comme on a
I '" = ^{2rcospy- ■ ,
(5>) ^.i; ,-arcos;; + .'-„,^„(rT^r^' -,..■.... ■■.■n<U."^
on conclura des formules (49) et ( 5o) que le coefficient de cos'" p se réduit, dans le développement de cos np, à
