IO
la seconde à
• ^ r — I III
iMifiii lien n'emijèchera de concevoir que. dans la formule (3) ou (4j, la iraclion —, devenue variable, s'approche indéfiniment d'un certain nombre V rationnel ou irrationnel, mais supérieur à l'iniité, el alors, en remplaçant — jjar V, on trou\ei'.i encore, pour / < i,
et, pour ;- > I.
yjoutons que, si l'on remplace r pai' -> on tirera, i" de la (ornude (5), pour - < I, /■> I, *
a" de la formule (6), pour - > i , r < i ,
( )r il suit évidemment des formules(5) et (8), ou (6)et (7), tpie le rapport
sera toujoiu's compris entre les limites
V et vr^ — ',
si le nondjre v est siqjérieui- à l'imité. "
Vu reste, en raisonnant toujours de la même manière, oir arri\erait
encore aux mêmes conclusions, si la fraction — et la limite v tie cette Irac-
in
tion étaient supposées non plus supérieures, mais intérieures a l'unité. Seulement alors, le tbéoi-ème 3 du § II doiuierait, |)oui- ;■ < i ,
el , par suite, dans les diverses torinules obtenues, on de\rait i-einjil.icer le
signe < par le signe >, et réciproquement.
delà posé, on pourra énoncer la pioposition suivante :
i""' Théorème, r et v étant deux nombres quelconques, le rappori
scia conq)ris entre les limites
V et v/" ' .
(ioncexons maintenant <[ue, ,r, j^' étant des nombres distuuls, on pose
y = rx ; f)ii en conclura
et i on aura, par suite.
r — j: = /• — i) x. y — .r^ — ■/'- — i \jc'.
Donc, eu égard au premier théorème, le lapporl
sei'a compris entre les limites
vx"-'. v;--'j'-'.
dont la seconde coïncide a\ec le produit v >■' — ■; et l'on pourra énoncer la proposition suivante :
2^ Théorème, x. j, v étant trois nombres (luelconques. le rapport
sera toujours compris entre les limites
•jx"-^ , vj — ' .
Si, en désignant par Ax un accroissement attribué à la \aiicd)ie r. e/ par Afo") l'accroissement correspondant de x\ on pose
on aura
J' = JT' -i- \{X-j).
et . par suite,
( ^'^ ) nuis. 011 f;Msaiil converger A JC vers la limite zéro, ou conclura du deuxième
llu'oiruie (|iie la limite du rapport aux différences —^-^ est le produit vx--'.
D'ailleurs cette limite est précisément ce qu'on nomme le rapport dijjéirntl/'l de.r'à a-, nu la dérivée de x' différentié par rapport à a-, et ce (pie l'on désigne par la notation
Ainsi l'on peut, du deuxième throréme, déduire immédiatement la formuh^
(9) ^ = D,.(.rO = v.r'-',
de larpielle on lire
(loj d\x') = -JX'-^ cLr.
Réciproquement, de la formule (lo), sup[)Osée connue, on pourrait re^(■lli^ au second théorème, eu sappiiviuit sur luie proposition énoncée dans le deuxième volume de cet ouvrage. En effet, si, en attribuant à x une valeur constante, on fait varier j- à partir de j^' == x, les ilifferences
seront deux grandeurs coexistantes c[ui s'évanouiront simultanément; et leur rapport différentiel, représenté par la notation
se confondra, en vertu de la formule (g), avec le produit vj"—'. Or ce produit, qui se réduira simplement à vx'^', quand ou posera j- = j", croitia ou décroîtra sans cesse, tandis que Ion fera croître la valeur numérique de la différence y — r. Donc les valeurs extrêmes de ce produit, représentées par , ,
'jx'~'. vj-'—',
devront, en vertu d'un théoi'ème énoncé à la page 190 du deuxième volume, comprendre entre elles le rapport
(les deux grandeurs coexistantes
L(i ijuan/flé géof)ir/r/(jiH' i = i^, d sur la réduction d'une (iuaittil(
irrninrfriqnc (iiieJroncpie à Ja fnruie x -\- y\.
Soieiil /■, /J les cnordonnc'es polaires <1 un [xiiuî A reniei'inc (Luis ni; cerliiiii pliiii. ;• t'taiil le rayon vecieiir OA mesuré à partir tlii pôle (> sur luie (Iroile (|ui forme a^ec• Yaxe polaire OX Vangle polaire p. D'après ce <pii a élé (lit a la page i :"8, le rajon \ ecleur O V sera représenté en grandeui' et en direelion par la quantité géométrique r^,, dont /'sera le module, et p \ argument .
Cela [)osé. l'arguriieut p [lourra èlrc l'un quelconque des angles déei'ils par un ravon vecteur mobile qui , d'abord dii'igé survant l'axe polaire, tournerait autour du pôle, de manière à prendre définitivement la direction OP. Or ces angles forment évitlemnient luie progression aritbmétique. dont la raison équivaut à quatre angles droits mesurés par la circonlérence dont le rayon est l'unité, c est-a-dirc pai- le nombre o.t.. Mais, parmi ces mêmes angles, un seul est renlermé entre les limites — tt, + -, les autres se déduisant de celui-ci ])ar l'addition ou la soustration des divers multij)les de 2 z. Ajoutons (-[ue, si rargunienl p est coiisidéré comme positif quand le rayon vecteui- mobile a tourné dans un certain sens avant de par^enir a la ])osition OP. le même argument deviendra négatif, quand le ravon vecleiu' mobile aura tourné en sens contraire. Le mouvement de rotation .sera direct dans la première hypotbèse. et rétrograde dans la seconde.
Enfin , lors(pie le signe -!- ou —, (pii sert à inditjuer l'addition «m i.i soustraction, sera placé devant r^, , lexpression
ainsi obtenue représentera la longueur /• mesurée a partir du pôle dans i direction (jui forme avec l'axe polaire l'angle p. ou dans la direction op
"posée, t*i) sorte qu'on aura [piige 164]
Dans le cas particulier où le module r se réduit à lunilé. la quantité géométrique r^, réduite à la forme ip, représente la longueur 1 niesui'ée a partn- du pôle dans la direction qui forme avec l'axe polaire l'angle p. Si à cette direction on substituait la direction opposée, alors, à la jilace <ie la quantité géométrique i^, on obtiendrait la quantité opposée
Si la direction donnée coïncide avec celle de l'axe polaire, ou avec la direction opposée, la quantité géométrique 1^ sera léduite à l'une des quantités algébriques
Si. au contraire, la droite sur lacjuelle se mesure la longueur 1 de\ient perpendiculaire à l'axe polaii-e, alors l'expression 1,, se trouvera réduite à l'une des quantités géométriques
]^a première de ces quantités, c'est-a-due la longueur i, mesurée dans la rlirection que prend un rayon vecteur mobile doué d lui mouvement de rotation direct, et primitivement dirigé suivant Taxe polaire, au moment où il devient poiu' la première fois perpendiculaire à cet axe, sera doréna- \ant désignée par la lettre i. Eu égard à cette convention, l'on aura
et
ou, (e qui ie\ieul au même,
Donc les quantités géométriques i et — i représenteront les racines carrées (le — 1 : et. comme on tirera de la formule (4},
par conséquent
il est clair que i et — i représenteront encore les deux racines quatrieir^i's et non algébriques de l'unité. Cette conclusion ne diffère pas au fond «le i.i remarque faite à la page 167.
En résiuiié, i et — i sont les deux racines de l'équation binôme
à laquelle il est impossible de satisfaire tant cpie l'on prend pour z une (piantité algébrique, juiisque le carré de toute quantité p<isitive ou négative est nécessaiienient posilif. Si réc[uation (6) devient résolulile, dans le cas ou l'on j)ren(l poui- z une quantité géométrique, cela tient à ce que la définition donnée en algèbre du produit de deux quantités se généralise quanil ces quantités cessent d'être algébriques, et permet au produit
zz = z-
de deux facteiu's égaux d'acquérir une valeur négative.
Concevons maintenant que l'on détermine la position du point A. non plus à l'aide des coordonnées polaires /■ et p, mais à l'aide de deux coordonnées rectangulaires a.- et y mesurées à partir ilu \)à\e : i" sur lave polaire; a" sur une perpendiculaii-e à ce! axe. .Supposons, d'niUenrs , (pie l'on compte les a: positi\es dans la direclion coi-respondante à unevaleur nulle de l'angle polaire p, et les y positives dans la direction
correspondante à l'angle polaire -. ]. es coordonnées .r, }•, ou, ce ([ui revient au même, les projections algébricpu's du rayon vecteur /' sur les axes des j: et des^, se réduiront, poiu- /•= i, à ce qu'on nomme le cosinus- ci le sinu.'! de l'angle polaire p ; et, comme, pour passer de ce cas particulier ;ui cas où r acquiert lUie valeur quelconque, il sidflt de faire variei' .z" et j dans le rappi^rt de 1 à /', on aura généralement
(7) J^ = ^cos/^ y = r f'tw p.
Il est facile d'exprimer la quantité géométrique r^ en fonction des coordonnées rectangulaires x, j : et, d aijord, il est clair que, si l'iuie de ces coordonnées s'évanoui! , la valeur numérique de l'autre sera piécisémeni la valeiu' du l'avon /•. Dans la même hypothèse, rexpressif>n i^ se réduira évidemment à i ou à — i, si le rayon /• se niesin-e dans le sens des x positives ou des X négati^■es; à i ou à — i, si /' se mesure dcUis le sens des jpositives ou des ^ négatives. On en conclut aisément que la quantité géométrique 18) f^, = i^,;-.
exprimée en loiiction des coordonnées x, y, serii leprésentée eu ijrandeui et en direction par l'abscisse X, si l'on a r = o, et par le produit ^'i. si l'on a jr = o. ,
Si des deux cooi'donuées x, y aucune ne s'évanouit. alo?'s
X el y'i
i-eprésenterout évidemment, eu grandeur et en direction , non [)lus ia longueiu' /■ mesurée sur luie droite correspondante à l'angle polaire p, mais seulement les projections algébriques de cette longueur sur les axes des x et des f. Quant à la longueur elle-même, elle sera la diagonale du rectangle construit sur les deux projections. Elle sera donc [ page i6o| la somme des deux (piantités géométriques x. y\, en sorte rpion aura
Si le ra\on / se rédiiil à I unité, on aura
fio) X = cos/;. y = sui/).
Donc alors la foruniie (91 donnera ' ' ' ' '
(11) I,, = cos/> + i sn\p.
Si, au contraire, le rayon /■ diffère de l'unité, on tuera de la formule (9) jointe au\ équations (7), ou bien encore de la fornnile (8) jointe a la formule (11),
(12) /), =: r(cos/? + i sin/j). '/
Concevons maintenant que, /■, p étant les coordonnées recl angulaires, et X, y les coordonnées polaires du point A. ou pose, pour abréger.
(i3) z = rp — x-hj\.
la quantité géométrique z sera ce que nous appellerons ïajjixe de ce point. Si l'on désigne par iî, P les coordonnées polaires, par X. J' les coordonnées rectangulaires, et par Z l'aftixe d'un second point B, on aura encore
Si les deux points coïncident, on aura non-seidemen!
ou, ce qui revient ais même.
(16, T-hi'i = JT -^ji,
( 2r7 ) mais encore
Réciproquement, si léquation (i5"lse vérifie, les points A, B coïnculeioiii, et. par suite, la formule (i5) ou (i6) entraînera les équations (17). On peul flonc énoncer la proposition suiviiiiie :
i-"" Théorème. Lorsque deux quantités géométriques sont égales, léqu;!tion qui exprime leur égalité peut être remplacée par deux équations entre quantités algébriques, savoir : par les équations qu'on obtient, quand on égale entre elles, dans les quantités géométriques domiées, les parties purement algébriques, puis les quantités algébriques qui représentent les coefficients de i.
Observons encore que i'étjuation ii5V présentée sous la tonne
donnera [voir la page i58j
{19) R = r, (20) P = p'\--2kn,
fi étant une quantité quelconque, et, par suite,
(21) cosP = cosp, sinP^sin^.
Comme on aura d'ailleurs
(22) I ^, ^ cos P -i- i sin P,
il est clair que des formules (ti) et (2a), jointes aux équations (ii), on tirera
(23, i,.= ip.
On arriverait encore à la même conclusion, en divisant par R = r les deux membres de l'équation (18) présentée sous la forme
En résumé, la position d'un point dans un plan peut être complétemeni déterminée, non-seulement par le système de deux coordonnées rectangulaires, mais aussi par l'affixe de ce même point; en sorte que l'égalité de deux affixes entraîne la coïncidence des points correspondants avec légalité de leurs abscisses, de leurs ordonnées, et de leurs distances au pôle.
Nous appellerons points conjugués deux points placés symétriquement par rapport à l'axe polaire, ou, ce qui revient au même, deux. p(jiuts situés
Ex d'An et dr Ph. m.uh.. l \\ (-ir.' livr.'; '^'^
:'t égales distances de cet axe sur une droite perpendiculaire à l'axe. Nous ;ippe!lerons encore quantités géométriques conjuguées celles qui représenteront les affixes de deux points conjugués. Cela posé, deux quantités géométriques conjuguées offriront évidemment, avec des modules égaux, des arguments égaux au signe près, mais affectés de signes contraires, et si l'une est de la forme
(24) Tp = a- -+-jri = r(cosp + i sinp),
l'autre sera de la forme
[iS) , 7-^ = j: — j^i = r(cosp — i sin/j).
{ .omme on aura d'ailleurs
on pourra énoncer la proposition suivante :
2'' Théorème. Le produit de deux quantités géométriques conjuguées est ie carré du module de chacune d'elles.
Remarquons encore que des formules (24), (sS), (26), ou tire
(27) r^ = [œ + y\) {X - j-i), puis, en ayant égard à la fornude (4),
[j'équation (5) exprime simplement que \e carré du rayon vecteur r est la somme des carrés de ses deux projections, et rejiroduit ainsi le théorème de géométrie suivant lequel, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse équii'aut à la somme des carrés des autres côtés. Ajoutons que l'on tire de la formide (27)
,, I X — ri X — yi
et que l'équation (9.9) réduit immédiatement à la forme X -\-Vi le rapport de l'unité à la quantité géométrique x + j'i, ou, ce qui revient au même, la quantité géométrique inverse de x + J^.
Si le modide /■ des deux quantités géométriques r^, r p se réduisait à l'unité, elles deviendraient respectivement
i^, = cosp ■+- i sin/j, T p = cos/J — i s\np. l-es princij^es exposés dans le Mémoire sur les quantités géométriques
permettent d'effectuer aisément, sur ces quantités réduites a la forme i^ . les diverses opérations de l'algèbre; spécialement 1 addition, la soustraction, la midtiplication, la division, et l'élévation à des puissances entières. Pour effectuer les mêmes opérations sur les quantités géométriques réduites à la forme x-hji, il suffira évidemment d'appliquer les régies aux([uelles ou aurait recours, si les quantités tlouuées étaient algébriques, en ayaiil égard aux formules (4) et (29), et en se rappelant que, diviser par une ijiiaîitité géométrique , c'est multiplier par la tjiiantité inverse. \ l'hoir la page 164] On trouvera, par exemple,
I 3o) [x ^ yi) + \x' -^ j' \) -\- . . . = X + .t' ^ ... -\- [y -^ y' -^ ...)\\
(Sa) [x + j'i) [x' -r- j"\) = XX ' — Jj' -H [^j' -^ x' j}i-.
• oo-, .r' + >'i (.r — yi) (,c' -+->' i j j-x' -t- vv' -f- (,r>-' — x' y\ï
puis, en désignant par n un nombre entier quelconque, et appliquant au déveloj-pement de (x -+-J'i]" la formule de Newton, on trouvera encore
(34) (x+ji " = x"-'""~'^.r"--jr'+ ...
Eu égard à l'équation (34), on pourra aisémeiU réduire à la forme A-\-ï 1 \nw Jonction entière Z de la quantité géométricpie z ^ x -^ j\, cesl-adire une expression de la forme
, 35 ) Z = a-¥-hz + cz'+ ...- gs'-' ' -^ hz".
les coefficients a, b, t, ..., g, h étant tles quantités quelconques algébriques ou géométriques. Ajoutons que l'on poiu'ra réduire encore à la forme X -h F i une Jonction rationnelle de z, c'est-à-dire le rapport de deux fonctions entières de :, en ayant égard non-seidement à la toimule (34), mais aussi à l'équation (33).
S/ir les avantages que présente l'emploi des quantités géométriques dans la trigonométrie rectiligne.
Comme on 1 ;; vu dans 1 article précédent, les deux quantités géométriques
sont liées au sinus et au cosinus de l'angle p par les formules (i) ip = cosp -+- i sin/), i p = cos/) — i sin/;,
dont la seconde est ce que devient la première quand on change /; en — p. D'ailleurs, de ces deux formides on tire immédiatement les suivantes :
(2) cos p =^ ^^, siny; = -^ — —'',
qui servent à exprimer le cosinus et le sinus de l'angle p, à l'aide des seides quantités géométriques ip , i p; et l'on peut ajouter que les équations (i), '1) fournissent le moyen le plus court d'établir \m grand nombre de formules de ti-igonométrie rectiligne. Entro'.is à ce sujet dans quelques détails.
D'aboid, il est clair que les propriétés des expressions de la forme i^ feront connaître, eu égard aux formules ^i), des propriétés correspondantes des sinus et cosinus. Ainsi, par exemple, l'équation
pourra s'écrire comme il suit, ,
(cos/; -)- isinp) (cos/; — i sinp) = I,
et se réduira définitivement à la formule
(4) cos^p + sin^y? = I,
qui exprime la relation existante entre le sinus et le cosinus d'un angle
( 2ai ) quelconque p. PHreillemeul, l'ét[uatioii
(lounera
cos {{j -h p') -h \ sin (/; + p') —- (cosp -4- i sm p) (cos p' -h i sin p'),
ou. ce (|iii revient ;ui inenie,
cas ip -+- p') 4- i sin (/; + p'j = cosp cos p' — siu /^siu /;' ^ -i- i \)rii\\ p coi, p' -f- siu p' cosp).
et pourra être leinjiiacée [p^ige 217] par le système des deux formules
i cns{p H- p' ! =-- cos p cos p' — siu /Jsiay^', I sai I /) + /j'i = siu n cos/> + siiip' cos^,
(|ui serveul a exprimer le cosinus et le siuiis de la somme de tleux arcs eu louchou des cosinus et des sinus de ces mêmes arcs. Si l'on veut obteiur les cosinus el siiuis. non j>lus de la somme, mais de la différence des arcs donnés, il suffira de remplacer p' par — p' dans les formules (6), des- (pielics ou tirera
i cos p — p') =^ cos pcos p' -\- sin psmp',
f siu , /> — p' ^= sin p cos p' — siu p' cosp.
l'.nfiu . // étant un ucnnbre entier quelconque, l'équation
sera l'expression ia plus smqde du théorème de Moivre, puisque, en vertu de celle e(juatiou. J Ou aura
(gj cos np -f- I sui /ip = (cos p -h i sin p)".
Si, après avou- développe le second membre de la formule (9) siuvaut i<s puissances ascendantes de i, ou égale entre elles, dans les tleux membres, les quantités purement algébriques, ])uis les quantités qui représenteront les loefficients de i, on reti-ouvera les fornndes connues
i COS np = cos' p ^ cos" -p sur p -h...
I SU) rip — cos"-' psmp ^ ^-^^-^ -cos" '/3 sm-*/; + ...,
que l'on peut encore écrire comme il suit :
i„ r n{n~i) T cos np = cos"/J I — ^ tang'";? + ... U „ Fn nln—i)ln — 2) , 1
sui np = cos" p - tangp ^ ~ tang" p -h ... •
D'ailleurs on tirera immédiatement des équations (i i)
n II (n — 1)(/? — 2)
-tang;; j 3 3 -'tang^/>-H ...
(12) tang,^;,= — ^^^^
Les formules (10) développent le cosinus et le sinus de l'arc np en tonrtions entières du sinus et du cosinus de l'arc p. Si l'on vent, au contraiie. développer les /z"^"'" puissances de cos p et de sin p en séries de termes proportionnels aux cosinus et aux sinus des multiples de ^, il suffira de recomir aux forniides (a), desquelles on tirera
(.3) cos"p=('^-t^^)", sin> = (lii:^-)". • ..
En développant les seconds membres des équations (i3), et ayant égard à la formule (5), on trouvera . ..ii>. .
COS" p := —
sin" p =
De ces dernières équations, on peut immédiatement revenir aux formules connues. On en tire, en effet, eu égard aux formules (i), pour des valeurs paires de «,
COS np H — cos I « — 2 ) ;j + . . . H
■ 1.2...cos" p =:
cosrijj- cos[n — 2)/^ +...-(- i — ij- ^
. I . a . . . sur n =
( 223 ) et. pour des valeurs impaires de «,
cos np H — cos ( « — 2 1 z> -h . . H — cos /<
COS p =
siii z; ^
sm/ip sinin — 2)p+...+ { — i) ^ ^ -nnp
