TO -(- I
Il /« — 1
Cela posé, les équations (49) et (5o) reproduiront iininédiatenient les forinides coiniues
cos np = u
n " II- - // Il — 3 .
57) Slll «p ^ 2"' ' SMl^
cos"-' p
cos"-' /^
Si. dans 1 équation 5G), on pose// = 3. on retrouvera la formule
(58) eos 3 p = 4 cos-'p — 3 fos p,
(pu fournit le moven de ramener la résolulion d une efpi.iti<iii du troisième degré, quand les trois racines sont réelles, au prf)hleine de la trisection d'iui angle donné ( vnirVy/nnhxc nlgéhrique].
Sur les fonctions entières cV un degré infini, et en particulier sur les exponentielles .
{ § I. — Considérations générales.
On sail que les puissances à exposants variables, autrement appelées exponentielles , peuvent être considérées comme des fonctions entières composées d'un nombre infini de termes. Ainsi, par exemple, pour définiil'exponentielle e^, c étant la base des logarithmes népériens, et z luie cpiantité algébrique variable, il suffii-ait de dire que e* est la somme de la série toujoius convergente
ou bien encore, la limite vers laquelle converge, poin- des valeurs croissantes du nombre entier m, la fonction entière
il \ a plus : lorsqu on adopte une telle définition, il est naturel de l'étendre au cas même où la variable i cesse d'être algébrique; et l'on se trouve ainsi conduit, par la considération des fonctions entières de degré infini, à la notion des exponentielles à exposants quelconques. Il convient de donner quelques développements à cette proposition, et de montrer comment elle se lie aux principes établis dans les articles précédents. C'est ce que je vais essayer de faire en peu de mots.
§ II. — Sur les fonctions entières il un clc<>ré infini.
Soit Z = rp une quantité géométrique variable dont r désigne le module et p l'argument. Une fonction entière de z ne sera autre chose [page 167] qu'une somme de termes proportionnels à des puissances entières et positives de z, le degré de la puissance la plus élevée étant ce qu on nomme
le degré de la fonction. Par suite, la forme générale d'une fonction de z, entière et du degré n , sera
a -h bz -\- cz' ~h . . . + gz"~' ■+- hz",
a, b, c,... , g, h désignant des coefficients constants dont chacun pourra être une quantité géométrique.
Concevons maintenant que les divers ternies dont se compose la fonction entière appartiennent à la série
(i) rto, n,r,, «„s-, .... rt„;", ...
indéfiniment prolongée. Si l'on désigne par s„ la somme des 7i premiers termes de cette série, on aura
et Sr.i s„+i seront deux fonctions entières de z, la première du degré n — \ . la seconde du degré n. Si, d'ailleurs, n vient à croître indéfiniment , la somme s„ pourra converger ou ne pas converger vers ime limite fi.\e. Dans le premier cas, la série sera dite convergente, et la somme de la série, c'est-à-dire la limite s de Sn, déterminée par la formule
(3) .y = (7o + (7, c. -t- rTj z'-^ + . . . ,
sera ce qu'on peut appeler \i\\& Jonction entière d'un degré injini. Dans le second cas, la série sera divergente , et n'aura pas de somme.
D'autre part, si l'on nomme a„ le module de «„, et a la limite ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes de n , l'expression
a sera le module de la série
dont le terme général est a,, ; ar sera le module de la série (i) dont le terme général estfl„z" [tome II, pages 388 et suivantes]; et la série (i) sera convergente ou divergente, suivant que le module ar sera inférieur ou supérieur à l'unité, ou, ce qui revient au même, suivant que le module r de z sera
inférieur ou supérieur à -• En conséquence, ia série 1 i) sera toujours di-
£.1. d.ln. rt de Phrs. malh., T. 1\' (/i-i<= liv.). 3o
vergente si l'expression (a„)", croissant indéfiniment avec n, a ponr limite l'infini, puisqu'alors - deviendra
co
c'est ce qui arrivera, par exemple, si a„ et, par suite, a„ se réduisent au
produit ■' :■■"*■■ ,'■.'.-:..'■■ ;.- ii-i: .., .-i ■.'■;!-)( (,. (
I.2.3...W, • ■ ■- ■ ' ■' "'i' ■ ■'■',■■ ■-"•iil^^ puisqu'alors on aura \voir la page 206]
et, par conséquent,
a = lim(a„)"
