OO
c'est ce qui arrivera, par exemple, si a„ et, par suite, a„ se réduisent au rapport
-5,1' ■■ )' ■ > 1 rt:jî. >?,
puisqu'alors on aura
et, par suite, • - „ .,, , , 1 , ' ■
a = lim (a„)" = o.
Donc la série . .
lit a (v <.
?- îKoL
dont le terme général est
->ir
.■ 'il '.■,".' '' '.: ■ '■"! vil ■■ iiL'i:» .•-.'.'■■.
ne cesse jamais d'être convergente ; et à une valeur finie quelconque, algébrique ou géométrique, de la varialjle z correspond toujours une fonction entière s, d'un degré infini, propre à représenter la somme de cette série, et déterminée par la tormide
Si le module a de la série (4) offrait non plus une valeur nulle ou infinie, mais ime valeur finie différente de zéro, la somme s de la série (i), ou, ce qui revient au même, la fonction entière de z, représentée par le
second membre de léquation (3), subsisterait pour /• < -■> et disparaîtrait
pour r > — Ainsi, par exemple, en sonunant la progression géométrique
dont le terme général est z", on obtiendra la fonction entière (8) ,+z+z2 u...
qiu subsistera, et sera équivalente au rapport -■> tant que le modide /■
de z sera inférieur à 1 unité. îMais la fonction entière i -h z -\- z^ -h . . ■ cessera d'existei- si la progression (y) est divergente, ou, ce qui revient au même, si le module r de z est supérieur à l'unité.
§ III . — Sur la limite vers tarjucllc concurge, pour des valeurs croissantes de m ,
l'crprcssic'i
Soient z une quantité géométrique variable, et tn un nombre entier quelconque. On aura, en vertu de la formule de ]N'ewton ,
0 (i4-zy" = i + wzH ' ^s-+...H !^ '- z'"-^ + mz""-' -h Z'" .
et, par suite,
(a) (n-iy=, + z.+ (r--)^+(i--iUi-)-^ + ... + il. ^ ' \ ml \ m I 1.2 \ "'/ \ "•',' I.2.0 »!"■
Dans le second membre de la foruude (a), le terme général, ou pi-opoi-tionnel à z", se réduit, pour n > m. à zéro, et pour o = ou < m, à
(3) (. iw,iy..(\î^)ii,
^ ' \ "I J \ '" J ' m I i .2. . -ri
( 236 ) c'est-à-dire au produit de la quantité
par le terme général
de la série
D'ailleurs, en vertu de la formule (5) de la page 207, la quantité (4), toujours inférieure à l'unité, ne peut s'iibaisser, quand tn surpasse «, au-dessous de la différence - .
Donc, si l'on fait croître m indéfiniment, en laissant n invariable, l'expression (3), c'est-à-dire le terme général du développement de la puissance
convergera vers une limite équivalente au terme général de la série (5). Il est naturel d'en conclure que cette puissance elle-même sera équivalente à la somme de la série (5), et que, si , pour abréger, on désigne cette somme à l'aide de la notation [z], en posant
on aura, en feisant converger le nombre entier m vers la limite 00 ,
(8) lim(,+^)"'=[z].
Il importe d'ailleurs d'établir cette conclusion d'iuie manière rigoureuse. On y parvient aisément comme il suit : ,
Le coefficient numérique du rapport
dans le second membre de la formule (2), étant toujours compris entre les limites
( 237 ) pour n= ou <m, et toujours nul pour n > m, il est clair que, si l'on représente le coefficient dont il s'agit par i — a„ , a„ sera un nombre qui vérifiera, pour n= ou < w, la condition
(9) a„=ou<-i— J,
et, pour n > m, la condition
de laquelle on tirera, en supposant /« > i, et, par suite, n > 2.
Cela posé, la formule (2) deviendra
H — = I + S + !' I — aj ) h ( I — a, ) r- -(-...
ou , ce qui revient au même, eu égard à léquation ( 7 ),
la valeur de ù étant
(12) r} = rj ~ <- rj ______ S y
D'ailleurs le coefficient a„ ne pouvant, en vertu des formules (9) et (10),
surpasser le rapport — -, il est clair que, si l'on nomme r le module
fie z, le module du produit
sera, pour une valeur quelconque de n , toujours égal ou inférieur a la quantité
im 1.7... .n lin 1.2. ..(/z — 2)
Donc on tirera de la formule (12)
mod à < — [\ -\--^ h ...)»
( 238 ) ou, ce qui revient au même, (,3) ' ■ mod^<^[r].
Or, il suit évidemment de la formule (i3) que si, en attribuant à la variable z et par conséquent à son module r une valeur finie quelconque, on fait croître indéfiniment le nombre entier m , le module de è convergera
vers la limite zéro. Donc, dans la même hypothèse, la valeur de ( i + — j
déterminée par la formule (i i) convergera vers la limite [z], et l'on se trouvera ainsi ramené à l'équation (8).
Si à la variable z, supposée indépendante du nombre m, on substitue une variable
qui dépende de ce nombre, et qui, pour des valeurs croissantes de m, converge, avec son module p, vers la limite zéro, alors, à la place de la formule (il), on obtiendra la suivante
c étant une quantité géométrique dont le module vérifiera la' condition
(.5) mod£<£;[H. ' • • ■■■"'" ■■
D'ailleurs, tandis que p s'approchera indéfiniment de zéro, la quantité
toujours inférieure à . . .. . ,; , .
s'approchera indéfiniment de l'unité, -et le produit p^[p] de zéro. Donc, si Ç dépend de m, et si, en foisant croître indéfiniment le nombre m, on voit le module p de Ç converger vers la limite zéro, s et son module convergeront vers la même limite en vertu de la formule (i5); et, comme le module de
sera inférieur à [p], par conséquent à •—— , la limite de [Ç] sera l'unité.
( 239 ) Donc la formule (i4i donnera
(.6) i„„^, + iy"=,.
§ IV. — Sur les exponentielles.
Soient z, z' deux quantités géométriques distinctes, et m un tioinbre entier qui croisse indéfiniment. On trouvera
\ mj \ m j m m'
Par suite, en considérant — comme une quantité infiniment petite du premier ordre, et en négligeant, dans le second membre de la formule (i). Je terme infiniment petit du second ordre — ,, on ama sensiblement
IH- - I = I ni
On aura, au contraire, en toute rigueur
si l'on choisit Ç de manière à vérifier la condition
m- \ ni J m
OU, ce qui revieut au même, si l'on pose
Or, en vertu de la formule (3), Ç sera une quantité géométrique qui dépendra du nombre ?«, et qui convergera vers la limite zéro, quand ce nombre croîtra indéfiniment. Cela posé, on tirera évidemment de la formule (2) : 1° en élevant les deux membies a la m^""^ puissance.
2° en faisant croître indéfiniment le nombie m, et ayant égard aux for-
mules (8) et (i6) du § HI,
On peut donc énoncer la proposition suivante :
i^'' Théorème. Si l'on désigne par z, z' deux quantités géométriques distinctes, et par [z] la somme de la série toujours convergente
dont le terme général est — ^^ , on aura
Corollaire. En attribuant à z, s' des valeurs purement algébriques, et raisonnant comme dans un précédent article [pages 199 et 200], on tirera de la formule (5) l'équation
(7) [-] = [ir- ,,
D'ailleurs la quantité ici désignée par le symbole [i], c'est-à-dire la somme
est précisément le nombre qui sert de base aux logarithmes népériens, et que l'on représente ordinairement par la lettre e. Donc la formide (5) donnera
On peut donc énoncer encore la proposition suivante :
2® Théorème. Si l'on désigne par z une quantité purement algébrique, il suffira, pour obtenir la somme [z] de la série
d'élever le nombre ' ' " ' > '"> >
■'■ p = 2, 7182818..-. i''"'"'' '•■'Il i;7l)0't:; ^^■^■^,■
à la puissance dont le degré est marqué par l'exposant z; de sorte qu on aura 'j ' , , \ "('> j:;'^ , .\ ''■',, j ' " . , i
Corollaire. Si dans la formule (8) on remplace z par az, a étant une
quantité algébrique positive ou négative, ou trouvera (9^ [az] = ^-.
Si d'ailleurs f)n |)ose
(lO <'" = \ .
A sera une quantité positive, supérieure ou intérieure a luuité, suivant que l'exposant a sera positif ou négatif; et comme, en élevant à la puissance z les deux niemlires de l'équation '^lo), on trouvem
la formule (lo) entraînera la suivante.
(il [az] = \'.
Les puissances a exposants variables, renfermées dans les formules (8), (il), et représentées par les notations
sout ce qu on ap|)elle des e.rponentielles. L exposant z de chacune de ces puissances est ce cpi on nomme le logarithme de l'exponentielle e~ ou A" dans le sjstème dont la base est le nombre e ou A. Le logarithme qui correspond à une valeur donnée de l'exponentielle, dans un système de logarithmes domiés, dépend évidemment de cette ^aleur même et de la base du système. On sait cpie JNépei', inventeur des logarithmes, en publiant sa découverte dans l'ouvrage intitulé : Mirijici logarithmonim carionis Description adopta d abord le système corres])ondant à la base e. C est pour ce motif que Ton donne aux logarithmes calculés dans le système dont la base est e, le nom de logarithmes népériens, et a l'exponentielle e' le nom iï exponentielle népérienne.
Cela posé, il suit du deuxième théorème, joint à la formule (8) du § lli, que. dans le cas où z désigne une quantité algébrique, l'exponentielle népérienne e' coïncide non-seulement avec la somme de la série
mais'encore avec la limite vers laquelle converge, |)our des \aleurs croissantes du nombre entier m, l'expression
Kx. d'An ri de Phxs. math., T IV. 44"= livr ,
Donc, |)()iir des valeurs algébriques de z, l'exponentielle népérienne e* pourrait être définie à l'aide de l'une quelconque des deux formules
:i3) e^ = lim(
Il y a plus; rien n'emj)éche d'étendre ces deux (oriuules au cas même où l'exposant z est une quantité géométrique, et de considérer alors chacune d'elles comme propre à fournir une définition de l'exponentielle népérienne e~.
Quant à rex|)onentielle A', dont la base A est un nombre quelconque, il suffit, pour la définir généralement, quelle que soit la valeiu' algébrique ou géométrique de l'exposant z, d'étendre la formule (11), au cas même où cet exposant cesse d'être luie (piantité algébrique. Cette extension étant admise, la définition générale de l'exponentielle \' sera fournie par l'é'quation
ou , ce qui revient au même, par l'équation
a étant une quantité algébrique choisie de manière que l'on ait
En d'autres termes, a sera simplement le logarithme népérien du nombre A.
§ V. — Propriétés diverses des exponentielles.
L'exponentielle népérienne c~ n'étant autre chose que la somme [zj de la série convergente
il est clair que la fbrnnile
|z|[z'] = fz + z'].
établie dans le § IV, ])ourra s'écrire comme il suit :
On trouvera de même, en désignant par a une quantité algébrique positive
( 243 ) ou négative, et remplaçant z par az, z' par az' ,
puis en posant
on léduira ri'(]uation [%) ,\ la formule
Il résulte des loruiules i a) et '^3) cpie, pour opérer la multiplication de deux exponentielles relatives à la même base e ou A , il suffit d'ajouter les exposants. Lorsque "■, z' se réduisent à des quantités algébriques, e', c' ou A', V représentent des nombres dont z, z sont les logarithmes. Alors les formules fi) et (3) mettent en évidence la propriété fondamentale des loijaritLimes, savoir, que, pour obtenir le logarithme du produit de deux nombres, il suffit d'ajouter entre eux les logarithmes de ces nombres.
Siqiposoiis maintenant ipie z soit une (piantité géoniétiicpic, en sorte qu on ait
z ^ X -^- ri ■
X, 7 étant les coordonnées rectangulaires du point dont I affixe est z. i,a formule (i) donnera
(4) (rz=e'e>'.
D'ailleurs, en \ertu de la tormnle i^i3)dii ^ \ , on aura
(5) ..>-.^H,„(, ^^ly,
puis en posant . pour abn!'ger.
on tirera de i'écpiation (5
!n\ c" =: lim 6 =: iiniû . lim i
On satisfait à l'équation ((i), on. ce qui revient au même, aux deux suivantes
(8; I = p cosOT, — = (Ssin(Tr,
en prenant
(q) zs = arc tant< -• /s = — — :
et alors, pour des valeurs indéfiniment croissantes du nombre entier m, on voit l'argument rz converger vers la limite zéro, le module (S vers la limite i , et le produit
vs -- ' ' ' J
mrs = r
•^ tang CT
vers la limite j. Donc la formule (7) donnera généralement
(11) e^'=i^, ou, ce qui revient au même,
(12) e^' = cosj" + 1 sin^. ' '
L'équation (12), découverte par Euler, sert à exprimer en fonction des lignes trigonométriques, cos ^', sinj>^-, V exponentielle trigonométrique e". La formule (r i) est l'équation d'Euler, réduite à la forme la plus simple.
§ VI. — Sur les exponentielles trigonométriques .
Soient p un angle quelconque et m un nombre entier. Si l'on fait croître ce nombre indéfiniment, ou, ce qui revient au même, si on le fait converger vers la limite ao , on aura, en vertu de la formule (i3) du § IV,
(1) e^.= lim(,+ £,)'".
Si d'ailleurs on pose
(2) I + — i = p^ = p (cossT + i sin st),
on en conclura
(3) I = (5 cosro, — =psin5T;
et il est ciaii' que si l'on atti'ibue au nombre m une valeur tres-considérable, de manière à rendre très-petite la valeur numérique de — j on vérifiera les équations (3) en prenant
(4) p = (^, + £.J , t7=: arc tang £■
Enfin, comme on tirera des formules (ij et (2)
e^' = lim(p^)'" = lim(p'")„,^,
le module et l'argument de l'exponentielle e''^ seront évidemment les li-
mites vers lesquelles convergeront, pour des valeurs croissantes de w, les quantités
I + ^ 1 et inzs.
Mais, m venantà croître indéfunment, le rapport — s'approchera indéfiniment de zéro; par suite, la quantité
et sa racine carrée
s'approcheront indéfiniment de l'unité. Mors aussi, zs venant a s'approcher indéfiniment de zéro, on verra le rannori convertjei' \ers la
' 1 tang ra ^
limite I , et le produit
tHTS = P —
tang CI
vers la linute p. Donc, en résumé, l'exponentielle e'" a pour module
I unité, et pour argument l'angle p; et l'on a identiquement
(6) e'" r3: Cp = cos p -+- i sin/>.
II suit de cette dernière lormule que, dans l'exponentielle e'", la partie purement algébrique et le coefficient de i se confondent avec les deux lignes trigonométriques appelées le cosinus et le sinus de l'argument p. C'est pour ce motif que nous donnons à e^' le nom d'expo7ientie/le trigonoinétrique.
Nous avons remarqué, dans le § lY. que l'on a pour toute valeur finie de 2
Si donc, dans l'équation précédente, on pose z:= pi, et, par suite.
e^ = eP' = cos p + i sin p, on trouvera
(7) cosp + ; sin/; = I -I- ^1 ^ ^0'+ --i
et il suffira d'égaler entre elles, dans les deux membres de l'équation (7), d'ime part, les parties algébriques, d'autre part, les coefficients de 1, pour retrouver les formules connues
(8) CO'S,p—\—- h t-^r— ,— ..., SU10t=- i— 5 + ...,
qui servent à développer cos p et sui p suivant les puissances ascendantes de l'angle p. ; ; ;
Remarquons en finissant que, si l'on représente pai- ar, y, les coordonnées rectangulaires, et p;ii- z l'affixe d'un point situé dans un certain plan, en sorte qu on ait
z = j: + ji, .'*
l'équation (4) du § IV, savoir : //
donnera, eu égard à la formule (6),
(10) ^' = e^ ij..
Donc l'exponentielle
aura pour module le nombre e'^ et pour argument la quantité y. .Si la quantité géométrique z' était conjuguée à z, en sorte qu on eût
z' = x -Jl,
alors, à la place de l'équation (9), on obtiendrait la suivante : (il) e' = e-' e-^'
que l'on pourrait encore écrire comme il suit
en vertu des formules (9) et (11) jointes à l'équation (6), les exponentielles e^. c^ seraient, ainsi que z et r', deux quantités géométriques conjuguées.
Sur les cliver s logarithmes d'une quantité géométrique.
Soit z une quantité géométricjue. Les dners logarithmes de z, il.tn^ le système qui aura pour Art^f un nombre donné A, seront les diverses valeiu's d'une quantité géométrique A déterminée |)ar ré([uatioii
Si , en rédinsani le nombre A à la base
des logarithmes népériens, on désigne par ). l'un quelconque des logarithmes népériens de z, on aura simplement
Soient maintenant /• le module et p largument de -. en sorte (piOn ait
z = /p = i^, r =;; r cos/; -h 1 r siii p ; et posons
jc := r cosyj. ■}' = r sin p.
\ chaque \aleur de
z ^= x -h yi
correspondra un système unirpie de valeurs algébriques de x. y, propres k représenter les coordonnées rectangulaires du point dont z sera lafïixe. Au contraire, à chaque valeur de z correspondra une infinité de valeiu's de largument p; et, comme ces valeurs se réduiront aux divers termes dune progression arithmétique dont la raison sera la circonférence an, lune d'elles sera généralement comprise entre les limites — r. . -^n. Si on la représente par la lettre p , la valeur générale de /) sera
(3) ^ = P -H aA--,
k désignant une quantité entière quelconque, [)ositive, nulle ou négative.
Concevons a présent que 1 on pose
y.— a -^ Si, a, o étant des quantités algébriques. On en conclura
Donc la quantité géométrique e' aura pour module e", pour argument §, et, en vertu de ce qui a été dit précédemment [page 217]. l'équation (2), que l'on poiuTa écrire comme il suit
i.e=' = TpT,
donnera
e" = r, I. = ip=zi^..
Donc, SI l'on désigne, à l'aide de la lettre caractéristique i, et par la notation 1 (r ;, le logarithme algébrique et népérien du nombre r, on aura
a = \{r), ë — f ^ ak- ,
A désignant une quantité entière, et
En d autres termes, on aura
(5) y = l{r)-^pi.
la valeur de l'argument p étant l'une quelconque de celles que détermine la formule ( 3 ) .
Il est bon d'observer que 1 arc désigné, dans les formules précédentes,
par la lettre f, est. de tous ceux qui ont pour cosinus - et pour sinus
-, le plus petit, aljstraction faite du signe, et . par conséquent, celui
qui s'évanouit quand la quantité géométrique z se réduit au module /■. Par suite, si l'on pose p = f dans la formule (5), on obtiendra celui des logarithmes népériens de r, qui se réduit à l(r quand z se réduit à r, et qui, pour ce motif, sera généralement désigné par la notation 1 z . Cela posé, on aura
et la formule (4) donnera
(7) ■ , ,, ,:i .,,,.,, ), = Ifz) -!- 1 , -i ' , (■ I. < i
( 249) la valeur de I étant
(8) l=2kni.
Si l'on réduit la quantité géométrique z à l'unité, on aura
et les diverses valeuis de >. se réduiront aux diverses valeurs de 1 toiuiiies par l'équation (8). Ces diverses valeurs de I ne seront donc autre chose que les divers logarithmes népériens de l'imité, et il sutïira d'ajouter ceux-ci à 1 1 z) pour obtenir les divers logarithmes népériens de z.
Si la quantité géométrique z s'évanouit avec son module /', le logarithme népérien l(r) se réduira simplement à — oc , c'est-à-dire à l'infini négatif; et la formule 1 6) donnera
(9) Ho)= — « -1- pi,
l'angle p restant indéterminé, et pouvant être arbitrairement choisi entre les limites — ;:, +71. On peut remarquer que, dans la même hypothèse,
la dérivée de l(z), savoir, -, acquiert un module infini, l'argument restant indéterminé.
Enfin, si la quantité géométrique z se ré<luit à la quantité algébricpie et négative — r, on aiu'a
par conséquent
et pour satisfaire a cette dernière fornuile, sans attribuer a p une valeur' située hors des limites —n, + tt, il faudra supposer, ou p = -, ou f = — Tt. L'équation (6) donnera, dans la premicre supposition,
(10) Il — r) = 1(/-) -f- Tri, dans la secf)nde
(11) 1--/-) = l(r) - TTi;
et il est clair que l'on pourrait, dans la détermination du logarithme népérien désigné par 1(— r) , hésiter entre les formules (10) et (i i). Pour faire disparaître toute incertitude, j'ai proposé, dans le troisième volume [page 38o], d'adopter de préférence la formule (10). Mais on pourrait aussi,
Et. d'An, et de Phrs. malh., T. IV. ^44» livr.) -^^
( aSo )
sans inconvénient grave, admettre que la fonction l(z), dans laquelle le coefficient de i devient indéterminé, quand z s'évanouit, offre pour ce même coefficient deux valeurs distinctes, quant au signe, et données par les formules (lo) et (i i), ilans le cas où, z étant réduit à — r, l'argument p cesse d'être renfermé entre les limites — tt, -I- tt, et où cet argument peut être censé atteindre l'une ou l'autre limite au gré du calculateiu'. Il y a plus, on sera naturellement conduit à la formule (lo), si la quantité négative — /• entre dans le calcul comme limite d'une variable dans laquelle le coefficient de i se réduit à une quantité positive infiniment petite. On sera, au contraire, naturellement conduit à la formule (r i), si la quantité — r est la limite d'une variable dans laquelle le coefficient de i se réduit à une quantité négative mfiniment petite. Ainsi, en définitive, il paraît convenable de ne point s'arrêter à priori à l'une des formules (lo), (II) plutôt qu'à l'autre, et de laisser le calculateur libre de se déterminer dans le choix qu'il fera de l'une ou de l'autre, par des considérations pinsées dans la nature même de la question qu'il se proposera de résoudre.
L opinion que je viens d'exprimer se trouve corroborée par la remarque suivante :
Si, dans la formrde(6), on pose r= i, et, par suite. -= i^, on tJ-ouvera
Cela posé, l'équation (6) donnera
D'ailleui-s il est naturel d'étendre les formules (12) et (i3) au cas même ou l'on a 1,,= — I, et, par suite, p = ± n. En admettant cette extension, on tirera de la formule (i3)
et de la formule (12
'.'5) |(i)^+jjj
Or de l'équation (14) jointe à l'équation (i5) on déduira immédiatement ou la formule (10) ou la formule (1 1), suivant que l'on réduira le double signe renfermé dans l'équation (i5) au signe + ou au signe — . En d'autres termes, si l'on pose s = — /■, l'équation (fi) sera remj)lacée par celle-ci
Remarquons encore que clans l'équation (i5) ou (i6) le double signe répond aux deux limites vers lesquelles converge l'argument p. tandis que dans l'expression
ou pose X = — \ . ou jc = — /', en faisant converger la quantité positive ou négative j vers la limite zéro, tout comme dans l'équation
^voir l'analyse algébrique, page 45]. le double signe répond aux deux limites -i- oc , — ac vers lesquelles converge 1 expression
tandis que la quantité positive ou négative x s approche iiidéfinmieiit de zéro.
Remarquons enfin que. si l'on désigne par z la quantité geoinétiiqiie conjuguée à z, en sorte qu'on ait non-seulement
z—x^j\ = rp, mais encore
z =x -ji = r^.
les deux fonctions de z désignées par les notations
dont la première est définie par la formule (6) de la page 24^- seiont i\k-u\ quantités géométriques conjuguées. Ainsi, en vertu des conventions ado[)tées, l(z') sera conjuguée à l(z . tout comme p' a p'. Ajoutons que. si l'on fait converger les quantités conjuguées
z = r-p et z' = r,,
vers la limite commune — r. en faisant converger p ^ers la limite ;:,
convergeront vers les limites
1 (/•) ■+- 7T1. \\r) — ni,
qui sont précisément les deux quantités conjuguées dont cli.icune peut elie considérée comme une valeur de 1 — r).
Revenons maintenant au cas où A est un nombre quelconque, et nommons a le logarithme algébrique et népérien de A, en sorte qu'on ait
fl = l(A), et , par suite ,
On aiua encore
Donc l'équation (i) donnera
En divisant par e ^'^ le premier et le dernier membre de la formule (18), on trouvera
/ \ a A — If z)
Donc, la différence a A — l(z) sera l'un des logarithmes de l'unité, c'est-àdire l'une des valeurs de I, et la valeur générale de A sera déterminée par l'équation
de laquelle on tirera
OU , ce qui revient au même, eu égard à la formule (■y),
On se trouve ainsi ramené au théorème connu dont voici l'énoncé :
Pour obtenir les dh'ers logarithmes de z dans le système dont la base
est le nombre A, il suffit de diviser les divers logarithmes népériens de z
par le logarithme réel et népérien du nombre A.
Si l'on désigne à l'aide de la lettre caractéristique L, et par la notation
1j(r), le logarithme du nombre r dans le système dont la base est le
nombre A, alors, en posant comme ci-dessus a =: L''A), on aura
il suffit d'étendre cette dernière fornude au cas ou le nombre /■ se trouve
( a53 ) remplace par une quantité géométrique z, poiu- obtenir l'équation
qui sert ;i détiinr généralement la fonction L(z).
Les définitions que j'ai ici données de l(c) et de L(z) diffèi-enl de celles (]ui ont été adoptées par M. Bjôrling, dans le cas seulement on l'argument représenté par la lettre ^ se trouve renfermé entre les limites — ;:.
— '-. Suivant cet auteur, dont les intéressantes recherches ont été déjà
mentionnées dans le tome III [page 387], on devrait prendre poin- valeur de f dans la formule (6) un angle qui, toujours inférieur à la limite
- -i- 7T, ne s'abaissât jamais au-dessous de la limite - — ;r. Ajoutons tjue
M. Bjôrling a donné à la fonction l(z) ou L(z) le nom de logari/kme principal. Nous conserverons ce nom; mais nous substituerons aux définitions données par M. Bjôrling celles que fournissent les formules (6) et (10), quand on attribue à l'argument f une valeur numérique inférieiue ou tout au plus égale à n. Il en résultera que les logarithmes principaux de deux quantités géométriques conjuguées seront encore deux quantités géométriques conjuguées.
Les deux fonctions de z, représentées par 1 (r) et L(z), jouissent, quand z se réduit à un nombre, de propriétés connues. Ces propriétés ne subsistent plus que sous certaines conditions, quand z est ou une quantité négative ou une quantité géométrique.
Ainsi, par exemple, si dans les équations
(25) L[tr)=L{r) -h \. {>■'),
qui se vérifient généralement quand r, /' sont deux nombres quelcoixpies. on remplace ces nombres par deux quantités géométriques z, z', on obtiendra les deux formules
(26) 1(22') = Il Z! -+- I(Z'),
(27) L(zz') =L(z) +L(z'),
qui ne seront pas toujours exactes. Si, pour fixer les idées, on suppose
chacun des arguments p, p' étant compris entre les limites — n , + ?:; les formules (a6), (27), dont la première jointe à l'équation (aS) enti'aîne la seconde, subsisteront quand la somme p -^ p' sera comprise elle-même entre les limites — n, -+- n. Mais comme, pour réduire la somme p -\- p' k une quantité dont la valeur numérique ne surpasse pas le nombre n, on se vez'ra obligé de faire croître ou décroître cette somme du [nombre 271, si elle est inférieure à — 7: , ou supérieure à 7: , on devra , eu égard à l'équation (6), remplacer l'équation (26) par la formule
(28j l(zz') = l(z) + l(z') -+- 2 7:v
si la somme p + p' est comprise entre les limites — tt. — arr, et par la formule
(s»9) l(zz.') = 1(2) + !{:;')- 27ri,
si la somme /> + />' est comprise entre les limites n , in.
Dans le cas particulier ou z' se réduit à — 1 , on a simplement
\lors aussi, à la place de la formule (28) ou (29), on obtiendra l'équation
si l'argument p de z est compris entre les limites o , ;r , et l'équation
(3i) l(-z) = l(z) + 7ri.
SI /; est compris entre les limites o, — n.
Si z, z' sont deux quantités géométriques conjuguées, les arguments p, p', réduits à des arcs renfermés entre les limites — n, + n , seront nécessairement égaux au signe près, mais affectés de signes contraires. On aura donc alors
et . comme ou aiua aussi
r' = r, zz' = rp r p = r\
l'équation (26) donnera
(32) l(z)-hl(z.') = l(/-=) = 2l(r).
Su/' les pui.ssdiiccs ou expotientielles dont les exposants et les bases sont des (piantités géométriques .
Soieiil r et u deux quantités constantes ou variables. Si ces i[uaiUités sont a]gébric|ues et positives, ou, en d'autres termes, si elles se réduisent a des nombres, on aura identiquement
il) z. = e'-';
et, en élevant les deux membres de l'équation (i) à la puissance du degic u. on trouvera
D'ailleurs, pour que l'équation (2) s'étende au cas où z et m sont des quantités géométriques, il suffit d'admettre que, dans ce dernier cas, on se sert de cette équation même pour définir généralement la puissance ou exponentielle z" dont la base es\ z, et l'exposant u. C est ce <)ue nous Ferons désormais. Nous obtiendrons ainsi une définition de z" qui comprendra évidemment comme cas particulier, non-seulement la définition précédemment donnée [page 242] d'une exponentielle dont la base \ est un nombre quelconque, mais aussi la définition donnée [page i63J dune puissance entière d'une quantité géométrique. Effectivement , si la cjuantitc géométrique u se réduit à un nombre entier ?i , et si d'.iilleiirs ou pose
p étant compris entre les limites — n , -h n , l'équation 21 réduite a la suivante
et combinée avec la Formule
I (z) = l(r) +/JI, donnera
( 256 ) D'ailleurs, eu égard à la formule (i) de la page 24^ » on aura
Donc l'équation (3) donnera simplement
ou, ce qui revient au même.
Or cette dernière formule coïncide avec l'équation (7: de la page i43, c'est-à-dire avec la formule à laquelle on est conduit lorsqu'on étend la définition généralement admise de la n'""^ puissance d'une quantité au cas même oii cette quantité cesse d'être algébrique, en considérant une telle puissance comme le produit de n facteurs égaux entre eux.
Si , dans 1 équation ^2), la quantité géométrique z s'évanouit avec son module /', alors, la partie algébrique l(r) de l(z) étant réduite à — oc , la valeur de z" sera indle si la partie algébrique de u est positive, et uifinie si la partie algébrique de u est négative.
Si la quantité géométriqu-e z se réduit à la quantité algébrique et négative — r, alors, connue il a été dit à la page 25o, on pourra prendre pour valeur de z l'une ou l'autre des deux expressions
et l'équation (2) fournira pour valeur correspondante de
(- rf
I un ou l'autre des produits
II y a plus; on sera naturellement conduit a la formule
si la quantité — r entre dans le calcul comme limite d'une variable dans laquelle le coefficient de i se réduit à une quantité positive infiniment petite. On sera , au contraire , naturellement conduit à la formule
si la quantité — r est la lunite d'une variable dans laquelle le coefficient de i se réduit à luie quantité négafive infiniment petite. Ainsi, en défini-
tive, il paraît convenable de ne point s'arrêter à priori à lune des formules (5), (6) plutôt qu'à l'autre, et de laisser le calculateur libre de se déterminer dans le choix cpi'il fera de lune ou de l'autre par des considérations puisées dans la naliu'e même de la ([uestion (]u'il s'agira de résoudre.
lin réunissant dans une seide formule les équations (5)el [6], on aura
Si l'on pose en particuliei / =: i , la fornude [j] donnera
Pai' suite, la formule i - ) entraînera la suivante .
qui peiU être substituée a chacune des équations ( 5 ) et (6;.
Si l'on pose
la tormule (8' donnera
l-o) (-lf=±I.
\insi, eu égard aux conventions admises, la notation ( — i) ou y— i ne «loit pas être uniquement employée pour représenter la quantité géométrique
On peut aussi se servir de cette notation pour représenter la liiiiile — i vers laquelle converge I expression
•> (-i-îi)-.
quand î, étant positif, s approche iiidéfiiiimeni de 2.éro. Observons maintenant (|ue, si lOii j)Ose comme ci-dessus
1 argument p étant compris entre les limites — - , -h - . on tuera généralement de léquation (2}, combinée avec la formule
Ez. ,iA„. ,'t H- Ph. math.. T IV. ^4= livr.) 33
( ^58) et avec l'équation (i) de la page a4a,
par conséquent '
(II) z" — r" e"PK . . .-.
La formule (ii) pourrait servir aussi bien que la formule (2) à définir la fonction de z et u, représentée par la notation z".
La fonction de z et de u, représentée par z", jouit, quand z ou u se réduit à un nombre, de propriétés connues. Parmi ces propriétés, quelques-unes continuent de subsister généralement, d'autres ne subsistent plus que sous certaines conditions, quand z et u sont deux quantités géométriques.
\uisi , par exemple, eu égard à l'équation (2), la formule
subsistera généralement pour des valeurs quelconcjues des quantités géométriques u, u', non-seulement quand z sera un nomlîre, mais encore quand z sera une quantité géométrique quelconque. Au contraire , si dans l'équation
(r3) [rr')" = r" r'",
(j ni se vérifie généralement quand r, ;' sont deux nombres quelconques , on remplace ces nombres par des quantités géométriques z, z\ on obtiendra la formule
((4) (zs')" = z"z"'
qui ne sera pas toujoiu's exacte. Effectivement, on aiu'a, en vertu de l'équation (2),
Par suite l'équation (i3) subsistera sous la même condition que la formule ( 26 ) de l'article précédent , c'est-à-dire dans le cas où les arguments p, p' de z et de z', supposés tous deux compris entre les limites — t:, -\- n. fourniront une somme p -h p' comprise entre les mêmes limites. Lorsque cette condition ne sera pas remplie, alors, en vertu de la formule (28) ou (29) de l'article précédent, jointe à l'équation
( 259 ) on aiiiM
' i5) [z:')" = i,*„ z"zr'\
si la soinine p -h p' est cx)nij)rise filtre les liiiiiies — -. — a-, et
lO) (.^ 1 I— 1..7T1/ - - •
si la somme p -,- p' est comprise entre les limites -, j.-.
Si Ton désigne par :;' la quantité géométri([ue conjuguée ,i z, el pai n' la (]iiantité géométrique conjuguée à u, alors, en vertu des notations admises, iiix trois f|iiantités géométriques
\[zA, u\[z). ('"' ^' = s" corresjiondront les ([uanlités .^géométriques coiijuiiuees
I (z'), «'1;^'). c"'' ' = z"' . Donc
^U „ t II
seront deux quantités géométriques conjuguées.
L équation (a est précisément celle à l'aitle de laquelle M. lijitrling a défini la fonction z". ^Slais. en vertu des conventions ado|)tées par (et auteur, p serait, dans l'équation v'',\ l'H angle ([ui, toujours inférieur a
la limite --f- -, ne s'abaisserait jamais au-dessous de la limite - ~ -:.
1) ailleurs, ÎM. Bjorliug a donné à l'expression z" le nom de puissance principale an ilegré u. ?s'()us conserverons ce nom, mais nous attribuerons à l'argument p de z, mis en évidence dans l'équaîion (i i), une \aleur nujnérique inférieure ou tout au plus égale à n. Il en résultera qu'en élevant deux quantités géométriques conjuguées à des puissances indiciuées par des exposants conjugués, on obtiendra encore, pour puissances principales, lies (jiiantités géométriques conjuguées. ^
S!/r les arguments de deux (juantités géométriques dont ta somme ou le produit est une quantité algébrique positive.
§ \" . — Sur les aigumtiits de deux quantités géométriques dnnt la somme est algébrique
et positive.
Considérons deux t[uantités géométriques dont la somme soit ;(lgébriqne et j)ositive. Soient d'ailleurs c la demi-somme, et
la demi-différence de ces deux quantités géométriques. Elles seront repiésentées par les binômes
et si l'on nomme p, p' leurs modules, zs, zs' leurs arguments, que nous supposerons tous deux compris entre les limites — tt, 7i, on aura
Po = c + Z= c -h /
par conséquent
, ,' [ p cos CT == c + /■ cos p, p sin ts ^ r sin/j, . .,
{ p' cosTz' ^ c — r cos, p ., p' s.\u zs' = r sin p . m ,
On aura donc, d'une part,
(3) .p cosro = c -h rcoap, p' cossr' = c — /• cos/'; et, d'autre part,
(4) |Ssinj7= — p' aiuTs' ^ r sinp.
Observons maintenant qu'en vertu des formules (3) coszs, cossr' seront positifs, si le module /• de z est uilerieur à la constante positive c. Donc
alors, chacun des arguments v;, zs' étant compris entre les limites
( a6i ) chacuiip des quantités
- offrira une valeur munérique inférieure à ;:. J'ajoute que cette coriciusiou subsistera encore si le module / de z devient égal ou supérieur à l'imité. C'est en effet ce cjue Ion prouve aisément comme il suit.
D'abord il résulte de réc[uation i;^4 ^Y^^ sui sr , sin jy sont des (piantités affectées de signes contraires. Par suite, il en sera de même des arguments sr, zs' , dont le plus grand oifrira une valeur numérique égale à celle delà somme zr + zô' . Donc cette somme sera, connue chacun d'eux, renfermée entre les limites — -. -+- -.
De plus, si le module /. supposé d'abord inférieur à l'unité, Mi-nt a croître indéfiniment, mais par degrés insensibles, les angles zô. ït, , dont les valeurs sont attectées de signes contraires, et la dittérence
étpiivalente, au signe près, a la somme des valeurs uiuneriques tle w et sr'. vai'ieront évidemment |)ar degrés insensibles, jusqu au niomeul ou Ion aura, s'il est possible.
V} — Zîî ^^^ m 7T, par conséf[uent
.Mais, dans ce dernier cas, on ti'ouver.iit
sin sT ' = — sin tô , cos ?« = — cos zn ;
et la iorinule . j : donnerait
Par suite, on tirer.nt des formuli's i3)
5 cos 5r — / cos p := C := — C.
Celte dernière équation ne pouvant se \érifier fpie dans le cas on < serait uni, nous devons conclure que, tlaus le cas on c est positif, les .u'gumeuls 57, zs' et leur différence zô — zô' varieront pour des \aleurs croissantes de /■. par degrés insensibles, sans que jamais la valeiu" numérique de ^ — ^ puisse atteindre la limite ~, qui surpasse cette valeiu- numérique (piand on a /• < c. On peut donc énoncer la proposition suivante : i*""^ Théorème. Etant données deux quantités géométriques
dont la sonuue est une quantité algébrique et positive ic, concevons que l'on réduise les arguments w, zs' de ces deux quantités géométriques à des angles renfermés entre les limites — tt, + ti. Les angles
7Z + ZS' , ZS — ZS'
seiont eux-mêmes renfermés entre les limites — tt , + tt.
Il est bon d'obseiver qu'on peut encore arriver très-simplement au théorème premier à l'aide de considérations géométriques. En effet , construisons les trois points
dont les affixes sont lespectivement
Le pouit C sera situé sur l'axe polaire, et le pôle O sera le milieu de la droite AR. D'ailleui's, on pourra supjjoser que des deux quantités géométriques
la première est celle dans laquelle le coefficient de i est positif. Cette hypothèse étant admise, les arguments zô , — iz' seront positifs et représenteront les angles formés par les droites BC , AC avec l'axe polaire OC , c'està-dire, en d'autres termes, les angles BCO, ACO. Donc la somme ts — zs' des deux arguments rz, — zs' représentera l'angle BCA du triangle qui a pour sommets les trois points A, B, C. Donc cette somme sera lui angle positif inférieur à tt, et 1 on pourra en dire autant , à fortiori , de la valeur numérique de l'angle zs + zô' , équivalent . au signe près, à la différence des arguments sr, — zs' .
Du théorème premier, joint aux principes établis dans les deux articles précédents, ou déduit encore les propositions suivantes :
1^ Théorème. Étant données deux quantités géométriques
dont la somme est une quantité algébrique et positive 2 c, l'addition ou la soustraction de leurs logarithmes principaux, pris dans un système quelconque, donnera pour résultat le logarithme principal du produit ou du quotient de ces deux quantités géométriques.
3* Théorème. Etant données deux quantités géométriques
dont la somme est une quanrité algébrique et positive 2 c , la m ultipli cation ou la division de leurs puissances principales d'un degré quelconque u donnera pour résultat les puissances principales et semblables du |)roduii <m du quotient de ces deux quantités géométriques.
En vertu du théorème 2, et en désignant a Faide de la lettre caraclenstique i un logarithme népérien, on aura non-seulement
mais encore
On trouvera, par exemple, en posant c = i,
(7) i(r 4- r.) + l(r - z)=\{x - z'], et
(8) 1 (H-z)-l(i 2l = li^^
En vertu du diéorème 2, et en désignant par u une quantité géométrique quelconque, on aura non-seulement
(9) {c+ zY{c - z)"^{c^ -z')".
mais encore
(10) . (c + 3/- ,i:tlV.
On trouvera, par exemple, en posante = i,
(il; (i -t- z)"(i — z)" = ' [ - z-1"
et
Il — z" \ I — ; '
Si l'on pose, en particulier, 11= \ les formules 9) et (10) donneroni ('3) {(• -^ z-Y [c - z)' = x^ -
§ II. -Sur les arguments de deux quantités géométriques dont h produit est
algébrique et positif .
Considérons deux quantités géométriques
z = 'Vî 2' = /■',/ • loiit le produit se réduise à une constante algébrique et positive c. On aur?
ir' — ip+p'rr' ;
et, par suite, l'équation
rr' — c
Si d'ailleurs, comme on peut généralement le supposer, chacun des arguments p, p- est renfermé entre les limites -t., + t., la somme p + p' offrira une valeur numérique inférieure ou tout au plus égale k an; et même cette valeur numérique ne pourra s'élever jusqu'à la limite 2 n que dans le cas où, z, z' étant réduits à des quantités négatives - n - r'. on aurait
et, par suite,
Ce cas excepté, l'équation (-2) entraînera généralement la suivante :
(3) p ->r- p' = O ou p' = — P, . ,
de sorte que p, p seront des angles égaux, au signe près. Si l'une des quantités géométriques
off^-e pour partie algébrique une quantité positive, alors des arguments,;, ^■, l'un sera compris entre les limites - ;. ^' et l'autre, en vertu de l'équation (3;, devra jomr encore de h même propriété. Donc alors la différence
P-P' sera comprise entre les limites - ::, + ;:. De cette remarque, jointe aux principes établis dans les deux articles précédents, on déduit immédiatement les propositions suivantes :
i*' Théorème. Soient z, z deux quantités f>éoiiiétnqiies dont le produit se réduise à une (juantité algél)riqne el positive c. Si l'une des quantités z, z' offre une partie algébrique positive, la différence de leurs logarithmes principaux, pris dans un svstèuie <[uelconque, sera le logarithme |)iincipal du rappoi'l de 1 une a laiitre. en sorte (pi on aura
(4) ■ l(^)-Kz') = l(^i).
?/ TJiêoicme. Soient z. z' ds^ux fpiantiîés géouiélri([ues doiU le pioduit se réduise à une cpiantité algébrique et positive c. Si l'une des quantités z. z' ofli'e une partie ulgéjjriqne positi\e, le rapport de ieuis puissances priucij)ales d'un degré c[uelconv(ue /i sera la puissance principale et semblable fin rapport de ces {\(ni\ ([nantîtes géoméiriipies. en soi'te qu on aiu'a
[:x.dÀi! ■■id.- l'h}:.i„.iih., T. IV . ;'4:;« livr i '-'t
,S>// i' ai'i^ninent principal d'une quantité géométrique. Formules diverses servant à exprimer l'argument principal d'une quantité géo?nétrique en Jonction de la partie algébrique et du coefficient de i.
Soit
une quantité géométrique, qui ait pour module le nombre r, et pour argument l'angle p. Si cet angle est, comme on peut toujours le supjioseï". renfermé entre les limites — ;:, 7r, il deviendra ce que nous appellerons Y argument principal de la quantité géométrique z. Si z se réduisait à une quantité algébrique négative, en sorte qu'on eût
l'argument principal p pourrait être censé atteindre ou la limite intérieure — n, ou la limite supérieure tt, suivant que l'on considérerait — r comme la limite vers laquelle convergerait, pour des valeiu's infiniment petites du nombre s , ou la première ou la seconde des deux quantités géométriques
Concevons maintenant que, dans la quantité géométrique z, on désigne \a partie algébrique par x et le coetlicient de i par j. On aura
et, en égalant l'une à l'autre les valeurs de z données par les formules (i), (a), on trouvera
a- + /i = rp= •/.'' = r[cos, p + isin p), par conséquent , (3) j?=:rcos/), j^=^rs\np.
Des équations (3) jointes aux formules
cos°/y + sin^/3 = i.
sin p tane p = 1
" ' COS p
on tire, en premier lieu,
et, par
suite.
= {sc^+rh
en second lieu
co%p
=-^ siup =
la valeur de /-
étant
année
par
l'équation (4).
, et
t''"gP=i:-
Fnfui.
connue
on a
r tangp
iéc » ;
— , cnsec n =
on trouvera encore
(8) séc p ^ -i coséc p = -•
Les équations (5), (6), (7), (8) subsistent pour toutes les valeurs quti peut actpiérir l'argument p de la quantité géométrique
On peut d'ailleurs de ces mêmes écpiations déduire des tornades diverse^ dont chacune détermine non plus l'une c[uelconque de ces valeurs de p. mais l'arginnent principal de r., en fonction des deux quantités algébriques X, j.
En effet, conservons les notations adoptées dans mon Analyse al^chriqiie, et admettons, en conséquence, que, x étant une quantité algébrique. Ton désigne par la notation
arc sin x, ou arc ccjséc jr, ou arc tang ,r. on arc cot .r,
( 268 ) I :iic qui, ayant x poiii' sinus, on pour cosécanle, ou pour lauf^enle, ou ]Kniv cotaneente, est l'enfermé entre les limites — -^ -? la valeiu' luinié-
lique (le x étant supposée inféi'ieure à l'imité dans arc sin x, et supérieiu'é à l'unité dans arc coséc x. Admettons, au contraire, que l'on désigne par la notalion
arc cos x ou arc séc x
I arc qui, ayant x poui' cosinus ou pour sécante, est renfermé entre les limites o, n. Puisque cos/j et séc /j sont des fonctions paires de p, qu'on n'allère point en cUangean!^ !e sig:!e de p, i! est clair que, si p représente l'arpument pfincipal de z compris entre les limites — ;;, 71, on tirera de la première des formules (5),
p =^ ±1 arc cos -;
(I (h' la preinièi-e des formules (8),
p ^= ± arc sec
A|c)utons tpi en vertu de la seconde des tormules i^5), j' sera positil on négatif avec sin p, suivant que p sera compris entre les limites o, 71 ou o. — n, cest-à-dire, en d'autres termes, suivant que l'argument principal p sera positif ou négatif. Donc, dans les deux équations que nous venons d'obtenir, le doidjle signe devra être réduit au signe de la quantité algél)ri(|ue 7-; et l'argument principal p de la quantité géométrique
z = x +fl
poiiria elle déterminé, dans tous les cas, pai" l'une quelconque des deux formules
(9) /' = 4=;;»"i^t-osi,
(10) /; = -~ arc séc ->
la valeur de /■ étant donnée en fonction de x et de y par l'équation (4)- Il est bon d'observer qu'en veilu de la formule (9) ou (10), l'argument
principal /) offrira une valein- niunérique inférieure ou supérieure à '-•, suivant (pie la valeur de x sera ))ositive ou négative. Par suite, on tirera de la
foniuile ,6 , si a est poâtif, (11 /;= arctaiig^^
el. si .r est négatil, 1 a p =^ arc tang- zti -,
le sigiu' r± devant être réduit au signe -i- on au signe — . suivant i\ui- ^ st'ra j)()sitif ou négatif. Ajoutons quini nombre qui se réduit à zéro povir a: > o, à l'unité pour x < o. peut être représenté par l'expression al£;éhri(|Uf
ri ipi en conséquence les équations (i 1). (lu i se trouxeut toutes deux comprises dans la formule générale
( 1 3 : jy = arc tang- + - -;=- j i =
Ijiîin. connut' les arcs
arc tan» -7 arccot-- arcsiu-- .ut coséc -■.
seront égaux, aux signes près, les signes des deux premiers étant seml)lables ou contraires aux signes des deux derniers, suivant que la valeuid<> .r sera positive ou négative, on aiu'a identicpiement
arc tan" - = arc col - = — = arc sm - = -^= ai'c cosec - ;
el, par suite, on pourra substituera I (»qualion (i3 l'une (piek()ri(|ue des fornudes
(.4) f'- '''''''' i-ljy'{;-^'
,D) /j=-^arcsin- 4- „-= I - —
.1- . r ~ .y I -^ \ p = — = arc cosec - -! = 1 = •
/ élant toujours déterminé, en fonction de x- el de j'. ])ai' 1 étpiatiou ^ l\).
Les formules (i3), f^i4) et celles qu'on obtient en substituant, dans les l'ornndes (9), (10), (i5) et (16), la valeur de ;• doiniée par l'équation 4)ne sont pas les seules cpii servent à exprimer l'argument principal /; de la quantité géométrique z = a: -+-J1, en l'onction des quantités algébriques j:\j.
V)n peut encore, aj)res avoir réduit l'équation (,7) x+ji= i^r=re'"
à la forme (18)
oPi-îjtZi
en déduire immédiatement la valeur cherchée de/7, eu prenant les logarithmes principaux des deux membres. On trouve ainsi , en nommant p l'argument principal de z,
et , par suite ,
ou , ce cpii revient au même ,
la valeur de /• étant donnée, en fonction de x et j, par l'équation (Zj)- D'ailleurs, si à la quantité géométrique x-h^i on substitue la quantité conjuguée x — j'i, l'argument p changera de signe, et, à la place des équations (17), (j8), (19), (20), on obtiendra les suivantes :
(21) X — ji = i pr = re'
(22) e-pi = l=2:',
I , X — ri
. . l(.r — ri)— 1(>I (24) p = -.
Enfin, des formules (20), (24), combinées entre elles par voie d'addition , l'on tirera
\{j:-hri) — H-^ — xi)
et, par conséquent,
l(x+.ri)— 1(J — ri^
Si Ion égale entre elles les deux valeurs de l'argument principal p four-
mes par les t''(|iiati()iis fi3) et (aS), on trouvera 2D I aiT taiig - = — — - — -. — i ^^—^ ^
Si, dans cette dernière équation, l'on remplace jc par i et j par x. ou
ol)tien«li'a la formule
1(1 + xi) — l|i — j-i) 1 27 i arc tane .r = ^ 1
(Tue l'on poiura encore écrire comme il suif :
( 28 1 arc taim x := -r 1 —
Heuiari|uons en outre que, si, dans l'équitidii
on substitue les valeurs de z, ;et p données par les loi nulles i^i), (4) et (9), on trouvera
(30) 1 (X + j .) = i 1 (x' + j=) + . j=^ arc cos --^.
( ■i'JI ■)
Sf/r les valeurs générales des expressions
%mz, cosi, secz, coséc z tangi, rot z.
D'après ce qui a été dit à la page 245, si l'on désigne par z une quantité algébrique positive ou négative, on aura
(il e*' ^= cos :; -f- isin z.
Si, dans la formule (i) on remplace z par — z, on trouvera
(•2) e~"'=:cosz — isinz;
et l'on tirera immédiatement des formules (1) Pt (2)
-ov e = '-)-e--' e'' — <?-■'
(5) cos z = 1 sni z = -.
On aura d'ailleurs
f A") séc z =^ -^— -, coséc z =
et
— 1 cosec z = -^ — >
cos z sin z
(5) tang z = cot z =
V ' " roi r;
cosz
Les formules (3), (4) ^t (5) fournisseiU nu moven tres-sunple de fixei- le sens qu'on doit attacher aux expressions
sin z, cos z, séc z. coséc z, tang z, cot z,
dans le cas ou z cesse d'être une quantité algébrique. En effet , les valeurs de ces expressions j^ourront toiijoijrs être facilement obtenues, si l'on convient d'étendre les formules dont il s'agit au cas où z se ti-ansforme en une quantité géométrique quelconque. Cette convention, que nous adopteions désormais, permettra d'exprinie!' les valeurs cherchées en exponentielles népériennes que l'on calculera sans peine à l'aide des formules (6) ■et (9) des pages ^45 et 246.
,„ 273 ) Il est bon d observer qu'en vertu des formules (3), (4), (5),
cos s, séc z
seront des fonctions paires de z, c'esl-a-dire des fonctions qui ne seront pas altérées quand z sera remplacé par — z, et qu'au contraire
sni j, coséc ;, tang s, rot z
seront des fonctions impaires de r, c'est-à-dire des fonctions de z qui changeront de signe avec z; en sorte qu'on aura
t'6) cos( — z) = cos z, séc( — z) = sécz, et
!sin ( — z ' zzz — sinz, coséc, — c^ =; — cosécz,
tang( — z) = — tangz, cot(— r = — cot z.
Si dans les équations ^^ 3 j on pose
Z = X+Jl,
alors, en ayant égard aux formules
c'' =: e^\~^' = e~' (cos X -h i siii x),
on trouvera
e~'' = e~^'^^ = e-*" (cos x — isin x]
cos z = cos X — I SUl X.
er — e-y . . c-y — c--' SUl z = — SU) X — I cos X.
Ces dernières iormides mettent en évidence, dans cos z et sin z. la partie algébrique et le coefficient de i. I>es formules qui joueront le même rôle relativement aux fonctions
séc z, coséc z, tang z, cot z,
se déduiront immédiatement des équations (4) ^t i 5) jointes aux formules (8).
Soit maintenant z' la quantité géométrique conjuguée à :. en sorte qu on
ait
z' = X — ji.
Pour obtenir les valeurs des expressions
sin z', cos
Kr ,1 An Cl d- Phj-s. math., T. IV (4o« livr )
il suffira de changer, dans les seconds membres des formules (8), le signe de ^, ou, ce qui revient au même, le signe de i. Donc les deux quantités géométriques
sin z' , cos z'
seront respectivement conjuguées aux deux quantités géométriques
sin z, cos z;
ce (}u'il était facile de prévoir, d'après la forme des équations (3), dont les seconds membres ne sont pas altérés, quand on y remplace i par — i. Par suite aussi, les quantités géométriques
séc z', coséc z', tangz', col z'
seront, eu égard aux formules (4) et (5), respectivement conjuguées aux quantités que représenteront les expressions
secs, cosêc -, tangz, cot z.
Enjoignant aux équations (3"), (4), (5) l'équation (i) de la page o.\-2^ on étendra sans peine lui grand nombre de formides trigonométriques, relatives à un ou à plusieurs arcs, au cas où ces arcs deviennent des quantités géométriques; et d'abord il est clair que, si, après avoir multiplié chaque membre par i dans la seconde des formules (3), on la combine avec la première par voie d'addition ou de soustraction, l'on retrouvera ])récisément les formules (i) et (a). Celles-ci devront donc être étendues au cas où z représente luie cjuantité géométrique quelconque, et Ion pourra en dire autant de l'équation
(9) cos^z -1- sin^z = I ,
qui se déduit encore immédiatement des formules (3), ainsi que îles formules (i) et (2) combinées entre elles par voie de multiplication.
Ajoutons que, si l'on divise par cos^z ou par sin-z les deux membres de la formule (9), on en tirera généralement, eu égard aux formules (4)
et (5), . - ■ vv.-. - - .....
(10) séc-z = î 4- tang^z et
(11) coséc^z = I + cot'z.
Observons maintenant que, si l'on désigne par k une quantité entière quelconque positive, nidie ou négative, les diverses valeurs du produit
( 2-0 ) ikzi seront, eu vertu de la remarque faite à la [)age 249, les divers log.irithmes népériens de l'unité. On aiu-a donc
En condjinant cette tlernici'e équation, que iouinil aussi la iorimde (6) de la page 245, avec la formule (i) de la page 242, on trouvera
puis, en reiupla(;ant ; par — z, et /i par ~ />,
Cela posé, les lornudes (3) donneront
fiS) cos(r ■+- ikr. ; = cos -, sin(z -f- ikr.) = sin;;
et, par suite, on tirera encore des formules i 4). (5),
(16) séc [z -\- 1 k-) = séc r, coséc [z -\- 1 k~) = cosec r,
(17} tang(z + 2 A-) = tangr, cot (c -i- 2/- ) = cotr.
Donc luie des propriétés les plus remarquables des lignes trigonométriques sin r-, cosï, séc c-, coséc s, langs, cot z.
celle qui consiste en ce que cliacnne de ces lignes demeure invariable quand on fait croître ou décroître l'arc z d'un multiple de la circonférence 2 r., s'étend au cas où cet arc se transtorme en une quantité géométrique quei- (■onc[ue.
Si à un multiple de la circonférence o.r. on substitue un multiple impair de la demi-circonférence tt. l'arc représenté, au signe près, par un tel multiple pourra être supposé de la forme
(iAh-i)-. .'
k désigne toujours une quantité entière positive, nulle ou négative. D'ailleurs, en vertu de la formule (6) de la page iI^S, on aura
et, par suite, eu égard à la formule (i) de la page 24^,
( 276 ) Cela posé, les formules [3) donneront
(20) cos[z + (2 A: + 1)71] = cosz, sin [r. 4- (a A- -h l'i tt] = — sin r. et l'on tirera des fornuiles (4), (5),
(21) séc[s -H (2 A- + 1)7;] = — sécz, coséc[2 -I- (2 A 4- 1)71] = — cosécz,
(22) tai!g[2 4- (2 A-)- r);T] = tangz, cot [z + (2 A -t- 1) 71] = cot r.
Il est bon d'observer qu'en vertu des équations (i5) et (i6j jouîtes aux équations (20) et (21), on aura généralement
(23) cos(z + Att) = (^— i)* cosz, sin^z + A71) = (— i)'' sinz,
4) coséc(z-i- A;:) = (— i)* sécz, coséc(z + A7:) = (— i)* séc
A désignant une quantité entière cjnelconque positive, nulle ou négative. Au contraiie, en vertu des lormides (17) jointes aux formules (22), on aura
(25) tang (c + At:) = tang z, cot(z + Att) = cotz.
Ainsi les formules qui expriment que la tangente et la cotangente d'un arc ne varient pas, quand on fait croître ou décroître cet arc d'un multiple de la demi-circonférence -, s'étendent au cas où ce même arc se transforme en une quantité géométrique. .
On peut généridiser de la même manière les relations qui existent entre les lignes trigonoméiriques de deux arcs dont l'un est le complément ou le supplément de l'autre.
On dit que de deux arcs z, z', l'un est le coinpléineni de l'autre, lorsque ces arcs satisfont à la condition
En supposant cette définition étendue an cas même ou les arcs se transforment en quantités géométriques, on obtiendra toujours pour complément
de l'arc z l'arc - — z: et, comme la formule (6) de la page 245 donnera
on tirera de la formule (i) de la page 242 *
(20) c ' zzz \e , e ^ '=— le,
( 277 ) et des toimules (3)
(29) cos( - — z| = sin c. siii 1 - — 2) = cos; Par suite aussi, l'on tirera des i'oriuules (/j)
(30) séc( - — zj = cosi'c z.
et des torinules (5)
(3i) . tanuf " — z] = cot z.
En renversant la dernière des toimules (09) et les foi-mules (3o), (3r), on oblieiit les suivantes :
(32) eosr. r= sin ( - — z), coséc c = src f ^ — c ) , cot z = tang ( j^ —
Celles-ci pourraient être considérées connue un moyen de définir généralement les trois lignes trigonométriques
coss, coséc r, cot 2.
Klles montrent que le cosinus, la cosécanle et la cotan^ente de l'arc r. sont toujours le sinus, la sécante et la tangente du com|)lément de cet arc.
On dit (jue de deux arcs z, z' , l'un est le supplément de l'autre, lorsque ces arcs satisfont à la condition
¥.n suj)posant cette définition étendue au c;is même où les arcs se transfornienl en quantités géométriques, on obtiendra toujours, pour supplément de l'arc s, l'arc n — z. D'ailleiu's, si l'on jiose A' = i, dans les formules (aS), (24)» (^S), et si, en même temps, on y remplace z par — r. on tirera de ces fornmles jointes aux écpiations (6 ), (y),
34) cos(7: — ■^•) = — eos z, sin (71 — z) := sin z,
( 35 ) séc (- — z) = — séc z, coséc (r: — z) ■.= coséc z.
(36) fang(7r — z) = — f'H'n-5 eot(7: — z) ^ cotz.
Il résulte en particulier de ces formules que le sinus et la cos(ianl(^ ne v.irieut pas cpiaud on remplace un ai'c [)ar son supplément.
Supposons maintenant que z, z' soient deux quantités géométriques «pielconques. On tirera des équations (3), combinées avec la foriiiiile {\)
tlf la pnge a/j'-
i cos (z + z'
siii (z + z'
el, par suite, eu égard aux équations t) et (2),
cos (; + £') = cos z cos r' — sin z sin z
■ sai yz 4- z') =: sm z- cos z' -f- sui z'cos z.
Si, dans ces dernières fornuiles, ou remplace z par — z, elles donneront
,,, . ( cos (z — z') =: cos z cos z'+ siu z sin z',
( sin (z — z') ^=. sin z cos z' — sin z' cosz.
Donc les formules (6) et (7) de la page 221 continuent de subsister dans le cas où l'on remplace les arcs p et /)' par deux quantités géométriques z et z'.
Ajoutons que des formules (38) et (39) on tire non-seidement
mais aussi
, ,, tani; z -(- tarii; z'
tail" ^.Z -4- zM = ^-— ^-^
'^ ' I — tang z tanij; :
,, lan"Z — tani; z'
tan" : Z — z') = 2 ^
" ^ ' I -i- tarii; z taiiL' c
î cos (z -I- z') + COS (z — z') ^ 2 cos Z cos z' . \ cos (s — z') — cos (z + z') = 2 sin z sin z',
sin (z -!- z') + sin (z — z')
sin (z -i- z') — sii; (z — z') = 2 cosz sin z' :
ptns, en remplaçant z et z' par ■ — et p;
cos z 4- cos z' := 2 cos
cos z — cos z = 2 sm
sm z -!- sm z = 2 sin
sin ^— — 1
cos "- j
sin ' -'
( ^79 ) Remarquons encore (|ue de la formule (i) de la pai^c 241 on tire
et généralement
quel (jue soit le nombre /2 des quantités géométriques z, z, z", Si, dans
l'équalion (45), on suppose c= c'= ::":=..., on trouvera
(46; ye^)" = e"'.
f)u aura, par suite.
ou, ce qui revient au même,
Q ( ( cos :: -H- i sin z ]" =. cos nz ■+- i sin iiz ,
( (cos z — 1 sui z I = cos HZ — 1 sui riz-,
<'t de ces deux dernières formules, combinées par voie d'addition et de soustracliou , Ton conclura que les équations (10) de la page 221 peuvent être étendues au cas où l'arc p se transforme en une quantité géométrique z. La même remarque s'appliquera iui\ écpiations (1 i), (12) de la page 222 el aux équations (56), (Sy) de la page 23i.
.^ ( '-iSo )
iSiir les valeurs générales des expressions
arctangz, ;irccotz, arcsin:, arccos:, arcsecz, arc coséc
§ 1'". — Formules qui détenninent ces valeurs et les font dépendre des logarithmes principaux de certaines quantités géométriques.
D après ce qui a été dit dans l'axaiit-dei'iiier article, si l'on désigne par z une quantité positive ou négative, on aura
(i) arc tang - = ^ 1
I , H- Cl
OU, ce qui revient au même, eu égard à la tornude (8) de la page 263,
/s . I{n-zi) — l{i— =i) '■
(2) arc taniJ Z = -i ■ — : — ! •
De plus, comme un arc, dont z serait la cotangente, aurait pour tangente-> on ti'oiivera encore généralement
(3) arc cot z = arc tang —
Ajoutons que si z, oltrant une valeiu- numérique inférieure à l'unité, représente le sinus d'un arc compris entre les limites , -, cet arc aura
pour cosuîus la quantité positive v'i — ^^ i ^t pour tangente le rapport
On aura donc encore
(4) ■ arc siii z ■-= arc tang
Enlin, on aura évidemment, pour une valeur numérique de z inférieure à l'unité.
ir
(5) arc cos z = arc sin z,
et, pour ime valeur numérique de r supérieure à l'unité,
(6) arc séc z = arc cos -?
(7) arc coséc z = arc sin
Les formules (1) ou (2), (3), (4), (5), (6), (7) fournissent un moveu très-simple de fixer le sens qu'on doit attacher aux expressions
arc tang z, arc cot ;, arc sin z, arc cos z, aie séc r, arc coséc z,
dans le cas ou - cesse d'être une quantité algébrique. En effet, les valeur> de ces expressions pourront toujours être fiicilemeut obtenues si l'on convient d'étendre les formules dont il s'agit au cas oii z se transforme en luie quantité géométrique quelconque. Cette convention, que nous adopterons désormais, permettra, eu égard à la formule (i), de réduire la détermination fies valeurs cherchées à la détermination des logarithmes principaux de certaines quantités géométriques. Si l'on veut, en particulier, obtenir la valeur générale de arc sin z exprimée à l'aide d'un ou de plusieurs logarithmes principaux, il suffira de joindre à la formule (i)la formule (4), de laquelle on tirera
arc sin z = —r l 2 1
OU, ce qui revient au même,
(8) arc sin r = ^ 1
D'ailleurs, l'argument principal de i — z* étant compris entre les limites — TT, -H TT, le radical \i — z- offrira un argument principal compris entiv
les limites — -, -, par conséquent, une partie algébrique positive: et.
comme des deux quantités opposées
— zi, -h zi,
lUne jouit nécessairement de la même propriété, on pourra encore en dire avitant de l'une des deux quantités géométriques
V I — z-" -I- zi, ■ v'i
Ex dAn. H de Phn. tnalh , T 1\. A'o^ liv.V 36
dont le produit se réduit à la quantité positive i. Donc, en vertu du i" théorème de la page 265, on aura
l[Vl-z'+zi] i[vi-Z^- 2i].
Ajoutons que de cette dernière formule, jointe a l'écjuation
1 [yi — z'' + zi ] + 1 [v^i — z- — zi] = o, on tirera
ZI
Par conséquent, on poiu'ra encore présenter l'équation (8) sous I une ou l'autre des deux formes
(9) arc sin s = - I [y 1 — z- + zi],
(10) arc sin z =? — r 1 [Vi ~ s° — zi] •
Il est bon de rappeler que le coefficient de i dans un logarithme népél'ien principal est toujours un argument compris entre les limites — 7:, H- 71. Cela posé, on conclura immédiatement des formules (i), (3), (l^) et [']) que, dans la valeur générale de chacune des expressions
arc tang z, arc cot z, arc sin z, arc coséc z,
la pai'tie algébrique sera toujours un arc renfermé entre les limites -1 -■>
par conséquent, un arc dont le cosinus sera positif. On conclura, au contraire, des formules (5) et (6) que, dans la valeur générale de chacune des expressions
arc cos z, arc séc s,
la partie algébrique sera toujoiu's un arc renfermé entre les limites o, r, par conséquent, un arc dont le sinus sera positif.
§ II. — Sur les quantités géoinctrifjues
arc tang:, arc cot z , arc sin z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z,
considércfs comme fonctions inverses.
f.eb définitions admises dans le paragraphe précédent sasisfont à une
condition qu il importait de remplir, et réduisent les quantités géométriques
art tane; z, arc cot z, arc sin z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z
a des fonctions de ; inverses de celles qui ont été désignées sous les noms de tangente, cotangente, sinus, cosinus, sécante et cosécante. Ainsi, par exemple, on prouvera sans peine que la fonction de z, représentée par la notation arc taug z, est inverse de celle qui a été nommée tangente, ou, en d'autres termes, que la fonction arc tang z a pour tangente la variable z. On V parviendra en effet comme il suit : Posons, poin- abréger,
(i^i Z = arc tang z.
On aura encore, eu égaid à 1 équation (i ; du § l*^',
Z = -LjL±ii.
par conséquent
et
(2) -=;-Tzr-T =
1 ^.Zi 4-, i ^Zi^^-^i
Mais, d autre part, on aura, en \ertu deséquations (3) de 1 article précédent,
Cf )S 7j =: — • >
par conséquent
„ sin 7.
tang Z = n
•^ ros /
Donc la toriiiule (u) donnera simplement
(3) z=:tangZ.
Or, des formules (1) et (3 , comparées l'une à l'autre, il résulte qu'en vertu •les définitions admises dans le § P% la notation arc tang z satisfait à la condition qu'il convenait de remplir, et représente une fonction inverse de la fonction tang z.
Si à l'équation i) on substituait la suivante
(4) Z ^ arc cot z,
{ ^.84 ) alors, eu égard à la formule (3) du § P% on aurait encore •
Z = arc tang - »
par conséquent
I „ sin Z I
- = tane Z = — = = — =.?
:; ^ cosZ cotZ
et
(5) r. = cotZ.
On en conclurait qu'en vertu des définitions admises dans le § I^' , arc cot z est une fonction inverse de cot;z.
Supposons maintenant
(6) Z = arc sin z.
A-lors, en vertu des équations (g) et (lo) du § I", on aura
^S/T^:^^ +zi] = Zi, l[v'T^^- - z.i] = -Zi, par conséquent
V'i — s'" + zi = e-*', v/i — z= — zi = e"^';
puis de ces dernières formules, combinées entre elles par voie de soustraction, l'on tirera
par conséquent
2zi=e^.'-e-'^';
ou , ce qui revient au même,
(■y) Z = sin Z.
On en conclura qu'en vertu des définitions admises, arc sui z est une fonction inverse de sin z.
Si l'on supposait
(8) Z = arccosz, ^ ,. - ,
alors, eu égard à l'équation (5) du § F% on trouverait ' • !
Z = arc sin z.
( 285 ) par conséquent
arc sin z =: ~ — Z,.
et
z = sin(^-Z),
on, ce qni revient au même, en égard a la seconde des tornuiles [\i<^) de l'article précédent,
(9) * z = cosZ.
On en conclurait qu en vertu des définitions admises, arc cos z est une fonction inverse de cos z.
Enfin, si l'on supposait
(10) Z = arc séc z,
on aurait encore, eu égard à la formule (6) du § P"^,
Z = arc cos-i pai' conséquent
- = COS z = -•>
2 sec z
(11) z ^ séc Z ;
et, ajjres avoir ainsi reconnu que aie séc z est une tonctioa inverse de sécz, on prouverait par un raisonnement semblable que arc coséc z est une fonction inverse de coséc z.
§ III. — Sur les fonnulrs qui mettent en ividcnce la partie algébrique et te coefficient de i,
dans chacune des expressions
arctangi, arccot;, arc sin 3,...
Si dans les expressions
arc tang z, arc cot z. arc sin z, arc cos 2, arc séc z, arc coséc z, on réduit z k la forme (i) z = a: -H ji,
X et f étant deux quantités algébriques, chacune de ces expressions pourra
être réduite à une tonne semblable, et, pour opérer une telle réduction, ii suffira de joindre aux formules établies dans le § I" la formide (3o) de la page 271. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
Si à la formule (1) on joint l'équation (2) du premier paragraphe, oti tiouvera
(2) arc tang z = -^
D'ailleurs, en remplaçant, dans la formule Çio) de la page 271, j" par jr et X par i — J", ou j par — jc et JC par i + j, on aura
1 ( I — ^ -I- a:i) = - 1 [jc^ -+- (j— J")"] + i -j= '^^c cos
l(n- 7 - -^i) = i 1 \^^ + i^+jY] - ' -^, '"'c cos '^1 ■ Par conséquent, la formule (2) dormera
arc tant;
arc cos , -f- arc cos
i lf.r^ + (i + j)']-Ux-'-f-(i-j-)'|
Si à l'équation (2) du § l" on substituait l'équation (i) [ibidem], alors, en ayant égard à la formule
I ^ zi I — >-)-. ri [i -{- xiy — y' i~ x- — jM- axi
1 — 31 i + r — xi (i+j)-4-x= (,( j)» 4- ,r- 0
et à l'équation (3o) de la page 271, on trouverait d'abord ^
(4) . arc tang z. = ;^ I
puis
i 5 ) arc tan!T z = - —= ai'c cos + -. | — •-ALJZZ±.
Kn couqiaraut l'une à l'autre les valeurs de arc tang z, données par les formules (3) et (5), on trouve
ai'c cos ■ - — + arc cos -^ ■
= arc cos -^
\/-r'+('-Hr)'v'-^'+(i~r)'
Au reste, pour étabhr directement la formule (6j, il suffit d'observer que les arcs
arc cos ^ arc cos ■
-nt pour sinus respectifs les deux rapports
y/.c' -1- ( !-!->• J= \.c- + (i — xY cpien conséquence la somme de ces arcs a pour cosinus le rapport
\ X-- + (i +.)')' y'jT-' H- [> — Xf
et que, d'ailleurs, les deux arcs dont il s'agit étant les arguments principaux des binômes
dont la somme est positive, doivent, en vertu du prenner théorème de la page 261 , offrir pour somme un argument compris entre les limites — r, n. Supposons maintenant que l'on \euille mettre en évidence la partie réelle et le coefficient de i, non plus dans arc tang z, mais dans arc sin z. et réduire ainsi l'expression arc sin z à la forme A' + Ki, A , Y étant deux cpiantités algébriques. Il suffira de ré<luire à une forme semblable l'un <les liinômes
\ I — r- + z\, \ I — " — zi,
ou le rapport de ces binômes; puis, de recourir aux formules (9), (10) ou (8) du § I", en,ayant d'ailleurs égard à l'équation (3o) de la page 271 . Ajoutons f[u'on arrivera encore aux mêmes conclusions en opéi-ant comme il suit :
Si Ion pose (7) arc sin z = Z = .Y-t-Ki,
X, Y étant deux quantités algébriques, on aura, en vertu de la formule (7)
du § II,
z = sin Z.
on, ce qui revient au même,
( 288 ) puis on en conclura
(8) x = ; sinA, y = ~ cos A .
Si d'ailleurs on pose, pour abréger,
les équations (8) donneront
fio) sinX=:-5 cosX = -5
et fie ces dernières, combinées avec la formule
cos* X + sin* V= i , on tirera
(il) — + - ~ I-
Mais, dautre part, on tirera des formules (9)
ou. ce qui revient au même,
(i3) lâ — v'-^i,
et l'équation (11), jointe à la formule (l3), donnera
par conséquent
Donc, t'^ ne pouvant être qu'une quantité positive, on aiua
et la formule {i3) donnera
Enfin, comme, eu égard à la première des formules (9), u sera nécessaire-
ment positif, on tirera de l'éqnation (i5)
-[^^^f^vi^^^^f^y-^^]
Observons maintenant qu'en vertu d'une remarque faite à la fin du § I", la partie algébrique X de Z = arc sin z sera toujours un angle compris
entre les limites —'-,-. Donc la première des formules (lo) donnera
(17) X = arc sin -;
et la seconde devra fournir une valeur positive de cos X; en d'autres termes ^ et (^ devront être des quantités de même signe. Donc la formule (14
et, puisqu'on tirera des formules (9),
on aura encore * •
Ajoutons que des formules (17) et (19), jointes à l'équation (7), on tirera définitivement
( 20) arc sin z = arc sin - -1- i 1 (« + p),
les valeurs de m, v étant déterminées par les formides (16) et (18).
Remarquons encore qu'en vertu de l'équation (12), présentée sous la forme
u — V, u -i- V seront deux quantités géométriques conjuguées, et, par suite, cette équation donnera [voir la formule (Sa) de la page 254]
\ {U — V) -Jr \ [U -h V) = O,
ou, ce qui revient au même,
■Ex.dAn. <•/ ri,- l'hji.math., T. IV. ;.ÎS« liTT.) ^7
Donc la formule (20) pourra s'écrire comme il suit . (21) arc sin z = arc sin i 1 (m — v).
De l'équation (20) ou (21), jointe à l'équation (5) du § I", on déduira immédiatement celle qui met en évidence, dans arc cos z, la partie algébrique et le coefficient de i. En opérant ainsi, on trouvera
(22) arc cos z = arc cos i\ [u -^ v),
ou, ce qui revient au même,
(23) arc cos z = arc cos - + i\{u — v).
Enfin, si l'on veut mettre en évidence la partie réelle et le coefficient de i, non plus dans chacune des expressions
arc tang z, arc sin z, arc cos z, mais dans chacune des suivantes,
arc cot z, arc coséc s, arc séc z,
il suffira d'avoir égard aux formules (3), (6), (7) du § I", par conséquent il suffira de remplacer, dans les formules (3) ou (5), (20) ou {21), (22) ou (23),
= X -h ji par - =
la valeur de r étant
'■ = v-r-4-jr-; en d'autres termes, il suffira de substituer, dans les valeurs trouvées de
arc. tang z, arc sin z, arc cos z,
— a J? et — ^ a r.
Soit maintenant z' la quantité géométrique conjuguée à z, en sorte que l'on ait
z ' = X — ji-
Pour passer de z à z' et de arc tang z à arc tang z', il suffij-a de remplacer dans le second membre de la formule (3) ou (5), j par — J, ou, ce qui revient au même, i par — i. Donc
arc tang z et arc tangz'
seront deux quantités géométriques conjuguées l'une à l'autre. De plus, comme, en vertu de la remarque faite à la page aSg, les radicaux
seront encore deux quantités géométriques conjuguées , on pourra en dire autant, non-seulement des rapports
mais aussi des expressions
arc tang , arc lang —^
ou, ce qui revient au même, des expressions
arc sin z, arc sin z' ,
et, par suite, eu égard aux formules (3), (5), (6), (7) du § T"^', les quantités géométriques
aie cot 3', ai-c cos z', arc séc z' , arc coséc z' seront respectivement conjuguées aux quantités géométriques
arc cot z, arc cos z, arc séc z, arc coséc z.
En terminant ce paragraphe, j'observerai que les formules (20), ; 2:2) et (3) couicident avec les formules (107), (i3o) et (iSg) de la onzième leçon de mon Calcul différentiel, ou plutôt avec celles dans lesquelles elles se transforment quand on remplace le radical \j — i par la tettre i. Seulement, la formule (169) de cette onzième leçon était la formule (3) restreinte au cas où la valeur numérique de y ne surpasse pas l'unité.
§ IV. — Sur certaines valeurs singulières des expressions arc tang s , arc cot z , arc sin ;
l.e principe auquel il parait convenable de recourir pour déterminer les \aleurs singulières des fonctions se trouve énoncé à la page 45 de moi. Analyse algébrique, dans les termes suivants :
« Lorsque, pour un système de valeurs attribuées aux variables qu elle » renferme, une fonction d'une ou de plusieurs variables n'admet qu'iuie » seule valeur, cette valeur unique se déduit ordinairement de la définition » même de la fonction. .S'il se présente un cas particulier dans lequel la
» définition donnée ne puisse plus fournir immédiatement la valeur de la
» fonction que l'on considère, on cherche la limite ou les limites vers
» lesquelles cette fonction converge, tandis que les variables s'approchent
» indéfiniment des valeurs particulières qui leur sont assignées; et, s'il
» existe une ou plusiein-s limites de cette espèce, elles sont regardées comme
» autant de valeurs de la fonction dans l'hypothèse admise. Nous nommons
» valeurs singulières de la fonction proposée, celles qui se trouvent déter-
» minées, comme on vient de le dire : telles sont, par exemple, celles
» qu'on obtient en attribuant aux variables des valeurs infinies, et souvent
» aussi celles qui correspondent à des solutions de continuité. »
Si, en partant de ce principe, on cherche la valeur singulière du rapport -
dans le cas où, la constante a étant réelle et distincte de zéro, la variable j: supposée réelle s'évanouit, on reconnaîtra, comme je l'ai remarqué à Ja page 46 de mon Analyse algébrique, que cette valeur singulière est double et se réduit à d: oo . D'ailleurs le principe énoncé peut être appliqué à luie fonction quelconque de variables réelles o", y, ou même de la quantité géométrique
Z = x+yï;
par exemple, aux fonctions
1 (z), arc tang s, arc cot z, arc sin z, etc.
Si l'on considère, en particulier, la fonction 1 (z), et si l'on cherche la valeur singulière de cette fonction correspondante à luie valeur négative — /• de la variable z, le principe énoncé fournira l'équation (i6) de la page 25o, c'est-à-dire la formule
dans laquelle le double signe devra être réduit au signe + ou au signe — , suivant que la quantité négative — r sera censée représenter la limite vers laquelle convergera, pour des valeurs infiniment petites du nombre £, l'un ou l'autre des deux binômes
— r + £i, — /• — si.
Considérons maintenant la fonction arc tang z. Lorsqu'on y posera (') z = X -\- f\,
.r, y étant l'éels, on pourra déduire généralement sa valeur de l'équa-
( 293 ) tion (3) du précédent paragi-aphe, c'est-à-dire de la formule
arc tan» z = - — ^ arc cos , ^^= -+- arc cos —
^*' i i lfj-'-+-(H-rr] — lfj:'-^(l — jV)
en vertu de laquelle la valeur cherchée sera ordinairement unique et finie. Toutefois, cette valeur pourra ou devenir infinie, ou se présenter sous ime forme indéterminée, non-seulement pour des valeurs infinies de x ou j, mais encore pour des valeurs finies de ces deux variables, savoir, lorsque, X étant nul, le premier au moins des trois rapports '
se présentera sous la forme -• Dans cette dernière hypothèse, où 1 on aura simplement
la formule (a) ne cessera pas de fournir pour arc tang s une valeur unique et finie, si la valeur numérique de j est inférieure à l'unité, attendu qu'alors les deux arcs compris dans la formule s'évanouiront, ce qui réduira l;i valeur cherchée à
Mais, si l'on a simultanément alors, 1 un des rapports
étant réduit à l'unité, l'autre à — i , les arcs dont ces rapports sont les cosinus se réduiront, l'un à o, l'autre à 7r; et, comme, pour des valeurs infiniment petites de x, le rapport
convergera vers la limite i ou — r , suivant que ces valeurs seront positives >
ou négatives, on tirera de la formule (2)
arctang(jij=itï + il^^)\
ou, ce cjui revient au même,
(3) arc tang(ji)= ±^ -f- M-^S
le double signe ±; devant être réduit au signe + ou au signe — , suivant que la quantité géométrique ^i sera considérée comme la limite vers laquelle convergera, pour des valeurs infiniment petites du nombre h, l'un ou l'autre des deux binômes
£ -+- 71, — £ -+- yi.
Enfin, si l'on avait, simultanément,
jc = o, j- ^ i .
slors, des deux rapports
l'un se réduirait à l'unité, tandis que l'autre se présenterait sous la forme indéterminée
D'ailleurs, ces mêmes rapports étant respectivement égaux aux deux produits
celui qui se présenterait sous la forme - pourrait être censé avoii- pour valeur
l'une quelconque des quantités algébriques comprises entre les limites — i , -(- I, cette valeur dépendant des signes attribués aux quantités infiniment petites
ce. I ±y,
et de la limite vers laquelle convergerait le rapport de ces quantités, tandis que œ convergerait vers la limite o, et j- vers la limite — i ou + i . Cela posé,
( agS )
en désignant par
I une quelconque des quantités algébriques comprises entre les limites — i , -4- 1 , et en supposant J =i ou j' = — i , on devra remplacer la formule (3) par l'une des formules
(4) arc tang i = - M (— i , i) -H a: . i,
(5) arc tang ( — i) = - 31 ( — i, ii — oc . i.
11 est bon d'observer que, si, en supposant x nul, on attribue a j une valeur infinie positive ou négative, on tirera de la formule (3)
(6) aie tang c = — -,
la valeui- de z étant z = it » . i. Ajoutons que, si, en supposant la valeur de x distincte de zéro, on attribue à chacune des variables x, .y ou à une seule d'entre elles, une valeur infinie positive ou négative, on tirera de la formule (2) : 1° si jt > o,
(7) arc tang s = J:
1° si X < o,
(8) ■ arc tang r=-^-
Les valeurs singulières que nous avons obtenues pour la fonction arc tang s, et les valeurs correspondantes de la variable z, pourraient encore se déduire avec la plus grande facilité, non-seulement de l'équation (o^^du § III, mais aussi de l'équation (2) du § I", c'est-à-dire de la formule
( 9) arc tang z = -^ —
• Veut-on trouver, par exemple, les valeurs finies de z. pour lesquelles la fonction arc tang z, sans devenir infinie, cesse d'être complètement déterminée. Ces valeurs ne pourront être que l'une de celles qui réduisent à une quantité négative l'tm des binômes
