BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DE l'école POLYTECHMQUE , DU BLREAC DES LONGITUDES, ETC., QUAI DES AUGUSTINS, N" Sf).
QA
PHYSIQIE MAÏHEMATIQIE.
MÉMOIRE
Résultantes que l'on peut former, soit avec les cosinus dés angles compris entre deitœ systèmes d'axes, soif avec les coordonnées de deux ou trois points.
Les l'ésuhantes dont il s agit se présentent d'elles-mêmes, comme on >iHt, dans la solution d'un grand nombre de problèmes. D'ailleurs, celles qui sont lormées avec les coordonnées de deux ou trois points peuvent être immédiatement déduites de celles qui renferment les cosinus des angles compris entre deux systèmes d'axes. Ajoutons que I on facilite la détermination de ces deux espèces de résultantes, en introduisant dans le calcul des quantités propres à indiquer le sens de certains mouvements de rotation, ainsi que i< l'expliquerai tout à l'heure.
§ 1"'. — Des moui'cmrnis <Ie rotation di/ccts et rètros^radcs.
Considérons d'abord , dans un plan donné , diverses longueuis
dont chacune sera mesurée dans une certaine direction , à partir d une certaine origine O, et supposons que cette origine soit la même pour toutes
ces loiifjueurs. Si un rayon mobile, coinpté encore à paitir du point O. tourne autour de ce point dans le plan donné, il offrira ce que nous appellerons un mouvement de rotatiori de /■ en s , on un mouvement de rotation de j
en /■, selon qu'il passera, en décrivant l'angle {i\s), de la direction rà la direction i', on de la direction s h\a direction r. Pour distinguer plus facilement, dans le discours et dans les formules, ces deux mouvements l'un de
l'autre, nous tracerons, dans le plan de l'angle (/', y), deux axes coordonnés des X et y qui passeront par l'origine O; et, en nommant x, y deux longueurs mesurées à partir de cette origine sur les demi-axes des x et Y positives , nous appellerons mouvement de rotation direct celui qui s'effectuera dans le même sens que le mouvement de rotation de x en v, et mouvement rétrograde, celui qui s'effectuera en sens contraire. Déplus, nous représenterons, dans ce Mémoire, par la simple notation
une quantité qui, ayant pour valeur numérique l'unité, sera positive ou négative, suivant que le mouvement de rotation de r en s sera direct ou rétrograde; en sorte qu'on aura, dans le premier cas,
(r, s) = I, dans le second cas ,
Cela posé , les deux notations
représenteront, dans nos formules, deux quantités affectées de signes contraires, mais équivalentes, au signe près, à l'unité ; en sorte qu on aura
Ajoutons que , si l'on nomme
dss longueurs mesurées à partir de l'origine O, dans des directions opposées
à celles des longueurs
on aura évidemment
Si les axes coordonnés sont rectangulaires, alors, les deux directions x, y étant perpendiculaires entre elles, une troisième direction r formera toujours, avec les deux premières, deux angles
dont chacun offrira un cosinus égal, abstraction faite du signe, au sinus de l'autre ; et, par suite,
cos(/-, x), cos(r,y), auront pour valeurs numériques les quantités positives
sin(^r,y), sin(/-, x).
D'ailleurs, cos(/-, x) sera positif ou négatif, suivant que langle (r, x) sera aigu ou obtus. Or, dans le premier cas, /• et x étant situés d un même côté par rap|)ort à l'axe de j', le mouvement de rotation de /' eu y sera droit, comme le mouvement de rotation de x en y; et, par conséquent, on aura
Daus le second cas, au contraire, r et y étant situés de deux côtés opposé.par rapport à l'axe des j-, le mouvement de rotation de /• en y sera rétrograde , puisqu'il s'effectuera en sens inverse du mouvement de x et y , on aura donc
Donc, dans tous les cas, le signe de ces (r, x) sera précisément le >igue d(
(/■, y). On prouvera, de môme, l'identité du signe de cos (r, y) et du signe de (x, r). Donc, pour obtenir des produits égaux aux cosinus
cos(/',x), cos(^,y), il suffira de multiplier leurs valeurs numériques
sin(/-, y), siu(/,x).
(8) par les hicteiirs
en soilc ([non aura
(4) " cos (r, x) = (r, y) siii ^/•, y) , cos (r, y) = (x , r) sin (x, /■).
.Supposons, niaintenanl , rpie les longueurs •
toujours mesurées à partir du point O, soient diri{;ées d'une manière quciconque dans l'espace. I^e mouvement de rotation d'un rayon mobile qui ,
en décrivant l'angle (/^j^), passera de r eus, pourra être de deux espèces différentes, non-seulement en lui-même, mais encore par rapport à la direction d'une longueur t mesurée à partir du point O en deliois du plan ^/•, s). En effet , ce mouvement pourra s'effectuer ou de gauche à droite, ou de droite à gauche, par rapport à la direction /, c'est-à-dire par rapport à un sjjectateur qui, ayant les pieds posés sur le plan (/', s'), serait appuyé contre le demi-axe, sur lequel se mesure la longueur t. Mais il importe d'observer que si le rayon mobile parcourt l'une après l'autre les trois laces de l'angle solide qui a pour arêtes /■, s f\. t , en tournant toujours dans le même sens autour du point O, de manière, par exemple, à décrire suc-
cessivemeiU les trois angles plans (r..ç), {s,t)^ ('l'j» 'fs trois mouvements de rotation de /• en s autoiu- de / , de 5 en t autour de r, et de t en r autour de i, seront tous les trois de même espèce, c'est-à-dire qu'ils s'effecliierouf tous les trois de gauche a droite, ou tous les trois de droite à gauche, autour des directions /', .y, t. Afin de pouvoir reconnaître plus aisément, dans le discoiu's et dans le calcul, la nature des mouvements dont il s'agit, nous tracerons dans l'espace trois axes coordonnés des x , j,z qui passeront par l'origine O; et en nommant
trois longueurs mesurées à partir de celte origine sur les demi-axes des ,r , j' et ; positives, nous appellerons direct ou rétrograde le mouvement de rotation de /' eu s autour de la direction t , suivant que ce mouvement sera ou ne sera pas de l'espèce des trois mouvements de rotation de x et \- au- !oui- de z, de y en z autour de x, et de z en x autour de y. De plus, nous représenterons, dans ce Mémoire, par la simple notation
. 9 ) une quantité qui, ;ivaut poiii' valeur numérique l'unité, sera positive ou néyati\e, suivant que le mouvement de rotation de /tu s >era direct ou rétrograde : en sorte qu'on aura , dans le premier cas .
dans le second cas
Cela posé . les six notations
fr, s. r, . ;j, t, r). y(, i\ s), [r, t, s), .^s, r, t). (/, ,ç, r)
représente! ont toujours, dans nos calculs, des quantités équivalentes, au signe près, à 1 uuité, et liées entre elles jiar la iorniult
Ajoutons f|ue, si Ion nomme
des longueurs mesurée* à |)artir de loi-igineO, dans des directions opposées à celles de» longueurs
ou aura évidemment
et. par suite,
^7) {r,s,f) = — [r'.s. t'\ = '/•', i-', t') = — (/•'. i\ /') = etc.
Nous avons, dans ce qui précède, supposé que les diverses longueur-
se mesuraient tontes a partir dune même origine. Pour plus de généralité, nous étendrons lusage des notations ci-dessus indiquées, au cas même oii les diverses longueurs seraient comptées à partir d'origines diverses, et alors nous attribuerons aux notations
Lz. d An. et de l'k. nvth., T. I\ . ;57^ livr.) 2
( fo 3
(es valeurs quelles auraient, si les lonjjueurs
étaient liaiisporlées parallèlement à elles-mêmes , de manière à ofhir, pom urij'jiiie eomnmne, un point nniqnc. Enfin, lorsqu'en supposant les lon- ;;uours r, i- , t m es niées à partir d'origines diverses, nous nientionneroiis le
plan de l'anjjle (/■, j), ou bien encore l'angle solide construit avec les arèles I ., i, ^, on devra toujours, par ces paroles, entendre, dans le premier cas, le plan de l'angle compris entre deux longueurs mesurées à partir d'une nièuie origine, dans des directions parallèles à celles de /' et de i; et, dans le second cas, l'angle solide qui aurait pour arêtes trois longueurs mesurées ci partir d'une même origine, dans des directions parallèles à celles de /•, s et /.
Ou peut, avec la plus grande facilité, déduire des équations (4), jointes au ()^ théorème de la page Si i du 3^ volume, les formules connues qui servent à déterminer le cosinus ou le sinus de la somme ou de la différence jle tieiix ai'cs. En effet, soient ^
deux longueurs uirsiuées dans un même plan , à partir d'une certaine orij;ine O , et
deux autres longueurs mesurées, à partir de la même origine, sur deux axes lies x et j^ perpendiculaires entre eux. f^e 6" théorème de la pafje 3ii du 'f volume donnera
(8) cos (/•, .ï) = cosf/-. x) cos(,y, x) -H cos(r, y) eoii5,yV
iVîais , eu é{;ard à la seconde des formules (4), on aura
cos(r,y)= (x,/')sni(/-, X), cos(.ç,y) = (x,.y) sin(,y, xj. Donc on tirera, de la fornnde (8),
()) cos (/•,i-) = cos'/-,xj cosi\y,x) -f- (x,/'j(x,,s)sin (/■, x) sirif.f, x).
^^oncevons uKiintenanl qur I Du posi; , pour abrépei-,
fc, x) = tl , (s, X) =: h.
Si l(\s longueurs r, s sont situér-s d'un même côté de l'axe des .r, ou nuia é\ idéminent
zn [a — />, , cos [i .s ; = cos [a — //; ,
et, j)ar suite, la toruiule (9 donnera ( I o) cos [a — f'j ^= cos a cos /' -^ si n a si u ^.
Si. au contraiie. les deux longueurs r. s sont simées de deux eolc^ ilitféreut< de l'axe des .r. on aura
r. i) =z a -^ h ou 'r. i = 2- — {a + /> , cos (?, ,s) = cos (a -^ //,
et, par suite, la tormule (ç)) donnera
1 1 ? cos (n -i- h) = cos n cos h — siu ^ sui i> .
Dailleins, les formules fio), (i i), ainsi établies pour le cas où eliaeun des angles a. h est positif et inférieur à -, coutinueroul évidemment de sidisisler, si l'on y fait croître ou déci'uiti'e charnu de ces angles d'un multiple rpu iconquede ~. Elles subsisteront donc poiu' des valeurs quelconques, positives ou négatives, de a et de b. Ajoutons que, si, dans les formules (loj, (11), Ion remplace a par - — rt, on en tirera immédiatmu ni
; 1 2) sin [a -(- /)) = sin a cos h ~ siu !> cos n ,
1 3; sin [Cl — h; = sin a cos b — sm b cos k.
.Avant de terminer ce paragraphe, nous allons indiquer «ncoïc uijc notation qui sera employée dans le cours de ce Mémoire, conjointement avec celles que nous venons d'établir, et qui d'ailleurs est, à peu près, celle dont Lagrange a fait usage, dans le tome II de la Mécanique analjtitiiie (art. [^'6 page 61). Afin de rendre les formules plus concises et plus faciles a retenu', nous désignerons généralement pai-
la surface du parallélogramme que 1 on peut construire sur les deux cotés }\s^ d'un angle plan ir. ,î , réduits l'un et 1 autre à l'unité, et par
( lO
la surface du paiallélipipéde que l'on peut construire sur les trois arêtes /•, s, l, (l'un angle solide, réduites elles-mêmes à l'unité. D'ailleurs, on obtiendra sans peine les valeurs de "?
eu o[)érant comme il suit: • i*^
8i , après avoir construit le parallélogramme dont les côtés sont /■ et i^, on prend /■ pour base de ce parallélogramme , la bailleur sera représentée par le produit
s sin (/•, s).
Donc l'aire du parallélogramme sera proportionnelle, pour une valeur déterminée de l'angle (r, .f), au produit r.y, et représentée par l'expression
ro sin (r, s).
Si, dans celte expression , l'on réduit cliacune des longueurs /■, i à I unité, l'aire dont il s aeit deviendra
('4) [/■, i] = sm (/•, .?).
Concevons maintenant qu'après avoir construit le parallélipipède dont les arêtes i\s,t se coupent au point (), on élevé, par ce point, des perpendiculaires aux plans des trois angles
et nommons
dois lougueuis mesurées sur ces trois perpendiculaires, !a première du même côlé que l'arête /• par rapport au plan de l'angle (5-, /), la seconde du même côté que l'arêle s par rapj)ort au plan de l'angle [t, r), la troisième
du mèiiie côlé que l'arête t par rapport au plan de l'angle {r,s). Si l'on prend pour base de ce parallélipipède le parallélogramme qui a pour côtés r et s . et pour aire le produit
rs<ui{r,sj,
ia hauteur correspondante à cette base sera évideunuetit
/ cos [CT).
( '3) Donc le volume du parallélipipède sera, pour des valeurs déterminées des
angles (r, s), [t, T), proportionnel au produit rst^ et ce volume sera exprimé par le produit
rst sin (/■, s) cos (^, T).
Enfin, si Ion réduit chacune des longueurs rsl à I unité, le volume ti'ouvé deviendra
(r5) [/■, j, f] = sin (r, s) cosi/, T).
Ou obtiendra de même, en éciiangeant les arêtes /•, s , t entre elles, deux autres valeurs de \i',s, t\ qui seront, avec la précédente, données par la formule
(i6) [i\s, t\ =: sin (r, /) cos (/',/?) = sin {t , v) cos(^, S) = sin (/■, i)cos (/, 7'),
c'est-à-dire, en d'autres termes, par l'équation (G) de la page 3ao du 3' volume.
FiOrsqu'on introduit dans le calcul les deux expressions
l'aire du parallélogramme qui a pour côtés /■ et s, se trouve représentée par le produit
et pareillement le volume du parallélipipède qui a pour arêtes les longueurs r,s,t, se trouve représenté par le produit
(18) rs([i\s.f].
Ajoutons que les aires du triangle et du parallélogrannne, ([ui otit poui côtés r et s , étant entre elles dans le rapport de i à 2 , l'aire du triangle sera repiéscntée par le produit
('9) l'-^lr.i]-
Pareillement les volumes du tétraèdre et du parallélipipède qui ont poiu arêtes r, s et t, étant enlrc eux dans le rapport de i à 6, le volume du tétraèdre sera représente' par le produit
(•io) ~r.st[r,s,t].
En finissant, nous indiqnerous un moyen très-simple de résoiulre une question qu'il ne sera pas inutile de traiter ici, et nous rechercherons ce que devient Taire exprimée |)ar la notation [r,i], quand cette aire est projelik'
sur un nouveau pian par exemple, sur le plan de ranf>le (/^t'j- Supposons (jue , les longueurs
étant tontes mesurées à partir de l'origine <J, on nomme
les projections absolues et orthogonales des longueurs
sur le pinn de l'angle [n , c) ; et soit i l'angle aigu compris entre les plans Af\
deux angles (r, s), (ii, v) , ou ce qu'on appelle l'inclinaison de l'un de ces plans
sur l'autre. Si l'on projette sur le plan de l'angle (ri,i') le parallélogramme qui a pour côtés r et s , l'aire de la projection sera
pc sin ip .:).
Mais, d'autre part, on aura évidemment
p = r cos (r, /S. j , $ = icos(i,çi;
donc I aire de la projection pourra être représentée généralement par le produit
.21) /'i- cos (/■, p) cos(5',ç)sin (p,ç).
En réduisant, dans ce produit , r et ^ à l'unité, on obtiendra la projection de
l'aire [i\s] sur le plan de l'angle («,e). Cette dernière projection sera donc exprimée par le produit
(aa) ' cos (/■, p) cos(i', ç)sin (^, çj.
Ce n'est pas tout. L'aire du parallélogramme qui a [)our côtés r et s éfani représentée par le produit r^^
is sin (/-, s) ,
il suffira de diviser la projection de cette aire par cette aire même, ou, eu
( i5 ] (l.iiities termes, par le produit {ii^, pour obtenir le rappori
'li) «'* /> p/ cos ^1, ;;Sin [0 , :}
sin '>, s)
et I on obtiendra encoie évidemment le même rapport si ron réduit à moitié lairc dont il sayit et sa projection, en leur substituant Taire du triangle qui n pour côtés i\ s, et !a projection de l'aire de ce triangle. D'ailleurs, rien ncmpèche d'attribuer aux côtés i\s des longueurs telles, que le troisième
rôté du triangle devienne parallèle au plan de langle (;/, v) , par conséquent
à la droite suivant laquelle se coupent les plans des deux angles (/■, s], [k, i'): tt si, en supposant cette condition remplie, on prend pour base du triangle
ce troisième côte, il se projettera en toute grandeur sur le plan de l'angle;'», i'), pour y devenir la base du triangle projeté. Alors, le triangle et sa projection ottrant des bases égales, leurs aires seront entre elles dans le rapport des hauteurs correspondantes, et comme ces hauteurs seront mesurées sur des droites perpendiculaires aux deux bases, par conséquent à la droite
d'intersection des plans des deux angles (r, s), {u, f), le rapport de la seconde hauteur à la première sera précisément le cosinus de l'inclinaison de-deux plans, c'est-à-dire de l'angle >.. Donc le rapport (aSj sera précisément égal à cos i , et l'on aura, par suite,
(24) '-'OS (/•, f>) cos {.i , :) sin (o, Çj :^ sin [i\ s] cos t.
En vei'tii de la lormuli; '-2:]^ la pi'ojection de l'aire [r, s] sur le pian de
I augie («,1" pourra être re|)résentée non-seulement par l'expression i>'2 . mais encore par le produit
(2 5) sin (/', i) cos ! .
ou, ce cjui revient au même, par le produit
^26) [/•, .s] cos t.
Il y a plus : en suLstituant le produit (26) au produit (22) dans I expi «ss:on (21), on obtiendra la suivante :
(47) n [/■,.yjcosj.
( «6 ) (jiii devra , coiniiie rexprcssion (21), re|iréàenter la projection de I aire
(;'est-à-dire de laire du triangle dont les côtés sont /et s. On se trouve ainsi ramené par un calcul très-simple à c£tte proposition connue, que rairc d un Iriaiigle tracé dans un plan est à sa projection sur un autre plan, dans le rapport de Vunité au cosinus de l'angle aigu compris entre les deux plans. La formule (a/j) coïncide évidcnnncnt avec l'équation (8) de la Note insérée à la page i3i du ?/ volume. Mais on doit observer que, dans cette Note, l'équation dont i! s'agit, au lieu d'être démontrée directement, avait été iléduite de la pi'oposition même que nous venons de ra[)peler.
§ II. — Sur les résultantes formées ai'ec les cosinus des angles ronipris entre deux sjstèi/it s
d'nxes.
(Jousidérons dans un plan ou dans l'espace deux systèmes d'axes rectangulaires ou obliques, cliaque système étant composé de deux ou trois axes seulement. Supposons cliacun de ces axes indéfiniment prolongé dans une direction déterminée, qui sei'a celle d'une certaine longueur portée à partii d'une certaine origine O, sur l'axe dont il s'agit. Enfin, nommons
r, s ou r,s,t
les longueurs ainsi mesurées, à partir d'une même origine, ou à partir d origines diverses, sur les directions assignées aux deux ou trois axes qui composent le premier système, et
« , «' ou M , »', w ' , , ,,
les longueurs mesurées, à partir d'une même origine, on à partir d'origine^ diverses, sur les directions assignées aux deux ou trois axes qui composent le second système. Les angles compris entre les axes du premier système et les axes du second système auront pour cosinus, si chaque système est composé de deux axes seulement, les quatre quantités comprises dans ce tableau :
j cos (/■, u) , cos (/', p) ,
{ cos (.y, m), cos(i', c); et, dans le cas contraire, c'est-à-dire dans le cas ou chaque système serait
composé de trois axes, les neuf quantités
l cos(r, «), cos(r, i'), cos r, u»),
C^i ' cois,nj, co6[s,i'), CCS I .y, XV;,
\ cos t,u), cos(/,t'), cos^^, îv).
D'ailleurs, ou pourra tornier une résultante à deux dimensions av( c les quatre termes du tableau (0, cf uoe résultante à trois dimensions avec les neuf termes du tableau (21. Poui' abréger, nous dési,r;nerons ces deux r(''sultantes à 1 aide des notations
[r, s; u, v], [r,s, t. h, t-, tv],
dont chacune offrira, comme on le voit, deux systèmes de quantités séparées les unes des autres, non-seulement par des virgules, mais aussi par le signe ; interposé entre les deux systèmes. Il est vrai qu'au premier aboi'd on peut être tenté de trouvci- ces notations tiop semblables à celles que nous avons adoptées dans le premier paragraphe; mais on verra, dans le § III, que cette similitude, loin d'être un inconvénient, est mi avantage très-réel, et que les expressions
se trouvent comprises, comme cas particuliers, dans les expressions plus générales
F^es notations que nous venons de proposer étant admises, on aura pénéralement
(3) [r,s; u,v] = cos (r, u) cos {s, v) — cos (r, v) ces (*, u) ,
et
cos(r, M)cos(.y, f)cosi7,îi'i — cos(r, «)cos(i', ivi cos(/. v)
^cos^A-, t^: cosf5, tv) cosfi, ;/) — cosfr, v\cos{s, Micos/.iv)
h cosrr,w)cosi',y, «/)cosi7, v) — cos(r, îi>^ cos.i-, t'ieos^/, u).
Dailleurs, les deux résultantes
F.i.d An et d.- l'hri.matl:., T. I\. ôT'livr ' 3
définies par les équations '3) et r4), jouissent de propriétés qu il e^t utile de bien connaître, et que nous allons successivemeut énoncei-.
Obsci-von> d'abord qii en vertu des formules (i) et (4), chacune des résultantes
[r.s: u, i'], [/■, s, t; /<, w, tv]
ne sera pas altérée, si l'on échange entre eux les deux systèmes d axes, par conséquent les deux systèmes de lonfjueurs
r, 5 et M, i', . , -
ou ...
r, s, t et u, V, w.
Mais chacune de ces résultantes changera de signe, sans changer de valeur numérique, si l'on échange entre elles deux longueurs mesurées sur deux axes appartenant au même système. On aura, pai- exemple,
(5) \s,r; u,v\z^ — \i\s; u, v], et
(6) [s, r, t; u, i>,w] = — [r, s, t; ii , t-, w]. Observons encore que chacune des résultantes
[r, .s ; u, v\, [r, s ,t: ii. v. iv]
changera toujours désigne, sans changer de valeur numérique . ((uand on v
I l'iiiplari'ra 1 nm^ quelconque des diiections
[)ar la direction opposée. En effet, supposons que Ion Nuh->tiiiie. pai' exemple, à la longueur /■ une longueur r', mesurée, comme la longueur /■, a partir de l'origine O, mais dans une direction opposée à celle de /■. Alors, dans les seconds membres des formules '3) et (4) , les angles
(r,u}, {r,v), 'i;u>] se trouveront renq)lacés par leurs suppléments
et puisque deux angles, dont l'un est supplément de l'autre, offrent, avec le même sinus, deux cosinus égaux, aux signes prés, mais affectés de signes?
l >9 contraires, il est clair que la substitution de r' à /■ aura pour etïet unique de changer le sigae de chaque terme dans les valeurs des résullantes
[r. S] ii.v]. [r. s, f : u, t'. '\v\
(!)n aura doue , par suite.
ij) [r',s-, u,v] = — [r. s: u,v\,
et
(8) [r', s. t ; /i, i', iv] = — [/■, 4'. t\ u. f, u'j.
Hemarquons encore que les angles dont les cosinus entrent couinie tactturs dans la composition des divers ternies des deux résuhautes
ue \arieront pas si 1 on transporte parallèlement à lui-même chacun des axes <ur lesquels se mesurent les longueurs
r,!,. t . u. (', IV
Eu conséquence, on peut énoncer j;i proposition suivante Théorème. Si les longueurs
;ont mesurées, a partir d origines diverses, sur divers axes indéfiniment prolongés dans certaines directions, on n'altérei'a [loiut les valeurs des résultantes
en transportant les axes dont il s agit, parallelenieut a eux-mêmes, sans changer leurs directions, de manière à donner pour origine commune aux diverses longueurs un point unique.
Eu égard à ce théorème, nous supposerons, dans les §«ï 111 et IV. les di-
verses longueurs
r, s, i , u , t'. VI',
toutes mesurées à partir d'une seule origine O, qui sera le souHii.r commun des angles plans compris entre elles, et des angles solides dont ie^ arêtes ( oincideront avec trois de ces mêmes longueurs.
Nous venons de rappeler quelques-unes des propriétés des deux résultantes
Une autre niopriélé remai-quable de ces inêines résultantes, cest que la
première ne sera point altérée si chacun des angles (/,*) , [ti,^) vient a tourner autour du point O, sans changer de valeur, dans le plan qui le renferme, et que pareillement la seconde ne sera point altérée si chacun des angles solides consIruiN avec les arêtes r, s, t o\\ », i', w, tourne autour du point O, sans se déformer. Mais, pour établir plus aisément cette propriété, il convient d'examiner successivemeni le cas particulier dans lequel un des deux systèmes d'axes
.'•, s et u^ i',
ou
A-, s, t et w, (', IV,
se compose d'axes perpendiculaires entre eux; puis le cas général où les axes de chaque système comprennent entre eux des angles quelconques. C est ce que nous ferons dans les deux paragraphes suivants.
§ III. — Détcnninatinn de In rijsultnntc construite avec les cosinus des angles que des ares queleonqurs forment avec d'autres axes perpendiridaires entre eux.
Considérons d'abord, dans un plan donné, deux axes indéfiniment prolongés à pai'lir d'un cerlnin point O dans deux directions déterminées.
Soient
deux longueurs mesurées dans ces deux directions à partir de l'origne O; et
sn|)posons, dans le plan de l'angle (/■, i^), la position d'un point quelconque 1 apportée à deux axes rectangulaires desa:, j-, qui passent eux-mêmes par l'origine O. Enfin nommons
deux longueurs mesurées, à partir de cette origine, sur les axes des x, j, indéfiniment prolongés dans le sens des coordonnées positives. IjCS cosinus des quatre angles
que formeront les deux côtés de l'angle [i\s) avec les deux côtés de l'angle
<lroit (x,y), et, par suite, la résultante
( I ) [r, s; X , y) = cos (r, x) cos (^ , y — cos r, y) cos {s , x )
construite avec ces cosinus, pourront être évidemment exprimés à l'aide des sinus et cosinus des seuls angles
Si , pour pins de commodité, on couîmence par supposer les longueurs r. s. situées l'une et l'autre du côté desj^ positives, c'est-à-dire , en d'autres termes, du même côté que y, par rapport à l'axe des x, alors chacun des an{;ies
étant aigu offrira un cosinus positif; et, comme la valeur numérique de ce cosinus sera le sinus de l'angle formé par la longueur r ou s avec une direction perpendiculaire à y, on aura
cos (r, y) = sin (r, x), cos {s, y) = sin {s , x). Donc alors la formule (i) donnera
[r, s; X , y] ^ cos (r, x) sin (^ , x) — sin (r, x) cos [s, x), ou , ce qui revient au même , eu égard à la formule (i i) du § ^^
[r, ^;x,y] =siu[^i,x. - (r, x)].
Mais alors aussi . la différence
égale, au signe près, à langle (r, s), sera positive ou négative, avec sou sinus, suivant que le mouvement de lotation de r en s sera direct ou rétrograde. Donc la dernière des formules obtenues pourra s'écrire comme il suit :
(2) [r, j; x , y] = (/•, s) sin (r, s).
D'ailleurs l'équation '2 , ainsi établie pour le cas où les longueurs r, s seraient toutes deux situées du côté des j- positives , continuera de subsister, en vertu de la formule (7) du § II, jointe à la formule (2) du § l", si l'on substitue à l'une des directions r, s la direction opposée /' ou s', située du côté des^' négatives , et , par suite encore , si l'on substitue en même temps r' à r et s' k s.
Donc la formule (2) subsistera pour deux longueurs dont chacune pourra être située, comme l'on voudra, ou du côté des j- positives, ou du côte
des^ négatives. D'autre part, la quantité positive sin (r, .y) représente précisément ce que devient la surface du parallélogramme con^^truit sur les côtés
/', s de l'angle (r, s), dans le cas où ces côtés sont tous deux égaux à l'unité,
et l'expression
se réduit à -)- r ou à — i , suivant que le mouvement de rotation de r en s est direct ou rétrograde, c'est-à-dire dirigé dans le sens du mouvement de rotation de / en s, ou dans le sens opposé. Cela posé, la formule (2) entraiuera évidemment la proposition suivante :
i'^'' Théorème. Etant donnés dans un plan, un angle droit (x, y), et un angle
aigu , droit ou obtus (r, s), qui ont pour sommet commun le point O; si l'on détermme les quatre cosinus des autres angles
('''^), (''>yu
que formeront les côtés r, s de l'angle (r, s) avec les côtés x , y de l'angle droit (x, y), la résultante -
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative, suivant que les mouvements de rotation de ren s , et de x en y, s'effectueront dans le même sens ou eu seus contraire; et cette résultante aura pour valeur numérique
le sinus de l'angle {r, s) , ou, ce qui revient au même, l'aire du parallélogramme que l'on peut construire sur les côtés r, s réduits 1 un et l'autre à l'unité. ' .
Corollaire. I^a valeur numérique de la résultante
étant indépendante non-seulement de la position qu'occupent, dans le plan donné, les axes rectangulaires sur lesquels se mesurent les deux longueurs X, y, mais encore du sens dans lequel s'effectue le mouvement de rotation de X en y, il est naturel de représenter cette valeur numérique par la sunple notation
que I ou déduit de l'expression
eu y effaçant les deux lettres x, y, employées pour indiquer deux directions dont il u est plus nécessaire de faire une mention expresse. Alors 1 équation (2) se trouve remplacée par les deux formules
(4) [/■, i] = sui (/-,/],
dont la seconde reproduit précisément Pune des notations admises dan>- Ir § I".
Supposons maintenant que, le sommet O de langle {i\s} étant toujours pris pour origine des coordonnées, on rapporte la position d'un point quelconque de Tespace à trois axes rectangulaires des jt, /, z, dont les deux
premiers pourront être situés en dehors du plan de langle i/-, 5 ; et nommons
trois longueurs mesurées, à partir de l'origine 0,sur les trois axes des x; y. z, indéfiniment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Si l'on détermine les cosinus des quatre angles
('•, x), ('■, ys
(■Sx), i.y,y), ■
que formeront les côtés de l'angle (/•, s) avec les côtés de l'angle droit x , y), on pourra toujours construire avec ces cosinus une résultante
[/', 5; x, y] = cos '^r, x) cos(.f , y) — cos [r, y) cos (s, x). Si d'ailleurs, après avoir projeté les longueurs
/-, s >iiir le plan des Jc, j-, on nomme
deux longueurs nouvelles mesurées, à partir du point O, dans les direction.mêmes des deux projections ou dans les directions opposées, on aura encore
[p, ;; ^^y\= cos(f;,x)cos(s,y) - cos(p, y)cos(;,y).
Mais , en veitii d'un théorème connu et relatif aux plans qui se coupent à angles droits [voir le 7* théorème de la page 3i i du 3* volume], on pourra, aux deux équations qui précèdent , joindre les formules
cos (r, x) eos(r, v) / ^ v cos(^,x) cos(s,y
, "^ , cos(^,xj cos(i,yi , '^ s
/N - 7^-cos{r,p), ' Is = — ^==cos(j,ç),
cos(p, x) cos(p, y) cos(ç,x) cos (ç , y)
puisque les plans projetants , c'est-à-dire les plans des deux angles
seront tous deux perpendiculaires au plan de l'angle (x, y). Donc les deux équations dont il s'agit, combinées entre elles par voie de division, donnelont
et Ion aura, en conséquence,
(5) [r, s; X, y] = [p, ç; x , y] cos (;•, f^) cos(j, ;).
Enfin, les directions p, ç étant comprises dans le plan de l'angle (x, y), on tirera de la formule (2) . • -
[jS,ç;x,y] = (p,ç)sin(p,ç),
et, par suite, la formule (5) donnera
(6) [r, .ç; X , y] = {p, ç) sin (p, ç) cos (r, p) cos(i, ç). Rien nempéche de supposer que les deux lettres
représentent en grandeur et en direction les projections absolues des longueurs
sur le plan des x,j. Si, pour plus de commodité, on adopte cette supposition . les deux cosinus
cos(r,p), cos(^,ç)
seront tous deux positifs, et pour qu'ils représentent les projections absolues p , ç des longueurs /■, s sur le plan des j: , j , il suffira que chacune de ces longueurs se réduise à l'unité. Alors, le parallélogramme construit sur
ces deux projections p,ç oftVira une aire évideiunient exprimée par le produit
si!i (p,ç) eos (r,p) ces (/•,;),
puisque ce parallélogramme aura pour cotés
cos [r,p), cos{s,g), et ])our hauteur le produit
cos {s,:)&\u[p.ç) ,
(piaud CD prendra pour base le premier côté cos(r,ji).
Quant au facteur p, ç), il se réduira ou à +i, ou à — i, suivant que le mouvement de rotation de p en ç sera direct ou rétrograde, c'est-à-dire dirigé dans le sens du mouvement de rotation de x ou y, ou daus le senr^ opposé. D'ailleurs, p et ç étant, par hypothèse, les projections absolues de r et de s sur le plan des x, j- perpendiculaire à l'axe des z, il est clair que les mouvements de rotation de |0 eu g et de r en j s'eltectueront dans le même sens autour du demi-axe des z positives, c'est-à-dire autour de la direction z. Donc, si l'on adopte les définitions et notations proposées dan^ le § I'^"', le mouvement de rotation de p en ç sera direct ou rétrograde dans le plan des x , y, suivant que le mouvement de rotation de /' en s autour de 1 direction z sera Uii-même direct ou rétrograde dans l'espace, et l'on aur
donc l'équation (6) pourra être présentée sous la forme
f8) [r,s; \,y] = (r,i,z)sin((5,ç)cos(r,/3)cos(j-,;),
et Ion pourra énoncer la proposition suivante;
p.*^ Théorème. Etant donnés, dans l'espace, un angle droit ;^y) et un
angle aigu, droit ou obtus (/', ^), qui ont pour sommet commun le point O, si l'on détermine les cosinus des quatre angles
(jue formeront les côtés de l'angle {i\s) avec les côtés de l'angle droit i^x, y î,
l An n a, fhxi macn., t VI Ô7' livr.) 4
( 26) la résuUanfe , >
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative , suivant que les mouvements de rotation de r en j et de x en y autour d'une direction z perpendiculaire au plan de l'angle (x , y) , s'effectueront dans le même sens ou en sens contraire; et cette résultante aura pour valeur numérique l'aire du
parallélogramme que l'on peut construire, dans le plan de l'angle (x,y), sur les projections des côtés r,s, réduits l'un et l'autre à l'unité. On peut remarquer d'ailleurs que ce parallélogramme est la projection de celui que Ton pourrait construire dans l'espace sur les côtés en question.
» Concevons maintenant que, le même point O étant tout à la fois le
sommet de l'angle {r,s) et de l'angle droit (x,y), on nomme
trois longueurs mesurées à partir du point O, la première sur la droite d in-
tersection des plans des deux angles (x, y) , (/•,*), et les deux dernières sur des perpendiculaires menées à cette droite dans les deux plans dont il s agit. Supposons d'ailleurs , pour plus de commodité, chacune de ces perpendiculaires dirigée dans un sens tel, que les deux mouvements de rotation di-
X en y et de / en m soient de même espèce dans le plan de l'angle (x,y), ei que les deux mouvements de rotation de r en ,y et de / en « soient de même
espèce dans le plan d*; langle (r, s). On pourra faire tourner l'angle droit (x, y'
dans le plan qui le renferme , de manière à l'appliquer sur l'angle droit (Z, m, , et à faire coïncider les deux directions
ia première avec la direction /, la seconde avec la direction m. Cela posé, on conclura du 2^ théorème, que la valeur générale de l'expression
ne diffère pas de la valenr particulière qu'acquiert cette expression quand on y remplace x par / , et y par m. On aura donc généralement
\r,s; x,y] = {i\s\ /,/mJ, ,
( ^7 ) ou , ce qui revient au même,
[r, i; X, y] = cos (r, l)cos{s, m) — co.s(r, //?) cos(j,/).
Mais, d'autre part, le plan qui renfermera les deux directions m, n, dont chacune est perpendiculaire à la direction Z, sera lui-même perpendiculaire à /, et, par suite, à tout plan qui contiendra /, par conséquent au plan de
l'angle (r,s), ou, en d'autres termes, au plan des deux angles h\n),(s, li'. Donc le théorème relatif aux plans qui se coupent à angles droits, le 7'' théorème de la page 3i i du 3*^ volume, donnera
cos (r, m) = cos (r, fi) cos (pi , n) , cos is , m) =^ cos is, n ; cos (/n , «).
En substituant ces valeius de cos(r, m), coiis,n) dans l'équation précédent^'
[r,s; X, y] = cos (r, t)cos{s, m'* — cos(r, m cos(j, /),
et en ayant égard à la formule
[r, s; l, n] = cos (r, /) cos (^, /i 1 — cos (r, «) cos (^, /),
on trouvera
[r, J ; X , y] = [r,s; l, n] cos (m , « ).
Enfin , puisque 1 angle droit (/, «) sera renfermé dans le plan de l'angle ^r, s) , et que, dans ce plan, les deux mouvements de rotation de r en i' et de / en ?i auront, par hypothèse, la même direction, le i'^'' théorème donnei'a simplement •
[r,s; l,n\ = sin (/-, s):
et. par suite, la valeur générale de la résultante [r,s, x, y] pourra être réduite à
(9) [r, s;\, yj = sin ;/•, s) cos [m , n).
Donc, puisque sin (r, j) représente l'aire [r\s] du losange que l'on peut construire sur les côtés /■, s réduits chacun à l'unité , on aura encore , dans l'hypothèse admise,
(10) [r,i;x,y] = [r,^]cos(/«, «j.
Il est bon d'observer que 1 angle (/«,«, compris entre des droites ///, /;
( ^8} menées, (lnn,^ h's plans des deux angles . : ,
pcri>eiidicu!airenient à la tominunc intersection / de ces deux plans, esi éfjal on à l'angle aigu qui inesuie rinclinaison dn second plan sur le premier, OU an supplément de cet angle aigu. Donc le cosinus de l'angle {m,n) doit être égal, an signe près, au cosinus de l'inclinaison mutuelle des deux plans dont il s'agit; et l'on peut énoncer encore la proposition suivante :
.. 3^ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le a" théorème, la résultante
aura encore pour valenr numérique le produit du sinus de l'angle (/-,.?) par
le cosinus de l'inclinaison mutuelle des plans des deux angles (r, s) et (x , y). D'ailleurs, comme on Fa déjà remarcpié, le premier facteur de ce produit est précisément l'aire du parallélogramme que l'on peut construire sur les deux côtés r, s réduits l'un et l'autre à l'unité.
Corollaire. Si, eu supposant que l'angle droit (x,y) et l'angle |(/-, i^) ont pour sommet le même point O, on nomme Z'une longueur mesurée, à partir
de ce point, sur une perpendiculaire au plan de l'angle (r, s), l'angle (7^, zi, compris entre deux droites T, z respectivement perpendiculaires aux plans
des deux angles (x, y), {r,s), sera évidemment ega! ou a I uiclmaison nuituelle de ces deux plans, ou au supplément de cette inclinaison; et, par suite, les cosinus des deux angles
{^in,n), {T,-/}/
offriront la même valeur numérique. Si d'ailleurs on suppose les directions T
et z situées d'un même côté par rapport au plan de l'angle (/', j), les mouvements de rotation de r en s autour de la direction z, et de r en jt autour de la direction !]Ç s'effectueront dans le même sens; et l'on aura en conséquence
Donc alors la l'ésultante
qui est, en vertu de la formule (8), une quantité affectée du signe de (/•, s, z) , sera aussi une quantité affectée du signe de (r, .? , T); et ce signe sera encore,
OU égard à réquation (g), le signe de cosiin, n . On auia donc, dans I liypoihèse admise,
II) cos (/7z, /z) = (r, ^, 7^) cos Z", z).
Ajoiilons que cette dernière formule continuera évidemment de subsister, si
à la (Hreclion T'en substitue la direction opposée, puisque alors l'angle ( 7^,/. étant remplacé par sou supplément, les deux facteurs du produit
{r,s, r)cos(r,'%.)
changeront de signe. La formule (iij se trouvant ainsi établie pour idules cas, l'équation (9) donnera généralement
(i 2) [/■, j ; X , v] =: 1^/', s, T) sin (r, s) cos { T. /.'■,
ou, ce qui revient au même,
''i3) [r,s; X , y] = {r,s, T)\r, s] cos 7'. z\
Si maintenant on échange entre elles les trois directions x, \ , /, eu observant que les trois mouvements de rotation de x en y autour de z, de v en z autour de x,etdez enx autour dey, sont tous trois de même espèce, on obtiendra, au lieu de l'équation (12), deux équations du même genre, qui seront comprises , avec elle , dans la seule formule
: 1 4) 7C- = -tH = ■ 7^ = ['\ ^■^) sm ' /•, .V 1 .
cos ( T, X; ros ( T, y) cos ( T, z)
Considérons, à présent, outre les axes rectangulaires àe> .1, j", z. sur lesquels on suppose portées à partir de l'origine O les trois longueurs x , \ , /. , trois autres axes rectangulaires ou obliques, indéfiniment prolongés à partit du point O, dans des directions déterminées; rt nommons
trois longueurs qui , ayant le point O pour origine, se mesurent dans ces trois directions. F.es cosinus des neuf angles plan-;
(Cx), (Cy), (/;z)
( 3o ) (]iu' fonneiont les directions /', s, t avec les directions x, y, z, seront les cléments de calcul qui enfleront dans la composition des trois résultantes à deux dimensions :
( [r,s; y, z] =: cos(/-, y) cos [s, z) — cos(r, z) ces {s, y), ( 1 5) s [r, i- ; z , x] = cos (r, z) cos {s, x) — cos (r, x) cos (i', z1 , ' [i\s; X , yj = cos (rfx) cos {s^V - cos (r, y) cos [s, x) , et de la résultante à trois dimensions
[r,s, t; x,y, z] = cos (/•, x) cos [s, y) cos (^, z) — cos (r, x) cos (^, z) cos [t , yj ,
cos (r, y) cos (i'j z) cos («, x) — cos (r, y) cos [s, x) cos (t , z) , ' cos (r, z) cos (j, x) cos (<, y) — cos (r, z) cos (^, y) cos {t.n,. Or, en vertu des formules (i5) et (i6), on aura évidemment
[r,s; y,z]cos(^x) + [/■,,?; z, x] cos(^,y) + [r,5; x, y]cos(i,z).
D'ailleurs, si Ton nomme T une longueur mesurée, à partir du point O,
>ur une perpendiculaire au plan de l'angle (r, s) , les valeurs des expressions
pourront être déduites de la formule (i 4) , et de cette formule combinée avec l'équation (i 7) , on tirera la suivante :
T/V r^^: Z?r TTT. -K- = (' > ^^ T) sm (r, s).
cos(^, x)cos(r, x) + cos(f, y)cos(7', y)4-cos(f,z)cos(7', z) Donc, en observant que, dans cette dernière, le dénominateur du premier membre est précisément égal à cos {t,T), on trouvera -^
[r,s,t; x,y, z] f^ ^ 'rs ■ /^ \
7s = (r, S, T) sm {r,s),
cos{t, T)
et, par suite,
(18) [r, j, Z ; x , y, z] = (r, s, T) sin (r, s) cos {t ^T).
Si, pour plus de commodité, on suppose que la longueur /"soit située du
( 3. ) même côté que la longueur t par rapport au plan de i'angie (r,^), Ils deu\ mouvements de rotation de r eu s autour de t , et de r eu J autour de 7 . s'effectueront dans le même sens; en sorte qu'on aura
Alors aussi , dans l'équation (i8) réduite à la formule
(19) [r,s,t; x,y, z] = iV, ^,0 sin (r,.v)cos(/, r),
le facteur cos{t, T) sera positif, puisque 1 angle ^/ , 7') seraai;;u, et, par suite, le produit
sin(r,j) cos [t, T""'
représentera la valeur du parallélipipède que l'on peut construire sur learètes r, s, t, supposées toutes réduites à l'unité [vo/r le§ I"]. Quant au facteur
il se réduira ou à + i, ou à — i, suivant que le mouvement de rotation de / eu s autour de t, étant direct ou rétrograde , sera ou ne sera pas de l'espèce du mouvement de rotation de x en y autour de z. Donc la formule (10' entraînera la proposition suivante :
4^ Théorème. Etant donné dans l'espace un angle solide dont les arêtes x. y, z , mesurées à partir du point fixe O , sont perpcudiculaires entre elles , et un autre angle solide dont les arêtes r, s, t se coupent, au même point O, sous des angles quelconques, si l'on détermine les cosinus des neuf angles
(M), (Cy), (-Cz),
que formeront les arêtes r, i^, t avec les arêtes x, y, z, la résultante
construite avec ces neuf cosinus, sera positive ou négative, suivant que le> mouvements de rotation de x en y autour de z, et de /■ en s autour de /, s effectueront dans le même sens ou en sens contraire; et cette résultante aura
pour valeur numérique le volume du parallélipipède, que l'on peut i on- ^Iniire sur les arêtes r, s, t réduites chacune à l'unilé. Corollaire. I^a valeur numérique de la lésultaute
(jtant indépendante non-seulement de la position qu'occupent, dans l'espace; les axes rectangulaires sur lesquels se mesurent les trois longueurs
mais encore du sens dans lequel s'effectue le mouvement de rotation de x en y autour de z, il est naturel de représenter cette valeur numérique parla simple notation
que l'on déduit de l'expression
en y effaçant les trois lettres x,y, z, employées pour indiquer trois directions dont il n'est plus nécessaire de faire une mention expresse. Alors l'équation (19) se trouve remplacée par le système des deux formules
{■xo) \r,s,t;\,^^,z\={r.,s,t)[r,s,t],
(ai) [r,s, t] = ûn{r,s)cof.{t,T),
dont la seconde reproduit précisément l'une des notations admises dans le § 1"' . Ajoutons que , si l'on nomme
trois longueurs respectivement mesurées sur des perpendiculaires aux plans (les trois angles
à partir du point commun aux trois arêtes
et situées, par rapport à ces plans, des mêmes côtés que ces trois arêtes, on pourra joindre à Féquation (ai) deux autres équations qui seront comprises, avec elle, dans la seule formule
(22) [r, s,t] = sin [f^t ) eos {i^R) = sin (V') cos [s^S) = sin (/O) cos (^ T) \voir le § l*"^].
En terminant ce parap,i'aphe, nous remarquerons qu'eu vertu des théorèmes r. 9. et 3, la valeur de la lésultante
dépend uniquement de l'auf^le ('', j), de I inclinaison du plan de cet anjjle sur le plan de x, j% et du sens dans lequel s'effectue, dans chacun de ces plans, le mouvement de rotation de /' en s ou de \ en y. Pareillement, il suit du théorème 4) que la valeur de la résultante
\i\s, t; x,y, zj
dépend uniquement de la forme de l'angle solide qui a pour arêtes x, y, /, et du sens suivant lequel s'effectue chacun des mouvements de rotation de r en y autour de /, et de x en y autour de z. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
/)'■ Théorème. I^es longueurs
étant mesurées , à partir d une même origine O , les trois premières dans des directions quelconques, les trois dernières sur des axes perpendiculaires entre eux, on n'altérera point la valeur de la résultante
en faisant toururr autour du point O chacun des angles
\';^/^ vx,y)'
supposé d'ailleurs invariable, dans le plan qui le renferme, ni la valeur de la résultante
en faisant tourner autour du point O, sans les déformer, les deux angles solides qui ont pour arêtes, dune part, les longueurs r, s, t; et, d'autre part , les longueurs x , y, z.
Les résultats auxquels nous sommes parvenus dans ce paragraphe étaient déjà connus. Mais les formules à l'aide desquelles on les exprimait, n'offraient pas toute la précision que 1 on pouvait désirer, puisqu elles renfermaient des doubles signes dont la détermination dépendait de certaines conditions qu'il était nécessaire de mentionner dans le discours, et d'énoncer
/>. d'An, cl de l'h math , T. IV. '07'= livr ' 5
( 34 ) à part. L'adoption des signes
propres à indiquer le sens des mouvements de rotation , et Tintrodiiction de ces signes dans les formules font disparaître rinconvénient que nous venons de signaler. Nous allons voir maintenant avec quelle facilité l'usage de ces mêmes signes permet d'établir des formules générales, qui déterminent complètement les valeurs des résultantes analogues à celles dont nous venons de nous occuper, mais relatives à deux .systèmes quelconques d'axes rectangulaires ou obliques.
& IV. nétrrniinntion de la résultante construite aoer les cosinus des angles i/iie des axes
donnés forment avec d' autres axes rectangulaires ou oblirjues.
Considérons deux systèmes d'axes rectangulaires ou obliques, indéfiniment prolongés , à partir d une même origine O , dans des directions déterminées sur lesquelles se mesurent, à partir du point O, pour le premier système, les longueurs
7', s ou /•, s, t ,
et, pour le second système, les longueurs
Si Ion suppose chaque système composé de deux axes seulemeut, les
longueurs
y. s ou //, t',
mesurées sur les directions de ces deux axes, comprendront entre elles un angle plan
{i\s) ou (//,i'J;
et les cosinus des quatre angles
[s, II], (.?,('),
que formeront les directions r, s avec les directions «, i', seront les facteurs qui entreront dans la composition des divers termes de la résultante
( I ) [/•, s; ^^ , l'J = cos (r, û) cos (/•, v) — cos (/■, v) cos [s. li).
( 35) < )i- la valeur de cette résultante pourra être présentée sous une forme trrssimple, si les deux angles
étant renfermés dans un même plan, l'une des directions r\s est perpendiculaire à l'une des directions ii, v, en sorte qu'on ait, par exemple ,
En effet, supposons ces conditions remplies; alors on tiouvera
COS (/■, t') =: O ,
et, par suite, la formule (i) donnera
[/', s; u, r] =; cos (r, li) cos (i', (
Or, la direction v étant perpendiculaire à la direction /•, on pourra , dans les formules (4) du § P"', remplacer non-seulement r par s ou par u , mais encore X et y par r et v; et, par suite, en considérant comme direct le mouvement de rotation de r en f, on aura
cos [u , / ; = (u , v) sin {11 , c) , cos (i, i') = ( /', s) sin (/•, s). Donc la valeur trouvée de [r, v; «, p] pourra être réduite à
(2) [/•, s; n , i'] = {r, s) (u, v) sin (r, i) sin {u , t').
Observons d'ailleurs que la formule (2) continuera évidemment de subsister, si l'on considère comme direct, non plus le mouvement de rotation de /• en i', mais le mouvement de rotation de t' en r; car, pour passer d un cas à lautre, il suffira de changer le signe de chacun des facteurs, ce qui n'altérera pas leur produit. Ajoutons qu'en vertu de la formule (5) du § il, jointe à la formule (1) du § 1"% l'équation (2) subsistera encore, si l'on y échange séparément ou simultanément r avec s et u avec f. Elle subsistera donc, non-seulement quand r sera perpendiculaire à v», mais encore toutes les fois que l'une des directions r, s sera perpendiculaire à Tune des directions u,v. Il y a plus, on peut affirmer que la formule (2) subsiste généralement, quelles que soient dans le plan donné, c'est-à-dire dans le plan
{ 36) des deux angles {r,s), {u, l'i, les directions des longueurs
C'est effectivement ce que l'on démontrera sans peine, en opérant comnif il suit.
Rapportons la position d'un point quelconque , dans le plan donné , à deux axes rectangulaires des x et ^, qui passent par l'origine commune O lies quati'c longueurs /■, s, u, i>; et nommons
deux autres longueurs mesurées, à partir du point O, sur ces deux axes indéfiniment prolongés du côté des coordonnées positives. Chacun des quatre cosinus renfermés dans le tableau
cos [r,u), cos(/-, t^), eus (s, u), cos [s, v>) sera déterminé par une équation de la forme
(3) cos(/', ii; = cos(^;', x)cos(«,x) + cus(r, y)cos(^H, y);
et, en conséquence, pour obtenir chacun de ces quatre cosinus, il suffira d'ajouter entre eux les deux termes renfermés dans une même ligne horizontale du tableau
COS (/•, x) , cos (/', y) ,
cos (.V, AJ , cos (s, y) ,
après les avoir respectivement multipliés par les termes correspondants de l'une des lignes horizontales du tableau
cos(«,x), cos (m, y),
cos(y, x), cos(t', y). ; „ i
Cela posé, eu ayant égard au théorème général sur les produits des lésultanlcs [voir le a^ volume, page 167], et eu appliquant ce théorème aux quatre éffiiaîions semblables entre elles, qui seront de la forme de l'équation (3), on trouvera
(37 ) Or, à laide de réquatioii :.(), ",ii'^ 'on petit aussi présenter sous la tcunie
[/■, .<; Il, <•]
on étendra facilement la formule (2)3 tous les cas possibles. En ettet, on pourra d'abord, en particularisant les directions net t', tirer de l'équation (5) la valeur de [/', s;x, y]. Si , pour fixer les idées, on suppose v perpendiculaire à r, et a à j-, on tirera de la formule (2), déjà démontrée dans le cas où r est perpendiculaire à t',
[r.s: II, ('] = (/•, Si (u, v) sin (/', s) sia u,\'\:
et, eu égard aux conditions
(■^ ' y) = 2 • sm (x , y , = 1 , (x , y) = I . (j!i trouvera de mémo, puisque u est supposé perpendiculaire à y,
]//, c; x,y| = {/i,K>)sin{u,v); puis, en substituant les valeurs ici tiouvéesdes deux résidtantes
[/•, s; u, i'\, \/i, *'; X, yj , dans le second nombre de la formule ( |) . ou obtiendra l'équation [6) \i\ s: X , vj = (/• s) sin (r, s] ,
que l'on pourrait, au reste, comme on l'a vu daus !e § III, établii' directement. Enfin, si l'on substitue daus le second membre de l'équation (/|), la valeur précédente de \r, s; x, v], et la valeur semblable de [n. i^; x, yj, (pii seront encore tlonnées pai' la foi'mule
\u,i>; X , y] = [u , x) siu (u , v. ,
quelle c[ue soit la direction attribuée à u, on sera immédiatement ramené à l'équation (-2), qui sera ainsi démontrée, quelles que soient, dans le plan donné , les directions des quatre longueurs
Il est bon d'observer que le produit
renfermé dans le second membre de la formule (2), se réduit simplement a } I ou à — I, selon que les mouvements de rotation de /• en s et de u en v s'effectuent dans le même sens ou en sens contraire. Quant aux facteurs
sin(/-, .S'), siu(;^,i'),
ils représentent précisément les aires de deux parallélogrammes que l'on peut
construire sur les côtés des deUx angles plans {r, s) , {u,i>), en supposant
chacun de ces côtés réduit à l'unité.
Cela posé, la formule (iS) entraînera évidemment la proposition suivante : i" Théorème. Étant donnés, dans un plan, deux angles
{r,s), {n,u), si Ton détermine les quatre cosinus des autres angles
{S, u) , [s , v) que formeront entre eux les côtés des deux angles donnés , la résultante
[i\s; II, v\,
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative, selon que les mouvements de rotation de r en s et de u en v s'elfectueront datis le même sens ou en sens contraire; et cette résultante aura pour valeur numérique le produit des sinus des deux angles donnés, ou, ce qui revient au même, le produit des aires des deux parallt'logrammes que Ton peut construire sur les côtés de ces deux angles , eu supposant ces côtés réduits à l'unité.
Corollaire. Si, comme nous l'avons déjà fait dans le § III, ou désigne par
Taire du parallélogramme qui a pour côtés les longueurs r, s réduites à lunité, on aura
[r, s ] = sin (/■, s), [u , v] = sin (n , v) ,
et la formule (2) pourra s'écrire comme il suit :
(39) Supposous maintenant que les deux angles
avant pour sommet commun le point O, cessent détre situés dans un même plan; puis, en prenant le point O pour origine des coordonnées, rapportons la position d'un point quelconque de l'espace à trois axes rectangulaires des Jc,j', z, dont les deux premiers soient renfermés dans le plan de l'auglc (m, V,; et nommons
trois longueurs mesurées à partir de l'origine O, sur ces trois axes iudétiuiment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Chacune des direc-
tiens H, V élant comprise dans le plan de l'angle droit !x,y), la formule (3)
et celles qu'on en déduit eu remplaçant séparément ou simultanément /' par .*
et u par f, continueront encore de subsister |î^o;V le théorème 6 de la page 3 1 1
du 3* volume), et entraîneront encore avec elles l'équaîion (4), en sorte qu'on
aura
De plus, l'angle u, i-; étant compris dans le plan de l'angle droit (x, y), 'a formule (6) donnera
[//, i'; X. y] = [u,v)sin{u, <-).
D'ailleurs, si l'on adopte les définitions et notations proposées dans le § V''', le mouvement de rotation de u eu c sera direct ou rétrograde dans le plan des j:, y, suivant que le mouvement de rotation de u en v autour de la direction z sera direct ou rétrogiade dans 1 espace. On aura donc
el, par suite, la valeur trouvée de la résultante [«, i'; x, y] pourra être présentée sous la forme
(8) ['i,i'; X, y] = {n, f, y.) sin (m, <').
Enfin si, pour plus de commodité, on suppose la direction y, c'est-à-dire la direction du dcnii-axe des j positives, fixée de telle sorte que le mouvement de rotation de x en y s'effectue dans le sens du mouvement de rotation de n en c, alors l'expression («, c) ou [u , v, z) étant réduite à luuité, on aura
simpleiiienl
(9) [u, c; x,y] = sm{u, v).
Quant à la valeur de la résultante [r,s; x,y], elle pourra être déduite de l'une quelconque des formules (8) et (y) du § 111. En effet, soient
les projections absolue^ des longueurs r\ s sui' le plan des deux angles («, c),
(x, y). Soient encor(>
trois longueurs mesurées à partir du point O, la première sur la droite d'in-
tersection des deux angles {r,s), («,('); la seconde sui' une perpendicu-
laire menée à cette droite, dans le plan des deux angles {u,i>), v'^,yl, et dirigée dans un sens tel, que le mouvement de rotation de / en m soit de l'espèce du mouvement de rotation de x en y; la troisième sur ime per-
pendicuiaire menée à la droite /, dans le plan de l'angle [i\ s), et dirigée dans un sens tel, que le mouvement de rotation de / en n soit de l'espèce du mouvement de rotation de /en ti. Enfin, soit 7^ une longueur mesurée, à
partir du point O, sur une perpendiculaire au plan de l'angle 0',^)- Ou aura, en vertu de la formule (8) du § III,
(10) [',i'; X, y] = (r, ^, s) sin i'p, ç)cos(/', j5)cos (i',;);
puis, en supposant que, dans le plan des jc, j', les mouvements de rotation de X en y et de u eu f sont de même espèce , on aura encore, en vertu de la formule (9) du paragraphe cité,
(11) [/■, s; X , y] = sin 1 /', s) cos [m ,n).
Cela posé, si Ion substitue dans l'équation (4), avec la valeur de [u, v; x, y] tirée de la formule (8), la valeur de [r,s\ x,y] tirée de la formule (10), ou, avec la valeur de [n, v; x, y] tirée de la formule (9), la valeur de (r, s\ X, y) tirée de la formule (i i), on obtiendra l'une des équations
{ 1 2 f [c, s; // , i'] = (/', S, z) (/{ , u, z) sin {u , i>' ^'" ^p, ç) cos (/■, p ' cos (s, ;) ,
( 1 3'1 [r, .9 ; 1/ .v] = sin (/■. s) sin '// , v) cos [m , «) .
Il est bon d'observer que, si l'on désigne, comme plus haut, par la notation [r,j] l'aire du parallélogramme que l'on peut construire sur les côtés r,s réduits l'un et l'autre à l'unité, la formule (i3) donnera
(i4) [r,s; u,v] =: [r,s][u,v]cos(m,n^.
Ajoutons que, dans la formule (12), le produit
sin (p, ç) cos (r, p) cos (i, ç)
représentera précisément la projection de la surface [r, s] sur le plan de la surface [m, v]. Cela posé, les propositions qui se déduiront de la formule (12), puis de la formule fi3) ou (i4)î et qui seront analogues aux théorèmes 2 et 3 du § III . pourront évidemment s'énoncer dans les termes suivants : 2" Théorème. Étant donnés , dans l'espace, deux angles
si l'on détermine les quatre cosinus des autres angles
{s,u), {s,^), que formeront entre eux les côtés des deux angles donnés, la résultante
construite avec ces quatre cosinus, sera positive ou négative suivant que les mouvements de rotation de r en s, et de n en v, autour d'une droite perpendi-
culaire au plan de l'un des angles (r, .y , {u,v), s'effectueront dans le même sens ou en sens contraires. De plus , si dans les plans des deux angles
on construit deux parallélogrammes qui aient pour côtés les longueurs / et s , ou u et v, réduites chacune à 1 unité, la résultante [r, s ; m, i'] aura pour valeur numérique le produit de laire du premier parallélogramme par la projection de l'aire du second sur le plan du premier.
y Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le it" théorème, la résultante [r, s; u, v] aura encore pour valeur numérique le produit quou
Ez dAn. ,-i de Pk. m.jth., T. IV. i.-8= livr.' , O
obtient en multipliant les aires
des deux parallélogianimes ci-dessus mentionnés, par le cosinus de l'angle aigu que les plans de ces deux parallélogrammes forment entre eux.
Il ne sera pas inutile d'indiquer une forme digne de remarque, sous laquelle on peut présenter la formule (i4)- Concevons que des deux angles
ayant pour sommet commun le point O , on élève, à partir de ce point, deux perpendiculaires aux plans de ces deux angles, et nommons
•leux longueurs mesurées sur les directions de ces perpendiculaires, dans des sens déterminés. En considérant comme direct le mouvement de rotation de X en y autour de la direction z , on aura [voir la formule (8) du § III ]
cos {iriyti) = (7', s, T) cos ( T", z).
I) autre part, si les mouvements de rotation de x en y et de u eu v autour de la direction z sont dirigés dans le même sens, comme le suppose la formule (i4)i 011 aura encore
[u,v,z) = (x,y,z) = I, et , par suite ,
cos [m , n) = (/', s,T)[u, c, z) cos (^ T, z).
Enfin, les directions z et tétant toutes deux, par hypothèse, perpendiculaires au plan de l'angle [u, i>) ou (x,y), coïncideront ou seront opposées lune à l'autre; et, par suite, le produit
(« , V, z) cos ( T, z)
ne pourra être altéré par la substitution de JV ix z , puisque cette substitution, si elle modifie les deux fonctions
{u,v,z), cos(7', z).
(43) aura pour effet unique de changer le sip,ne de chacun d'eux. On aura donc
{u. P, 2) cos ( T\z) = {u,v, W) cos ( T^W ) , et la valeur trouvée de cos {m,?i) pourra s'écrire comme il .suit :
(i 5) - cos {m,n) = {r, s,T)[u,v, PF) cos ( t'^TV).
Or, eu égard à cette dernière formule, léquation (i4) donnera
(16) [r,s; u,^] = [r,s,T){u,v,W)[r,s\[u,i>]coi[T^W).
Ajoutons que chacune des formules (12), (i3), (i4),(i6) comprend évidemment, comme cas particulier, la formule (7).
Si, à partir du sommet de l'angle (/-,.?) on mesurait, dans une direction quelconque, une longueur t, alors, en faisant coïncider u avec i\ et v avec t , on tirerait de la formule (i3)
(17) ['■> ■^i /•,<]= sin (r,f) sin (r, i) cos(/«,n),
et comme on aurait
(/■, r) = o, cos (/•,/') =1, par conséquent,
[r,s; r, t] = cos[s,t) — cos (r,f) cos(r,f), la formule (i 5) donnerait
( 1 8) cos {s, t) — cos (r, s) cos (/■, ^ = sin (r, s) sin (r, t) cos [m , n).
Mais alors aussi, m,n étant deux longueurs mesurées perpendiculairemenr
à r, dans les plans des deux angles {r,t), {r,s), la première du côté de t, la
seconde du côté des, l'angle plan (r, .f) serait la mesure de l'angle dièdie adjacent à l'arête r, dans l'angle solide qui aurait pour arêtes /•, s, t. Donc, en nommant a, b,c les trois angles plans
{s,t), iCr), {rCs),
et a, ê, 7 les angles dièdres opposés à ces angles plans dans l'angle solide
dont il s'agit, on verrait l'équation (i8) se réduire à la formule ces a — cos b cos c = sia è sin c cos a ,
que l'on peut considérer comme l'équation fondamentale de la trigonométrie sphérique. Ainsi, cette équation fondamentale se trouve comprise, comme cas particulier, dans la formule (i3).
Considérons à présent, dans l'espace , deux systèmes d'axes dont chacun se compose de trois axes indéfiniment prolongés, à partir d'un certain point O, dans des directions déterminées. Les longueurs
/•, s, t ou u, \>, w,
mesurées, à partir du point O, dans ces mêmes directions, poiurout étie regardées comme les trois arêtes d'un angle solide, et les cosinus des neuf angles plans
{r.u), {r,v), {i\w), (s,u), {s,v), (s,w), (Cu), (M'), (Civ)
que formeront les directions r, s, t avec les directions u , i>, w, seront les facteurs qui entreront dans la composition des divers termes de la résultante
[r,s, t; u, t-, îv] =
cos [r, u) cos {s, v) cos {t,w) — cos {r, u) coi {s,w) cos {t,i>) +■ cos[r,u) cos (^,îv) cos {t,u) — cos (r, f) cos (s, u) cos {t,w) -h cos (/-,«') cos (.9, u) cos(f, c.) — cos(r,w) cos (.y, c) cos (tj'^i).
Or cette résultante pourra être présentée sous une forme très-simple, si l'une des directions u, f, w est perpendiculaire à deux des directions r,s,t, en sorte qu'on ait, par exemple,
En effet, supposons ces conditions remplies; alors on aura
cos {r,w) = o, cos [s, (p) = o ,
(45) et, par suite, l'équation (19) donnera
(20) [r, s,t; ii,v, w] — [r,s; m , i>] cos (< , w) ;
puis, en désifjnant par
deux lonf;iieurs mesurées, à partir du point O, sur des perpendiculaires tiu\ plans des deux angles
on tirera de la formule (20), jointe à réquation (16),
(21) [r, j, < ; M, t', îv] = (r, j, T){ii, v, w) sin (r, s) sin (« , v) cos [t , \v) co%{T,fV).
D'ailleurs, la direction w étant, par hypothèse, perpendiculaire, ainsi que T, aux directions r et s^ se confondra ou avec la direction T, ou avec la direction opposée à T.
Donc, si 4ans le produit
cos (<, w) cos ( 7', fV )
on échange entre elles les deux lettres w et Z", cet échange laissera intacte la valeur de ce produit, dont les deux facteurs ne pourront subir d'autr» modification qu'un changement de signe opéré simultanément dans l'un et dans l'autre. On a donc
cos (/ , w) cos { T^W )= cos (t^T) cos {w^W ) , et , par suiie, la formule (21) pourra s'écrire comme il suit ;
( 22) [/', ^, f ; M , t', w\ — (r, s, T) (u, v, ^ )sin(r, j)sin(« , v) cosit, T) cos ■ w, PF ).
Supposons maintenant, pour plus de commodité, la longueur 7' située.
par rapport au plan de l'angle {r,s), du même côté que la longueur /, et la
longueur/!?^ située, par rapport au plan de l'angle {u,v), du même côté que la longueur w. Alors non-seulement on aura
mais de plus, en désignant, comme on Ta déjà fait, par [r,s, t] la valeur du
( 46 ) parallélipipède qui aurait pour arêtes les longueurs r\,s,t réduites chacune à l'unité, on aura, en vertu de la formule (21) du § HT ,
\i\s, t] = sin {r,s) cos {t, T), [^^, i', w] = sin(M, v) cos {v, FF).
Donc la formule (au) donnera
(23)' [r,s,t; u,v,iv] = {r,s,t){u,i>,w)[r,s,t][u,i>,w\.
On doit observer qu'en vertu de la formule (5) du § I", jointe à la formule (6) du § II, l'équation (aS) ne sera point altérée, si l'on y échange séparément ou simultanément, d'une part, /■ avec s ou t, d'autre part, w avec u OH ('. Donc l'équation (aS) se vérifiera, non-seulement quand tv sera perpendiculaire à r et j, mais encore quand l'ime quelconque des trois directions
u, (', w sera perpendiculaire à deux quelconques des trois directions
Il V a plus : on peut affirmer qu'elle subsistera généralement, quelles que
soient les directions
C'est, du moins, ce que l'on démontrera sans peine, en opérant comme il
suit.
Rapportons la position d'un point quelconque, dans l'espace, à trois axes rectangulaires des x, j., z qui passent par l'origine commune O des six longueurs
et nommons
trois autres longueurs mesurées, à partir du point O, sur ces trois axes indéfiniiuent prolongés du côté des coordonnées positives. Chacun des neuf cosinus renfermés dans le tableau
cos (r, u) , cos (r, v) , cos [r, w).
cos [s, h) , cos [s, v'j , cos (.y, w) ,
cos [t , u) , cos (^ , (') , cos (< , iv) ,
(47 ) sera déterminé par une équation de la forme
(24) cos{r^u) = cos(/', x)cos(i^,x) + cos(r,y) cos(M,y) + cos(r,z)cos(*, z);
et, conséquemment, pour obtenir chacun de ces quatre cosinus, il suffira d'ajouter entre eux les trois termes renfermés dans une même ligne horizontale du tableau
cos (r, x) , cos (/•, y) , ces ( r, z) ,
cos (.y, \) , cos {s, y) , cos {s, z) ,
cos(<,x), cos(i,y), cos(<,z),
après les avoir respectivement multipliés par les termes correspondants de l'une des lignes horizontales du tableau
cos (m , x) , cos [u , y) , cos (« , z) ,
cos(f, x), cos(t', y), cos(i', z),
cos(H',x), cos(iv,y), cos(i.v, z).
Cela pose, en ayant égard au théorème général sur les produits des résultantes [î^oi'r le deuxième volume, page 167), et en appliquant ce théorème aux neuf équations semblables entre elles qui seront de la forme de lécjuation (24) , ou trouvera
(a5) [r,-'!,t, u,v,w] = [r\s,ii x, y, z] [m, i', îv; x,y, z|.
Or, a l'aide de l'équation (aS), que l'on peut aussi présenter sous la forme
(ab) , [r, ,v, t; x , y , zj = ^ ' ' ' — '-^—\ ,
on étendra facilement la formule (aS) à tous les cas possibles, lin effet, on pourra d'abord, en particularisant les directions /i, i', tv, tirer de l'équation (26) la valeur de [r,s, t; x, y, z]. Si, pour fixer les idées, ou suppose la direction tv perpendiculaire aux deux directions r, s, et la direction v perpendiculaire aux deux directions x, y, ou tirera de la formule (23), déjà
(48 ) démontrée dans le cas où w est perpendiculaire kretàs,
[/■, s,t; u, (', w] = (r, s, t) (m, c, w) [i\ s,t\ [m, v, w\; et. eu égard aux conditions
(x, y, z) = I, [x,y, z] = r, on trouvera de même , puisque c est supposé perpendiculaire à x et à y, ~
[u,v,w; X , y, z] = [u, f, w) [ii , v, w] ; |)uis, en substituant les valeurs ici trouvées de
[r,s,t; u,v,w\, [u,v,w\ x,y, z] dans le second membre de la fonuule (26) , on obtiendra l'équation (27) [r, s,t; X , y, z] = (r, s, t) [r, s, t] ,
que 1 on pourrait, au reste, comme on l'a vu dans le § IIl, établir directement. Enfin, si l'on substitue, dans le second membre de l'équation (25), la valeur précédente de [r,s, t; x,y, z], et la valeur semblable de[M,i',w; x, y,z], qui sera encore donnée par la formule
quelle que soit la direction attribuée à v, on sera immédiatement ramené à l'équation (28), qui sera ainsi démontrée, quelles que soient les directions
r,s,t; u, V, IV.
Tl est bon d'observer que le produit
renfermé dans le second membre de la formule (23), se réduit à + 1 ou a — i, selon que les mouvemenis de rotation de r en s autour de <, et de u en v autour de w, s'effectuent dans le même sens ou en sens contraires. Quant aux facteui-s , .
['-, s, t][u, K>., IV],
ils représentent précisément les valeurs des deux parallélipipèdes que l'on
(49) peut construire, d'une part, sur les trois arêtes
r, s, t; d autre part, sur les trois arêtes -
U, i-, IV, >0
en supposant chacune de ces six arêtes réduites à l'unité.
Cela posé, la formule (aS) entraînera évidemment la proposition suivante: 4^ Théorème. Étant donnés dans l'espace deux angles solides qui offrent
le même sommet O, et qui ont pour arêtes, le premier les longueurs
r, s, t, le second les longueurs
si l'on détermine les cosinus des neuf angles
que formeront les arêtes avec les arêtes la résultante
[r,s, t; u, i', tvj,
construite avec ces neuf cosinus, sera positive ou négative, suivant que les mouvements de rotation de r en J autour de t, et de u en v autour de tv, s'effectueront dans le même sens ou en sens contraires ; et cette résultante aura pour valeur numéi'ique le produit des valeurs des deux parallélipipèdes que l'on peut former, duue part, sur les arêtes r, s, t ; d autre part , «.ur les arêtes u, v, w, en supposant chacune de ces six arêtes réduites à l'unité. Si les arêtes
