M, P, IV
du second angle solide se réduisent à des longueurs
Ex.d An et de Ph math. .T. IV. (58' \ivr.) 7
mesurées sur des perpendiculaires aux trois faces du premier, c'est-à-dire, en d'autres termes, sur des perpendiculaires aux plans des trois angles
les cosinus des neuf angles formés par les arêtes du premier angle solide avec les arêtes du second seront les divers termes du tableau
cos (r, /î) , o , o ,
o, cos [s, S), o,
o, o, cos(^, T);
et , par suite , la résultante
sera réduite à sou premier terme
cos (/•, R) cos {s, S) cos [t , T).
Donc alors la formule (aS) donnera
(28) cos{ry)cos{s^S),cos{ty) = ir,s,t){R,S,T)[r,s,t][R,S,T]. Si, pour plus de commodité, on suppose les trois longueurs
R, S, T dirigées de manière à former, avec les longueurs correspondantes
'■' •^' ^' trois angles aigus
(r,"/?), [sCS), {t?T),
ou , en d'autres termes, si les longueurs
se mesurent à partir de l'origine commune des longueurs
la première du même côté que r par rapport au plan de l'angle (s^t), in
( 5i ) seconde du même côté que s par rapport au plan de I anjjlc (<,/), la troisième du même côté que t par rapport au plan de l'anfjle (r,s.. alors.
étant deux cjuantités de même signe, on aura
et l'équation '28), réduite à la forme
(39) cos{r,R)co%{s,S)co?,[t,T)—[t\s,t\[R,S,T\
coïncidera précisément avec la formiile(i 7) de la pageSaSdu troisième volume. En terminant ce paragraphe, nous remarquerons qu'en vertu des théorèmes I, 2 et 3, la valeur de la résultante
dépend uniquement des deu.x angles (r, j, (m, p , de Tinclinaisou mutuelle de leurs plans, et du sens suivant lequel s'effectue, dans chacun de ces plans, le mouvement de rotation de r en j , ou de u en v. Pareillement , il suit du 4' théorème, que la valeur de la résultante
fr, .y, l; h, v,w]
dépend uniquement des formes des deux angles solides qui out pour arêtes, d'une part, les trois longueurs r, s, i, d'autre part, les trois longueurs u, v, w , et du sens suivant lequel s'effectue chacun des mouvements de rotation de / en s autour de t, et de u en c autour de w. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
5* Théorème. Les longueurs
y, s., t; H, (', IV
étant mesurées à partir d'une même origine O , dans des directions quelconques, on n'altérera point la valeur de la résultante
[r,s; M, ('I en faisant tourner autour du point O chacun des angles
supposé d'ailleurs invariable dans le plan qui le renferme, ni la valeur de la
résultante
[r,s, f; u, f, iv],
en faisant tourner autour du point O, sans les déformer, les deux angles solides qui ont ponr arêtes, d'une part, les longueurs r s, t, et, d'autre part, les longueurs «, \>, iv.
§ V. — Sur Irs résultantes formées ni'cr les coordonnées rectangulaires ou obliques de deux ou
trois points.
Supposons la position d'un point quelconque {' rapportée dans l'espace à trois axes coordonnés des x , j,z; et nonimon!^
trois longueurs mesurées, à partir de l'origine O des coordonnées , sur ces demiaxes , indéfiniment prolongés dans le sens des coordonnées positives. Soit , d'ailleurs, r la distance de l'origine au point P, dont les coordonnées sont x, jy, z. Si ces coordonnées se rapportent à des axes rectangulaires, elles seront précisément les projections algébriques et orthogonales du rayon r sur les directions x, y, z. Elles seront donc liées à /■ \yoir le troisième volume, page i44] P''!' 'es formules
X ^= r cos (r, x) , y ^= r cos (v, y ) , z = /• cos (r, z).
Soient maintenant
trois rayons vecteurs menés de l'origine O à trois points divers P, P', P "; et, pour mieux leconnaître les coordomiées de chacun de ( es points, désignonsles à l'aide de la lettre /•, ou s, o\it , placée connue indice au bas de la lettre x , 7^, ou z, en sorte quear,.,^'^, -,. désignent spécialement les trois coordonnées de l'extrémité du layon r. Les extrémités des trois rayons
auront pour coordonnées les neuf quantités
i >^ri ^rl 2,.,
. ■^ i- J' i r ^'ti
53 ) respectivenioot équivalentes aux neuf produits
r cos (r, x) , /' cos (/•, v) , '' cos (r, z) ;
(a) ( ■$■ cos (j, X;, i' cos (y, y) , s cos (.î, z ;
icos(f,x), /^cos(«,y), fcos(f,z).
D ailleurs, ces produits se réduiront aux cosinus
cos(/', x), cos(r, y), eus'/', z), " *
(3^ < cos : i, X ) , cos [i\ y) , cos {s,z),
cos v , x) , cos (/ , y I , cos (/ , z) ,
si les longueurs
se réduisent toutes à l'unité. Donc alors la résultante à deux dimensions
(4) ^r Js — X,J,
formée avec celles des coordonnées de P et de P', ijui se mesurent sur les axes des x et j, et la résultante à trois dimensions
[5) x,.y%Zi — .XrjcZ, -+- Xsj,z, — x^y,z, -+- x,y,.z, — x, js^r-,
formée avec les neuf coordonnées des trois points P, P', P", se réduiront aux deux résultantes f|ue , dans les paragraphes précédents, nous axons i>— présentées par les notations
Mais, si du cas particulier où Ion suppose les trois longu<,ins /, s, t réduites à l'unité, ou veut revenir au cas général où ces longueurs offrent des valeurs quelconques, il suffira de substituer le tableau ; 3 au tableau i-ï); il >uffira donc de faire varier chaque terme de la losultante ^4) ou (5), et, par conséquent, cette résultante elle-même, dans un rapport équivalent lu produit rs ou rst. On aura donc, dans le cas général,
(6 jc^j^- jcs Jr = rs \r, s: \,\],
et
^ =rst[r,s,t; x,y,z].
( 54 ) Il ne reste plus qu'à substituer, dans ces dernières formules, les valeurs de \r,s; x,y| et de [r,s,t; x,y, z] obtenues dans le § III.
Supposons d'abord les deux points P, P' situés dans le plan des x,j. Alors, de 1 ef|ualion (6), jointe à la formule (3) du § III, on tirera
(8 ' x,.js - x,jr = {r, s) rs [r, s].
D'ailleurs, comme on l'a vu §1), le produit
rs [r, s]
leprésente précisément laire du parallélogramme qui a pour côtés les rayons vecteurs /•, s. Donc la formule (S) entraînera le théorème suivant :
i""' T'héorème. Les positions des divers points d'un plan étant rapportées à deux axes rectaiif^ulaires de x et j. si l'on désigne par r, s les rayons vecteurs menés de l'origine O des coordonnées à deux points quelconques d un plan , et par
les quatre coordonnées de ces deux points, la résultante
X , , jf ^ X ^ y^ 1
formée avec ces quatre coordonnées, sera positive on négative, suivant que le mouvement de rotation de r en a sera direct ou rétrograde, et cette résultante aura pour valeur numérique l'aire du parallélogramme construit sur les rayons vecteui's /■, s.
Supposons maintenant les points P, P' situés hors du plan des x , j. Alors, eu désignant par p, ; les projections absolues des longueurs r,s sur le plan des X , y^ on aura
p =z r cos {r, p), ç = s cos (s, q) ,
et l'on tirera de i'éqnation (6) , jointe à la formule (6) du § III,
Xr Js — ^sj, = [p,Ç rs COS [r, p) cos [s, g) sin {p, ç) ;
par coiséquent ,
(9) ^'J'' ~ ^sJr = (p:?)p;s>"(f»;)-
De plus, comme en désignant toujours par z une longueur mesurée a partir
de l'oiifjine suile demi-axe des z positives, supposé perpendiculaire au pian des jc , y, on aura [voir la formule (7) du § III]
1 équation (g) pourra s'écrire connue il suit :
(10) a?^j, — X, j,. = (r, ^,z) pç sin (&,ç). D'ailleurs, en nommant
trois longueurs mesurées à partir de l'origine O, la première sur la droite d'iutersectiim du plan OPP' et du plan des x ^ j\ les deux dernières sur des perpendiculaires élevées à ces mêmes tiroites dansées mêmes plans, et, en supposant ces perpendiculaires dirigées chacune dans un sens tel que le mouvement de rotation de / en m soit de l'espèce du mouvement de rotation de X en y, et le mouvement de relation de / en m de l'espèce du mouvement de rotation de/ en «, on tirera de l'équation (6j, jointe à la formule (10) du §111,
(11) X, j, — X, j,. = rs [/•, s] cos (w, ri).
Enfin, si l'on nomme
une longueur mesunu": à partir de l'origine O sui' une (xrpendiculaire au plan de Taugle (/, j), on aura, en vertu de 1 équation (i 1) du § III,
cos (in,/i) =: (/', s, T ) cos ( Z", z) ;
et , par suite, la formule (11) pourra s'écrire comme il suit :
(ra) Xr J\ — X , j, — (r, s, T ] rs [r, s] cos f 7\ z).
Or les formules (loj et (12) entraîneront évidemment les propositions suivantes :
2^ Théorème. La position d'un point dans l'espace étant rappoitée a liois axes rectangulaires des x , j-, z, si l'on désigne par
'•, •*■ les rayons vecteurs menés de l'origine O des coordonnées à deux point>-
( 56 ) quelconques P, P', et par
^' r 1 yri ^ s; y s
celles des coordonnées de ces deux points qui sont mesurées sur les axes des x pl T', la résultante
formée avec ces quatre coordonnées, sera positive ou négative suivant que le mouvement de rotation de r en s autour du demi-axe des z positives sera direct ou rétrograde; et cette résultant!^ aura pour valeur numérique l'aire du parallélogiamme construit dans le plan des x ,j sur les projections des rayons veeleurs /• et j.
3"" Théorème. I>es mêmes choses étant posées que dans le 2' théorème , la résultante
aura encore pour valeur numérique le produit que l'on obtient en multipliant l'aire du parallélogramme construit sur les rayons vecteurs r,^, par le
cosinus de i angle aigu qui mesure linclinaison du plan de l'angle (r, s) sur le plan des x\ j.
Nota. Les valeurs numériques que les 2*^ et S*" théorèmes assignent à la valeur numérique de la résultante x^Js — ^sjr devant être égales entre elles, il suit de ces lliéorèmes que l'inclinaison mutuelle du plan de langle (;•, ^) et du plan des j:, j, offre un cosinus équivalent au rapport qui existe entre les aires des deux parallélogrammes, ou même des deux trianp;les, dont les côtés sont, d'une part, les deux rayons veeleurs r, j, et, d'autie part, les projections p, ç de ces rayons sur le plan des x, y. On se trouve ainsi ramené de nouveau à la proposition énoncée vers la fin du § I.
Passons maintenant à l'équation (7). On tirera de cette équation, jointe à la formule (20) du § III,
j Xrfs^t — ^r.riZ-s^-r,J,Z, — X,J,Z,-^X,jrr"s-''^,rs^,
^'^^ \ ={r,s,t)rst[r,s,t].
D'ailleurs, comme ou l'a vu dans le § I, le produit
rst [/■, j, t\
représente précisément le volume du parallélipipède qui a pour côtés r,s,t. Donc la formule (i3) entraîne la proposition suivante :
( ^7) 4* Théorème. La position d'un point dans l'espace étant rapportée à trois axes rectangulaires des a:, ^, z, si l'on désigne par
les rayons vecteurs menés do l'origine des coordonnées à trois points quelconques P, F', P", et par
''^rt J'ri Z^; ^ s 1 Js 1 ^s >
les neuf coordonnées de ces trois points , la résultante
•^'r y i ^1 — ^r J r ^s ~^ ^ s Xt ^r ~~ ^ s J^r ^' t "+" '^f JKr ^ s — •^1^1 ^'s »
torniée avec ces coordonnées, sera positive ou négative suivant que le mouvement de rotation de r en s autoui' de t sera direct ou rétrograde, et cette résultante aura pour valeur numérique l'aire du parallélipipéde construit sur les rayons vecteurs /•, s, t.
I>es divers lésultats que nous venons dobtenir étaient déjà connus. Mais l'adoption de signes propres à indiquer le sens des mouvements de rotation, et l'introduction de ces signes dans le calcul , ont donné aux formules une clarté, une précision nouvelles, et fait disparaître les doubles signes dont la détermination dépendait de certaines conditions que Ion était obligé de mentionner dans le discours et d'énoncer à part.
Concevons , à présent, que les axes coordonnés des x, y, z, cessant d'être rectangulaires, se coupent sous des angles quelconques, et nommons
trois longueurs mesurées à partir de l'origine O des coordonnées, sur trois droites respectivement perpendiculaires aux trois plans des j, z, des z, a: et des X , y. Alors les coordonnées x , ^, z d'un point quelconque P se trouveront liées au rayon vecteur /•, mené de l'origine à ce point [voirXn troisième volume, page i43J, par les formules
. ,., cos(r, X) cos(r,Y) cosIr.Z)
cos(x,X) cos(y, Y) cos(z, Z)
Si d'ailleurs on représente, comme nous l'avons fait ci-dessus, par
El. dAn. cl de Pk. -nain., T. IV. (38« livr.) °
( 58 ) trois rayons vecteurs menés de lorigine O à trois points divers P, P', P" ; et si , pour mieux reconnaître les coordonnées de ces points , on les désigne encore à l'aide de la lettre r, ou s, ou t, placée comme indice au bas de la lettre jc, ou ^, ou z, les extrémités des trois rayons
auront toujours pour coordonnées les neuf quantités
Mais ces neuf quantités , au lieu d'être respectivement équivalentes aux termes du tableau (2), se trouveront représentées par les neuf produits
^cos(r, X) cos(r, Y) cos^r, Z)
cos{x,X) cos(y, Y) cos(z, Z)
, t-s I cos(i,X) cos(^,Y) cos^i, Z) \}^) \ ^ — TT. — •' ■* —F. — ' •^■
cos(x,X) cos(y, Y) cos(z,Z)
cos(?, X) cos(^Y) ,cos(t, Z)
cos(x,X)' cos(y,Y) cos(z,Z)
Cela posé, cherchons d abord la valeur de la résultante
•^ r Js -^ s Jrt
composée avec les quatre quantités
ou, ce qui revient au même, avec les quatre termes du tableau
^ cos(/-, X) ^ cos(r, X}
(,r,) ) cos(x,X) cos(y?Y)
^ cosjs, X) cos{s. Y)
* ^ ' ^ Ai
cos(x,X) cos(y, Y)
( 59) Chacun des deux produits
que renferme cette résultante, proviendra de la multiplication de deux termes pris à la fois dans les deux colonnes horizontales et dans les deux colonnes verticales du tableau (i6) ou (17). Mais, d'une part, deux termes situés dans une même colonne horizontale du tableau (17) offrent un facteur commun, savoir, le facteur r pour la |)remière colonne horizontale, le facteur s pour la seconde; et, d'antre part, deux termes situés dans une même colonne verticale
du tableau (17) offrent un diviseur commun, savoir, le diviseur cos(x,X)
pour la première colonne verticale, et le diviseur cos(y. Y) pour la seconde. Donc les valeurs qu'on obtiendra pour les deux produits
en substituant le tableau (17) au tableau (16), auront pour facteur commun le
produit ri, pour diviseur commun le produit cos(x,X) cos (y, Y) ; et, pour obtenir la valeur de la résultante
il suffira de multiplier la résultante formée avec les quatre termes du tableau
j cos(r'rX), cos(/Cy), ( cos(j,X), cos(i. Y),
c'est-à-dire l'expression par le rapport
on aura donc
/s /si
cos(x,X) cos (y, Y)
(19) XrJ,-x,yr= — -^^-^:^— ^^[/-.j; X, Y].
cos(x,X) cos (y, T)
Pareillement, pour obtenir la valeur de la résultante
XrJ.Z; — Xrjt'^s + X.J.Z, — X,J,Zi + JT, J^Z, — X, J, Z^ ,
( 6o ) il suffira de multiplier la résultante formée avec les divers termes du tableau
cos(/-,X), cos(r, Y), cos(r,Z); cos(j, X), cos(5-, Y), cos(j,Z);
cos(f,X), cos(«,Y), cos{t,L),
c'est-à-dire l'expression
[r,s,t; X,Y,Z] par le rapport
cos(x,X)cos(y, Y)cos(z,Z)
on aura donc encore
/ JCr Js Zi — Xr J, 2, + X, JT , Z, — X^ J, Z, H- X, J, Z,—X,J, Z,
(^') = 7, 'As ^[r,.,^; X,Y,Z].
\ cos(x,X)cos (y, Y) cos (z, Z)
Ce n'est pas tout. Comme X sera perpendiculaire à y et z, Y à z et x, Z à x et y, les cosinus des neuf angles
(x?X), (x?Y), (z7zj,
iy?X), (y?Y), (yrZ),
(z7x), (z"Y), (z?Z) s'évanouiront tous, à l'exception de
cos(x,X), cos(y, Y), (:os(z,Z).
Donc, par suite, chacune des résultantes
[x,y; X,Y], [x,y,z; X,Y,Z] se réduira simplement à son premier terme, en sorte qu'on aura
[ X , y ; X , Y ] := cos ( x , X ) eus ( y, Y ) ,
[x, y, z; X, Y, Z] = cos (x, X) cos (y, Y) cos (z,Z) , et les formules (19), (21) pourront s'écrire comme il suif :
122) XrJ, "^^ J'- — [x,y; X,Y]'''^'
rst.
Il ne reste plus qu'à substituer, dans ces dernières formules, les valeurs des résultantes comprises daus les seconds membres.
Or supposons, en premier lieu, les deux jioints P, P' situés dans le plan àeix^jr. Alors l'équation (^; du § IV, jointe à la formule (x, y: = i, donnera
[r,s; X,Y] = (r,^)(X,Y)[r,5][X,Y], [x,y; X,Y]= ;X, Y) [x,y] [X, YJ.
On aura donc
Donc alors l'équation (aa) donnera
et l'on pourra énoncer le tbéorème suivant :
5* Théorème. Les positions des divers points dun plan étant rapportées a deux axes rectangulaires ou obliques des .r et j-, si l'on désigne par x et y deux longueurs mesurées, à partir de l'origine O des coordonnées , sur l•e^ axes prolongés du côté des coordonnées positives, par
les rayons vecteurs menés de la même origine à deux points P, P' du plan donné , et par
les quatre coordonnées de ces deux points, la résidldiite
formée avec ces quatre coordonnées, sera positive uu négative suivani que le mouvement de rotation de r et s sera direct ou rétrograde , et cette résultante aura pour valeur numérique le rapport qui existe entie l'aiie du parallélogramme construit sur les côtés r, s, et l'aire ilu losange que Ion peut construire sur les côtés .\ , y, réduits l'un et l'autre à lunité.
Supposons, maintenant , les points P, P' situés hors des plans des x, y. Alors, en nommant Z'une longueur mesurée, à partir de l'origine O, sur
une perpendiculaire au plan de l'angle (r, j), et remplaçant ^^, c, ^parX,Y,z dans l'équation (rô) du § IV, on tirera de cette équation
[r,s; X, Y] = (r, s, T) (X, Y, z) [r. s] [X, Y] cos ( T%) ;
puis, en remplaçant r,s. T par x, v, Z, on trouvera
[x, y; X, Y] = (x, y, Z) (X, Y, z) [x, y] [X, Y] cos(Z,'"z).
On aura donc, par suite,
[r,s; X,Y] {r,s, T) [r, s] coi{T%) [x,yjX,Y] (x,y,Z)[x,y]^„^(2-)'
et l'équation (22) donnera
(x,y, Z) [x,yj f.Q^(^2.,z)
Si, pour plus de commodité, on suppose la longueur Z mesurée du même côté que la longueur z, c'est-à-dire du côté des z positives, le cosinus de
1 angle (Z, z) offrira une valeur positive, égale au sinus de l'inclinaison de Taxe des z sur le plan des x , j^; et, comme on aura
(x,y,Z) = (x,y,z) = i, on trouvera simplement
(26) X,Js-^sJr={r,S,T)j^'^^ '^'-
L'^-yJ cos(Z,z)
Enfin , si la longueur T est mesurée elle-même du côté des z positives , langle ( T, z) sera l'angle aigu qui mesurera l'inclinaison du plan de l'angle (r,s) sur le plan des x, j-; et, comme alors on aura
la formule (26) pourra être réduite à 1 équation , s ' , s, rs \r, x] cos { T, z]
l^-yj cos(Z, z) de laquelle on déduira immédiatement la proposition suivante :
6^ Théorème. La position d un point dans l'espace étant rapportée à trois axes rectangulaires ou obliques des x, y\ z-, si l'on désigne par x, y, z trois longueurs mesurées à partir de l'origine O des coordonnées, sur ces axes, indéfiniment prolongés du côté des coordonnées positives, puis par
les ravons vecteurs menés delà même origine à deux points quelconques P, P\ et par
celles des coordonnées de ces deux points qui sont mesurées sur les axes des a: et j-, la résultante
tormée avec ces quatre coordonnées, sera positive ou négative suivant que le mouvement de rotation de r en ^ autour de la direction z sera direct ou rétrograde; et cette résultante aura pour valeur numérique le produit de deux facteurs respectivement égaux , le premier au rapport qui existe entre laire du parallélogramme construit sur les côtés /', s, et Taire du losange que l'on peut construire sur les côtés x, y, réduits à l'unité; le second au rapport qui existe entre le cosinus de l'inclinaison du plan de l'angle {/\s) sur le plan des jc , j-, et le sinus de Tinclinaison de l'axe des / sur le même plan.
Considérons, enfin, trois points P, P', F" situés dans l'espace, aux extrémités des rayons vecteurs r, s, i , et supposons la position de chaque point rapportée à trois axes rectangulaires ou obliques des x, j-, z. La résultante, formée avec les neuf coordonnées des trois points P, P', P ", sera déterminée par la formule (-23). D'ailleurs, l'équation (a3) du § IV, jointe à la formule (X, y, z)=: I, donnera
[r,s,t; X,Y,Z] = (/-,j, «)(X, Y, Z) [r, s, i][X,Y, Zj [x,y,z; X, Y, Z] = (X, Y, Z) [x,y,z] [X, Y, Zj.
On aura donc
Donc l'équation f^3) donnera
/ Q\ , , rstlrjSft] ^20j .r, j,2, — .r, j,c, -(- j,/,z, — x, 7, 3,+ a:, j, 3, — x, y , z, =(/,.<.,() j- -,
i" ' y» '-1 et l'on pourra énoncer le théorème suivant :
(64) 7" Théorème. La position d'uu point dans lespace étant l'apportée à trois axes rectangulaires ou obliques des x, ^, z, si l'on désigne par
trois longueurs mesurées, à partir de lorijoine O des coordonnées, sur ces trois axes indéfiniment prolonp,és du côte des x,j\ z positives, puis par
les rayons vecteurs menés de l'origine à trois points quelconques, et par
•^ r ^ Xr ■ ^ r ) ^il J's-, ^s:
les neuf coordonnées de ces trois points, la résultante
^ r y s -Zf — ^ r Xt Zj -(- X s Jt ^r — ^ s Xr ^- 1 + •^t Xr ^s — ^tj s'^r >
formée avec ces neuf coordonnées, sera positive ou négative suivant que le jnouvenient de rotation de r et s autour de t sera direct ou rétrograde ; et cette résultante aura pour valeur numérique le rapport qui existe entre le volume du parallélipipède construit sur les arêtes r, ^, <, et le volume du parallélipipèdeque Ion peui construire sur les arét( s x . y, z, réduites chacune à l'unité.
11 est iion d observer que les théorèmes 5, 6 et 7, relatifs à des coordonnées obliques, peuvent être immédiatement déduits des théorèmes 1, 2, 3, 4i relatifs à des coordonnées rectangulaires. En effet, les trois équations qui servent à transformer des coordonnées obliques en coordonnées rectangulaires, étant du premier degré, il suit du théorème sur les produits de résultantes, déjà inentionué, que la résultante formée avec les coordonnées de trois points choisis arbitrairement dans l'espace obtiendra successivement deux valeurs qui seront entre elles dans un rapport constant, c'est-àdire indépendant des positions i!e ces mêmes points, si, l'origine des coordonnées restant immobile, on rapporte la position d'un point quelconque, d'abord à des coordonnées rectangulaires, puis à des coordonnées obliques. Ajoutons que ce principe ne cessera pas d'être exact, si, en faisant abstraction des coordonnées parallèles à l'un des axes, par exemple à l'axe des z, on considère la résultante formée , non plus avec les neuf coordonnées de trois
points choisis arbitrairement dans l'espace, mais avec les quatre coordonnées de deux points, pourvu qu'en passant des coordonnées obliques aux coordonnées rectangulaires, on ne déplace pas l'axe des z. En effet, il suit de la formule (i3), de la page i44 du troisième volume, que dans le cas où Ion passe d'un premier système de coordonnées rectilignes à un second système, sans déplacer l'un des axes, les coordonnées mesurées parallèlement aux deux autres axes entrent seules dans deux des équations linéaires à laide desquelles la transformation s'effectue ; et 1 on peut appliquer séparément aux quatre coordonnées que ces deux équations servent à transformei-, le théorème sur les produits de résultantes. Gela posé , le rapport
^^^ - lr,s)rs[r,s] '
qui, en vertu de la formule (8), se réduit à l'unité, pour deux points situés dans le plan des coordonnées x et j-, quand ces coordonnées sont rectangulaires, pourra différer de l'unité, mais devra obtenir une valeur constante , c est-à-dire une valeur indépendante des directions attribuées dans le plan donné aux l'ayons vecteurs /• et s, si les coordonnées deviennent obliques. Or, si l'on fait coïncider en direction r et s avec des longueurs x et y, mesurées à partir de 1 origine sur les demi-axes des x et j- positives, on aura
^r = '■, Jr = O, ^s = O, Js = S,
Donc alors le rapport (29) se trouvera réduit à
et le principe énoncé fournira, pour des coordonnées obliques, l'écjuation générale
Vr^ — ■^. Jr __ I__
{r,s)rs[r,s] [x,y]'
qui s'accorde, comme on devait s'y attendre, avec la formule (24)-
Pareillement , si , les directions /•, s n'étant plus renfermées dans le plan des X, j, on nomme
E^ ÙAn D! ,U- l'nn -rnt//.. T. VI. (58=liïr.) 9
trois loDgueurs mesurées , à partir de Torigine , la première sur un axe des z , perpendiculaire ou même oblique au plan des x^ y\ les deux dernières
sur des perpendiculaires an plan des x, y et au plan de l'angle (', -v), le rapport
{r,s, T)rs[r,s\coi{T, z)
qui, en vertu de la formule (12), se réduisait à l'unité, quand les coordonnées étaient rectangulaires, pourra différer de l'unité, mais devra obtenir une valeur constante , c'est-à-dire une valeur indépendante des directions attribuées aux rayons vecteurs /• et s. Or, si Ton fait coïncider, en direction , r et 5 avec les longueurs x, y mesurées, à partir de l'origine, sur les deux axes des X ei y positives , on pourra supposer que T coïncide lui-même avec Z , et l'on aura
^r = r-, Jr = o,
•^ r y s '^ s Xr — ' •^ 1
(,-, s,T) = (r, .V, Z) , [/', .J = (X, y) , ( T^z) = ( Z?z). Donc alors le rapport (29) se trouvera réduit à
(r.sZ)[x,y]cos(Z, z)
et le principe énoncé fournira, |)our des coordonnées obliques, l'équation générale
(r, s, T) rs [r, s] cos ( T, z) [r, s,Z)[\ , y] cos ( Z , z 1
qui s'accorde, comme on devait s'y attendre, avec la formule (aS). Ajoutons que la formule (Sa) comprend évidemment , comme cas particulier, la formule (3o).
Enfin , le rapport
,~o\ J^rXsZ, — Xry,z,-i-a:sj,Zr — .r,j-,z, -H.r, r, z, — ^,y,Zr
qui , en vertu de la formule (i3) , se réduit à l'unité, quand les coordonnée s sont rectangulaires , pourra différer de l'unilé , mais devra encore obtenir une valeur constante, c est-à-dire indépendante des directions r, s, t, si
les coordonnées deviennent obliques. Or, si l'on fait coïncider en direction r, j, t avec des longueurs x, y, z , mesurées à partir de l'origine , sur les demi-axes des x , jr^z positives, on aura
^r = r, jr,= O, Zr = o.
^s = O, jr, = s, z, = O,
^rjr.z, — XrjrtZ,-\- x,y\Zr — x,j,Zt + XijrZ, — x,x,Zr^ rst, {r,s,t) = (x,y, z) = I, [r,s,t]z= [x.y, z];
donc alors le rapport (33) se trouvera réduit à
et le principe énoncé fournira, pour des coordonnées obliques, l'équation générale
^ ' {r,s,t')rst[r,s,t] ~ [x,y, z]'
qui coïncide, comme on devait s y attendre, avec la formule (28).
§ VI. — Des conditions suus lesquelles les résultantes considérées dans lis paragraphes
précédents s'évanouissent.
Les résultantes dont nous avons déterminé les valeurs dans les paragraphes précédents s évanouissent sous certaines conditions, quil est bon de connaître, et que nous allons un instant examiner.
Considérons d'abord la résultante
{ I ) [r, .j ; w . f J = cos (r, u) cos {s, v) — cos (r, p-) cos (s, u) ,
dont les deux termes ont pour facteurs les cosinus de quatre angles, que les directions r, s forment avec les directions u, v. Si les deux angles
sont renfermés dans le même plan , ou dans des plans parallèles ; alors , en vertu de la formule (2) du § IV, jointe au théorème énoncé dans le § II. on aura
(2) [r, s; u,v\=: (r, s) (m , v) sin [r, s) siu {u,v),
(68) et, par suite, la résultante [r,s; u, v\ aura pour valeur numérique le produit
(3) sin (/•,*), sia(M,y).
Si, au contraire, les plans des deux angles
cessent de coïncider ou d'être parallèles entre eux ; alors , en nommant i l'inclinaison mutuelle de ces deux plans, ou conclura de la formule (i3) du § IV, jointe au théorème du § II, que la résultante [r, s; u ,k>\ a pour valeur numérique le produit
(4) sin (r, s) sin (m , v) cos i .
En conséquence, pour faire évanouir la résultante \i\s\ u. l'J et vérifier la condition
il sera nécessaire et il suffira de réduire à zéro lun des deux facteurs
sin(r,j), sin(M,ç'),
quand les deux angles (r, j) , {u,v) seront compris dans le même plan; et, dans le cas contraire, lun des trois facteurs
sin (r, s) , sin [u, v) , cos i . D'ailleurs, l'équation
(6) sin {r,s) = o,
de laquelle on tire
(/', ,ir) = o ou 77 ,
exprime que les directions 7-, s se mesurent sur une même droite, ou du moins sur des droites parallèles; et l'équation
(y) cos i = o ,
de laquelle on tire
( 69 ) exprime que les plans des Heiix angles
sont perpendiculaires entre eux. Enfin, en vertu de 1 équation (i i, la condition (5) pourra être présentée sous l'une quelconque des deux formes
(8) cos (r, u) cos [s, t^) — cos (/■, c) cos [s, u) ^ o,
cos (/■,«) cos {s, II)
COS {r, !■ ] cos (s, V )
tJeia posé, ou pourra évidemment énoncer la proposition suivante:
i*"^ Théorème. Les longueurs 7^, v étant mesurées sur des droites distinctes et non parallèles , pour que deux autres longueurs /', i- se mesiu'ent, ou sur la même droite, ou sur des droites parallèles, ou du moins forment entre elles un angle(/', 5) dont le plan soit perpendiculaire an plan de l'angle (/i, i^), il est nécessaire et il suffit que les quatre cosinus
cos {r, u) , cos (/■, ('), cos (s, u) , cos(^, i^)
i-eprésentent les <[uatre termes d'une proportion jjéométrique, de manière à vérifier la formule ( 9).
Corollaire. Comme on vient de le voir, la iormule (9), reniai(piable par son élégance et sa simplicité, se déduit immédiatement de l'équation (2), dans le cas particulier on les directions r, s sont renfermées dans le plan
de l'angle [u, v). Ajoutons que, de ce cas particulier on peut aisément passer au cas général on les directions /', .v sont situées hors de ce plan, à l'aide des considérations suivantes.
Soient , dans le cas général ,
les projections absolues de r et de s sur le plan de l'angle {11, v). l'our que les directions /', s se mesurent sur une même droite mi sur des droites [larallèles, ou du moins forment entre elles un angle (/', j) dont le plan soit perpendiculaire au plan de l'angle («i, v) , il sera nécessaire et il suffira, évidemment , que les projections /^ , ç se mesurent sur la même droite et sur des droites parallèles; par conséquent, il sera nécessaire et il suffira rpie \'nn ail
, V cos ( p, «) cos \ ; , «)
('o) — -hs- = ât-
cos(p, p) cos(;, i-)
( 70) Mais , d'autre part, le plan qui renfermera les trois angles
étant perpendiculaire au plan de l'an^çle (r, p), le théorème 7 de la page 3i i du troisième volume donnera
cos (r. II] cos ( '■, I') ,, ^,
^A ^ — -TT = cos[r,p),
COs(p,«) COs(p, I')
par conséquent ,
cos ( r, u) cos ( p , u)
cos ( /■, «') cos ( p , «"}
et l'on trouvera, pareillement,
cos ( s, u) cos ( 5 , u)
cos(^, v] cos (ç, I')
Or il est clair qu en vertu de ces dernières formules, l'équation (10) coïncidera précisément avec l'équation (9).
Considérons maintenant la résultante
= COS (r, u) cos [s, i>) cos {t,w) — cos (/■, u) cos {s, iv) cos (< , i>)
(il) \ /\ /\ /\ ^ /\ /\ /s
■ cos (r, p) cos (^, wjcosf^, u) — cos (r, yi cos [s, u) cos (<,tv)
cos (r, W') cos ('j', ?<) cos (< , f ) — cos (r, w) cos (.y, i>) cos (< , ?; } ,
dont les six termes ont pour facteurs les cosinus des neuf angles que les directions r, s, t forment avec les directions u, i>,w. En vertu de la formulé (aS) du § IV, jointe au théorème énoncé dans le § II , on aura
[/•, s, t; IL, (>, îv] = (r, s,t)(u,v, w) [r, j, t\ \u, v, w\ ;
et , par suite , la résultante [r, s, t; u, i',w] aura pour valeur numérique le produit
des volumes des deux parallélipipèdes, que l'on peut construire , d'une part, sur les arêtes r,s^t, d'autre part, sur les arêtes u, f , h' , en supposant ces arêtes réduites chacune à l'unité, et mesurées, à partir d'une même origine, dans des directions parallèles à celles qui leur étaient assignées. En conséquence, pour faire évanouir la résultante [r,s, t: n, t», w] et vérifier la
( 7' ) condition
il sera nécessaire et il suffira de réduire à zéro l'uu des deux volumes
D'ailleurs, l'équation
qu'on obtient en égalant à zéro le volume [r, 5, t], est précisément la condition nécessaire et suffisante pour que des longueurs, mesurées à partir d'un même point dans des directions parallèles à celles de r, s, t, soient renfermées dans un plan unique, ou, en d'autres ternies, pour que les trois directions r^ s, t soient parallèles à un même plan. Cela posé, on pourra évidemment énoncer la proposition suivante :
2*^ Théorème. liCS longueurs 11, i\ îv étant mesurées sui' des droites non pai'allèles à un même plan, pour que les directions de trois autres longueurs r,s, t soient, ou comprises ilans un même plan , ou du moins parallèles à un même plan, il est nécessaire et il suffit que la résultante des cosinus des neuf angles que les directions /■, s, t forment avec les directions u, V, w, s'évanouisse, ou, en d autres termes, que l'on ait
i CGSO', m)cosi;'5', \>^ COSf<,lVi — cos (/•, u) cos(j,tv) COS J ^, l') v'4j \ -I- cos(r, i' ) cosfi', tt') COS ^,iv) — cos (r. t»; eus [s, u) cos [t., w
\ ■+- cos(r, w) cos[^, u) cos(ï, u) — cos(/-, iv) cos [s, i' ; cos (f , u) =0.
Corollaire. On pourrait, avec la plus {;raiule facilité, arriver encore a la formule (14)5 f" raisonnant comme il suit.
Rapportons les positions des divers points de l'espace à trois axes des x. j, z menés par un point quelconque O, et, en attribuant aux demi-axes des x, j, positives des directions parallèles à celles cic u , i', iv, nommons
les coordonnées dune luuguem- 1 finie, mais différente de zéro, et mesurée sur une droite quelconque à partir du point O. La formule (t3)de la page i43 du troisième volume donnera
i cos(/', X.) z= X COS (r,u) ■+- xj cos (r, (')-(-» cos ^r, w).
( 73 ) Donc, si l'angle {r,v) se réduit à un droit, on aura simplement
i- cos (/-,«) + -If cos (/■, v) + - cos (r, w) = o.
J1 ailleurs, pour que les directions r, j, t soient parallèles à un plan unique, il est nécessaire et il suffit qu'elles forment trois angles droits
avec u-ae direction -o perpendiculaire à ce plan ; par conséquent , il est nécessaire et il suffit qu'elles vérifient trois équations de la forme
1 A cos (r, n) + -i) cos (r, i>)
( .V. cos (s,u) -+- |( cos [S, v)
z cos (/', ^v) = o ,
(i 5) ( ce- cos (s,u) -+- |( cos (.y, i>) -h ~ cos (*, tv) = o,
y .X cos (t , ;<) + t| cos {t ,i>) -h ~ cos (i, w) = o.
Enfin , lorsque la longueur ■<-, comme nous le supposons ici, diffère de zéro, les trois coordonnées
de l'extrémité de cette longueur, mesurées sur trois axes non parallèles à un même plan, ne peuvent s'évanouir à la fois ; et alors les trois équations (i5) ne peuvent subsister simultanément que dans le cas où les cosimis par lesquels y sont représentés les coefficients de x ,y, z, vérifient la formule (i 4)-
Clicrclious maintenant les conditions sous lesquelles s'évanouissent les résultantes que l'on peut construire avec les coordonnées de deux ou trois points, dont les positions sont rapportées à des axes rectangulaires ou obliques des X ^ j^ z.
Représentons par les trois lettres
les rayons vecteurs menés de l'origine à trois points donnés, et désignons, à l'aide de ces mêmes lettres, placées comme indices au bas A& x ^ y et r, les coordonnées de ces trois points. Enfin, soient
trois longueurs, mesurées à partir de l'origine, sur les ilemi-axes des x ^ y\ z positives, et T une autre longueur mesurée sur une perpendiculaire au plan
(73) de l'angle {r,s). Les formules (a6) et (28) du § V donneront
, ^x / /TIN '■■^['■i -s] cos (T,z)
l^'J] cos(Z,z) et
{ > 7; -i^rjj z, — -f, r ' 2, + ^,r, Zr — .i\=r' z, + .v,Xr z, — ^Tj/j z^ = ( r, s, t ) -— r- •
Cela posé, lequation de condition
(18) Xry, — X,Jr^O
pourra être réduite à
(19) rs [r, s\ ces [T^i) = o.
Donc, pour qu'elle soit vérifiée, il sera nécessaire et il suffira que l'un des facteurs
/•, .s, \r,s\, cos(Z',z)
s évanouisse. D ailleurs, réduire à zéro lun des rayons vecteuis r, s^ c'est supposer que l'un des points donnés coïncide avec l'origine. Quant à la condition
que l'on peut encore écrire comme il suit ,
sin (r, s) = o,
elle exprime que les longueurs /•, s se mesurent sur une même droite. Enfin . la condition
cos ( T, z) = o
e.xprime que la direction T, perpendiculaire au plan de l'angle (r,i), est aussi perpendiculaire à Taxe des z, ou, en d'antres termes, que le plan>de
l'angle (r, s) passe par l'axe des z.
Quant à l'équation de condition
(20) o-^j.z, — a:,. j,z., -HO- .,/,=, — x,jr-f + ^tjr^s — -^t/j-, =0, elle pourra être réduite, en vertu de la formule (17), à
(21) rst [r, s, t]=z o.
i".!. u/ln <;. d, i'/iri. .«ûjft., T IV. (;j9« livr.) . lO
Donc, pour quelle soit vérifiée, il sera nécessaire et il suffira que l'un des facteurs
se réduise à zéro; pai' conséquent , il sera nécessaire et il suffira que l'un des points donnés coïncide avec l'origine , ou que le volume du parallélipipéde construit sur trois arêtes parallèles à r, s, t s'évanouisse, c'est-à-dire, en d'autres termes, que les trois arêtes r, s, t deviennent parallèles à un même pian.
Eu égard aux reuiarcpies quou vient de faire, on pourra évidemment énoncer les propositions suivantes :
3" Théorème. \,a jjosition d'un point étant rapportée à trois axes des x , j-, z qui se coupent sous des angles quelconques, pour que deux points séparés de l'origine, l'un par la distance i\ l'autre par la distance a-, soient renfermés dans un plan qui passe par l'origine, il est nécessaire et il suffit que les coordonnées
^ SI y i
de ces deux points, mesurées sur les axes des j: et y\ vérifient la condition
(22) X,J, — X.Jr — O.
4* Théorèint. La position d'un point étant rapportée à trois axes Ae'ix ,j. z qui se coupent sous des angles quelconques, pour que trois points séparés de l'origine par les distances
/•, s ut t
soient renfermés dans un plan qui passe par l'origine, il est nécessaire et il suffit que les coordonnées
X f , y i, z i de ces mêmes points vérifient la condition
(23; Xrjs^^t — X,J', Z, -f- X,f,Z, - XsJrZ, + X.J.Z^ - X,J,Zr = O.
On pourrait encore, avec la plus grande facilité, établir les théorèmes 3 et 4, en raisonnant comme il suit.
Soient toujours
trois longueurs mesurées, à partir de l'origine, sur les demi-axes des coordonnées positives, et t ime autre longueur mesurée, à partir de la même origine, dans une direction quelconque. Si Ion représente par .r,^, 2 les coordonnées d'un point situé dans le plan mené par cette origine perpendiculairement à i , la première des équations (i 5) subsistera, quand on y remplacera «, i>, w par X, y, z; /■ par f , et v , ,, , c par .r, j, z. On aura donc
(9.4) X cos (i , x) + jy cos (' , y ) -(- z cos (i-, z) =^ o.
Ajoutons que la formule (24) , c est-à-dire l'équation du pian mené par 1 origine perpendiculairement à >t, se réduira simplement à
(îS) X cos(v, x) H- y cos (t, y) = o ,
si ce plan passe par l'axe des z, puisque alors, i étant perpendiculaire à z, oti aura
(v, z) = -■> COS ft, z) = o.
Cela posé, pour que les deux points séparés de l'origine par les distances / et s soient renfermés dans un plan qui passe par l'axe des z, il sera nécessaire et il suffira que leurs coordonnées
mesurées sur les axes des x et j^ vérifient deux équations semblables à l'équation (aS), c'est-à-dire deux équations de la forme
x,- cos (. , x) -H j,- cos (>. , y ) = o , (26)
( X, cosu, x,i -t- j-j cos(v,y i = o.
Pareillement, pour que les trois points séparés de l'origine par les distances r, s, t soient renfermés dans un même plan qui passe par l'origine , il sera nécessaire et il suffira que leurs coordonnées
X r -i Jr 1 ^r t
•^ 1 1 jt 1 "t >
( 76) vérifient trois équations semblables à l'équation (24), c'est-à-dire trois équations de la forme
X, cos (v, x) -f- y,. 00s (v, y ; -1- z^ cos (i , z) = o ,
l^7J \ jr^cos(>-,x) + J's cos(v,y) + Sj cos(t, z) =0,
JC; cos (i,x) + j', cos (Y, y) + Z[ cos (<, z) = o.
Or les trois angles
ne pouvant être droits tous les trois, lorsque les coordonnées x, y, z se mesurent, coniine ou doit le supposer, sur trois axes non compris dans un même plan, les cosinus de ces trois angles ne peuveut s'évanouir à la lois; et, par suite, le système des formules (27) entraîne la condition (20).
§ VII . — Sur lus relations qui existent entre tes coefficients des variables dans les deux espèces d'équations à l'aide desquelles on passe d'un premier système de coordonnées rectilignes à un second, et réciproquement.
Parmi les problèmes dont la solution introduit dans le calcul des résultantes formées avec les coordonnées de deux ou trois points, on doit remarquer une question d'ailleurs facile à résoudre , celle dont l'objet est d'établir les relations qui existent entre les coefficients renfermés dans les deux espèces d équations à l'aide desquelles on passe d'un premier système de cooi'données rectilignes à un secontl , et réciproquement. Occupons-nous un moment de cette question et des formules qui s'y rajjportent.
D'après ce qui a été dit dans un précédent Mémoire [voir le S*" volume) , si l'on nomme
.r, y, z les coordonnées rectilignes d un point quelconque P, relatives à trois axes rectangulaires ou obliques, menés par une certaine origine O ;
x, y, z trois longueurs mesiuées, àpartirdecetteorigine, surlesaxesdesjT, y, z indéfiniment prolongé^; du côté des coonlonnées positives;
X, Y, Z trois longueurs mesurées, à partir de la même origine, sur les axes conjugués, c'est-à-dire sur trois nouveaux axes respectivement perpendicnlaires aux plans des y, z , des z , ;»: et des x, y;
( 77 ') et si l'on représente par
ce que deviennent
quanii au système des axes tiounés on substitue un nouveau système d'axes, ! orifrioe restant la même , on aura
/ X, := (ÏX -+- bj -i- CZ,
' z, = a"x+ f'"j-^ c"z, les valeurs des coefficients
étant fournies par les équations
cos(x,X,) r cos(y, X,j cos(z,X,) a = ^^^-^ f> = ;;^-» c = 7^.
COS IX,, X,) cos(x,,X,) cos(x,, X,)
/„■ / ^,, cos:^, Y,) L, ^-os^y» Y,) ■ , C"S(2, Y,)
COS
COS
COS
cos(y,,Y,j COS (y,, Y,} cos y,, Y,}
cosix, Z,) ,„ cos(y, Z,) cos(z, Z,) (7 = -R — ' " — X — ' c = -z- — .
cos(z,, Z,j cos^z,, z,) cos(/.,, z,
et, réciproquement,
cos ( /. , z )
= Ax, + /^'>',
= ex - b'y,
les valeurs des coefficients
, yy, /^', Z^",
étant fournies par les équations
/ ^^cos(x,Jx;^ l cos(x,X)
„ cos(x„Y;, ^' — /s
cos (y, Y!
/ « ''•os(y,rx^ cos^x, X;
^, cos(y„Y) cos (y, Y )
„ cos{z„X) \ cos(x,X)
^, cos(z„Y) cosfy.'^Y)
cos ( z , z ) ^„ cos(z„ z)
cos(z, Z)
( 78 ) D'ailleurs, la nature de ces divers coefficients est facile à reconnaître; et, d'abord, en vertu des formules (i), les coefficients renfermés dans une même lifne verticale du tableau
représentent évidemment ce que deviennent les coordonnées
du point P, quand on a réduit l'une des trois variables
à l'unité, et les deux autres à zéro, c'est-à-dire, en d'autres termes, quand on fait comcider le point P avec Textrémité de Tune des longueurs
réduites à l'unité. Pareillement, en vertu des formules (3), les ternies renfermés dans une même ligne verticale du tableau
représentent ce que deviennent les coordonnées
du point P, quand on fait comcider ce point avec l'extrémité de l'une des longueurs
réduites à 1 unité. x\insi, les divers coefficients renfermés dans les équations (i) et (3) se réduisent aux projections algébriques que l'on obtient quand on projette les longueurs x, y, z réduites à l'unité, sur les directions x/, y, , z, , a l'aide de plans perpendiculaires aux directions X, Y, Z, ou les longueurs x,, y,, z, réduites à l'unité, sur les directions x, y, z, à l'aide de plans perpendiculaires aux directions X, Y, Z. Cette seule remarque fournit un moyen simple de retrouver aisément et de reproduire à volonté l'une
^ 79 ) quelconque des toimules (2) ou (4). En effet, si l'on désigne par
trois longueurs, dont chacune se mesure dans une direction déterminée, la projection algébrique de rsuri', effectuée k l'aide de plans perpendiculaires à t, sera [voir le S*" volume, page r4o)
cos ( r, t] r
cos s, f)
Donc, si la longueur/- se réduit à l'unité, sa projection algébrique sera leprésentée par le rapport
cos [r, t) cos (s, t)
Gela posé, le coefficient a, par exemple, n'étant autre chose que la projection algébrique de x sur x, , effectuée à l'aide de plans perpendiculaires à X et correspondante à la valeiu' 1 de x, on aura nécessairement
cos; X, X.) « = ^^^
