PARTIE. — GEOMETRIE A BEUX DIMENSIONS

Donc le lieu des points w est tel que le rapport des distances de chacun àe ses points aux deux points fixes A, A', conserve une valeur constante. Ce lien est un cercle dont le centre se trouve sur la droite AA'.

2. Les extrémités A, B {fig- 17) d'une droite de longueur fixe s'appuient constamment sur les côtés d'un

angle donnée trouver le lieu des points de rencontre des perpendiculaires menées, par les points A et B, aux côtés de l'angle fixe.

Prenons comme axes de coordonnées les bissectrices de l'angle donné, nous poserons

AOiT^:;», tang!():^«;

les équations des droites OA, OB sont

Celles des droites AM, BM sont, en appelant ï, et (j, les

abscisses des poinls A et B,

[AM] «(7-aX) + C.^-X)=o.

[BM] a(j-«i.)-(^'-l^)--o;

et l'on a entre X et [j. la relation

qui exprime que le segment AB conserve une longueur fiice (/. Nous obtiendrons l'équation du lieu du point M en éliminant X et y. entre les équations

l{a^-i-i) — {ay-]-a:) = o, ;.(«^ + + («r-^)^o,

Nous formerons les fonctions (î. -H )i.), (X — y.), et nous en porterons la valeur dans la troisième.

Le lieu du point M est Tin cercle ayant pour centre l'oi gine et pour rayon

Solution géométrique. — La circonférence circonscrite au triangle AOB conserve un rayon constant égal à -^—— quand AB se déplace suivant la loi énoncée.

Or, le quadrilatère OAMB est inscriplible, le point M est sur cette circonférence qui est dès lors le lieu cherché.

i. DIIIENSIOISS.

3. Unedroite ÂB (Jig. 18) se déplace en s'appuyant sur les droites fixes OM, ON, de façon que le triangle AOB

conserve un périmètre constant. — Déterminer la loi de déplacement de cette droite.

Prenons comme axes de coordonnées les bissectrices des droites OM, ON.

Soil ç l'angle MOa;, et

a:cosX-|-/sinX-|j.r^o l'équation de la droite AB, X et \^ étant dcuit paramètres variables.

Les coordonnées du point A, intersection des droites

xcos>.+7sinï — |j. = o, / — lang^.a^ =^0,

' cosï. -\- langip sin). cos), + laiig^sioX

De même les coordonnées du point B, inlersection des

^cosX -t-y sin), — ;j. = 0, y -\- tangs.a^ -=0,

\^ tang?

* cosX — ■ tangfp.sinï. cosX — tang^sin).

Nous obtiendrons la relation qui existe entre X el y;, en exprimant que le périmètre du triangle AOB est constant ;

r(/,-rO-

ï— [^V' -t-tang=(j> __ [1.

' cosX+ tangQ sinX cosç(cos). + tangqisin.). )

on a donc

is'ï, — tang-tp sin'X/

cosfp cûs^X— tang^cp si- ,,

qu'on peut écrire, en résolvant par rapport à \i,,

cos-X — tanff'ffi sin^X

u. ^ p cosœ r ^ —

' '^ ^ cosX -\- sin9

À — tang^y(i — cosU)

^=/>COStp