COS

L'équation de la droite AB, rapportée ans nouveaux axes, est donc

^'cosX + y sinX — ^tangnj=io,

ce qui montre qu'elle reste à la distance p tang ip du point C.

Donc la droite AB roule sur un cercle de rayon />tangç, ayant son centre au point C dont l'abscisse est

Solution géométrique. — Menons le cercle exinscrit au triangle AOB ; on sait que AE = AD ; BD :i^ BF, doue OE~p, de mi- périmètre fixe; dès lors, le cercle exinscrit est fisc ; on a

00=-^, CE = ptang'4^.

La droite AB roule sur ce cercle.

THANSFOriHATION E

RAïOSS VliCTEIlRS HECIPROQUES.

4. On donne un point et une droite MN ; on mène une droite OX rencontrant MN en A.; on mène une droite OY faisant avec OX un angle fixe 6 et ton prend un point B tel que

OA.OBz=:KS

K.^ étant une quantité fixe.

On demande :

(«) Quel est le lieu du point B quand OX tourne autour du point O ;

{b) Quel est le lieu du point lî quand la droite MN est

remplacée par u diculaire à MN,

(a) Prenons {fig. i g) coi menée par le point 0.

Soit (1)

l'équation de la droite MiN ;

l'équalion de OX est

le ayant son centre sur O x perpenaxe des y la parallèle à MN

A DEUX. DIHIÎNSIO-VS.

Les coordonnées du point A sont On a donc

ôâ' — (^H' + ^')'

Soit

l'équation de OY; on a, entre), el ;j, la reialion (i) tango 3= -ji^^.

Si l'on appelle a: et y les coordonnées du point B, on a

donc:

(5) rf=(: + ),^)(^^-Hr^) = K*.

On obtiendra l'équation du lieu du point 13; en élir nant X, [i, entre les équaùons (3), (4)i (5).

Il vient

»+71ang9

On a donc

^2 ""--^^'^im^r^-']-

d^(x--h y-)^(i + tang^O) — K*(a;4-y ta

ngO)= = o;

[rf(^5+y:)y'i4-Laag^0-K^(a;+jM.:

^ngO)]

Le Heu se décompose donc en deux cercles :

(8) -iL(^=+^.)K=(^ + ^-tangO) = o.

Ils ont même rayon et leurs centres sont symétriquement placés par rapport à l'origine; il suffit de considérer le premier; toutes les conclusions seront vraies pour !e second, obtenu en portant la longueur OB en sens contraire de ceUii que nous avons adopté.

Solution géométrique. — Le lieu que nous éludions n'est autre que le transformé par rayons vecteurs réciproques de la droite MN, (O étant le pôle, K^ la puissance) que l'on a fait tourner de l'angle 6 autour du point O.

(6) La seconde question, traitée de la mâme façon (jue la première, conduit à une circonférence : c'est encore le Heu transformé par rayons vecteurs réciproques du cercle fixe, auquel on a imprimé un déplacement angulaire de l'angle 6 autour du point O.

La transformée d'une circonférence est une circonférence homolliétiquc de la première, ayant le point O comme centre

d'homothétie et -^ pour rapport d'iiomothétle ; {d^ — /'*)

est la puissance du point O par rapport au cercle fixe (').

(') Nous remojons ceuï de nos lecteurs qui np seraient pas familiers avec les piopiietes géométriques que noua employons, en particulier avec la transformation par rayons vecteurs récipmques, aux Théories et questions de Géométrie, que notre ancien Mdiire, M L ^[ALEïx a publiées. ( LithogiaphiP Dubos, cour du Commerce j

Annii. — géowéthho a deux dimensio>^s.