DISCUSSION DE CONIQUES

Rappel de résultats.

l'équation générale des coorbes du second ordre, on peiil écr cette équation sous la forme

(3) (Aa^-HBj-H-D)i + (AC— Bi)jS + a(AE — BD)j-i- AF-Dî =

a = AC - B', « = AE — BD-

l'équation (3) devient

(A.r + Bj-D)^-^S7^+^cj'-i-/-'i- SI SJo, on a, comme plus haut, en posant X = A3!-t-B/-i-D, (3) 5X^ + (Sr-4-e)=^3/-e' = o;

dès lors, en posant 5j' + e = Y, et en remarquant que

3/- e' - A(ACr -I- aBDE - AE^- CD'- FB^) = Ai,

A étant le discriminant de la fonction, premier membre de (i) peut écrire

ce qui COlKlo

it aux formes

x<tlZlll\\ '"•""••■

X^ - Y! + K2 = ; hyperbole

f.-y. Zl:]""'"-

Si 8 = o,

équation (?) conduit à la forme

(lO)

X=-L- Y = o, Parabole;

en appelant Si, en mê

ci Y la fonction (2rf/+/).

ne temps que 8 = o, on a tf = o, on con

Xs-i-(AF — D') =

AF-

-Dî<o

X2^hKi = o s

AF

AF-

Ces trois dernières cqualions représentent des droites parallèles, (la) rëelles, (i3) imaginaires, (i4) confondues.

Nous appellerons 6 = AC — B* la fonction caractéristique, ou simplement la caractéristique.

Le tableau suivant résume les résultats de la discussion des formes que nous venons d'obtenir ;

a > o Ellipses

\ imaginaires, 8 = Parabole effective, si 6 < o Hyperbole effective, si

;i Ai<o\ AA> o )

Hyperbole équilatère.

i Imaginaires (Ellipse évanouissante), si 5 > o

Réelles se coupant, si S < o

1 réelles distinctes, si AF — D^ < o Parallèles ^ ~. o\ confondues, si AF ^ D^ = o

76 l" PAKTIE. — GBOMBTniE i DEDX

Remarque impoktante. — Il est essentiel dans le calcul des fonctions, S, à, AF — D', qui donnent parfois naissance à des transformations, de ne Jamais changer le signe de ces fonctions. Ce changement de signe renverserait les résultats obtenus et donnerait des conclusions fausses.

I. —- Marche a suivre pour la discussion d umk iîquation A cojiPi'iciF.NTS variables.