D2^-^2EJ^-F

s'obtiendront en remplaçant les coefficients D, lï, F par les fonc-

nu 1'" PARTIE. — GKOUETKIE A. DEUX DUIESSIONS.

tioas X', Y', Z' permutées enlre elles ; six équations sont à discuter ;

aXiCï + afcZa:/ — cY/ï + arfYa^H-aâX/— /Z = o, aXa^5-HaéZay-i-cY7' + a(iXa^-H2eZj-h/Y = o, raXa;2 -t- aiZay -!- cYjî -h 2 i/Z a; -h aeXj h- /Y = o, oXa'î -^- aèZay h- cYj* -h 2 dZ 37 ^ ae Y/ ^/X = o, aX»'' -1- sèZay + cY/s + 2 rfYa^ -i- aeZ/ -^/X := o.

Un cas intéressant est celui où les coefficients numériques a, b, . ■ , / sont égaus entre eus. Nous indiquerons le résultai relatif à ce cas chaque fois qu'il sera utile à connaître.

{a) Soit rtXa^^-r-aôZa;7^-cY/-^-2<:/X^■-^2eY7 i-/Z = o

l'éqitation de la conique F.

On peut écrire le discriminant de la fonction premier membre

A = {acf-^ 2 bde)XyZ—ae-XY' — cd-YZ- —Jb''Z^

r sera donc un système de droites quand le point M sera mobile sur la cubique C

XY (IZ -h i^-X -r- vY) - TuZ' — o.

Cette équation met en évidence la droite des 3 points d'inflexion Z ^^ o et les tangentes en ces points :

X = o, Y 1=0, XZ^[iXH-vY = o;etc.

[b) Soit aXœ^ + 2bZ:ej + cYf- ^ 2dY œ ^leXy -[■ /Z = Q l'équation de la conique F.

CllAP. IV. — BlSCUSSiOS DE GOXIOUES. 111

Ce sera un sjsième de deux droites si le point M se meiil sur la courlje C dont l'équation est

),xyz -H i^x' + vY' + uz^ — o,

cubique non singulière {/orme canonique de Salnion. — Courbes planes).

Dans le cas particulier où les coefficients numériques «, 6, . . ../ sont égaux, le discriminant devient

3XYZ — X^ — Y^— Z% et la cubique précédente se décompose en une droite

X + Y + Z --: o cl une conique

X^ -4- Y- + Z' — ZX - ZY — XY ^- o.

l'équation de la conique F-

La cubique C, sur laquelle doit se mouvoir le point M pour que r soit un système de droites, a pour équation

Z-(XX + f».Y) — XY(X'X -1- ;j.'Y) =-- o,

et l'on a en évidence trois tangentes