Application à un exemple

Discuter la nature des coniques dont l'équation est

le point M, dont les coordonnées sont a, p, étant mobile dans le plan.

(«) La conique représentée par cette équation sera une parabole si le point M se meut lui-même sur la conique donL l'équation est

ccLle courbe est tangente ans droites

à leur intersection, avec la droite ^ :^ o.

L'équation de la conique caractéristique peut s'écrire

c'est l'équation d'une hyperbole symétrique par rapport l'axe O/, dont le centre a pour ordonnée

U, ~ Ex. de Gconi, anc

cL dont les directions asympto tiques sont

Ces cléments permettent de construire la courbe roprésc. lée ci-dessous {fig. 28).

(h) La conique (1) sera une ellipse pour toutes les pot

tions du point M qui rendent positive la fonction

M doit donc se mouvoir dans la région du plan où ne se trouve pas l'origine.

Dans la région de l'origine, au contraire, ia conique est une hyperbole.

La conique étudiée sera une hyperbole équilatèrc, si le point M est mobile sur la droite

yGoosle

. — DISliUSSIO

c'est-à-dire sur l'axe des y.

Enfin, elle sera un cercle nuand ie point 'SI coïncidera a le point commun aux droites

Ce point est rejeté à l'infini dans la direction O.r.

Syslèmes de droites. — La conique étudiée devient un système de droites quand le point (a, fl) se déplace sur le lieu géométrique dont l'équation est

A r- (a ^ p - .) (a - p H- .) ï - (a + r. - 1) ■,} ~- -jSf ■-. o ;

c'est-à-dire

La seconde partie du lieu est une hyperbole asymptote à lu droite

et tangente à la droite

à sa rencontre avec

elle est donc tangente à l'hyperbole S^o (résullat prévi plus haut, p. 77. ^ Rem.).

Désignons par H l'hyperbole S = o et par H' celle ([ui J'ai partie de

lEUS BIBIENSIONS.

<[uand le point {%, ^) {fig. 29) se ment à l'intérieur de Th}perbole H, la conique étudiée est une ellipse :

Réelle poiir les régions extérieures n H'; elles sonL hachurées \erlicalement ;

Imasinaire pour les régions iutérii ont

hachurées horizontalement.

Quand (a, p) vient en C, la conique se compose de deux droites parallèles imaginaires.

Quand (a, &) est extérieur à l'hyperhole H (région non hachurée), la conique étudiée est une hyperbole qui se réduit à deux droites rectangulaires, si le point M (a, p) est sur Oy.