Ëliminant du premier degré

ï,e cas le plus simple qui se présente est eelui où [l'on a à éliminer un paramètre entre deux équations du premier degré par rapport à ce paramètre.

Si l'on appelle a: et ^ les coordonnées d'un point du lieu cherché, les équations auxiliaires seront, dans ce cas, de la forme

ou

l'éliminant de X s'écrit

AB' — BA' ~ o

fi'^, y)'^' i«^, y) ~ '\'i«^> y)'^' i^' y) =o-

Résultat général. — Tout lieu géométrique, représenté par une équation de cette ibrme, passe par les points d'intersection de

p l4'(^,/)=o, \i{x,y) = o; et de

ce qui s'accorde, d'ailleurs, avec ce que nous avons dit plus haut (Rem. — p. i o).

On donne le nom de lieus auxiliaires aux lieux géomé-

triques dont les liquations sont

On rencontrera souvent des lieux du second degré sous cette forme : les lieux auxiliaires

sont, dans ce cas, des droites ; l'équation

met alors en évidence quatre points fixes du lieu.

Nous verrons quel parti on tire de cette propriété générale, pour la détermination géométrique des coniques.

Dans le cas où les lieux auxiliaires

<f'{x,j) = o, Ka:', j) = o sont identiques, l'équation (i) prend la forme

Le lieu qu'elle représente est alors tangent aux lieux

m{a:,y) — o, ^y{x,y)^o à leurs rencontres avec le lieu auxiliaire 4-{j;,y) = o.

En chacun des points communs, on a, en etfet, deux points confondus, sur les liens

ce qui constitue le contact.

Enfin, dans le cas où l'équation (i) prend la lornie

le lieu qu'elle représente se décompose en deux autres dont

l4 V^ P.VRTIE, — GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS.

les équations sont

Exemple. — L'équation

Fis. I.

est celle d'une courbe du second ordre passant aux points c aus quatre droites

c'est-à-dire, en A, B, G, B, {Jlg. i).

Si la droite CD se rapproche de AB jusqu'à coïncider i

et la courbe est tangente aux droites

aux points A, B (Jig- 2) de rencontre avec la droite double

2, — Élimination de deux paramètres entre trois équations dont deux sont linéaires.

On rencontrera certains cas dans lesquels on devra éliminer deux paramètres entre trois équations : deux de ces équations étant du premier degré par rapport aux paramètres, la troisième de degré quelconque.

Soient X et ]j. les paramètres variables,

les équations auxiliaires.

On tirera des deux premières

liC — Cli' ~ CA' ~ AC '"" AB' — BA'

et l'on portera ces valeurs dans l'équation

Le résultat obtenu est l'équation du lieu.

Remarque, — Il sera souvent avantageux de rendre préalablement homogènes les équations auxiliaires, ati moyen d'un troisième paramètre •/ et de remplacer, dans

yGoosle

l6 r= PARTIE. — GÉOMÉTRIE A BBUX DIMENSIONS.

les paramètres À, \i., v par les quantités proportionnelles

BC'~CB', CA' — AC, AB' — BA'; l'équation obtenue ainsi est écrite sous forme entière.