H 1'^ PARTIE, — GÉOMÉTRIE A DEUX IHMEKSIOMS
En effet, donnons à ). une valeur déterminée l, nous obtenons deux lieux particuliers
et si (a,p) sont les coordonnées d'un point, M, commun à ces deux lieux, {a, p) vérifient
car les deux équations en 7.
ont alors la racine commune X ;= ^;
a" Tout point (x, ^), appartenant au lieu dont l'équation est
fait partie du système des points communs aux lieux auxiliaires variables
c'est-à-dire qu'il existe une valeur déterminée X =; Z, donnant les lieux particuliers
tels que le point (2, [3) se tronve parmi leurs points com-
En effet, les équations
n'ont pas, en général, de racine commune en \; mais si les quantités a, ^ sont choisies de telle sorte que l'équation
soit
satisfaite,
les équations
particulièi
rf,\)-^o
ont
une
racii
le commune;
la valeur
coni
.muiw
;, sai
lisfait a
11 X coni
litiona énc
V 'k= l de celle racine oncées plus liant.
, en égalant à o l'éliminant du paramètre variable, entre le système des équations auxiliaires (établies conformément à l'énoncé d'une question relative à la recherche d'un lieu géométrique), on établit la condition néces- Biire et suffisante pour que les coordonnées (ic, /), d'un point du plan, satisfassent aux équations algébriques traduisant les conditions géométriques imposi5es. Cette condition nécessaire et suffisante,
est l'équation du lieu géométrique étudié.
Remahoub 1, — Les équations indiquées plus haut
qui expriment les coordonnées d'un point quelconque du lieu en fonction du paramètre variable X, seront employées (chaque fois qu'on pourra expliciter les fonctions F et ij;) quand on voudradélerminer les points du lieu qui correspondent à des valeurs données de ce paramètre; ou encore lorsqu'on voudra distinguer les parties de ce même lien qui correspondent aux valeurs du paramètre comprises entre des limites données, etc.
tO I" PART[E. — GÉOMÉTftIE \ DEUX DIMBSSIONS,
Nous citerons comme exemples :
1" La distinctiott des parties du lieu correspondant à des valeucs réelles du paramètre de celles qui correspondent à des valeurs imaginaires;
2" La distinction, dans l'étude du lieu des centres d'un système de coniques, des pointa provenant des centres d'ellipses, de ceui. qui provieunent des centres d'hyperboles;
3f La même distinction dans l'étude des lieux
Remarqua II. — Quand im des lieux auxiliaires
<f(^. /,>>) — o passe, quel que soit /,, par un certain nombre de points fixes,
passe par ces points fixes.
En effet, soit M (a, ^) tm point fixe du premier lieu; l'équalion
esl une identité; elle est, en particuiicr, vérifiée par les racines de l'cquation
Or, chaque valeur de X, tirée de (a), fail que le lieu 9(a;,7,i) = o passe en M : si donc il existe une seule racine X^Xj de l'équation (a), le point M sera un point simple du lieu
Si, au contraire, l'équalion (a) est du degré p en X, il j aura, en général, p lieux auxiliaires différents
yGoosle
passant en M; /> branches du lieu, provenant des valeurs de X infiniment voisines de X, , de Xî, . , , , de \p, se coupent alors en M; on dit que ce point est un point multiple d'ordre p; réel s'il existe âespoints réels du lieu infiniment voisins de M; isolé dans le cas contraire.
RxEsiPLE. — Gonsidér
uns le lieu
1 défini par les éqi
jations :
(a) L'équation par le point :
(Oest
celle d'un
c droite qui passe = b'.
, quel qur
Le lieu (3) pas
sera pa
r ce méini
s point, si l'on a
a^-i-^lab-b^^o.
Cette équation
de tel']
nine une
seule valeur de X
; dans si
mation continue, le lieu
est un point simple du
(è) Le lieu (a) passe,
.(2) passe lieu éiudi quel que
uue seule fois au point M ;
soit X, par les points comn
xy
deux points d'ini
tersecti
on sont à
^^^ilZlb.
Le lieu étudié passeii à- dire si l'équation
1 en Ml si
le lieu auxiliaire
(I) y pas*
(6-a)-ôX« = o est satisfaite.
n y a deux valeurs de X qui rendent identiquement nul le pi'emier membre de cette équation ; le point M| est un point double du lieu étudié, réel s'il existe des pointa réels ïnCniment voisins de Mi ; isolé dans le cas contraire.
De même pour le point Mj, etc.
