ENVELOPPES

(tt) Toute équation /(a;,^,l) = o qui renferme un paramiilre variable représente un système de courbes; deus courbes du système correspondant à des valeurs infiniment voisines du paramètre variable sont dites elles-mêmes infiniment v

(6) Les points

t défini

à deux courbes du système, infiniment ■bes dont les équa-

s le lieu des

((/) L'équation àeVenveloppe d'un système donné/(ir,j. À) = s'obtient en éliminant le paramètre ), entre les è<[uations

nt commun à l'enveloppe et à uiic envdoppi e i entre les équations

suffisante pour que l'équation

(e) fin chaque p<

ces courbes sont ta

(/) L'éliminant i

dans laquelle on considère X comme variable, ait une racioe double, on pourra écrire immédiaiemeni l'équation de l'enveloppe du système chaque fois qu'on connaîtra cette condition.

Exemple : Soit une équation de courbes

f(x,y, l) = XXs -H Zl + Y = o, X, y, Z étant fonctions de x et de/.

e.^^t l'équatic X, Y, Z sont

m de l'e linéaires.

nveloppe; c'est une coniqi

Exemple :

Soit une

autre équation de courbes

v,j, >.) = X! + XX-i-Y-.

L'équatior

1 de l'en^

'Cloppe est

(g) Si l'équation mètres X, [i, liés par

d'un système de courbes r

ou obtiendr trois équatii

ons

A il

Rbmaroue. — Chaque fois qu'une droite se déplace en roulant sur une conique, il existe une relation du second degré entre les coefâcients de son équation, ainsi que nous l'avons démontré au Chap. V (§ II).

Cette relation ou équation tangentielle nous renseignera donc, à sa seule inspection, sur certains caractères de la conique enveloppée. A. la rigueur, nous pourrions nous contenter de cette indication qui abrège le problème de moitié et permet de démontrer toutes les propriétés du lieu sans avoir recours à l'équation cartésienne.

Mais, dans ce qui va suivre, nous compléterons dans chaqui: H. — Ex. de Geom. anal. 14

■..,10 r" PAnlIU. — GEOMETRIE A Dl

exemple de ce genre les indications fournies par l'équation tangenlielle, pour la recherche de l'équation caiiésienne, basée sur la théorie des enveloppes.

1. Enveloppe des droites telles que le produit de leurs distances à deux points fixes ait une valeur constante.

Prenons comme axes de coordonnées la droite FF' des [joints fixes et la perpendiculaire à cette droite en son milieu , Soit