II
On
oblient
ainsi
droite
s imaginaire. :
issuei
ideO,
et
ellipse ayant F et F' comme foyers.
Les droites (9) sont les asymptotes de l'ellipse; ces droites ont (in seul point réel : le centre de l'ellipse. L'origine est donc un point du lieu isolé, parce que les asymptotes de l'ellipse ne font pas partie de ta série continue des tangentes.
2. Enveloppa de la corde d'une conique vue du foyer de cette conique sous un angle droit.
Rapportons la dant; si
eoni
qne
son foyer et à V
axe
corr
est l'équation de
la d
irec
tri(
:e, colle de la conique
est
,'{x~ar- = «.
c'est-à-dire
+ 2s'<ia)-s'o-- =
Soit
aia V^ PARTIE. — GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS.
l'équation d'une corde quelconque; celle du faisceau des droites joignant l'origine aus. poinls de rencontre de la conique et de cette droite est
Ces droites seront rectangulaires, si l'on a entre les coefficients de leur équation la relation
c'est-à-dire si la droite ux -\- vj ^ i --- o est mobile suivant la loi
cquation tangentielle d'une conique ayant un foyer à l'origine, son centre sur Ox, etc.
L'équation cartésienne s'obtiendra en él entre les cqnations
On conclut
On a donc, en portant dans (7),
-{^-t'')aHx'-+y^r- = .,,
yGoosle
La seconde équation peut s'écrire
c'est-à-dire ou enfin
La cofiicjue-enveloppe a donc, outre les propriétés reconnues sur l'équation tangenlielle, même directrice cjue la conique donnée.
Quant aux droites isotropes, clîcs sont des cordes à la conique, perpendiculaires sur elles-mêmes au point de vue analytique; l'origine, leur seul point réel, fait partie de S'enveloppe.
Il est d'ailleurs à remarquer que, si l'on assujettit l'angle sous lequel on voit la corde à conserver une valeur constante, cette corde roule sur une courbe du qiiatrième ordre ; cette courbe se décompose en deux : les droites isotropes et une conique réelle quand l'angle constant devient droit.
3. Une conique et une droite fixes étant données, on projette chaque point de la droite sur la polaire de ce point : enveloppe de la projetante.
Rapportons la conique à la norinale et la tangente à l'un do ses sommets, on a pour équation
La polaii
■e du point a, % éti
21 j l'" PAtlTIE. — GÉOMÉTfilE A BEUS DIMESSIOÎO.
ia projetante du pôle sur celte droite est
On a de jilus entre a, g la relation
(4) Âa + B^ + C = o,
qui exprime que ce point se trouve sur la droite donnée.
On obtiendra l'enveloppe de la droite (3) en éliminant a, p, ^^ entre les éqiiations
(4) Act-hef'-^-G = o, et leurs dérivées par rapport à a
Ces équations développées s'écrivent successivement, aprè*; simplification,
(3) ap (</ + i) --gfy. -+- ip - X) f^ --PJ = o,
(/,) Âa + Bp + G---o,
Éliminant ^1 entre les deux dernières, il vient
c'est-à-dire
(8) Â(î + 1} ce - B (î + >) e - ■ A {-^ ■-■ p) - Bqy I = o.
Des équations (/i) et (8) rendues liomogènes, on lire les valeurs proportionnelles de a, (5 et de y variable d'homogénéité;
on les substitue dans l'ôcjuation (3), légalement rendue hom gène,
-BJ[A(x.-/,)-B,jj-C(, + ,)|
"' A I [A (a; -jo) - Bqy] -h C(, + i) [ - 3AB(5 + .
On a donc
(9) +"*>''(«H-.)îJ'j[*(«-^)-Bî7]-C(,+ i)) (^ -ïA'B(,-i)(»-p)|[A(«-rt-B?7l + C(,-n)j
c'est-à-dire, en supprimant le facteirr AB(^ + ')'
^>BîrjlA(«;-/.)-Bîji-C(,^,,|
j -2A(i-p)j[A(>;-/))-B,jl-KC(,-i-,)|
l(A(j--/.)--Bj>.p- ..[A(»-,,)-B,^)[B}j--A(»-ji>)J J , ->C(?-;-i)[B4.r-(-A(i-ji,)]-,-4AB,(5. + ,)y
enfin
(i>) [^(■«~/')-B<rj-C(f/-h,)p
L'enveloppe de la projetante du point mobile est donc «ne parabole .
4. Enveloppe d^u/i segment de longueur fixe mobile dans un angle droit.
Prenons comme axes de coordonnées les côtés de l'angle droit; soit arf la longueur du segment.
L'équation de la droite mobile peut s'écrirt
(3) X sin<p + 7 COS9 — arf sin<f cos<p :=: o.
On olitlendra l'équation de l'enveloppe en cUminant le paramètre ^ entre les équations
^sin-f + rcosç — 3
os? -/sintfl — 2(^(1
cos=(f + sin5?
On a
équation de l'épicvcloïde engendré par un point d'n roulant dans un cercle de rayon quadruple.
Remauquk. ■ — L'éqaalion (3) peut s'écrira;
costp(a; — arfcosœ) — sin<i>(7 — 2rfsinrji)^o:
elle montre que le point du segmeut apparlenaot à l'enveloppe est situé sur la perpendiculaire au segment menée par le sommet opposé à l'origine du rectangle dont le segment est la diagonale.
Celte propriété est une conséquence de ]a théorie du centre instantané de rotation.
S. L'équation de la trajectoire d'un mobile pesant lancé avec la vitesse initiale V(, sous l'angle a est
(0 y = xtang^.— ^-ff -,^— , - ;
trouver f enveloppe de ces paraboles lorsque l'angle -j. varie, iavitesse initiale restant fixe {').
L'équation donnée peut s'écrire
(2) ^ig-^tang'a — ^tanga + y+ lg~ = o;
le paramètre variable est tanga; l'équaùon de l'enveloppe s'écrit immédiatement
C'est une parabole ; on lui donne le nom de courbe de sûreté; les points situés en dehors de cette courbe ne peuvent être atteints par les projectiles, lancés du point O avec la vitess<.' initiale i'o, quel que soit l'angle a.
Le lieu des sommets des paraboles (1), obtenu en élimi-
( ' ) Voir, pour l'origine de celle équation, le Cours de Physique publiti par notre Maître M, J, Moutier. eiaminateur de sortie à l'École Polytech-
iramèlre a entre les équations
- 4/' - -fy --^
C'est «ne ellipse ajant pour petit axe l'ordonnée du sommel de la parabole de sûreté. Le g^rand axe est double du petit.
Celte ellipse sépare les poinis situés dans la parabole de sûreté en deux catégories :
1° Les points à l'intérieur de l'ellipse peuvent être atteints pendant l'ascension du projectile lancé sous deux angles différents ;
2" Les points à l'extérieur de l'ellipse, mais à l'intérieur de la parabole, ne peuvent être atteints que pendant la chute.
