CHAPITRE XI
POLE. POLAIUE.
IUppul
(a) On appelle polaire d'un point P par rapport à une conique le lieu du conjugué harmonique de ce point par rapport au segment déterminé par la conique sur une sécante quelconque passant en P.
P s'appelle Itpâte.
(b) Soient a, §, f les coordonnées homogènes du pôle P, F (2^,^) = o l'équation d'une conique ; ia polaire du point P a pour équation
Piî Fy. F; désignant les dcmi-dérivées de la fonction F; rendue liomogéne.
(c) Dans le cas seulement où F est une fonction du second degré on peut écrire identiquement
Cette propriété algébrique est la base de louies les propriétés réciproques du pôle et de la polaire.
{d) La polaire d'un point ne passe pas en général au centre de lu conique; elle y passe dans deux, cas particuliers :
1° Lorsque la conique est un système de droites;
2" Lorsque le pôle est rejeté à l'infini : la polaire devient alors le diamètre conjugué de ia direction dans laquelle le point est transporté à l'infini.
(e) Quand le pûle vient sur ia courbe, la polaire devient la tangente en ce point.
(/) Toute droite du plan
A^ -^ Bj -h G = o
aîl) l'" PARTIE. GÉOMÉTRIE A CEUX KIMENSIONS.
a, par rapport à la conique dont l'équation est F(ic, j) — o, un pôle
dont les coordonnées homogènes sont fournies par
{g) Si la droite est mobile, ou la conique variable, on obtient l'équation du lieu du pôle mobile en éliminant le paramètre variabli^ entre les deux équations précédentes.
1 , Étant données une ellipse et une droite fixes situées dans le même plan, la droite ne rencontrant pas l'ellipse, on suppose qu'on prenne sur cette droite divers systèmes de points conjugués A, A', tels que la polaire du point A passe en ^ : \° démontrer qu'il existe dans le plan de la courbe deux points fixes tels que, de chacun d'eux, on voie le segment sous un angle droit; 2" déterminer le. lieu géométrique de ces points quand la droite se déplace parallèlement à elle-même.
(a) Prenons {fig- 43) comme axes de coordonnées le
Fis. ^(3-
sjstème de diamètres conjugués de l'ellipse, donl l'a parallèle à la droite donnée.
L'éqiiaLÎon de cette droite est alors (,) ^-l^o,
celle de l'ellipse
Soit A (X, fl) l'exti-émité d'un des segments; la polaire de c point a pour liqnaîion
Le point A', autre extrémité du segment, a pour cooi
On a donc entre les longueurs CA= ^, CA' = g' la rela-
le segment AA.' se déplace en iovolution sur la droite fixe ; il existe deux points M, M' situés sur la perpendiculaire à celte droite en C, de part et d'autre de cette droite et à une dislance
qui sont les sommets d'angles droits dont les côtés passent par les extrémités telles que A et A' en tournant autour de M et M'.
(b) Posons
cette quantité est toujours réelle d'après l'énoncé. Soit (j l'angle des axes.
s du polnl, M sont
j -d —b\/a-- -A^ \ -^ " taiigO ~ alangû
L'équation du lieu du point M s'obtiendra en éliminant X entre les équations (4); en les rendant rationnelles, on fait disparaître les signes mis en évidence; le lieu obtenu est le lieu commun des points M et M'
(S) y-a^ img-a -^ b^{a- --l-) — o,
(,6) ^-(x — ).)-sm^O — 6'(ci^ — X=) — o.
On a ainsi :
(5) //-l- ■':■ a-{f- tang^Û — b^ )---(>,
{&) (a'-ûn^(i^b'-)\- — 2a=j;imH.l-\-a-{^'9inVi — b^)-0.
En employant l'éliminant
(AC — CM y^ — ( AB' -. BA' ) ( BC - CB' ) — - o, qui devient ici
(AC — GA')--!-ACB''=o, on obtîeTil l'équation chercbce
(7) [fe=(œ'sin^8 — ?J-) — (/HangH — b^) {a^ sio.'-!l + i^)]'-
+ ^a-b-{f^ tang'O — b^)œ^sin^^^ o,
lieu du quatrième degré symétrique obliquement par rapport aux deux axes de coordonnées, etc.
Solution géométrique. — A chaque point A de !a droite lise correspond une position unique de la polaire de ce point qui donne dès lors un point A' unique ; réciproquement, si
CHiVP. XI. — l'OLE. POLUIRE. 2a3
l'on prend A' arbitrairement, il existe parle point Aune position unique ; les points A et A' se correspondent homographiquement, le déplacement du segment AA' est homographique.
De plus, la polaire de A définit un point A' dont la polaire passe en A; la relation homographique est symétrique, elle est involutive.
Dès lors, le déplacement du segment peut être obtenu par celui des intersections de la droite fixe avec les côtés d'un angle droit tournant autour d'un point fixe de deux manières différentes.
Le problème sera entièrement résolu, si l'on détermine géonnélriquement le centre et la puissance de l'involntion. Le point conjugué dn centre est rejeté à l'infini; or la polaire du point à l'infini sur la droite est le diamètre conjugué de sa direction; le point C, rencontre de la droite fixe avec le diamètre conjugué de sa direction par rapport à l'ellipse fixe, est donc le centre de l'involution.
La puissance est le carré de la portion de droite perpendiculaire à CZ menée par C et limitée à la circonférence décrite sur un segment AA' comme diamètre,
2. On donne une conique fixe C et une droite D; on projette chaque point M rfe D sur la polaire de ce point par rapport à la conique C : on demande le lieu de cette projection .
Rapportons la conique C à un axe et à la tangente à un sommet; on a pour équation
(i) y"'-ip-x — q:c'--^-o.
La polaire d'un point M (a, g) de la droite D,
a pour écjiialioii
oi{p-\- qx) -- ^y ■':-px—..o, qïi'oD peut écrire
L'équation de la projetante da point M sur la droite (3) e^^L
On obtiendra donc l'cqnation du lieu étiidié en élimijiaiU les paramètres a, ^ entrç les équations
(3) ^{p-[-qa:)~^y^px = 0,
(5) A:(-rBf;-l-C-— O.
Des deux premières on lire les valeurs proporlîonnelles dr a, ^, Y) variables d'homogénéité, et l'on substitue dans la troisième rendue homogène.
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