CONSTRUCTION DES CONIQUES

Nous nous proposons, dans ce Chapitre, de montrer commenl on peut déduire géométriquemenl de la connaissance de certains élcmenls d'une conique tous ceux qui sont nécessaires à sa détermination complète.

Pour lire utilement ce Chapitre, il faut connaître toutes les propriétés que nous avons étudiées successivement, tous les résultats acquis pouvant être employés.

La détermination géométrique des coniques comporte deux cas distincts :

i" Les éléments donnés sont tels qu'une seule conique peut les admettre : le problème est du premier degré; on le résout par la

2" Deux coniques peuvent admettre les éléments donnés : le prohlème ne peut se résoudre qu'au moyen du compas.

Nous ne parlons pas du cas où un nombre de coniques supérieur à deux répond aux éléments donnés.

Dans les questions que nous allons traiter, nous emploierons, en dehors des propriétés étudiées précédemment, les théor

I. — Théorème de Pascal. — Si un hexagone est inscrit dans une conique, qu'on numérote les côtés consécutifs i, 2, 3, 4, 5, 6, les points de rencontre des droites associées il et 4% {'^ et 5), (3et&) sont des points en ligne droite.

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Ce théoième s'applique aussi quand un certain nombre de côtés sont remplacés par des tangentes a la conique; le point de contact compte alors poui deux, sommets

II. — Théobbme de Bbiabchon. — Si un hexagone est circonscrit aune conique, qu'on, numérote les sommets consécutif s i,i,i, 4,5 fS,

III. — TeÉORÈUB DE Désaugues. — Les coniques passant par quatre points fixes déterminent sur une sécante quelconque un segment qui se déplace en involution.

IV. — Corollaire du théorème de Pascal. — Si un triangle est inscrit dans une conique, les taagenies aux sommets lencotitreut les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.

V. — Corollaire du théorème de Brianchon. — Si un triangle est circonscrit à une conique, les droites qui joignent les points de contact aux sommets opposés passent par un mÉme point.

VI. — La droite joignant le point de rencontre de deus tangentes à une conique, au milieu de la corde des contacts de ces tangentes, passe au centre de la conique.

VII. — Deux diamètres conjugués d'une conique déterminent sur une tangeale tlse à cette conique deux segments comptés à partir du point de contact, dont le produit est constant et égal au carré du demi-diamétre conjugué de celui du point de contact. Si les deux segments sont du miîme côté du point de contact, la conique est une hyperbole; c'est une ellipse dans le cas contraire.

i. — DESCitiliIlOJ," MOXOURAPHIIJUH DlîS CUMQUIiS.