J0. l^ PAKTIE. — GEOJllîTRIE A DEUX DISIENSIOHS
9. Équation générale des coniques ayant un sommet donné et une asymptote donnée. Combien passe-t-il de ces coniques par un point donné du plan?
(a) Prenons comme origine le sommet donné et comme axes une parallèle à l'asymptote donnée et une perpendiculaire à cette asymptote.
Soit 0A= al'ordonnée de l'asymptote.
L'équation générale des coniques passant à l'origine et ayant l'axe des ^ comme direction asymptotiquc est
(l) 2 \xy -h i>.y^ + 2ViC -H 29/ :^ o.
La droite y — a=:o sera asymptote si, quand on faity = a dansl'éqaation (i), celle-ci a une seconde racine infinie; donc
LV'iquation devient (3) 9Aa:f -+- ijy-' — y.lax-h 20/ = o.
Nous exprimerons que le point O est sommet en écrivant que la tangente à la courbe en ce point est perpendiculaire au diamètre correspondant; or l'équation de la tangente à l'origine est
Son coefficient angulaire est
L'équation du diamètre correspondant est c'est-à-dlro
Son coefficient angulaire est
On doit avoir entre m et m' la relation
c'est-à-dire
la la
T 0-1- i^a """' — *' ou
''■~ «0 L'équation (3) devient alors
Nous pouvons diviser par 9 et remplacer ie paramètre - par la seule lettre \
(5) 9.>.3J7 -h ~—-^y- — -ialx + 3 j .--z o.
En divisant par le paramètre 0, nous avons supposé 6 § o ; si l'on avait 6 ^ o, l'équation (i) deviendrait
(6) ilœy ^ </.y^ — lalx ~- o;
la tangente à l'origine serait l'axe desjK, un axe de la conique
coïnciderait avec Ox, le centre de la courbe serait rejeté à
l'infini, la conique ne serait donc pas une hyperbole effective.
{h) Cherchons le nombre des hyperboles représentées
H. — Ex. de Gdoin. anal. i8
EUS IKMUNSIOISS.
par l'équation (5) qui passent par un poinl donné du plan(«,B.
L'équation de condition
nous donne les valeurs de X qui Ibiirniascnt les hyperboles demandées.
On voit donc qu'il y a en général deux hyperboles passant par un point du plan.
Ordonnons l'équation (y) par rapport à î.
(8) apn^ + ^^.(p .a)X + 2p-Ç=:-o;
es valeurs de >. ne seront réelles que si l'oti a
Cette inégalité détermine les régions du plan par chaque point desquelles passent deux hyperboles réelles.
Le lieu géométrique dont l'équation est
est celui des points du plan par lequel passent deux hyperboles confondues : c'est l'enveloppe des coniques du système.
