Hyperbole équilatère

L'équation de cette courbe, rapportée à ses axes, est

EUS BIMENSIONS.

On peitt obtenir autant de points que l'on veut en menant ine parallèle quelconque àl'axe Iransverse.

Soient {fig- 57) B sa rencontre a\ec l'ase non transverse, V un sommet; du point B, avec BA comme rayon, on décrit m cercle qui coupe la droite arbitraire en deux points M et

Fis- 57.

M' de ma!e e

irbe; en prenant BN = OB, on obtient MN, nor-

Remarque. — On reconnaît qu'une hyperbole donnée par un système de diamètres conJTigiics est cquilatère, à ce fait que ces diamètres sont égaux; ils sont égalementinclincs sur les asymptotes.

10. Construire une hyperbole équilatère, connaissant une asymptote et deux points.

Soient [fig, 58) AB l'asymptote donnée; M, N les points donnés, menons MN; elle rencontre l'asymptote en P; le point P', construit de telle sorte que NP' = MP, est un point de la seconde asymptote. (Propriétés segmentaires de l'hyperbole : le milieu G de la corde MN est le même que celui du segment PP' limité aux asymptotes.)

P'X perpendiculaire à AB est la seconde asymptote, O est !e centre de la courbe.

Nous sommes ramenés au problème :

Construire une hyperbole, connaissant les asymptotes et un point.

11, Parabole.

(a) La parabole est le lieu des points équidistanls d'an point fixe et d'une droite fixe .

Définition. — On appelle paramètre de la coiirbe le rapport constant du carré de l'ordonnée à l'abscisse du point correspondant,

(6) La sous-tangente est double do l'abscisse du point de contact.

(c) La sous-normale est constante et égaie au demi-paramètre.

■i86 I'= PAEITIE. — GÉOMEtniE A DT

( d) On peut construire par points et tangentes une parabole de la manière suivante :

Soit donné 2p le paramètre {Jlg- 5t)).

On porte à partir du sommet OA = 2p et l'on considère la série des cercles tangents en A à AB parallèle à Oy; par les points P et Q on mène des parallèles aux axes ; on obtient

Kig. 5<j.

en M un point de la parabole ; en prenant OT ^= OQ, l'on obtient en MT la tangente au point M.

(e) La distance d'un point de la parabole à son foyer

est égale à -i en appelant a/»' le paramètre relatif à ce

12. Construire une parabole, connaissant un point, sa tangente, la direction de l'axe et le paramètre relatif à ce point (on indique, de plus, la région dans laquelle se trouve la courbe).

Soient {fig- 60) MT la tangente donnée ; MX la direction de l'axe, menée dans la région où se trouve la courbe ; M le point de contact.

On mène MX' faisant avec Mï' un angle égal à l'anglii TMX et l'on prend MF =- ^, en appelant 2/j' le paramètre

donne ; F ost le foyer de la courbe ; Fx, son aso ; le milieu S deT'P, 5on sommet, etc.

13. Construire le foyer et la directrice d'une parabole, connaissant deux tangentes et leurs points de contact.

Soient [fig- 6i) T), Ta les tangentes données; B, C leurs points de contact. En joignant le point A au milieu de la corde BC, on obtient la direction AX de l'axe de la parabole (VI -p. 2,6).

Si l'on mène par les points de contact B, C les droites symétriques des parallèles à l'axe menées par ces mêmes points, on obtient, par leur point de rencontre F, le foyer de la parabole et, par conséquent, l'axe de la courbe.

388 1" PARTIE. — CliOMBTRIE A DEUX DIMENSIONS.

La droite qui joint les symétriques du point F par rapporL aux tangentes T, , Tj est la directrice.

Voici une autre forme de la même question :

14. Construire une parabole, connaissant un angle droit qui lui est circonscrit et les points de contact.

Le foyer de la coiidje est suv la droite AB {fif. 6a), la Fie. fe-

directrice étant le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole et la polaire d'un point de la directrice passant au foyer; il est également sur la perpendiculaire

abaissée de M sur ÂB (la ponion de tangente MB est vue du

foyer sous un angle droit), il est donc en F; l'axe s'obtient

a joignant le point F au symétrique A' de A par rapport à

la droite FC

perpei

mdiculaire à MA; MD est la directrice, etc.

Remarque, — I! passe en général par quatre points donnés deux paraboles ; mais quand ces points sont confondus deux à deux, la double droite joignant ces points confondus constitue une parabole singulière; le problème est alors du premier degré.

IS. Équation générale des paraboles passant par deux points donnés A et B et dont les diamètres ont une direction donnée.

Détermination géométrique d'une de ces coniques.

En plaçant l'origine {Jlg. 63) au point A, en prenant AB

comme axe des y et posant AB= aa, l'équation des pai boles de l'énoncé est

[i) iy — m:)!:y + 2lx — 2ay^o.

H, — Ex. de Géom. anal. ig