Hyperbole
(a) L'hyperbole est le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante.
(6) Les asymptotes de l'iiyperbole sont les diagonales des parallélogrammes construits sur les systèmes de diamètres conjugués de la conique.
(c) Les diamètres conjugués de l'hyperbole sont les mêmes pour la courbe et pour ses asymptotes.
Il en résulte :
1 " Que pour une sécante quelconque les segments compris entre la courbe etses asymptotes sont égaux;
2" Que les portions de tangentes comprises entre le point de contact el les asymptotes sont égales.
5. Construire une hyperbole, connaissant (es asymptotes et un point.
Soient {Jîg. 53) OA, OB les asymptotes données : leurs bissectrices O^, Oy sont les axes de la courbe. On sait que MP.MQ ^= b^, b étant le demi-axe non Iransverse. On peut donc obtenir la longueur b et en conclure a elles autres élé-
28o I" PARTIL . — GEOMETRIE \ 1)1ÎU\ UIMKNSIONS.
ments; on décrit un cercle sur PQ comme diamètre MC ^ b; on porte OD =: 6 ; on mène une parallèle à Ox jusqu'à sa rencontre avec OB ; du point de rencontre on mène une
As. — ■
parallèle à Oy, S est le sommet de la courbe; en portant sur Ox OF = OG, on obtient le foyer F, etc.
6. Construire une hyperbole, connaissant un système de diamètres conjugués.
On achève le parallélogramme défini par les diamètres conjugués donnés el l'on obtient, en menant les diagonales, les asymptotes de la courbe; on est alors ramené au problème précédent.
7- Construire par points et tangentes une hyperbole, connaissant les asymptotes et un point.
Soient ijig. 54) OX, OY, M les données. Construisons d'abord la tangente en M; cette droite doit passer en M et être menée de telle sorte que le milieu de sa portion com-
ClIAP. XIV. — CONSTBTICTION DES CONIOTJES. sSl
prise entre les droites OX, OY soit en M ; pour réaliser ces conditions, il suffît de prendre MO' ^^ MO, de mener O'P parallèle à OX et de joindre PM : c'est la tangcnio cherchée.
Ua point quelconque delà courbe s'obtiendra en menant
une sécante arbitraire par le point M; soient R, S ses rencontres avec les asymptotes; en prenant SN = RM, on a en N un point de la courbe (propriété segmentaire); on construira la tangente comme pins haut.
Les points de la seconde branche s'obtiendront, soit en prenant les symétriques des points déjà construits par rapport an centre, soit en appliquant les propriétés segmenlaires; dans ce cas, on aura soin de porter les longueurs à partir de la seconde asymptote en sens inverse de celui dans lequel est compté le segment connu à partir de la première.
8. Construire une hyperbole, connaissant trois points et les directions des asymptotes.
[a) Nous connaissons en tout cinq points; deux sont rejetés à l'infini dans les directions données : le théorème de Pascal est immédiatement applicable. Soient wx, wp les directions asymptoùqiies {Jig.55).
M2 re PARTIK, — GEOMKTRir. iV MEUS DraENSiosa.
Numérotons les côtés :
AB -), Ba — a, ïC-3, Gé — 4; cherchons le point de la conique situé sur une sécante
arbitraire AX menée par le point A; c'est le côté 6; le côté 5 passe par le point p et le point inconnu.
Soient P le point de rencontre des côtés (i) et(4); Q celui des côtés (3) et (6).
Menons PQ : celte droite rencontre le côté (a) au point R; ce point appartient au côté (5); en menant R^ parallèle àuip, on obtient le point cherché en D.
On construit de même une tangente, etc.
(6) On peut opérer autrement en se basant sur la propriété suivante, conséquence immédiate des propriétés segmentaires de l'hyperbole.
Si l'on construit sur une corde quelconque à l'hyperbole comme diagonale un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux asymptotes de ta courbe^ la seconde diagonale passe par le centre.
Soient {Jlg- 56) A, B, C les trois points donnés ; ti,x, w^ les directions asjmptotiques.
Sur AB comme diagonale je construis lo pnrallélogramine
Fis- 56.
dont les côtés sont parallèles aiix asymptotes : la seconde diagonale MN est un premier lieu du centre. La même construction eÊFectuée sur la diagonale BG donne, en M'N', un second lieu de ce point; la rencontre B des droites MN, M'N' est le centre de l'hyperbole : on est ramené à un problème déjà traité.
