II.'AiiNiE

et dans l'équation (60)

/(») = -^Tirr '

on troayera , qael que soit le nombre entier m ,

C083a , cosSa

,am

sinaa ,. .alagg *!?4« . T ir»!na« // i \\

II est d'ailleurs facile de s^assarer qne le second tiiembre de là formole (73) ou (74) équivaut k la somme qu'on obtient quand on ajoute les uns aux autres les m + 1 premiers termes de la série

— etc.** = cosoi •

— èlc... =?:jinft ,

après les aroîr respectivement multipliés par les m -|- 1 premiers termes de la )uile

77rt

7ao

dC« • • f

pris dans un ordre inverse. Or j dans la série (75) , le deuxième terme et les snifaoU sont précisément les quantités qui forment les seconds membres des équations (i4) delà page 980.

Lorsque , f{z) désignant une fraction rationnelle , dans laquelle le degré de dénominateur surpasse d'une unité le degM du nuoiérateur , la constanta a^ défient précisément égale à ir ^ les produits (la) et (5i) remplissent les conditions pi -dessus indiquées; mais on ne peut plus en dire autant des produits (11) et (55)» ni même des produits (54) et (56) , qui , pour des valeurs infinies de « , se réduisent généralemeot à une constante déterminée "^^ Donc alors les formules (5a) ; (53) , et par suite les équations (61), (63), (65)^ (67) ; (69) continneal de subsister t mais les formules (57), (58). (6s), (64), (66), (68) ^ (70) devienAeat inexactes* Toutefois.il est aisé de voir comment ces dernières formules doivent être modifiées dans le cas dont il s'agit.

( 5u ) Alors en effeifr» j^our détawoer I^b rj6tj4a mt^^l Cfi^qiprif 4a|i# 4e |a;eiQi^ meinbre de Féqualion (67) , il faudra recourir , non plus au ibéop^Q 4 de la: pa«re 976 » mais au théorème 5 de la page 974 > et Ton aura en conséquence

Q en résulte qu'on devra au second membre de la ijt^rmule (5S) ajouter le produit ng^ et au second membre de la formule (69) le nombre ir ; ce qui suffira pour rendre ces seconds membres égaux aux dem^ plumiers » c'es(*à-dire , à zéro. De même » à la place des formules (68) et (70) , on obtiendra deux équations identiques. Quant aux formules (67) et (69) , si l'on y pose amir , on retrouvera les équations (4o).

Si Ton prenait pour f{z) , non plus une fraction rationnelle , mais l'une des expressions (4i)'« les formules (£9) et (60) servivaient k. la transformation des séries que renferment leurs premiers membres. Ainsi , par exemple » si Ifon p^nd

f{z) désignant une fonction rationnelle , et a , b deux constantes positives doht la première soit la plus petite , la formule (60) donnera

ain__^^. r ■ ' ^ Sin— :— -f..

1^. ^ îîi w— i^' ' *

i foo suppose ei). particalier ^(«) = — , on troarera

-— TT-smda —

sin

air T

( dît )

Dans let fo^muiei (76) et* (77) /oll ne iioU pids hsgardek^ lés CMistânlet tt «k « comme liées entre elles pat T^quatibi^ (4iB).

Il arrive souvent que les séries» comprises dans les équations (16] » ($9) et (60), soDt transformées par ces équations en d'aqtres séries, dont les différents termes sont équivalents . au signe près » à ceux des premières. Alors- les soMmes des séries que Ton considère peuvent être évidemment déduites des équations elles-mêmes. C'est ce qui arrivera en particulier si , dans la formule (76) , on pose

f{z) désignant une fonction rationnelle de z , qui s'évanouisse avec — • Dans ce

< cas» on se trouvera immédiatement ramené à l'équation (11 5) de la page 973. De

même , si Ton pose » dans la formule (Sg) , et dans la formule (60) »

f{z) désignant une fonction rationnelle quelconque de la variable z » et a une quantité comprise entre les limites — . ir , -f- «r , on en conclura

**Xii-* «•*4-«^«* «***^""**

Si , pour fixer les idées , on prend

( 3i5 ), f» étant an nombre entier , on trourera

C08« — — 7T— r-— tt: rr-COSag+ »t .J.' COSOa

jr^ P (g**'l-#-*')co<af / / \ \ \

""4 (d''*-«-*»)sînjr« \U*'"-"' jj '

|ÏT.--3flr

tinoc

— — •»llI9a4-

— air '

a4«+« ^•'«•-tf— ««^

sînSa —

Si rôn preod ao contraire

on aura

e**-f^** ftC08ftflt

e»»-tf-

3co85g

I «*'vrî+aco8ra*l/j)+*-*'Vî

TT»*" <*''^'-ac09(a*^) + <-«"'Vî

^*-5-* sina

fflinaa

g3*.,-.3* ig|n5^

Lorsque, dans les formules (80) et (81)» on pose successivement m = o , fit=:i , etc. t. » on en conclut

COSa —