EE

Il ne reste plus maintenant qu'à réduire en temps moyen la durée d’une oscillation, donnée en temps sidéral, et à comparer les résultats obtenus d’un jour à l’autre pour la durée d’une oscillation dans les deux modes de suspension du pendule, suivant que le disque plein est en haut, ou en bas. Dans cette comparaison, il faut examiner séparément les observations de la première série d'expériences, faites avec de courts intervalles de temps, et celles de la seconde; c’est par la première que je commencerai en plaçant toujours dans le même ordre l’observation faité, le pendule étant suspendu sur le même couteau, mais la même extrémité étant alternativement tournée vers l’observateur, ou diamétralement opposée. A côté du chiffre obtenu pour la durée de loscillation, j'indique son erreur probable en unités de la septième décimale; cette erreur probable est obtenue en divisant l'incertitude sur l'intervalle de temps par le nombre des oscillations, c’est celle qui résulte des erreurs accidentelles dans l'observation des passages, et de celles provenant de l'enregistrement chronographique.

‘ PSS x É (Voir le tableau ci-contre.)

Si l’on prend la moyenne des 23 observations de la durée T d’une oscillation, lorsque le pendule est suspendu par le couteau le plus rapproché du centre de gravité et en négligeant, par conséquent, les petites variations qui pourraient être produites par une petite différence dans la longueur du pendule suivant l’ajustement des couteaux, de même que celles qui seraient dues au mode de suspension, suivant que la même extrémité est tournée vers l'observateur, ou diamétralement opposée, enfin celles que les différences dans la densité de l'air, ou dans Pamplitude, pourraient introduire dans la quantité » (voyez page 81), on a T—0,7515198. On trouve par la somme des carrés des écarts entre chaque valeur de T et la moyenne, + 05,0000345 pour écart moyen, et, par suite, + 0°,0000233 pour erreur probable, tandis que lerreur probable résultant des imperfections de l'enregistrement chro-

Ajustement Mode Disque plein en haut. Disque plein en bas. Re. EL Re Es Date: LE Durée T Erreur Durée T” Erreur C ‘ SSPETSIOe Len temps moyen.| probable. |en temps moyen.| probable. s | s | A 20 novembre 1864 RE 0,7515532 | 2304 0,7514177 | +307 » » » » R O 0,7515042 | 310 0,7513419 369 » 23 décembre » R E 0,7515623 | 9255 0,7514047 251 » » » » R O 0,7514441 251 0,7513996 253 | B 8 janvier 1865 RE 0,7515553 | 162 0,7514138 158 | » » » » R Q 0,7515007 | 157 0,7512831 165 | » 9 » » RE 0,:515443 | 178 0,7514052 180 | » » » » R O 0,7514691 | 180 0,7513872 186 » 28 » » R E. | 0,7515385 | 126 » » » » R O 0,7515422 128 0,7513670 136 C 29 » » R E | 0,7515125 146 0,7513701 142 » » » » R O0 0,7515103 148 0,1513665 | 121 | » » » » R O0 0,7513997 140 » 8 février » RE 0,7515847 190 0,7514411 222 » » D » | RO |0,7515167 | 188 | 0,7513602 213 » 18 mars » RE 0,7515080 ; 90 0,7513342 98 » D'ART » HYREO 0,7514822 | 94 0,7513977 94 D 29 » » [JURUE 0,7515189 | 56 0,7513456 68 | » ES) » R O0 0,7515403 | 56 0,7513362 46 » 30 » » RE 0,7513271 | 218 | 0,7513396 218 » » » » R O |0,7515542 | 918 | 0,7513998 | 9290 » 17 avril » RE |0,7514570 | 114 | 0,7513681 116 ) » >» » | R:0 |0,7518193 | 116 | 0,7514261 | 116 » 10 mai » RE 0,7515108 180 0,7513417 184 0,7515198 | 168 0

nographique et des erreurs fortuites dans l'observation des passages est + 05,0000168. On trouverait de même par la moyenne des 23 observations faites, lorsque le pendule est suspendu par le couteau le plus éloigné du centre de gravité, la durée moyenne T’ d’une oscillation = 08,7515759 ; l’écart moyen d’une de ces observations est de + 05,0000575, et, par suite, l'erreur probable + 05,0000253, tandis que lerreur probable calculée d’après l'incertitude sur l'intervalle de temps est + 0,0000174.

Comme, dans la seconde série d’expériences, les écarts entre les différentes valeurs de T ou de T’ sont environ cinq fois plus petits que

dans la première, on est amené à attribuer les écarts de celle-ci à des erreurs accidentelles, et non à l'influence des forces troublantes, qui auraient pu exercer une action différente d’un jour à l'autre. L'erreur probable sur la durée d'une oscillation est de + 05,0000243 d’après la valeur de l'écart moyen sur une valeur de T ou de T', ce qui donne + 0501215 pour l'erreur probable de l'intervalle de temps employé pour 500 oscillations. Or, nous avons vu d’un autre côté que lon peut évaluer en moyenne à + 0°,00855, l'erreur probable sur cet intervalle, en tant qu’elle est due aux erreurs accidentelles dans l'observation des passages du pendule par la verticale, et aux imperfections de l’enregistrement chronographique. Il suffit, par conséquent, pour expliquer l'erreur probable dans la durée d’une oscillation, d'admettre lexistence d’une autre cause pouvant donner lieu, sur un intervalle de 6 à 7 minutes, à des erreurs accidentelles entre les limites probables de + 05,00865. Cette cause est facile à indiquer, c’est une variation physiologique dans la manière de donner les signaux sur le levier-clef, à l’instant où l’observateur voit passer le point de repère derrière le fil de la lunette; on ne peut pas admettre que la corrélation de la perception d’un phénomène par la vue, et du mouvement correspondant du doigt, soit absolument constante, et qu’elle ne soit pas variable dans des limites de quelques millièmes de seconde, entre deux observations faites à 6 ou 7 minutes d'intervalle, pendant lesquelles lattention de l'observateur à été occupée d’une autre manière. Il suffit d'admettre une variabilité de + 0,0061 pour produire une erreur de + 0s,00865 dans l'intervalle de temps, c’est-à-dire une erreur égale à celle dont il s'agissait de trouver l'origine.

Examinons maintenant les résultats obtenus dans la seconde série d'expériences, en les groupant de la même manière que celles de la première série, page 91 :

AVEC LE PENDULE A RÉVERSION. 95 Ajustement | Mode Disque plein en haut. Disque plis en bas. des | Date. |fnes de. Durée D | Erreur Durée ?” Erreur couteaux, . | | SUSPENSION À en temps moyen. | probable. |en temps moyen.| probable. | Resa D {1 juin 1865 | R E | 0,17515110 | +38 0,7513576 | +38 | (2608 » y | R O. | 0,7515047 38 0,7513654 38 DAAES 12 » »y | RE |0,1513069 18 0,7313599 16 SRE |» » » | R O |0,7515170 17 0,7513645 16 ERUC 26 octobre » | RE | 0,7515230 44 0,7513544 4 RSS SAS »y | RO |0,7515081 44 0,7513664 44 » 130 » »y | RE |0,7515061 | 30 0,7513610 30 » |» » » |-R O |0,7515008 | 30 0,7513651 | 30 | 3 113 novembre » RE 0,7514962 of : 0,7513601 31 » lp» >. | R O |0,1514981 | 37 | 0,7513678 37 ) AT ) | RE | 0,7514958 | 30 | 0,7513637 | 30 [AE |» » | R O |0,7514948 | 30 | 0,7513697 | FRA (20 décembre » | RE | 0,7514894 34 | 0,7513609 | MS nus » | RO |0,7514986 | 34 | 0.1513468 » [25 janvier 1866 | RE | 0,7514947 32 | 0,7513549 » 5 208 » | RO |0,7515050 32 | 0,7513703 | S [26 » ) | RE |0,7515108 | 48 | 0,7513552 | » FDA » R O |0,7515125 | 48 | 0,7513615 Moyenne 18 observations. | : 0,7515040.5| 35 | 0,7513614

Nous avons déjà vu que les erreurs provenant de l'enregistrement et de la transformation d’un intervalle chronographique en temps de la pendule normale étaient à peu près les mêmes, que cet intervalle fût de 6 à 7 minutes seulement, ou cinq à six fois plus long. Aussi l'erreur probable sur la durée d’une oscillation, provenant des erreurs fortuites dans l’observation des passages et de l’enregistrement chronographique, est-elle seulement de + 05,0000054, en moyenne, dans cette seconde série, C'est-à-dire cinq fois plus petite que dans la première série, où l'intervalle de temps était 5,6 fois plus court.

Comparons d’abord entre elles toutes les valeurs de T, et toutes celles de T’, en faisant par conséquent abstraction des causes qui pourraient produire une différence de l’une à l’autre, telles que: les variations dans l’ajustement des couteaux et les différences qui résultent de ces chansements dans la longueur du pendule; les variations dans la valeur

ES

eu

de > qui pourraient résulter de différences dans la densité de Pair, ou de différences dans l'amplitude; les erreurs qui pourraient résulter sur la réduction à la température de 16°}, d’une erreur dans le coefficient de dilatation de la tige du pendule, etc. De la somme des carrés des écarts entre chaque valeur de T et la moyenne, on déduit + 0°,0000088 pour écart moyen, et, par suite, + 05,0000059 pour erreur probable d’une valeur de T. On trouve de même, par la somme des carrés des écarts entre chaque valeur de T’ et la moyenne, + 0s,0000060 pour écart moyen, et + 05,0000040 pour erreur probable d’une valeur de T’. Ces erreurs sont à peu près cinq fois plus faibles que celles de la première série d'expériences, et la moyenne des 23 déterminations de T,ou de T’, de cette première série est affectée de la même incertitude qu’une seule détermination de T, ou de T', dans la seconde série.

Examinons maintenant les différentes causes énumérées plus haut, qui peuvent produire une différence dans la durée de l’oscillation, en commençant par celle qui est due au changement d'ajustement des couteaux. Les observations des oscillations faites le 11 et Le 12 juin 1865, dans l’ajustement D, correspondent aux mesures de la longueur du pendule de la quatrième série, page 46; celles du 26 et du 30 octobre, ajustement C, correspondent à celles de la cinquième série; celles du 15 et du 17 novembre, ajustement B, à celles de la sixième série; enfin celles du 20 décembre 1865, du 25 et du 26 janvier 1866, ajustement À, à celles de la septième série. D’après les chiffres donnés à la page 46, pour ces différentes séries, la longueur moyenne de la distance entre les couteaux, pour les observations du 11 juin 1865 au 26 janvier 1866, est de 2481,48243, et on peut réduire à cette longueur moyenne les observations de chaque jour, d’après la longueur pour la série correspondante; on élimine de cette façon les différences que le changement d'ajustement des couteaux introduit dans la longueur du pendule. Pour effectuer cette réduction à la longueur moyenne, il faut appliquer les

AVEC LE PENDULE A RÉVERSION. 95 corrections suivantes à la distance entre les couteaux, et à la durée d’une oscillation :

1 s Het AO AniNnAiS CS Enter —-0,00217 —-0,0000033 26 et 30 octobre 1865....... RSR —0,00231 —0,0000035 13e MENOYeMNTEMS65 EC LE —0,00051 -L-0,0000008

20 décembre 1865, 25 et 26 janvier 1866. —0,00026 —0,0000004

En appliquant ces corrections aux durées observées d’une oscillation, pour les différents jours, on pourra supposer que la distance entre les couteaux ait été la même pour toutes, savoir À égal à 2481,48243, à la température de 160 /,. Si l’on peut éliminer de cette façon les petites différences que le changement d'ajustement des couteaux introduit dans la distance qui les sépare, et dans la durée de loscillation, il n’en est pas de même de celles qui pourraient provenir d’une très-légère inégalité dans la forme des couteaux, ou dans leur direction. Celles-ci sont bien éliminées dans la moyenne d'observations, dans lesquelles on à fait varier l’ajustement de toutes les manières possibles, mais il est impossible de déterminer à priori l'effet que produiront ces changements d'ajustement; cet effet se trouvera, par conséquent, compris dans les différences dues aux erreurs accidentelles.

Ainsi que je lai dit plus haut, j'avais fait varier l'amplitude initiale, dans des limites assez étendues, dans les deux déterminations de la durée T' d’une oscillation faites le même jour, lorsque le pendule était suspendu par le couteau le plus éloigné du centre de gravité, el cela dans le but de chercher l'influence que l'amplitude pouvait avoir sur la valeur de >. C’est à partir du 30 octobre que j'ai fait varier l'amplitude initiale d’une manière notable dans les deux déterminations de T'; pour les trois premiers jours, ainsi que dans la détermination de T pendant toute la série, l'amplitude était trop peu différente d’une observation à l'autre pour qu'il fût possible de tenter une pareille comparaison.

Si l’on désigne par x l'allongement dans la durée d’une oscillation T, exprimé en unilés de la septième décimale, et correspondant à une

augmentalion de 5’ dans l'amplitude moyenne, on aura, d'après la valeur de l'amplitude moyenne dans chaque expérience, page 89, et d'après les valeurs de T’, page 95, les relations suivantes :

30 octobre 1865 1,71 & = + 41 13 novembre » —-6,26 x = — 77 17 novembre » —-6,40 x = + 60 20 décembre » —L4,88 x = +141 25 janvier 1866 7,48 à = +154 26 janvier >) L5S8Sz— — 63

Ainsi, dans quatre cas, la durée de Poscillation était plus longue lorsque l'amplitude était plus considérable, et dans deux cas linverse s’est présenté. Si des équations précédentes on déduit la valeur la plus probable de x, on trouve x = + 7,3 + 4,6, c’est-à-dire qu’un change-

ment de + 5’ dans l’amplitude produit une différence dans la valeur de y, qui correspond à un changement de + 7,5 unités de la septième décimale dans la durée de loscillation. L’incertitude sur cette valeur de x s'élève à une fraction très-notable, les cinq huitièmes environ du chiffre obtenu, ce qui n’a pas lieu de surprendre, attendu que les différences observées dans la durée de l’oscillation ne dépassent guère celles qui peuvent être attribuées aux erreurs accidentelles, lors même que l'amplitude a varié de 30 à 40 minutes. Malgré l'incertitude qui subsiste sur la valeur de x ainsi obtenue, j'en ai tenu compte dans la détermination de la durée probable d’une oscillation, résultant des observations de chaque Jour, pour ce mode de suspension ; comme la valeur moyenne de l'amplitude pour les observations de la durée T de loscillation, faites le disque plein élant en haut, est de 1°8/45, c’est à cette amplitude moyenne que J'ai réduit toutes les durées observées T’ d’une oscillation dans l’autre mode de suspension, en faisant usage de cette valeur de x. Il est évident, en effet, que si la valeur de + varie avec lamplitude, et si elle n’est pas la même dans les durées T et T' observées à des amplitudes différentes, on pourra néanmoins regarder ; comme étant le même, si là durée T’ a été réduite à la valeur qu’elle aurait eue à

AVEC LE PENDULE A RÉVERSION. 97 une amplitude égale à celle qui correspond à l'observation de T. Ces réductions à l'amplitude moyenne 10 8,45 pour les différentes valeurs de T’ sont du reste très-faibles, et elles sont comprises en dedans des limites des erreurs accidentelles.

Il reste enfin à examiner l'influence que pourrait avoir une erreur dans la valeur adoptée du coefficient de dilatation de la tige du pendule, sur les écarts entre les durées d’une oscillation observées à différentes températures. Si l’on suppose que le coefficient de dilatation soit 0,00001878 + y, et si l’on détermine y par la condition de réduire à un minimum la somme des carrés des écarts pour les valeurs de T et de T’, observées à différentes températures, on trouve pour la valeur la plus probable de y + 0,00000129 + 0,00000054.

Il paraît ainsi probable que le coefficient de dilatation de Lavoisier, avec lequel les réductions avaient été faites, est trop faible de près d’un quinzième de sa valeur, et que, par la comparaison des durées observées, il devrait être porté à 0,00002007 par degré centigrade. La correction qu'il faudrait apporter au coefficient de dilatation est à peu près quatre fois plus grande que son erreur probable, ce qui ne laisse guère de doute sur la nécessité d'augmenter la valeur primitivement adoptée.

Je donne dans le tableau suivant, pour chaque jour et pour chaque valeur de T et de T’, la correction qu’il faut appliquer à la durée observée, pour avoir la durée la plus probable, en tenant compte de la réduction à la distance moyenne entre les couteaux 2481,48243; de la réduction à l'amplitude moyenne 1° 8’,45 pour les valeurs de T’, enfin de la correction sur le coefficient de dilatation du pendule; ces différentes corrections sont exprimées en unités de la septième décimale.

Disque plein en Fe Disque plein en bas.

| Corrections Corrections Re. td. IR 44 CS Ha ne pie longueur | coeflicient HÉRIae longueur | réduction | coeficient pare on Je du de ET du à l'amplitude de T' pendule. | dilatation. | pendule. | moyenne. | dilatation. nmenammnanm mme a me ee sens Re om 11 juin 1865| +33 | 31 |0,7515119 | +33 | 45 | 30 |0,7513564 » » » —L33 —31 |0,7515049 —L33 —14 | —98 |0,7513645 TS) » 33 —18 (|0,7515084 —L33 —13 | —18 |0,7513601 » » »| +33 | 17 |0,7515186 | 133 | 46 | 417 |0,7513645 | 26 octobre » —39 + 9 0,7515204 — 39 —15 | 9 [0,7513503 | » » » —35 | +9 |0,7515055 HS —29 —11 |0,7513618 80» ,» | —38 | 143 |0,71518039 | __35 | 413 | 43 |0,7513575 | » » —35 —15 |0,7514988 —35 —925 | 16 |0,7513607 | 43 novemb. » | — 8 +42 |0,7515012 | +8 — 32 45 |0,7513693 | DD Ep TES —L42 (|0,7515031 | + 8 112 —44 |0,7513742 EN ÉCOLOS ER ER) 80 |0,7515016 | —L 8 — 7 | 50 |0,7513702 DD » —+ 8 50 |0,7515001 + 8 —39 | 50 |0,7513716 | 20 décemb. » — À +67 |0,7514957 — À —25 | 68 |0,7513648 | p.» »| —4,| 67 (|0,7515049 | — x | 41 | 66 |0,7513541 | 25 janvier 1866 — 4 —L45 |0,7514988 | — 4 +12 | +44 |0,7513601 | » » » — À —-46 |0,7515092 LL 4 —49 | 44 |0,7513701 26 » » | —’4 49 QU AG EST 24 | —46 0.7513570 SALES CAE A RES 443 10,7515164 | —— 4 | 149 | 44 (07513674 | | | | | Moy. 18 observat. | 0,7515065 | | £ 0,7513626.5

L'application des corrections indiquées dans ce :tableau réduit à + 05,0000072 l'écart moyen d’une valeur de T comparée à la moyenne, et, par suite, à + 05,0000049 l'erreur probable sur une détermination de la durée d’une oscillation, lorsque le pendule est suspendu par le couteau le plus rapproché du centre de gravité. Pour les valeurs de T, l'écart moyen est très-légèrement augmenté par l'introduction de ces corrections, il devient +05,0000064, et l'erreur probable d’une valeur de T' est + 0500000435. La somme des carrés des écarts pour les 18 valeurs de T et de T’ est réduite, par lintroduction de ces corrections, de 194444 à 158971, elle est par conséquent un peu diminuée, et les nouvelles valeurs de T et de T” doivent être adoptées de préférence aux anciennes, comme étant plus probables; mais lon doit conclure en

AVEC LE PENDULE A RÉVERSION. 99 même temps que les écarts dans les premières valeurs de T et de 1” étaient dus en grande partie à des erreurs accidentelles, ou à des causes autres que celles dont on a cherché à tenir compte, puisque les écarts ont élé diminués dans une faible proportion seulement.

Si l’on veut attribuer uniquement à des erreurs accidentelles dans la détermination de l'intervalle de temps employé pour 2828 oscillations, les écarts entre les différentes valeurs de T ou de T’, on déduit de l’erreur probable sur la durée d’une oscillation, qui est en moyenne + 05,0000046 pour T et pour T', + 0°,0130 pour l'erreur probable de l'intervalle de temps compris entre le commencement et la fin d’une série d’oscillations. Comme l'incertitude sur cet intervalle de temps, qui peut être attribuée aux erreurs fortuites dans l'observation des passages du pendule par la verticale, aux imperfections de l'enregistrement et à la transformation du temps chronographique en temps de la pendule normale, s'élève à +05,0097, il suffit d'admettre l'existence d’une autre cause pouvant produire une erreur de + 0s,00865 sur cet intervalle. Il est très-naturel de chercher cette cause dans une variation de l'erreur physiologique, et dans la manière de faire coïncider les passages du pendule avec le mouvement du doigt sur le levier-clef, dans deux observalions faites à 55 ‘/, minutes de distance. Si l’on suppose une variation de + 0°,0061 dans l'erreur physiologique d’une observation à l’autre, il en résulte une erreur de + 0°,00865 sur l'intervalle de temps compris entre ces deux observations.

Mais les écarts entre les différentes valeurs de T, ou de T', peuvent provenir en partie d’une autre cause -que des erreurs accidentelles d'observation; les forces troublantes, telles que frottement, poussée, remous, elc., dont il est tenu compte par l'introduction des termes et dans les valeurs de T et de T' ne restent pas absolument constantes d’un Jour à l'autre, et il doit naturellement en résulter de petites différences dans la durée observée de l’oscillation. Nous verrons

dans le chapitre suivant comment l’on peut évaluer, non dans chaque

cas particulier, mais dans la moyenne d’un grand nombre de détermi-