SUR LES LOIS DES DÉPENSES
Principales conséquences relatives aux orifices fermés, à la parti*.
} supérieure. - i » ;!
173. Commençons par les expériences qui concernent l'orifice de 20 centimètres' de hauteur, et dont les .résultats sont consignés dans le tableau n° IV placé à la suite de ce mémoire. En consultant les colonnes 11 et 12, qui .donnent res? pectivement les coefficiens dont il faut affecter 1 i es formules usuelles
qui servent à calculer la dépense ( voyez les conventions générales qui précèdent les tableaux) , on remarque qu'à parthr de la plus forte charge i m ,472 sur le fcérttré : de d'brificé^lè* coefficiens dont xi s'agit vont généralement en augmentât de valeur jusque vers la charge de o m \p 53 * cm 'ils paraissent avoir atteint leur maximum* A la vérité, lés coefficient relatifs aux expériences 5 et 6 font anomalie avec cette loi générale; mais, comme ici lés àccroisseméns successifs tiennent à des quantités d'uti ordre très-petit, une semblable anomalie riU rien d'étonnant et ne doit pas empêcher d'admettre 1 là-lof en question , qui se reproduit égaienient dans les T expériences relatives aux orïfides de ïo eVde$ centimètres 4e hâutètif. On Voit aussi qtiîà J pkrtfr Î4 ^te la dtârge de 0^53 su* ie centré, égaie à environ cinq fois la hauteu* de l'orifice, les coefficiens vont conririùeltéffiént éri tfîtiiîhuant 7 «décrofcfctent
même très-rapidement vers les faibtes charges sur iè sommet, quoique moins rapidement pour les coefficiens de la formule j> que pour ceux de la formule d.
174* Cette loi des coefficiens du tableau n° IV ne se manifeste pas pour ceux du tableau n° I ( colonnes 11 et 12) concernant les expériences faites en 1827 sur le même orifice; mais cela n'a rien d'étonnant , puisque les différences dont elle dépend sont au-dessous de celles qui proviennent des anomalies que présentent les nombres mêmes de ce dernier tableau (p6 et suiv.). D'ailleurs , la moyenne générale 0,6013 des coefficiens de d', dans le tableau n° IV, diffère extrêmement peu de celle 0^6017 *I U * ^ conc ' ut des coefficiens semblables jdu tableau n° I f et l'on pourrait , sans craindre dé commettre des erreurs appréciables , adopter généralement le coefficient .0,602 pour calculer la dépense au moyen de la formule dont il s'agit, dans. le cas des orifices carrés verticaux à grandes dimensions , pratiqués en mince paroi et complètement isolés des faces latérales et du fond du réservoir , pourvu que la charge sur le sommet ne fût pas .au-dessous de 5 ou 6 centimètres.
Il ne faudra pas oublier toutefois que la hauteur du niveau de l'eau dans le réservoir est ici censée prise en un point tel , que ce liquide y soit parfaitement en repos, Les colonnes 1 8 et 1 p du tableau n° IV montrent , en effet , que les coefficiens des formules d et d' doivent être un peu augmentés quand on mesure les charges immédiatement au-dessus de l'orifice , et que ces charges sont très-faibles ; mais cette augmentation, pour l'orifice carré de 20 centimètres de côté, n'est point considérable, parce que les dépressions du niveau sont elles-mêmes fort petites par rapport aux charges dont il s'agit. Ces légères différences n'en suffisent pas moins , comme on le voit, pour intervertir entièrement l'ordre de grandeur des coefficiens de la formule d' , de telle sorte que celui qui
ï8£ EXPÉRIENCES
avait la plus petite valeur dans la première manière de relever les charges acquiert la plufc graqde de toutes dans 4a seconde (voyez les colonnes r2 et ip f expériences n os ^ i , 2fc, 2:3 et 24)* 175. Revenons aux chiffres Ides colonnes ri et 12. Selon la manière ordinaire de voir, la contraction 'effective' dti liquide à sa sortie de l'orifice devrait un peu diminuer &vec la hauteur de la charge survie sommet, et, par conséquent-, le coefficient de lia dépense devrait constamment augmenter v , toi > au contraire, ce dernier coefficient diminue aux environs des ^rès^basses . charges , quand ià hauteur du niveau dans le réservoir est relevée fort en avant de d'orifice. En considérant que # , dans rétablissement des «formules d et &'., on n a point égard à la vitesse ou à la for ce 1 vire d'arrivée du liquidé dans le réservoir , qui tend à augmenter la charge génératrice h , rous avions d'abord pensé <jue i'ejrfstence >du maximum dans les .valeurs des coefftcrens de ces. formules pouvait fort bien tenir; pour le cas- de notre, appareil, à ce qnç la force vive dont il î s'agit était etle-raême susceptible d'un ma xithum aux environs de la charge de 0/^,74. au-dessus de la base de {'orifice (1); mais l'aire de ce dernier demeure, pour toutes 4è$
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* • (i ) .Nommons. L la .longueur torizonitfe du réservoir ,. /-telle de i orifice, b sa basa, à sa hauteur, h la charge d'eau sur cette base, A la hauteur de cette même base au-dessus du fond dû réservoir, enfin m le coefficient de fît formule D, dé sorte que la dépense effective égale
maby 2&{k— i -d) \ l'aire, des sections transversales du liquide en «mont de l'orifice étant
h(A-t-n), d'après fes conventions ci-dessus , la vitesse dans cette section sera égaie à
mab V ^\*~ fl J f %cn admettant l'hypothèse du, parallélisme des tranches:; par couse?
o^ent, 4 accroiss^inent de la charge génératrice dû à œtte vitesse «ei^ ^ , . , ,'
dont là valeur maxima est
et corrcfpoad k k «A-hfl. M***} comùieon a ici Ace o m ,<^, a^o'% i=o m # a> L sàc i m ,6S f m =* 0,60 environ é ff en résulte k = o m 9 jf â et I on trouve )o n y>ooo6' pour \t.aifÈxmàm cherché, quanthé^dis^maiit insignifiante. < • .' • •■*
charge», possibles , tellement petite «par rapport à celle des sections transversales dans le réservoir, et Teau est animée d'un mouvement si lent , même aune assez petite distance en amont de cet orifice, qu'on ne saurait admettre une semblable interprétation dû maximum observé dans, la loi des coefficient. . D'ailleurs, H nous paraît iésulter des '.discussions entreprises dans les n oS 1 60 et stfiv. , que les formules i> et d' n'on|t ici aucun fondement bien >réet ; et, comme on n'y tient aucun compte y rton-seuiement du mouvement véritable du liquide dans l'intérieur du réservoir , mais encore des résistances qu'éprouvent ses molécules de la part des parois contre lesquelles il coule et des effets réels de la contraction extérieure , &c. ,:ii serait à peu près inutile de rechercher Jes causes qui donnent lieu au maximum observé , d'autant plus que la loi change pour les petits orifices, ainsi qu'on ie verra tout-à-i'heure. * # ! , ,•■•'..■
1 76. En terminant ce qui concerne iorHîcecajrré de 20 centimètres de côté / nous feitms remarquer, conformément à ce qu'indiquant les colonnes 1 1 et ta du tableau n° IV, ainsi que les résultats déjà antérieurement conçus, que les coefficieris des formules d et o' éprouvent des variations presque nulles vers les fortes charges ; ce qui tient probablement à ce que les circonstances ci-dessus exercent aloss. une influence peu sensible. Les colonnes 1 1 et 1 2 du tableau n p 1 , qui comprend les résultats d'expériences très.* multipliées . sur des charges supérieures à celtes du IV e tahleau » mettent cette circonstance dans tout son jour, et permettent de supposer que , pour les orifices carrés dont il s'agit , la valeur des coefficiens de d et de d' ne descend' jamais au-dessous de o,6oo, si même elle atteint cette limite, pour des charges qui excéderaient je à 20 fpîs ia hauteur de l'orifice.
Micjielotti et Bossut , en opérantsur des orifices cajr rés ayant du is 1 jusqu'à 3 polices de côté „*ous de$ charges comprises
sa
entre 27 fois et 250 fois ce côté, ne Tont jamais trouvé (1) au-dessous de 0,602, et sa moindre valeur a même surpassé constamment 0,616 pour les orifices de 3 pouces; résultat qui excède sensiblement le nôtre, mais qu'on peut expliquer en observant que, dans les expériences de Michelotti, à qui ce résultat est dû, les grands orifices ont constamment donné, à circonstances égaies sous le rapport des charges, un peu plus de dépense que les petits : ce qui peut fort bien tenir d ailleurs à ia disposition particulière des appareils qu'il a mis en usage (2).
1 77; En consultant les colonnes 20 et 2 1 des V e et VI e tableaux relatifs aux orifices de 10 et de 5 centimètres de hauteur, on verra que les coefficiens des formules hypothétiques d et©' suivent une marche analogue à celle qui concerne l'orifice de 20 centimètres/ c'est-à-dire^ qu'ils présentent un maximum aux environs des charges moyennes égaies à 4 ou 5 fois la hauteur de f orifice. Quant aux coefficiens relatifs aux cas où ion mesurerait ia charge près de ia paroi de l'orifice „ on voit paries colonnes 22 et 25 des mêmes tableaux, que, attendu l'influence sensible de ia dépression éprouvée par le niveau du liquide dans le réservoir, les valeurs de ces coefficiens vont sans cesse en augmentant à compter des plus fortes charges, du moins pour ia formule d'. L'accroissement suit même une marche très-rapide vers les faibles charges sur le sommet de l'orifice , circonstance qui , jointe à l'incertitude qui règne alors dans ia mesure directe de ces charges, prouve qu'on
(i) Voyez le tableau résumé de la valeur de ces coefficiens , donné par M. £ytelwefn dans son Mémoire inséré au tome XI des Annales des mines.
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dans le réservoir lors des fortes dépenses, et augmenter notablement la vitesse de sortie du liquide (Sperimenri hyaraidid , 1767, pages $ etsniv.).
risquerait, dans certains cas, de se tromper de beaucoup sur ia véritable valeur de la dépense , en relevant la hauteur du liquide dans l'endroit où ja dépression du niveau est ia plus grande, si Ton ne modifiait convenablement les coefficiens. Dans le cas de l'orifice de 5 centimètres, d'ouverture, par exemple , on voit que le coefficient de la formule d', qui n'est que de 0,61 environ quand on mesure la charge fort en avant -de f orifice, peut s'élever à 0,68 lorsqu'on ia prend immédiatement au-dessus; en sorte qu'on se tromperait de près d'un dixième sur ia valeur totale de ia dépense, si l'on prétendait se servir, dans ce dernier cas, du premier de ces coefficiens, qui se rapporte plus spécialement à ia manière d'opérer des auteurs d'expériences hydrauliques.
Les tableaux suivans , relatifs aux orifices de 3, de 2 et de 1 centimètre, indiquent des différences non moindres dans les valeurs respectives des coefficiens qui concernent ces deux manières de relever le niveau du liquide ; et , ainsi que nous avons déjà eu occasion de le faire remarquer , l'orifice de 3 centimètres présente même cette singularité (voyez tableau VII, expériences 15, 1 6 et 17), que la charge sur le sommet, prise immédiatement en amont de l'orifice, est négative; cette circonstance , qui peut se présenter dans tous les cas où les charges et les ouvertures; de vanne sont faibles, montre bien toute 'lincertitude attachée à une pareille méthode de relever le niveau, quand il s'agit de jauger ia dépense des orifices dans la pratique.
178. L'inspection des^ colonnes 20 et 2 1 des tableaux VII , VIII et IX, relatifs aux orifices de 3 , 2 et 1 centimètre, semble prouver que la cause qui produisait le maximum de ia formule d' cesse d*exercer une influence appréciable pour ces trois orifices, et qu'elle continue à subsister à l'égard de ia formule d , mais pour l'orifice de 3 centimètres d'ouverture seulement. Ainsi , à compter de ces limites respectives, les
valeurs des coefficiens de lune et de l'autre formule iraient cantinuetlem*rtti en augmentant et -d'une manière de plus en plus rapide; à mesure que la. charge diminue; ce qui semblerait annoncer que la loi de ces coeflîcîens srubtt une modification particulière dans les environs de l'orifice de 3 centimètres;.. Mais' ces circonstances tiennent probablement à ce que 9 pour les très-petits orifiaes, ie maximum 4e chaque coeffir rient correspond à des charges encore plus faibles que celles que. nom avons pu soumettre à l'expérience.
On remarquera aussi , comme un fait très^digne d'intérêt, que ies valeurs des eoefficiens de D et de. d' (colonnes 20 et 2>rvfableauxVt et VII), relatifs aux orifices de 3 et de 5 centimètres d ouverture, sont presque les mêmes, à égalité de charges sur le centre:, tant que ces charges .ne deviennent pas très <- petites r par exemple y moindres, que 20 centimètres. Pour l'orifice intermédiaire de 4 centimètre»-, les eoefficiens diffé-reraient probablement moins encore de ceux qui correspondent aux, deux orifices voisins; et, comme en passant de louvertute de 3 centimètres à celle de x (tableaux VJi et VIII) leur différence, à charge égale, est au contraire très - appréciable, on est* tenté d'admettre qu'à s'opère réellement quelque modification essentielle dans le , mode d'écoulement ou la loi des coeffociens aux environs de l'orifice de 3 centimètres.
179. La rapidité avec laquelle croit le coefficient de la formule d et surtout de la formule d', à compter de l'orifice de 3 centimètres de hauteur et à mesure que la charge de liquide diminue, ne permet pas* d'admettre pour chaque ouverture de vanne: une valeur moyenne et unique de ces eoefficiens, et il sera nécessaire, dans les applications de ces formules au jaugeage des dépenses fournie» par les orifices rectangulaires, de recourir à la table qui se rapporte à chaque cas spécial. Cette circonstance , jointe À ce que les coefficient de a' ne suivent point une loi plus simple que ceux de d,
HYDRAULIQUES. lpt
fera probablement adopter dans la pratique cette dernière formule dont le calcul est plus facile.
Une autre conséquente résultant de l'inspection des^i* vers: tableaux des dépenses * c'est que, à égalité du rapport-de la charge sur le centre à la hauteur de l'orifice, rapport jq*i se trouve indiqué dans les^oolormes n os 6 et i4 > le coefficientides formules d et d' croit a mesure que cette hauteur de J'orifice diminue, et croit d'autant plus rapidement que la charge absolue sur le Centre est plus faible. Ce fait peut être considéré comme constant, et il se trouve parfaitement confirmé par les résultats des expériences déjà connues sur les orifices carrés ou circulaires, résultats que nous aurons $9in de rapporter un peu plus loin., afin de les mettre en parallèle $vec les nôtres.
i8o.<. Si Ton compare maintenant entre eux lès coefficfens d'une même espèce, à égalité de charge absolue sur le centre, on trouvera que te loi ci-dessus a 'lieu également pour tous les orifices, lorsque les charge» ^excèdent pas i tpètre, mâts <p», pour 4es charges plus fortes, elle ne se vérifie qu& Regard des orifices de 20 et de 'i o centimètres, cotaiparé$ aux orifices plus petits : «oï il est digne' de remarque que* pourrons ceux-ci, iescoétfiçiens acquièrent, *a*ut environs de la charge de r"\îpp sur Je centre, des vatews presque égales , et q*i diffèrent extrêmement peu de 0,62 £. A cèmpter dece po|nrt, ies coeftkâens vOTitoontinuel+ertient en diminuant pour ces 'mêmes orifices, à mesure que la charge augmente, mais avec une rapidité qui n'est pas légale pour tous , et qui est • d'autant 1 plus giîuide que l'orifice *st friûs petit. Nous devons pegr*ttery à œ -sujet; que les ^îrdorwtances nous aiéht empêchés 'de &hrèy sur les orifices 'de *,«de a^etde 3 centimètres * des expériences avtec des charges supérieures â 1^ 4 qu^noti* eussent ^ermiq d-appréciër dhifte* maniée tertah^ 1a loi ^'aursièmr alors swvieies codfièierts <dè >\x dépeitte. Toutefois ,- d'après les
ip2 EXPÉRIENCES
résultats obtenus la première année de nos expériences et consignés dans la 1 3 c colonne du tableau n* II , et d après tout ce que Ton connaît sur les orifices circulaires ou carrés pour lesquels les auteurs ont opéré avec des charges qui ont souvent surpassé 4 mètres , il nous est encore ici permis d admettre (176) que le coefficient des formules D et d' ne des* cervdra jamais au-dessous de 0,600 ; de sorte que ses variations , à compter de la charge de 1 m , 20 , doivent demeurer comprises entre les limites fort resserrées 0,625 et 0,600, quelle que soit ia, hauteur de f orifice.
Courbes et Tables générales d'interpolation relatives à la dépense des orifices fermés à la partie supérieure ; Comparaison des résultats quelles donnent avec les résultats déjà connus.
181. Afin d'acquérir tout d'un coup- une idée exacte des lois suivies par les eoefficiens dont il s'agit* selon les différentes charges de liquide et les diverses ouvertures de la vanne, nous avons tracé pour chaque orifice „, d'après les données des tableaux compris depuis le n° IV jusqu'au n° IX, de* courbes ayant ces eoefficiens pour ordonnées , et pour abscisses les charges complètes sur le sommet : elles se trouvent rapportées sur la planche 7 (fig. d et e).
. Pour éviter la confusion qui résulterait de la réunion de toutes ces courbes sur une même figure assez petite pour les comprendre dans toute leur étendue, nous nous sommes bornés à construire sur la figure d les valeurs des eoefficiens relatifs à Ja formule D* qui sont données dans la 1 1 c colonne du tableau n 9 IV et dans la 20 e des tableaux suivans. Nous avons pris pour échelle des abscisses le dixième de la grandeur naturelle ou 1 millimètre pour chaque .centimètre de hauteur 4e charge; vet, pour les ordonnées ou eoefficiens, nous avons exprimé
HYDRAULIQUES. Ip3
chaque o f ooi par un millimètre * c est-à-dire que nous avons pris le mètre pour représenter l'unité entière. Mais , afin de diminuer la hauteur occupée par ces ordonnées, nous en avons retranché une quantité constante de 60 centimètres ; ce qui revient à né construire que l'excès des divers coefficîens sur 0,60. Enfin , pour distinguer entre elles les courbes relatives à des cas différens, nous avqns placé le long de leur cours des chiffres qui indiquent les hauteurs des orifices auxquels elles se rapportent.
La figure e représente au contraire l'ensemble de toutes les courbes des coefficiens portés dans les colonnes 1 1 , 1 2 et 18 du IV* tableau, et 2 1 et 22 des tableaux suivans, mais sur une étendue de 30 centimètres seulement, parce qu'audelà ces courbes se confondent pour un même orifice et ne donnent plus que le seul tracé exprimé dans la figure D. On a retranché 0,6 de toutes les ordonnées, et on les a construites à la même échelle que pour la figure d; mais les abscisses sont de grandeur naturelle, en sorte que le mètre exprime l'unité entière pour les abscisses comme pour les ordonnées. Des chiffres placés sur les courbes indiquent les hauteurs des orifices auxquels elles appartiennent, et ces chiffres sont accentués pour distinguer entre elles celles qui, pour un même orifice, se rapportent à des formules différentes, ou à un mode différent de mesurer les charges. Ainsi 20 et 20' désignent, pour l'orifice de 20 centimètres et les charges mesurées à 3 m , 50 en amont de cet orifice, les courbes des coefficiens des formules d et d', tandis que 20" désigne la courbe relative à la formule d , lorsque la charge est mesurée immédiatement au-dessus de l'orifice.
On voit que ces courbes suivent sur lune et l'autre figure une marche très - régulière , quoique distincte pour chaque orifice, et quelles ont une continuité en quelque sorte parfaite, bien» qu'elles aient été assujetties à passer
rigoureusement par les points déduits de l'expérience : ces points d ailleurs ont été laissés en évidence sur la figure d. Le point marqué 20 .a , relatif à l'orifice de 20 centimètres, est le seul qui n'ait pu être compris dans Je tracé de la courbe correspondante; mais il s'en écarte extrêmement peu, et H provient évidemment d'expériences anomales , ainsi que la remarque en a déjà été faite (173).
A l'aide de ces différentes courbes, on arrive sans peine à toutes les conséquences exposées dans ce qui précède, et que nous avons déduites de la simple facture des tableaux : ainsi, par exemple, les courbes relatives aux orifices de 20, de 10, de 5 et de 3 centimètres d'ouverture (fig. d), présentent constamment leur concavité à l'axe des abscisses et ont une ordonnée maxima, tandis que, pour celles de 2 et de ï centimètre, le point de maximum ou sommet a disparu, du moins en apparence. On voit aussi que les courbes 3 et 5 offrent dans une grande portion de leur cours une analogie de forme et un rapprochement vraiment remarquables, et qui sembleraient indiquer qu'il se passe en effet (178) quelque chose de particulier dans la loi des coefficiens aux environs des orifice^ de 3 et de 5 centimètres. Enfin la présence, dans les courbes 1 , 2 , 3 et 5 , de points d'inflexion qui n'existent pas dans les courbes 10 et 20, paraîtrait annoncer que les lois des coefficiens qu'elles expriment comportent une complication qui n'aurait pas lieu au même degré pour les orifices de 10 et de 20 centimètres d'ouverture, de manière qu'il en résulterait une sorte de solution de continuité dans les lois relatives aux diflerens cas.
182. Nous disons que la loi est plus compliquée pour les lignes qui présentent des points d'inflexion, parce qu'en effet le. degré des courbes croît nécessairement avec le nombre de leurs changemens brusques de courbure. Mais comme , d'une part, rien ne prouve que les .courbes relatives aux orifice* de
z et de i centimètre ne finissent pas , pour des charges sur le centre plus petites encore que ceiies qui ont été soumises à i expérience , pair se replier vers l'axe des abscisses, et que, d'un autre côté, les courbes des orifices de 10 et de 20 centimètres de hauteur pourraient également avoir des. points d'inflexion invisibles, même dans la région des points donnés par l'expérience, il est impossible, à priori, de rien prononcer de positif sur l'état de complication plus ou moins grand de ces différentes courbes, et sur la modification qui s'opère dans les équations qui lient leurs ordonnées à leurs abscisses ou les coefficiens aux charges.
D'après les observations faites précédemment (180), ces coefficiens ne doivent jamais descendre au-dessous de 0,60, ou d'une valeur qui en diffère peu ; nos courbes doivent donc aussi se rapprocher indéfiniment de l'axe des abscisses ou d'une droite parallèle qui en soit peu distante et qui leur serve d'asymptote : or il en résulte que , si elles étaient continuées au-delà des charges qui ont été mises en expérience, elles offriraient toutes un nouveau point d'inflexion , ce qui les rendrait susceptibles d'être coupées, savoir : celles des orifices de-i et de 2 centimètres, en au moins quatre points visibles; celles qui répondent aux orifices de 3 et de 5 centimètres , en au moins cinq; et celles des orifices de 10 et de 20 cent*? mètres, en au moins trois points semblables. Par conséquent, la loi ou l'équation entre les abscisses et les ordonnées , relative à ces différentes courbes , serait , en là supposant algébrique, au rpoins du 4 e degré pour les premières, du 5 e pour les suivantes , et du 3 c pour les deux dernières , ou , en générai , du 5 e degré au moins, si on les suppose toutes susceptibles d'être représentées par une équation algébrique de même forme , de sorte que la continuité subsiste entre elles , et qu'il n'y ait aucun changement brusque en passant de l'une à l'autre; ce qui revient à admettre que les valeurs des coeffi-
ip6 # EXPÉRIENCES
tiens de la dépense soient, pour tous les cas , une mdne fonction de la charge correspondante ainsi que de i ouverture de l'orifice, fonction susceptible seulement de se modifier selon la grandeur de cette ouverture.
183. Cette discussion a uniquement pour objet de faire voir combien serait difficile la recherche à posteriori 4e la loi suivie par les dépenses, même dans le cas simple qui nous occupe , où l'orifice est très-petit par rapport aux sections du réservoir , et où il est pratiqué dans une paroi plane et mince ; car, en supposant qu'on pût trouver par les considérations ci-dessus et par les méthodes d'interpolation connues la valeur des coefficiens de l'équation qui lie les abscisses et les ordonnées de chaque courbe individuelle , comme ces valeurs changeraient d'une courbe à l'autre ou avec la hauteur de l'orifice , il resterait encore à déterminer la forme des fonctions de cette hauteur qui sont propres à redonner les coefficiens dans chaque cas spécial, et il est peu probable qu'on y parvînt au hnoyen des 6 séries d'expériences relatives à nos tableaux.
On remarquera d'ailleurs qu'on ne simplifierait pas beaucoup l'état de la question en substituant aux coefficiens de
la formule d ou / [h — - h') 1/ 2g(^—\ ceux de la formule d' ou ^•(hY'ïgh — h'V^h*), ni en cherchant à ordonner ces coefficiens par rapport à la charge sur le centre ou sur la base de l'orifice : car on est conduit, dans tous les cas, à des courbes fort compliquées; et, sans affirmer qu'on ne puisse pas choisir une combinaison de variables plus propre à mettre en évidence la loi des dépenses effectives, on peut tout au moins regarder la chose comme très-douteuse, attendu la diversité des causes physiques qui concourent à compliquer le mouvement du liquide au sortir du réservoir , et dont l'influence se fait plus ou moins sentir selon la grandeur absolue de la charge génératrice et de la hauteur de l'orifice. <
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184. Les courbes représentées dans les figures d et e ( planche 7 ) nous ont servi à construire par interpolation une table générale des valeurs des coefficiens des formules de la dépense théorique pour des charges, sur le sommet des orifices, croissant depuis les plus petites, auxquelles correspond l'instant où le déversoir est sur le point de se former , jusqu'à des charges égales à 2 et même à 3 mètres : nous avons , du reste , rapproché ces charges suffisamment entre elles pour faire apprécier les variations les plus faibles des coefficiens.
L'ensemble de ces résultats est consigné dans la partie de gauche du tableau. n° XII placé à la suite de ce mémoire, et dont 1 usage ainsi que la disposition ne réclament aucune explication particulière. Nous ferons seulement remarquer que, dans ce tableau, les résultats qui ne sont point déduits immédiatement des portions de courbe données par l'expérience , et qui correspondent aux plus petites et aux plus fortes charges dans le réservoir , sont séparés des autres par un petit trait horizontal '/nous les.avons obtenus en prolongeant les courbes d'après le sentiment de la continuité et la supposition que , vers les plus fortes charges, les coefficiens doivent se rapprocher d'autant plus de 0,6 que l'orifice est plus ouvert, sans jamais atteindre cette limite , conformément à l'observation déjà faite ci-dessus (180).
Du reste, pour les fortes charges et les orifices au-dessous de i o centimètres de hauteur, nous nous sommes principalement dirigés d'après les résultats obtenus par Michelotti et par Bossut sur les orifices rectangulaires ou carrés , lesquels assignent au coefficient de la dépense hypothétique une valeur qui est encore moyennement de 0,608 , pour des charges d'eau supérieures même à 3 m ,5o.
On remarquera que nous avons placé en tête des colonnes relatives à chaque orifice, et au cas où l'on mesure les hauteurs
ip8 EXPERIENCES
du liquide fort en avant dans l'intérieur du réservoir, ia valeur du coefficient qui répond à ia charge pour laquelle le déversoir est sur le point de se former, charge qui a été calculée par ia formule du n° i6$.
Nous avons aussi , pour le cas où 1 on relèverait le niveau tout près de l'orifice, rapporté ies coefficiens de ia formule d qui répondent à une charge nulle sur le sommet. Leurs valeurs , à l'exception de celle qui concerne l'orifice de 3 centimètres, qui a même offert une charge négative (VII e tableau), ont été déterminées non -seulement par le prolongement à vue des courbes d'interpolation , mais encore par le calcul , en se basant sur lés résultats correspondans obtenus pour le cas où la charge est prise loin de l'orifice.
En générai, les coefficiens de ia formule t>, relatifs au cas 4>ù ia charge est mesurée loin de l'orifice , ont seuls été conclus immédiatement des courbes d'interpolation qu'on peut alors prolonger sans inconvénient, parce que leurs ordonnées ne croissent pas trop rapidement, et que d'ailleurs les expériences se sont étendues jusque tout près de la limite infé* rieure des charges ; nous avons ensuite déduit les autres coefficiens de ceux-ci en leur appliquant , pour plus de rigueur, le même calcul que pour former les tableaux détaillés euxmêmes.
1 8 5 . La table générale qui nous occupe et dont ia formation est due principalement à M. Lesbros, nous permet, conjointement avec ies courbes de ia planche y, de comparer avec ia plus grande facilité ies résultats de nos propres expériences avec ceux qui ont été obtenus par les cliver» expérimentateurs , pour le cas des orifices percés en mince paroi plane et complètement isolés des faces adjacentes du réservoir.
Les uns et les autres mettent notamment en évidence l'observation dé)k faite plus haut (180) relativement àia faible différence qui existe entre ies coefficiens des orifices de i, t de
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2, de 3 , de 5 et même de 10 centimètres» pour des charges sur ie centre supérieures à i m ,20 : la valeur de ces coefficiens s'écarte à peine de -~ de 0,617 *I U * P eut en ^ tre considéré comme la moyenne générale; or c'est à peu près là aussi la valeur moyenne du coefficient qui se conclut des expériences de Michelotti f de Bossut et d'autres observateurs habiles qui , dans presque tous les* cas, ont opéré sur des charges qui surpassent i m ,20. Mais, ce qu'il y a surtout de remarquable dans cet accord , c'est que les orifices qu'ils ont spumis à l'expérience et dont les diamètres ou côtés se trouvaient compris entre 6 lignes et 6 pouces , étaient les uns circulaires , les autres carrés ; ce qui semblerait démontrer, non pas , comme on l'a avancé jusqu'à présent, que 4a forme de l'orifice est absolument sans influence, mais bien que la variation du coefficient de la dépense, du moins quant aux fortes charges, dépend essentiellement delà hauteur de ï orifice ou du plus petit intervalle compris entre ses bords opposés; de telle sorte, par exemple, que, la largeur horizontale des orifices rectangulaires venant seule à changer , le coefficient reste sensiblement le même pour toutes les charges au-dessus de r m ,2o (1).
M, Bidone, il est vrai, a obtenu (7) une légère augmen-^ tation du coefficient de la dépense des orifices dont il s'agit
(1) Depuis la présentation dece mémoire à F Académie royale des sciences, M. d'Aubuisson aptiblié dans \c* Annales' de chimie et de "physique, tome XLIV, page 225, année 1830, des Expériences sur l'écoulement des eaux par des orifices rectangulaires allongés , dont les résultats s'accordent suffisamment -bien avec ks nôtres, eu égard à la différence des appareils et des dispositions, mais dont ii tire une conséquence qu'il nous est impossible d'admettre malgré la compétence d'un tel pige , savoir : que , du moins sous de petites charges , ie coefficient de la dépense n'est pas ie même pour les orifices allongés que pour les orifices circulaires ou carres.
Dans cette première série d'expériences exécutées au Château d'eau de Toulouse» et dont ce célèbre ingénieur a eu l'obligeance de nous communiquer les résultats détaillés, un orifice rectangulaire de o m ,3 de largeur sur o*v>i de hauteur, pratiqué dans une feuille de fer-blanc mince, lui a donné', pour des charges sur le centre de l'orifice, exprimées en
mètres, de ♦ 0,018 0,028 0,03^ 0,054 0,064 0,067 °>°77 0,081,
des coetiîciens de d' de 0,70 0,71 0,69 0,70 0,69 0,71 0,60 0,69.
Les anomalies que présentent ces nombres , et leur léger excès sur ceux que donnent nos
pour un accroissement progressif de ieur largeur horizontaie : mais on peut attribuer cette circonstance à ce que , dans l'appareil dont il s'est servi, cette largeur devenait de plus en plus comparable à celle du réservoir; ce qui produisait une diminution nécessaire de la contraction latérale de la veine.
186. La valeur moyenne 0,6216 du coefficient delà formule d', trouvée par cet auteur , ne s accorde nullement d'ailleurs avec le résultat de nos propres expériences ; car ici l'orifice avait 9,25 millimètres de hauteur environ, et la charge est demeurée comprise entre 45 et 23 centimètres (voyez le mémoire cité au n° 8). Or, en consultant les nombres de la colonne du XII* tableau qui est relative aux orifices de 10 millimètres de hauteur, on. trouvera, pour les charges de 20 à yo centimètres, le coefficient moyen 0,650 qui est de beaucoup supérieur à celui de M. Bidone. Nous ne pouvons attribuer une pareille différence qu'à la disposition particulière de l'appareil de cet auteur, dont l'orifice se trouvait un peu reporté en amont de la face générale du réservoir à laquelle il était adapté ; ce qui , d'après l'expérience connue de Borda, répétée par Venturi, devait nécessairement augmenter la grandeur de la contraction de la veine; peuttables, peuvent être principalement attribués à l'incertitude dans la mesure des charges, qui se prenaient à o m ,o6 seulement en amont de la paroi de l'orifice.
Dans une seconde série d'expériences exécutées par M. Castcl , contrôleur des eaux de Ja ville de Toulouse, des orifices carrés de o m ,oj de côté et des orifices circulaires de o ro ,oi de diamètre n'ont donné, pour des charges pareilles, les premiers que 0,64 à 0,66, et les seconds que 0,66 à 0,67 : mais, pour que ces expériences fussent exactement comparables aux précédentes, il faudrait qu'elles eussent été faites sur ie même appareil et dans les mêmes circonstances; ce que nous ignorons complètement, car il se peut que la grande infériorité des derniers coefficiens sur les autres tienne , i° à la manière ce relever les charges, 2 à l'augmentation de la contraction effective, résultant de la position et de la petitesse des orifices par rapport au réservoir.
Quant à la troisième série .d'expériences mentionnée dans la Notice de M. d'Aubuisson, et qui est relative à des orifices rectangulaires accolés de o" 1 , 1 o de longueur sur c m ,o 1 01 , nous n'entreprendrons pas d'en comparer Jes résultats aux nôtres , parce que la .disposition particulière et la petitesse du réservoir devaient ici conduire à des différences notables dans les coefficiens.
être aussi que la méthoderde mesurer ia dépense réelle de liquide par l'observation de l'abaissement du niveau dans le réservoir porte avec elle des causes nécessaires d'une diminution de cette dépense comparée à celle que donnent les formules.
Nos résultats , au surplus , s'accordent beaucoup mieux avec ceux qui ont été obtenus par Mariotte , Daniel Bernoulii et M. Hachette (voyez les ouvrages déjà cités n°* 6 et 7 ) , qui, en opérant sur des orifices circulaires de 5 à 1 6 millimètres de diamètre, ont généralement trouvé des coefïîciens supérieurs même à 0,65.
Dans les expériences de BerriouIIi , entre autres , relatives à un orifice de 9,3 millimètres de diamètre (Hydrodynamique*, pages y 9 et 80 ) , le coefficient de la dépense a été de 0,699 et 0,685 P our des charges qui ont varié de 8 à 12 centrmètres dans le premier cas , et de 3 1 à 3 3 centimètres dans le second ; notre table donne moyennement 0,667 et 0,650 dans les mêmes circonstances.
Dans les expériences de Mariotte , un orifice de 6 lignes de diamètre ou 13,5 millimètres a fourni un coefficient un peu supérieur à 0,74 ,-pour des charges de 1,6 et 8,8. centi* mètres sur le centre : le tableau n° XII indique, pour les mêmes charges et l'orifice de 1 centimètre , des coefficiens de d' ayant pour valeurs 0,705 et 0,671. Avec le même orifice et une charge de i m ,78 , Mariotte, il est vrai, a obtenu 0,699 P our I e coefficient de la dépense, tandis que, d'après notre table , il ne serait que de 0,6 1 4 '• niais la première valeur est évidemment trop forte; car Bossut, en opérant sur un orifice circulaire de même diamètre , sous des charges égaies à 96 fois, 216 fois et jusqu'à 282 fois ce diamètre, a obtenu, pour coefficiens , seulement les nombres 0,625, 0,621, 0,623 » SF* s'accordent bien avec les résultats de nos propres expériences , quoiqu'ils leur soient encoreun peu supérieur;
ce qui est d'autant mokis étonnant , quev d'après les expériences méflrrés de cet auteur, lés orifioes xi r eu lai r es doivent, à: circonstances égales, donner des . coefficient un peu plus forts: que = les orifices carrés; Quant aaix résultats de M. Ha^ chette, il nous est impossible de les comparer à ceux de nos tables, attendu que nous ignorons la grandeur 1 exacte des charges sur lesquelles» il a opéré.
187. A cette occasion, on remarquera que les soins qui ont .été pris pour mettre à arêtes vives les bords de nos orifices, permettent de prononcer affirmativement que l'épaisseur de la paroi n'a eu ici aucune influence appréciable sur l'augmentation du coefficient de la dépense pour les faibles ouvertures de vanne^On doit donc, en attendant de nouveaux éclaircissemens , se borner à admettre que le fait seul du rapr prochement des bords opposés Ae l'orifice occasione, une diminution dans la contraction extérieure de la veine , et que cette diminution devient surtout; sensible lors des faibles charges au-dessus de ces mêmes bords. En effet, il serait absurde d'attribuer à la vitesse moyenne du Kquide, dans la section contractée ,.<un accroissement aussi considérable que le supposent les valeurs du coefficient des formuies-de la dépense d etD'j et la diminution de la contraction effective paraît être une conséquence nécessaire .de ce que le lieu x>ù die s'opère s'éloigne de l'orifice à mesure que les côtés hori^ zon taux de celui-ci se rapprochent ( 1 4^).
1 1 88., Nous venons <Ie comparer les. résultats de notre table résumée avec ceux, des autres expérimentateurs, pour > les orifices au-dessous de 2 centimètres de; •diamètre avec des charges très-variées, et nous avons déjà fait précédemment la même comparaison pour les orifices dont Couverture surpasse x centimètres avec des charges, dans Je réservoir, qui excèdent i"V2o; quant aux cas des fortes ouvertures sous <de. petites charges , les expériences de cette espèce : qui se rapportent à
lansupposition où l'orifice est complètement isolé des faces latérales du réservoir, se réduisent à celles qui ont été mentionnées au n° 6 de ce mémoire. Or le XII e tableau donne, pour les plus faibles charges sur le sommet de l'orifice* le coefficient de d' égal à 0,644 quand l'ouverture est de 3 centimètres, et à 0,673 quand elle est de 2 centimètres , nombres qui diffèrent peu des résultats obtenus dans l'expérience du pouce des fonteniers , notamment par Bossut, dont le coefficient 0,65, quoiqu'un peu plus faible que ceux de Mariotte et de M. Hachette, paraît devoir. inspirer la plus grande confiance, 1 Quant à la valeur 0,625 trouvée par. Borda pour un orifice, de 1 5 lignes ou 3*74 de diamètre, sous des charges qui ont varié entre 21 et 32 centimètres ^ on peut voir,; par notre tableau, que, pour les* mêmes charges de liquide y ce coeffir* cient -est environ 0,633, c'est-à-dire, plus fort d'environ ^jji Mais, d'après la disposition de l'orifice dans l'expérience de Borda, et la manière dont cet auteur mesurait les ^dépenses de liquide, il y a lieu de croire que la valeur du coefficient de la formule d' devait se trouver un peu diminuée, de: même que pour les expériences de M. Bidone citées plus haut (185). 1 8p. Quoique nos résultats nous inspirent en eux-mêmes la plus grande confiance , et que leur certitude ne puisse à nos yeux être révoquée en doute , cependant les rapprochemens qui précèdent étaient trop satisfaisais pour ne pas nous y arrêter quelques ins tans y d'autant plus qu'ils nous conduisent à admettre, en attendant de nouvelles expériences r ce fait im* portant, que «les valeurs des coefficiens des formules adopr » tées pour calculer la dépense des orifices > rectangulaires » verticaux limites à la partie supérieure, sont «sensiblement indépendantes de la largeur horizontale absolue de ces orifices , ou demeurent les mêmes à charge et à ouverture
» égales. »
Ces résultats permettent aussi d'affirmer, dès à présent ,
que les produits d'eau fournis par les larges pertuis des usines et des écluses, quand ils sont complètement» isolés des faces latérales et du fond du réservoir et que l'écoulement s'y fait comme en mince paroi , peuvent être calculés avec beaucoup d'exactitude par le moyen du tableau n°XII, cestnà-dire, sans qu'on ait à craindre des erreurs qui excèdent ~-^ ou
de leur valeur réelle. Toutefois , comme le coefficient des formules d et d' paraît diminuer un peu à charge égale à mesure que la hauteur des orifices augmente , il nous restera à tenter quelques nouvelles expériences relatives à des hauteurs de 30 à 50 centimètres, ainsi qu'il s'en présente parfois dans la pratique. Nous tâcherons aussi de faire des expériences sur des charges plus fortes que celles que nous avons jusqu'ici mises en usage; mais, attendu que les coefficiens varient peu dès que la charge excède i m ,io , on pourra provisoirement se servir, pour les plus fortes charges, des nombres inscrits dans le tableau n° XII, sans craindre en aucun cas de commettre des erreurs qui excèdent ~^ de leur véritable valeur.
Courbes et Tables d'interpolation relatives aux orifices découverts ; Rappel des résultats déjà antérieurement connus.
190, Passons maintenant aux expériences concernant les orifices en déversoir , dont les résultats sont consignés dans les tableaux n°* III et X , et occupons*-nous plus spécialement des nombres de ce dernier, qui nous semblent mériter une confiance entière.
Ici , les coefficiens des formules de la dépense ( voyei ^ es observations en tête des tableaux)
d — lhVTgh, d'—2^x6ilh\ t Dz=l{h— ^1/2^^,
ces coefficiens, dis-je, vont continuellement en augmentant à partir des plus fortes charges h sur la base de l'orifice; mais ils présentent cette circonstance particulière, que leur valeur varie extrêmement peu aux environs de la charge de 13a 14 centimètres. Aussi , en construisant les courbes d'interpolation qui leur sont relatives , trouve-t-on quelles offrent toutes une inflexion vers le point qui correspond à la charge dont il s'agit. Les courbes données par les formules d et d' étant d'ailleurs les mêmes , à la position près , on s'est contenté de construire celle qui représente les valeurs des coefïîciens de la première , en adoptant les mêmes conventions que pour la figure d (181), si ce n'est qu'ici les abscisses ou charges totales sont construites sur une échelle de grandeur naturelle , et que l'axe de ces abscisses est choisi de telle sorte que les ordonnées représentent les valeurs des coefïîciens diminuées de 0,400.
On peut voir sur la figure F de la planche y le tracé de cette courbe qui a servi à construire par interpolation la partie de droite du tableau n° XII , dans laquelle on a laissé en évidence , comme pour les courbes de la figure d , les points qui résultent des données mêmes de l'expérience. On remarquera encore ici que ces points sont assujettis à une loi dont la continuité est , pour ainsi dire , parfaite.
1 9 1 . La courbe qui nous occupe a , dans toute l'étendue de son cours qui répond aux charges de liquide soumises à l'expérience , une forme très-approchante de celle d'une parabole cubique; en prenant, en effet, pour représenter les valeurs des coefïîciens de la formule d % la fonction 0,35737 -^ ï4»2 [h -^0,137) Von retrouve ces valeurs à moins de ^tt près. Mais, comme cette fonction est t susceptible de devenir nulle et mêipe négative pour fes^ valeurs de h qui surpassent o m ,44> M est clair qu'elle! n'exprime pas là marche véritable des coefficiens, et qu'elle ne peut être employée que pour des
2o6 EXPÉRIENCES
charges qui surpasseraient: peu celles qui ont été mises en expérience.
. C'est aussi pourquoi les charges inscrites dans la table cidessus n'excèdent point o m ,zi de hauteur; car les courbes d'interpolation i ne pouvaient, sans inconvénient pour l'exactitude, être prolongées beaucoup au-delà du point qui correspond à cette charge.
L'incertitude étant beaucoup moindre pour les petites valeurs des abscisses, et la direction de ta branche qui leur appartient étant déterminée par plusieurs points successifs , on a pu-», sans crainte d'erreurs: graves, ia^prolonger jusqu'à des charges très -voisines de zéro, ainsi qu'on le voit par les nombures: de la; .fable. Néanmoins il paraît évident que la courbe ne doit pas se prolonger indéfiniment du côté de Taxe desi ordonnées , et doit revenir; brusquement sur elle-même de façon à donner un coefficient nul pour les très -petites charges, où 1 action capillaire de la paroi de l'orifice finit par contre-balancer entièrement tœile de la gravité ( 1 6y).
Il :est encore évident que la branche inférieure de la courbe, au lieu de se prolonger indéfiniment en suivant un cours pa^ rabolique ; comme l'indique la figure y doit, dans la réalité* subir un nouveau changement de forme à une certaine dis-» tance au-dessous du premier point d'inflexion , puis reprendre unei direction qui soit asymptote dune droite parallèle à l'axe des abscisses , et située beaucoup plus près de cet axe que la parallèle qui répond à l'ordonnée négative -^«o,4oo. Autrement, en effet /la valeur du coefficient pourrait encore dtavenir nulle ou négative; ce qui est impossible. 11 faudrait de nouvelles expériences sur des charges beaucoup plus fortes qtoe 20 centimètres , pour mettre ces circonstances -en év*t deace , et pour qu'il fût permis de hasarder quelques refi cherches sur la ioi qui est akxrs suivie par les coefficiens , de la formule ^
192. On remarquera ;s dans la première coloaneide la lable qui nous occupe, les charges de o m f i\y % o m , 1 i24i 0^0591, 0^,03 73* o™,oo6.i, o m ,oi4^> qui interrompent la suite naturelle formée par les autres charges; elles se rapportent à ceiies qui correspondent à l'instant de la formation du déversoir pour les orifices fermés, à la partie supérieure de 20, de 10, de 5 , de 3 , de 2 et de 1 centimètre. On les a ainsi intercalées pour mettre en état de comparer aisément entre elles les valeurs des coefficiens qui doivent affecter les formules d et d', considérées comme applicables à -la -fois aux orifices découverts et non découverts, quand on y substitue pour h les charges totales dont il s'agit , et * pour h', les charges moyennes sur le sommet ou les dépressions. En extrayant, par exemple , des deux tables qui composent le tableau n° XII, les valeurs dont il s'agit relatives à la formule d, on arrive à ce résultat:
Charges .totales . . p m ,2i7 o n, ,U24 o™y>y9i o m />37J o m ,026i o m ,ot46
Cffcicm pour les j fermés., .o ,569 o ,591 o ,606 o ,631 o ,661 ô ,706 """k^ { découv. o ,572 o ,594 o ,624 o ,657 o ,688 o ,759
Or la comparaison des coefficiens, dans les deux cas, montre que leur différence, qui est presque nulle pour la charge de 6 m , 2 1 7, croît de plus en plus à mesure que la charge ou la hauteur de l'orifice diminue : circonstance dont la cause est facile à saisir (138 et suiv.); car l'adhérence qui a lieu cointre le bord supérieur des orifices fermés exerce d'autant plus d'influence pour soulever la surface libre du liquide n^ue leur hauteur est elle-même moindre,.. et l'effet de ce sauiève7 ment est de donner à la section de la vejne, comprise dans if, plan de l'orifice , une aire un peu plus forte quecçllç qu'elle possède naturellement dans le cas où le déversoir se trouve complètement formé sous la même charge totale de liquide ,
charge qui est toujours censée mesurée fort en avant dans le réservoir.
En d'autres termes t les valeurs de h' qui entrent dans la formule D, ou, ce qui revient au même, dans
sont réellement un peu plus fortes pour les orifices découverts que pour ceux qui ne le sont pas, la charge h restant la même ; de sorte que cette formule donne aussi moins dans le premier cas que dans Je second. Ce fait, étant d'accord avec l'augmentation même du coefficient, semblerait prouver que les dépenses effectives sont à très-peu près égales dans les deux cas, malgré l'action capillaire exercée dans l'un sur le sommet de l'orifice. C'est ce qui! eût été intéressant de vérifier directement sur l'orifice de i ou de 2 centimètres de hauteur, par exemple , en recueillant le produit d'eau à l'instant où le déversoir est près de se former, et à celui où il est complètement formé sous la même charge totale au-dessus de sa base.
193. Comme il a été fait par différens auteurs un grand nombre d'expériences sur les déversoirs , nous en avons ici réuni les résultats en un même tableau, afin de pouvoir lès comparer facilement aux nôtres. *M. Navier ayant déjà, rapporté , dans ['avertissement de sa nouvelle édition de V Architecture hydraulique de Bélidor, page xn, les résultats des expériences de Dubuat, de Brindley et Smeaton, calculés d'après la formule d'=iz t ^6i lh\, nous avons adopté la même disposition pour la table qui suit , et nous n'avons eu qu'à y ajouter les résultats dus à MM. Bidone, Eytelwein et Christiàri, ïjtii se trouvent consignés dans les ouvrages de ces auteurs souvent cités dans le cours du présent mémoire. '
