SUR LES LOIS DES DÉPENSES

Principales conséquences relatives aux orifices fermés à la pànhe . y supérieure.

173. Commençons par les expériences qui concernent f orifice de 10 centimètres de iiauteur, et dont les r^ultats sont consignés dans le tableau n"* IV placé à. la suite de ce mémoire. En conraltant les colonnes 11 et 12» qui donnent resr pectîvement les coefliciens dont îl faut affecter les formule^ usuelles

qui servent à calculer la dépense ( voyez les conventions générales qui précèdent les tableaux) ; on remarque qu'à partir de la plus forte chargé i^^^ji sur le centre de lorifice , les coefîîciens dont il s^agît vont généralement en augmentant de valeur Jusque vers la chargé de 0^,9 5 3 . où ils paraissent avoir atteint leur maximum. A la vérité, les coefficiens relatifs aux expériences 5 et 6 font anomalie avec cette loi générale; mais, comme îcî les àccroissemens successifs tiennent à des quantités d'ùri' ordre très^tit, une isemblable anomalie nû, rien d'étonnant et ne doit pas empêcher d'admettre la loi en question, qui se reproduit égalehient dans 4es expériences relatives aux orifices de 10 et de 5 centimètres de hauteur. On voit aussi qUià partir 'dé la fcharge de o"'^p53 sur fç centre, égale à environ cinq fois la hauteur de l'orifice, les coefficiens vont contlrtùeli^énient endîmînuant; et décroissent

HYDHAULKiUES. 185

même très-rapidement vers les faibles charges sut ie sommet, quoique moins rapidement pour les coefficîens de la formule d' que pour ceux de la formule d.

i 74. Cette loi des coefficîens du tableau n* IV ne se manifeste pas pour ceux du tableau n^ I ( colonnes 11 et 12) concernant les expériences faites en 1827 sur le même orifice ; mais cela n*a rien d'étonnant , puisque les différences dont elle dépend sont au-dessous de celles qui proviennent des anomalies que présentent les nombres mêmes de ce dernier tableau ( p6 et suiv, ). D'ailleurs , la moyenne générale 0,^0 1 3 des coefficîens de d', dans ie tableau n*" IV , diffère extr&nement peu de celle 0,601 y qui se conclut des coefficîens semblables An tableau n*^ I , et l'on pourrait, sans craindre de commettre des erreurs appréciables , adopter généralement le coefficient 0,^02 pour calculer la dépense au moyen de la formule dont il s'agit , dans le cas des orifices carrés verticaux à grandes dimensions.^ pratiqués en mince paroi.et complètement isolés des faces latérales et du fond du réservoir, pourvu que la charge sur le sommet ne fût pas <au- dessous de 5 ou 6 centimètres.

Il ne faudra^pas oublier toutefois que la hauteur du niveau de l'eau dans le réservoir est ici censée prise en un point tel , que ce liquide y soit parfaitement en repos. Les colonnes :! 8 et ip du tableau Ji** IV montrent, en effet, que les coefficîens des formules d et d' doivent être un peu augmentés quand on mesure les charges immédiatement au-dessus de l'orifice , et que ces charges sont très-faibles ; mais cette augmentation, pour l'orifice carré de ao centimètres de côté, n'est point considérable, parce que les dépressions du niveau sont elles-mêmes fort petites par rapport aux charges dont il s'agit. Ces légères différences n'en suffisent pas moins, comme on le voit , pour intervertir entièrement l'ordre de grandeur des coefficîens de la formule d' , de telle sorte que celui qui

lS6 EXPERIENCES

avait la plu» petite valeur dans ia première niamàfe de reiever les charges acquiert la plus grande.de toutes dans ia seconde (voyez les colonnes 1 2 et ip^ expérsences a?* 21 , ai^ 23 et 14}, 175. JRevenona aux chif&es des colonnes 1 1 et 12. Selon ia manière, ordinaire de voir, la ! contraction effective du ii^^ cfuide à sa sortîe.de rorifice devrait, un • peu diminuer avec ia hauteur, de la charge sur le somnaret, et, par. cans|équent» le coefficient de Ja dépense 'devrait constamment^ augn^enter ; ici, auîÇQhtraire^ ce dernier coefficient diminueii^x 'environs des très-basses charges ^ quand ia hauteur du niveau dans le réserv<î>ir est relevée fprt eh avant de f orifice. En considérant qjie^, dans l'établissement des formules ir et d/, on jn'a' point 4gwd.à.ia Vitesse ou à ia force jvive/ d'arrivée ,du liquide dans te. réservoir; qui tend à augmenter la charge génératrice h, Q.ous evions. (d'abord pensé. que l'existence du maximam dans les valeurs des coefficiens de ces. formules^ pouvait fort bien tenir > poux le.cas^de .notre appareil v à. ce quq la^ force rive dont il sAgitfét^it( elle-même susceptible d'mt.maxifMum aux environs de la charge de 0^,74^ au-dessus dela'bvase'de lV>ri^ fice (i); mais l'aire de ce dernier demeure, pour toutes les

(î) Nommons L ia longueur horizontaie du réservoir ,./ccHe de l'orifice,^ s» ba^e, <i sa hauteur, h ia charge d*eau sur cette base, A ia hauteur de cette même base au-dessus du fond du réservoir, enfin m le ooefHdebt deift formulrD, ' de 50ftex}ue fa dépense effective égalé

maéy ^gih-^^a) iVtire des seetbrn transversaitt du liquide en aradnt de iVrlfîce étant i^^X-hh)» d*aprcs les conventions ci- dessus , la vitesse dans cette section sem égale à

maby 2g[fi—^a) ^ -^^ admettant l'hypothèse du parallé^isifie destra^f^e^r par consé^

quent, raccroissemenc de la charge génératrice ^û à cetfe vitesse sera

dont là valeur' maximà est

et correspond à ^ = A •+- tf. Mais, comme on a ki A ps o«n,c4, a =» o"»,» , i.s=a o™^j , L = 3"»,68, m s=o,6o environ, il en résulte A == o«n,74, et ion trouve o%oooo^ pour le maximim. oherché, quantité absdament insignifiance. . *

charges possibles, tedement petite par. rapport à celle des sections transversales <kns le réservoir, et leau est animée d un mouvement si ient , même à une assez petite distance en amont de cet orifice, quon ne.saurait admettre une semblaJble interprétation du maximum observé dans la loi des :coeffic!iens«

lyalUeurBt il nous parait résulter des discussions entre? pris^ dans les n^*- i^o et siiiv. , ,que les formules d et d' n'ont ici aucun fondement bien réel ; et, comme on n'y tjentaucun compte:, non'-seiulenieiit du nKyuvement véiîtabiè du liquide dans Tintérieur du réservoir, mais encore des résistances qu éprouvent ses molécules de la part des parois contre lesquelles il coulé et^ des eiFets réels de la. contraction extérieure , &c.,. ii serait \ à peu près.hmtite de rechercher des causes qui donhent lieu au maximum observé., d'autant plus que la loi change pour les petits orifices, ainsi qu'ont le verra tout-à-rrheure* '

1 7^.- En terminant ce qui concerne l'orifice carré de ao centimètres de o6té, nous '^feifons remarquer, conformément à ce qu'indiquent les colonnes 1 1 et 12 du tableau n"" IV> ainsi quelesrésultats.déjàant^meuremeot connus, qiieles ooefficiehs des formulés d et o' éprouvent des variations ' presque nulléé vers lés £>rtes charges; ce' qui tient probablement à ce que les circonstances ci-'dessus exercent alors une. influence peu sensible. Les colonnes 11 et; 12 du tableau nf 1, qui comprend Içs résultats d'expériences, très ^ multipliées . ^ur . des charges supérieui;es à celles* du IV^ tableau» mettent cette circonstance dans tout son jour, et permettent de supposer que , pour les orifices carrés dont il s'agit , la valeur des coefficiens de d et de d' ne descend jamais au^essous de 0,(^00, si même elle atteint cette limite, pour des charges qui excéderaient 15 à 20 fois la hauteur de l'orifice.

Michelotti et Bossut, en opérant siur des orifices carrés ayant du is I jusqu'à 3 pouces de coté , sous des charges comprises

l88 EXPÉRIENCES

entre 27 fois et 250 fois ce côté, ne iont jamats trouvé (i) au-dessous de 0,602, et sa moindre valeur a mêmie surpassé constamment 0,616 pour les orifices de 5 pouces; résultat qui excède sensiblement le nôtre, mais quon peut expliquer en observant que, dans les expériences de Michelotti, à qui ce résultat est dû, les grands orifices* ont constamment donné, à circonstances égales sous le rapport des charges, un peu plus de dépense, que les petits : ce qui peut fort bien tenir d'ailleurs à la disposition particulière des appareils qu'il a mis en usage (2).

177. En consultant les colonnes 20 et 2 r des V5 et VP tableaux relatif aux orifices de i o et de 5 centimètres de hauteur, on verra que les coefficiens des* formules hypothétiques d et d' suivent une marche analogue à celle qui concerne 1 orifice de 20 centimètres, c'est-à-dire, qu'ils présentent un maximum aux environs des charges moyennes égales à 4 ou 5 fois la hauteur de l'orifice. Quant aux coeffieiens relatifs aux cas où l'on mesurerait la charge près de la paroi de l'orifice^ on voit parles colonnes 22 et 23 des mêmes tableaux, que, attendu l'influence sensible de la dépression éprouvée par le niveau du liquide dans le réservoir, les valeurs de ces coeffieiens vont sans cesse en augmentant à compter des plus fortes charges, du moins pour la formule d'. L accroissement suit même une marche très-rapide vers les faibles charges sur le sommet de l'orifice, circonstance qui, jointe à l'incertitude qui règne alors dans la mesure directe de ces charges, prouve qu'on

( I ) Voyez le tableau résumé de la vaieur de ces coeffieiens , donné par M. Ëy telwcin dans son Mémoire inséré au tome XI des Annales des mines.

(2) La section horizontale du réservoir employé par ce dernier expérimentateur était un carré de 36 pouces de côté , et i'eau parvenait à lapartie supérieure par un canal rectangulaire de 24 pouces seulement de largeur, circonstance qui devait occasioner beaucoup de trouble ilans te réservoir lors des fortes dépenses, et augmenter notablement la vitesse de sortie du liquide ( Sperimenti hydraulici, i y6y , pages 3 et suiv. ).

HYDRAULIQUES. l8^

risquerait, dans certains cas, de se tromper de beaucoup sur la véritable valeur de la dépense, en reievant la hauteur du liquide dans i endroit où la dépression du niveau est la plus grande, si Ton ne modifiait convenablement les coefficîens. J)ans le cas de l'orifice de 5 centimètres d'ouverture, par exemple , on voit que le coefficient de la formule d', qui n'est que de 0,62 environ quand on mesure la charge fort en avant de l'orifice, peut s'élever à 0,68 lorsqu'on la prend immédiatement au-dessus; en sorte qu'on se tromperait de près d un dixième sur la valeur totale de la dépense, si l'on prétendait se servir, dans ce dernier cas, du premier de ces coefficiens, qui se rapporte plus spécialement à la manière d'opérer des auteurs d'expériences hydrauliques.

Les tableaux suivans , relatifs aux orifices de 3 ^ de 2 et de 1 centimètre, indiquent des différences non moindres dans les valeurs respectives des coefficiens qui concernent ces deux manières de relever le niveau du liquide ; et , ainsi que nous avons déjk eu occasion de le faire remarquer , l'orifice de 3 centimètres présente même cette singularité (voyez tableau VII, expériences 15, i ^ et 17), que la charge sur le sommet , prise immédiatement en amont de l'orifice, est négative; cette circonstance , qui peut se présenter dans tous les cas où les charges et les ouvertures de vanne sont faiUes , montre bien toute l'incertitude attachée à une pareille méthode die relever le niveau, quand il s'agit de jauger la dépense des orifices dans la pratique.

178. L'inspection des colonnes 20 et 2 1 de^ tableaux VII , VIII et IX, relatifs aux orifices de 3, 2 et i centimètre, semble prouver que la cause qui produisait le maximum de la formule d' cesse d'exerc» une influence appréciable pour ces trois orifices, eç qu'elle continue à subsister à l'égard de la formule d , mais pour l'orifice de 3 centimètres d'ouverture seulement. Ainsi, à compter de ces limites respectives, les

IpO tEXFÉBIENCES

valeurs des coefficîens de i'une et de i'autre formate iiratent Gontinueliementi en augmentant let d'une* manière de plus en plus rapide, à mesure que la charge diminue; ce qui sem^ blerait annoncer que la loi de ces coefficiens subît une modification particulière dan^ les environs de lorifice de 3 centimètres^ Afais ces circonstances tiennent probablement à ce que , pour les très-petits orifices , le maximum de chaque coefficient correspond à des charges encore plus faibles que celles que nous avons pu soumettre à rexpérîence.

On remarquera aussi, comme un-faittrèsi-digne d'intérêt, que les valeurs des coefficiens de D et de d', (colonnes 20 et 2 1 , tableaux VI et VII), relatifs aux orifices. c|e 3 et de 5 centimètres d'ouverture,, sont presque les mêmes, à égalité de charges sur le centre, tant que ces charges ne deviennent pas très -petites, par exemple , moindres que 20 centimètres. Pour lorifice intermédiaire de 4 centimètres, les coefficiens différeraient probablement moins encore de ceux qui correspondent aux deux orifices voisins; et, comme en. passant de l'ouverture de 3 centimètres à celle de z (tableaux VII et.VIII) Jeur différence, à charge égale, est au contraire très r appréciable, on est tenté d'admettre qu'il s'opère réellement quelque modification essentielle dans le mode d'écoulement, ou la loi des coefficiens akix environs de lorifice de 3 centimètres.

179. La rapidité avec laquelle croit le coefficient de la formule d et surtout de la formule d', à compter de l'orifice de 3 centimètres de hauteur et à mesure que la charge de liquide diminue^ ne permet pas d'admettre pour.chaque ouverture de vanne une valeur moyenne et unique de ces coefficiens, et il sera nécessaire,, dans les applications de ces formules au jaugeage des dépenses fournies par les orifices rec^ tangulaires, de recourir à la table qui.se rapporte à chaque cas spécial. Cette circonstance, jointe à ce que les cœffi^ ciens de d' ne suivent point une loi plue simple que ceux de o,

HYDRAULIQUES. Ipt

fera probablement adopter dans la pratique cette dernière formule dont le calcul est plus facile.

Une autre conséquence résultant de l'inspection des di^ vers tableaux des dépenses , c'est que, à égalité du rapport de la charge sur lé ceirtreà la hauteùr.de lorifice, rapport qui se trouve indiqué dans les colonnes n°* (î et 1 4 > le coefficient des foFoiuies D et d' orort à mesure que cette hauteur de l'orifioe diminue, et croit d'autant plus rapidement que la charge absolue sur le centre est pW faible. Ce fait peut être! consi-' déré comme constant, et il se trouve jsarfaitement confirmé par les résultats des expériences déjà connues sur les orifices carrés ou circulaires , résultats que nous aurons soin de rapporter un peu plus loin , afin de les mettre en parallèle avec les nôtres.

1 80. Si l'on compare maintenant entre eux les coefficîens d'une même espèce, à égalité de charge absolue sur le centre, on trouvera que la ioi ci*dessus a lieu égalemeiit>pour tous les orifices, lorsque les charges- >n excèdent pas i^ ipètre, mais quevpour les charges plus fortes,- elle ne sevérîfip qu'à l'égard des orifices de 20 et de i o centimètres comparés aux orifices plus petits : or îl est digne de remarque que, pour tous ceux-ci, les co<efficiens acquièrent, aux. environs de laxrharge de î^ito sur le centre, des valeurs presque égaies, et qui diffèrent extrêmement peu de 0,62^. A compt0r de ce points ies eoefficiens vont continuellement en diminuant pour ces mêmes orifices ,^ à mesure que ia charge augmente y mais avec une rapidité qui n'est pas égaki pour tous , et qui est d'autant plus grande que Torifice est piuspetît. Nous devons regretter va ce. su jet, que iescirdonfitaitces nous aient empêchés de faire^ sur les orifices de i , de 1 et de 3 centinfiètres^ des expériences avec deS'Chairges supérieures à 1 ^i4 1 ^^ notis eussent permis d'apprécier d'une manière certaine la loi qu a^i raie» r alors» aiivie les coefficÂeiis de la dépense. Toutefois, ^d'après; les

Ipl EXPERIENCES

résultats obtenus ia première année de nos expériences et consignés dans ia 13* colonne du tabdeau n"* II, et d'après tout ce que l'on connaît sur les orifices circulaires ou carrés pour lesquels les auteurs ont opéré avec des charges qui ont souvent surpassé 4 mètres , il nous est encore ici permis d'ad* mettre {176) que le coefficient des formules D et d' ne descendra jamais au-dessous de 0,600 ; de sorte que ses variations , à compter de la charge de r'", 20, doivent demeurer comprises entre les limites fort resserrées .0^6 Z'^ et Or^^oo, quelle que soit la hauteur de lorifice.

Courbes et Tables générales d'interpolation relatives à la dépense des orifices fermés à la partie supérieure; Comparaison des résultats quelles donnent avec les résultats déjà connus.

181. Afin d'acquérir tout d'un coup une idée .exacte des lois suivies par les coefficiens dont il s'agit^ s/elon les différentes charges de liquide. et les diverses ouvertures de la vanne, nous avons tracé pour chaque orifice , d'après les données des tableaux compris depuis le n"* IV jusqu'au n^ IX, des courbes ayant ces coefficiens pour ordonnées , et pour abscisses les charges complètes sur le sommet : elles se trouvent rapportées mx la planche 7 (/^. D et e).

Pour éviter la confiision qui résulterait de la xéuniou de toutes ces courb.es sur une même figure assez petite pour les comprendre dans toute leur étendue, nous nous sommesbornés à construire sur la figure d les valeurs des coefficiens relatifs à la fi)rmule D, qui sont données dans la 1 1 ^ colonne du tableau n^ IV et dans la 20® des tableaux suivant. Nous avons pris pour échelle des abscisses Je dixième de la grandeur naturelle ou I millimètre pour chaque centimètre de hauteur de charge ; et, pour les ordonnées ou coefficiens, nous avons exprimé

HYDRAULIQUES. ipj

chaque 0,00 1 par un mîHimètre , c est-à-dire que nous avons pris le mètxe pour représenter Tunîté entière. Mais , afin de diminuer la hauteur occupée par ces ordonnées , nous en avons retranché une quantité constante de 60 centimètres ; ce qui revient à ne construire que l'excès des divers coefficiens sur 0,^0. Enfin , pour distinguer entre elles les courbes relatives à des cas différens , nous avons placé le long de leur cours des chiffres qui indiquent les hauteurs des orifices auxquels elles se rapportent.

La figure e représente au contraire l'ensemble de toutes les courbes des coefficlens portés dans les colonnes 1 1 » 1 2 et 1 8 du I V^ tableau , et 2 1 et 2 2 des tableaux suivans , mais sur une étendue de 30 centimètres seulement, parce qu audelà ces courbes se confondent pour un même orifice et ne donnent plus que le seul tracé exprimé dans la figure D. On a retranché 0,6 de toutes les ordonnées, et on les a construites à la même échelle que pour la figure d ; mais les abscisses sont de grandeur naturelle, en sorte que le mètre exprime l'unité entière pour les abscisses comme pour les ordonnées. Des chiffres placés sur les courbes indiquent les hauteurs des orifices auxquels elles appartiennent , et ces chiffres sont accentués pour distinguer entre elles celles qui, pour un même orifice, se rapportent à des formules différentes, ou à un mode différent de mesurer les^charges. Ainsi 20 et 20^ désignent, pour l'orifice de 20 centimètres et les charges mesurées à 3"*, 50 en .amont de cet orifice, les courbes des coefficlens des formules d et d', tandis que 20" désigne la courbe relative à la formule d , lorsque la charge est mesurée immédiatement au-dessus de l'orifice.

On voit que ces courbes suivent sur l'une et l'autre iigure une marche très -régulière, quoique distincte pour chaque orifice, et qu'elles ont une continuité en quelque sorte parfaite , bien qu'elles aient été assujetties à passer

ip4 EXPJÉRIENCES

rigoureusement par les points déduits de Texpérience : ces points d aîileurs qnt été laissés en évidence sur la figure d. Le point marqué 20. a, relatif à i orifice de 20 centimètres , est le seul qui n ait pu être compris dans le tracé de la courbe correspondante; mais il s'en écarte extrêmement peu, et il provient évidemment d'expériences anomales, ainsi que ia remarque en a déjà été faite {173).

A l'aide de ces différentes courbes, on arrive sans peine à toutes les conséquences exposées dans ce qui précède, et que nous avons déduites de la simple lecture des tableaux : ainsi ^ par exemple, les courbes relatives aux orifices de 20, de 10, de 5 et de 3 centimètres d'ouverture {fy. d), présentent constamment leur concavité à Taxe des abscisses et ont une ordonnée maximal tandis que, pour celles de 2 et de I centimètre , le point de maximum ou sommet a disparu , du moins en apparence. On voit aussi que les courbes 3 et 5 offrent dans une grande portion de leur cours une analogie de forme et Un rapprochement vraiment remarquables, et qui sembleraient indiquer qu'il se passe en effet ( 178 ) quelque chose de particulier dans la loi des coefficiens aux environs des orifices de 3 et de 5 centimètres. Enfin la présence, dans les courbes 1,2, 3 et 5 , de points d'inflexion qui n'existent pas dans les courbes 10 et 20, paraîtrait annoncer que les lois des coefficiens qu'elles expriment comportent une complication qui n'aurait pas lieu au même degré pour les orifices de 10 et de 20 centimètres d'ouverture > de manière qu'il en résulterait une sorte de solution de continuité dans les- lois relatives aux difflHrens cas.

182. Nous disons que la loi est plus compliquée pour les lignes qui présentent des points d'inflexion, parce qu'en effet le degré des courbes croît nécessairement avec le nombre de leurs changemens brusques de courbure. Mais comme , d'une part^ rien ne prouve que les courbes relatives aux orifices de

HYDRAULIQUES, Ip5

2 et de I centimètre ne finissent pas , pour des charges sur le centre plus petites encore que celles qui ont été soumises à l'expérience, par se repiier vers Taxe des abscisses, et que, d'un autre côté , les courbes des orifices de lo et de 20 centimètres de hauteur pourraient également avoir des points d'inflexion invisibles j même dans la région des points donnés par l'expérience, il est impossible, a priori, de rien prononcer de positif sur l'état de complication plus ou moins grand de ces difi^rentes courbes , et sur la modification qui s'opère dans les équations qui lient leurs ordonnées à leurs abscisses ou les coefficiens aux charges.

D'après les observations faites précédemment (180), ces coef&ciens ne doivent jamais descendre au-dessous de 0,^0, ou d'une valeur qui en diffère peu ; nos courbes doivent donc aussi se rapprocher indéfiniment de l'axe des abscisses ou d'une droite parallèle qui en soit peu distante et qui leur serve d'asymptote : or il en résulte que , si elles étaient continuées au-delà des charges qui ont été mises en expérience, elles offriraient toutes un nouveau point d'inflexion , ce qui les rendrait susceptibles d'être coupées, savoir : celles des orifices de I et de 2 centimètres, en au moins quatre points visibles; celles qui répondent aux orifices de 3 et de 5 centimètres , en au moins cinq; et celles des orifices de 10 et de 20 centimètres , en au moins trois points semblables. Par conséquent , la loi ou l'équation entre les abscisses et les ordonnées , relative à ces différentes courbes, serait, en la supposant algébrique, au moins du 4* degré pour les premières, du 5 ' pour les suivantes^ et du 3* pour les deux dernières, ou, en général, du 5^ degré au moins, si on les suppose toutes susceptibles d'être représentées par une équation algébrique de même forme , de sorte que la continuité subsiste entre elles , et qu'il n'y ait aucun changement brusque en passant de l'ime à l'autre; ce qui revient à admettre que. les valeurs des coeffi-

cîens de la dépense soient, pour tous ies cas , une même fonction de ia charge correspondante ainsi que de l'ouverture de 1 orifice, fonction susceptible seulement de se modifier selon fa grandeur de cette ouverture.

183, Cette discussion a uniquement pour objet de faire voir combien serait difficile la recherche a posteriori de la loi suivie par les dépenses , même dans le cas simple qui nous occupe , où l'orifice est très-petit par rapport aux sections du réservoir , et où il est pratiqué dans une paroi plane et mince ; car, en supposant qu'on pût trouver par les considérations ci-dessus et par les méthodes d'interpolation connues la valeur des coefficiens de l'équation qui lie les abscisses et les ordonnées de chaque courbe individuelle , comme ces valeurs changeraient d'une courbe à l'autre ou avec la hauteur de l'orifice, il resterait encore à déterminer la forme des fonctions de cette hauteur qui sont propres à redonner tes coefficiens dans chaque cas spécial, et il est peu probable qu'on y parvînt au moyen des 6 séries d'expériences relatives à nos tableaux.

On remarquera d'ailleurs qu'on ne simplifierait pas beaucoup l'état de la question en substituant aux coefficiens de

la formule d ou / (^ — h') 1/ 2^[ -^j ceux de la formule d' ou -7(^*^2^ — A''/2gh*)f ni en cherchant à ordonner ces coefficiens par rapport à la charge sur le centre ou sur la base de l'orifice : car on est conduit, dans tous les cas, à des courbes fort compliquées; et, sans affirmer qu'on ne puisse pas choisir une combinaison de variables plus propre à mettre en évidence la loi des dépenses effectives , on peut tout au moins regarder la chose comme très-douteuse, attendu ia diversité des causes physiques qui concourent à compliquer le mouvement du liquide au sortir du réservoir , et dont l'influence se fait plus ou moins sentir selon la grandeur absolue de la charge génératrice et de la hauteur de l'orifice*

HYDRAULIQUES. ipy

184. Les courbes représentées dans les figures d et e ( planche 7 ) nous ont servi à construire par interpolation une table générale des valeurs des coefïicîens des formules de la dépense théorique pour des charges» sur le sommet des orifices» croissant depuis ies plus petites» auxquelles correspond 1 mstant où le déversoir est sur le point de se former , jusqu'à des charges égales à 2 et même à 3 mètres : nous avons , du reste » rapproché ces charges suffisamment entre elles pour faire apprécier les variations les plus faibles des coefficiens.

L'ensemble de ces résultats est consigné dans la partie de gauche du tableau n^ XII placé à la suite de ce mémoire» et dont lusage ainsi que la disposition ne réclament aucune explication particulière. Nous ferons seulement remarquer que» dans ce tableau» les résultats qui ne sont point déduits immédiatement des portions de courbe données par Texpérience , et qui correspondent aux plus petites et aux plus fortes charges dans le réservoir , sont séparés des autres par un petit trait Iwriiontal; nous les avons obtenus en prolongeant les courbes d après le sentiment de la continuité et la supposition que » vers les plus fortes charges» les coefficiens doivent se rapprocher d autant plus de o,^ que l'orifice est plus ouvert, sans jamais atteindre cette limite » conformément à l'observation Aé)k faite cî*dessus (180).

Dû reste, pour les fortes charges et les orifices au-dessous de I o centimètres de hauteur» nous nous sommes principale ment dirigés d'après les résultats obtenus par Michelotti et par Bossut sur les orifices rectangulaires ou carrés» lesquels assignent au coefficient de ta dépense hypothétique une valeur qui est encore moyennement de o»(^o8 » pour des charges d'eau supérieures même à 3^,50.

On remarquera que noy» avons placé en tête des colonnes relatives à chaque orifice, et au cas où l'on mesure les hauteurs

ip8 ËXPJÉRIËNCEfi

du liquide fort en avant dans i mtérîeur du réservoir, la valeur du coefficient qui répond à la charge pour laquelle ie déversoir est sur le point de se former, charge qui a été calculée par la formule du n"*. i^8.

Nous avens aussi, pour le cas où 1 on relèverait le niveau tout près de lorifice, rapporté lès coefficiens de la formule d qui répondent à une charge nulle sur le sommet. Leurs valeurs , à l'exception de celle qui concerne l'orifice de 3 centimètres, quia même offert une. charge négative (Vll^ tableau), ont été déterminées non - seulement par le prolongement à vue des courbes d'interpolation, mais encore par le calcul, en se basant sur les résultats correspondans obtenus pour le cas où la charge est prise loin de l'orifice.

En général, les coefficiens de la formule t>, relatifs au cas où la charge est mesurée loin de l'orifice, ont seuls été conclus immédiatement des courbes d'interpolation qu'on peut alors prolonger sans inconvénient, parce que leurs ordonnées ne croissent pas trop rapidement, et que d'ailleurs les expériences se sont étendues jusque tout près de la limite inférieure des charges ; nous avons ensuite déduit les autres coefficiens de ceux-ci en leur appliquant , pour plus de rigueur, le même calcul que pour former les tableaux détaillés euxmêmes.

1 8 5 . La table générale qui nous occupe et dont la formation est due principalement à M. Lesbros, nous permet, conjointement avec les courbes de la planche ^, de comparer avec la plus grande facilité les résultats de nos propres expériences avec ceux qui ont été obtenus par les divers expérimentateurs, pour le cas des orifices percés en mince paroi plane et complètement isolés des faces adjacentes du réservoir.

Les uns et les autres mettent notamment en évidence l'observation déji faite plus haut ( 1 80) relativement à la faible différence qui existe entre les coefficiens des orifices de 1 , d(^

HYDRAULIQUES. I^p

2 , de 3 , de 5 et même de i o centimètres , pour des charges sur le centre supérieures à i°',20 : la valeur de ces coefficiens s'écarte à peine de -^ de 0,6 ij qui peut en étro' considéré comme la moyenne générale; or c'est à peu près là aussi la valeur moyenne du coefficient qui se conclut des expériences de Mîchelotti , de Bossut et d'autres observateurs habiles .qui , dans presque tous les cas» ont opéré sur des charges qui surpassent l'^jzo. Mais, ce qu'il y a surtout de remarquable dans cet accord, c'est que. les orifices qu'ils ont soumis à l'expérience et dont les diamètres ou col:és se trouvaient compris entre 6 iignes et 6 pouces , étaientles uns circulaires , les autres carrés ; ce qui semblerait démontrer ,. non fas , comme on l'a avancé jusqu'à présent, que la forme de rorijice est absolument sans influence, mais bien que la variation du coefficient de la dépense, du moins éjuant aux fortes charges Jepend essentiellement de la hauteur de f orifice ou du plus petit intervalle compris entre ses bords opposes ; de ^teile sorte^ par exemple, que , la largeur horizontale des orifices rectangulaires, venant seule à changer, le 'coefficient reste sensiblement le même pour toutes les charges au-dessqs de ï"*,2o (i).

M. Bidone, il est vxai, a obtenu (7 ) une légère augmentation du coefficient de la dépense des orifices dont il s'agit

(i) Depuis la présentation de ce mémoire à FAcadémie royaie des sciences, M. d'Aubuissoa a publié dans tes Annales de chimie et de physique, tome XLIV , pase 225 , année 1830, des Exp&ien€es sur l'écoulement des eaux par des orifices rectangulaires aSongés, dont les résultats s*accordent suffisamment bien a^ec les nôtres» eu égaitl à ta difTérencç des appareils et des dispositions, mab dont il dre une coosécpience qu'il nous est inmossible d'admettre malgré la compétence d'un tel fuge, savoir: que, du moins sous de pentes chai^tt , ie coeiBicient de ladépetise n'est pas le même. pour les orifices allongés que pour les orifices circulaires, ou carres.

Dans cette première série <i'expérietices exécutées au Château d'eau de Toulouse, et dont ce célèbre ingénieur a eu Tobligeance de nous communiquer les résuluts détaillés» un orifice rectangulaire de o>",3 de largeur sur om^o i de hauteur , pratiqué dam une feuille de fei^blanc mince, lui a donné," pour des charges sur le centre de l'orifice, exprimées en

mètres, de 0,018 0,028 0,035 0,0^4 0,064 0,067 0,077 0*08 1 ,

des coeificiens deD' de. . »k .. 0,70 0,71 0,69 0,70 0,69 0,71 0,68 0,69.

Les anomalies que présentent ces nombres , et leur léger excès sur ceux que donnent nos

zoo EXPiRI£NCES

pour un accroissement progressif de ieur largeur horizontale : mais on peut attribi:^er cette circonstance à ce que, dans l'appareil dont il s'est servi, cett^ largeur devenait de plus en plus comparable à celle du réservoir.; ce qui produisait une diminution nécessaire de la contraction latérale de la veine.

iS6. La valeur moyenne 0,^21^ du ooefiicient delà formule d', trouvée par cet auteur, ne s'accorde nullement d'ailleurs avec le résultat de nos propres expériences; car ici l'orifice avait 5^,25 millimètres de hauteur environ, et la charge est demeurée comprise entre 45 e* ^3 centimètres (voyez le mémoire cité au n° 8). Or, en consultant les nom* bres de la colonne du XIP tabieaju <jui est relative aux orifices de 10 millimètres de hauteur, on trouvera, pour ies charges de 20 à 50 centimètres, le coefficient moyen 0,^50 qui est de beaucoup supérieur à celui de M. Bîdone. Nous ne pouvons attribuer une pareille différence qu'à la disposition particulière de l'appareil de cet auteur, dont l'orifice se trouvait un peu reporté en amont de la face générale du réservoir à laquelle il était adapté ; ce qui , d'après l'expérience connue de fiofda, répétée par Venturi., devait nécessairement augmenter la grandeur de la contraction de la veine; peuttables, peuvent être princrpalemeot attribués à l^incertitude dans la mesure des charges, qui se prenaient à o"*,o6 seulement en amont.de la. paroi de l*orifîce.

Dans une seconrie série d*expériences exéci:^tées par M. Castel , contrôleur des eaux de la ville de Toulouse , des orifices carrés de on>,o4 de côté et des orifices circulaires de o™,oi de diamètre n*ont donné, pourxies charges pareilles, les premiers que 0,64 à 0,66, et les seconds que 0,66 à o^ô'/t mais, pour que ces expériences fussent exactement comparables aux précédentes, il faudrait qu*eiles eussent été uiites sur le même s^pareil et dans les mêmes circonstances; ce que nous ignorons complètement, car il se peut que la grande infé» riorité des derniers coefBciens sur les autres tienne , i<> à la manière ae relever les charges, 2^ à l'augmentation de la contraction efl^ctive, résultant de la position et de la petitesse des orifices par rapport au réscrvon*.

Quant à la troisième série d'expériences mentionnée dans la Notice de M. d'Aubuissoa, et qui est relative à des orifices rectangulaires accolés de o<",io de longueur suroin,oioa4 nous n'entreprendrons pas d*en comparer les résultats aux nôtres, parce que la dispositton particulière^ la petitesse du réservoir devaient ici conduire ji des aifFére^ces notables dans ics coefficiens.

être aussi que la méthode de mesurer la dépense réelle de liquide par lobservation de rabaissement du niveau dans le réservoir porte avec elle des causes nécessaires d une diminution de cette dépense comparée à celle que donnent les formules.

Nos résultats , au surplus , s accordent beaucoup mieux avec ceux qui ont été obtenus par Marîotte , Daniel BernouUî et M. Hachette (voyez les ouvrages déjà cités n^ ^ et 7 ) , qui, en opérant sur des orifices circulaires de 5 à 16 millimètres de diamètre, ont généralement trouvé des coefficiens supérieurs même à 0,^5,

Dans les expériences de Bernoulli , entre autres , relatives à un orifice de ^,3 millimètres de diamètre [Hydrodynamiéjue , pages 7p et 80 ) , le coefiicient de la dépense a été de 0^6^^ et 0,6% 5 pour des charges qui ont varié de 8 à i 2 centir mètres dans le premier cas , et de 3 i 433 centimètres dans le second; notre table donne moyennement 0,^(^7 et 0,^50 dans les mêmes circonstances.

Dans les expériences de Mariotte, un orifice de 6 lignes de diamètre ou 13,5 millimètres a fi>urni un coefiicient un peu supérieur à 0,74 , pour des charges de \,6 et 8,8 centimètres sur le centre : le tableau n*" XII indique, pour les mêmes charges et lorîfice de i centimètre , des coefficiens de d' ayant pour valeurs 0,705 et 0,(^7 1. Avec le même orifice et une charge de i'",78 , Mariotte, il est vrai, a obtenu o,6pp pour le coefficient de la dépense, tandis que, d après notre table , il ne serait que de 0,6 1 4 • mais la première valeur est évidemment trop forte; car Bossut, en opérant sur un orifice circulaire de même diamètre, sous des charges égales à ^6 fois, 2 1^ fois et jusqu'à 282 fois ce diamètre, a obtenu, pour coefficiens, seulement les nombres 0,625, 0,621, 0,623 » ^^^ s accordent bien avec les résultats de nos propres expériences, quoiqu'ils leur soient encore un peu supérieurs;

ce qui est d'autant moins étonnant, <ïue, d*aprè$ les expériiences nr^émes de cet auteur, les orifices circulaires doivent, à circonstances égales ^ donner des coeffidens un peu plus forts que les orifices carrés. Quant aux résultats de M. Hachette , il nous est impossible de les comparer à ceux de nos tables, attendu que nous ignorons ia grandeur exacte des charges sur lesquelles il a opéré,

187. A cette occasion, on remarquera que ies soins qui ont été pris pour mettre à arêtes vives les bords de nos orifices, permettent de prononcer affirmativement que /'épaisseur de la paroi n a eu ici aucune influence appréciable sur l'aag- Hientation du coefficient de ia dépense pour les faibles ouvertures de vanne. On doit donc, en attendant de nouveaux éciaircissemens , se borner à admettre que le fait seul du rapprochement des bords opposés de l'orifice occasione une diminution dans la contraction extérieure de la veine, et que cette diminution devient surtout sensible lors des faibles charges au-dessus de ces mêmes bords. En effet, il serait absurde d'attribuer à la vitesse moyenne du liquide, dans la section contractée, un accroissement aussi considérable que le supposent les valeurs du coefficient des formules de la dépense D et d', et la diminution de la contraction effective parait être une conséquence nécessaire de ce que le lieu où elle s'opère s'éloigne de l'orifice à mesure que les côtés horizontaux de celui-ci se rapprochent (î46).

ï 88. Nous venons de comparer les résultats de notre table résumée avec ceux des autres expérimentateurs , pour ies orifices au - dessous de 2 centimètres de diamètre avec des charges très-variées , et nous avons déjà fait précédemment la même comparaison pour les orifices dont l'ouverture surpasse a centimètres avec des charges^, dans le réservoir, qui excèdent i",a.o ; quant aux cm des fortes ouvertures «eus de , petites charges ,, les expériences de cette tepèce qui se rapportent à

HYDRAUi4<2UES. 203

la supposition où i orifice «st complétjçment iaolé des faces latérales du réservoir, se réduisent à celles qui ont été mentionnées au n^ ^ de ce mémoire. Or le XII*^ tableau donne, pour les plus faibles charges sur le sommet de rorifice, le coefficient de d' égal à 0,644 q^and l'ouverture est de 3 centimètres, et à 0,^73 quand elle est de 2 centimètres, nombres qui diffèrent peu des résultats obtenus dans lexpérience du pouce iUs fontcmers p notamment par Bossut:, dont le coefficient 0,^5, quoiqu'un peu plus faible que ceux de Mariotteet de M. Hachette, paraît devoir inspirer la plus grande confiaiace.

Quant à la valeur 0,625 trouvée par Borda pour un orifice de I 5 lignes ou 3^4 de diamètre, sous des charges qui ont varié entre 21 et 3 2 centimètres, on peut voir, par notre tableau, que, pour les mêmes charges de liquide» ce coefficient est environ 0/(^33, c est-à-dire, plus fort d'environ ^. Mais, d après la disposition de l'orifice dans lexpérience de Borda, et la manière dont cet auteur mesurait les dépenses de liquide, il y a lieu de croire que iavaleuir du coefficient de la formule d' devait se trouver un peu diminuée, de même que pour les expériences de M. Bidone citées plus haut (185).

I Sp* Quoique noa résultats nous inspirent en eux-mêmes la plus grai^de confiance ^ et que leur certitude ne puisse à nos yeux être révoquée en doute , cependant les rapprochemens qui précèdent étaient trop satisfaîsans pour ne pas nous y arrêter quelques instans , d'autant plus qu'ils nous conduisent à admettre, en attendant de nouvelles expérience^s^ ce fait im»portant» que « les valeurs des cpeffiçîens des formules adopr « tées pour calculer la dépense des orifices rectangulaires » verticaux limités à la partie supérieure, sont sensiblement « indépendantes de la largeur horizontale absolue de ces ©ri- " fïces , ou demeurent les mêmes à charge et à ouverture » égales. »> .

Ces résultats permettent aussi d'affirmer, dès à présent,

io4 EXPÉRIENCES

que les produits d eau fournis par les larges pertuis des usines et des écluses , quand ils sont complètement isolés des faces latérales et du fond du réservoir et que Técouiement s'y fait comme en mince paroi , peuvent être calculés avec beaucoup d'exactitude par le moyen du tableau n*^XII, c'est-à-dire, sans qu'on ait à craindre des erreurs qui excèdent yy^ ou yt7 de leur valeur réelle. Toutefois , comme le coefficient des formules D et d' paraît diminuer un peu à charge égale à mesure que la hauteur des orifices augmente , il nous restera à tenter quelques nouvelles expériences relatives à des hauteurs de 30 à 50 centimètres, ainsi qu'il s'en présente parfois dans ia pratique. Nous tâcherons aussi de faire des expériences sur des charges plus fortes que celles que nous avons jusqu'ici mises en usage; mais, attendu que les coefficiens varient peu dès que ia charge excède i"*,20 , on pourra provisoirement se servir, pour les plus fortes charges, des nombres inscrits dans le tableau n^ XII, sans craindre en aucun cas de commettre des erreurs qui excèdent 7-^ de leur véritable valeur.

Courbes et Tables d'interpolation relatives aux orifices découverts ; Rappel des résultats déjà antérieurement connus.

15)0. Passons maintenant aux expériences concernant les orifices en déversoir, dont les résultats sont consignés dans les tableaux n*** III et X , et occupons-nous plus spécialement àt% nombres de ce dernier, qui nous semblent mériter une confiance entière.

Ici, les coefficiens des formules de la dépense (vo^^j/^j observations en tête des tableaux)

d = lhV7rh /= 2,5261 M4. D = /(A— AOl/2^^}

ces coefEciens, dîs-je, vont continuellement en augmentant à partir des plus fortes charges h sur la base de I orifice ; mais ils présentent cette circonstance particulière , que leur valeur varie extrêmement peu aux environs de la charge de 1 3 à 1 4 centimètres. Aussi , en construisant les courbes d'interpolation qui leur sont relatives , trouve-t-on qu elles offrent toutes une inflexion vers le point qui correspond à la charge dont îl s'agit. Les courbes données par les formules d ^t d[ étant d'ailleurs les mêmes , à la position près , on s'est contenté de construire celle qui représente les valeurs des coefficîens de la première, en adoptant les mêmes conventions que pour la figure D (181), si ce n'est qu'ici les abscisses ou charges totales sont construites sur une échelle de grandeur naturelle, et que l'axe de ces abscisses est choisi de telle sorte que les ordonnées représentent les valeurs ài^^ coefficîens diminuées de 0,400.

On peut voir sur la figure F de la planche 7 le tracé de cette courbe qui a servi à construire par interpolation la partie de droite du tableau n^ XII , dans laquelle on a laissé en évidence , comme pour les courbes de la figure d , les points qui résultent à^^ données mêmes de lexpérience. On remarquera encore ici que ces points sont assujettis à une loi dont la continuité est , pour ainsi dire, parfaite.

i5>i. La courbe qui nous occupe a, dans toute l'étendue de son cours qui répond aux charges de liquide soumises à l'expérience, une forme très-approchante de celle d'une parabole cubique; en prenant, en effet, pour représenter les valeurs At% coefficîens de la formule d^ la fonction 0,3^37 — 1 4f 2 ( A — o, I 3 7 ) ', on retrouve ces valeurs à moins de -—^ près. Mais, comme cette fonction est susceptible de devenir nulle et même négative pour les valeurs de h qui surpassent o"*,44> îl est clair qu'elle n'exprime pas la marche véritable des coefficiens, et qu'elle ne peut être employée que pour des

Z06 EXPÉR16NCBS

chugea qui surpasseraient peu celles qui ont été nûses en expérience.

Ce&t aussi pourquoi les charges inscrites dans la table cidessus n'excèdent point o"*,2 2 de hauteiur; car les courbes d'interpolation ne pouvaient, sans inconvénient pour l'exactitude , être prolongées beaucoup au-delà du point qui correspond à cette charge*

L'incertitude étant beaucoup* moindre pour les petites valeurs des abscisses , et la direction de la branche qui leur appartient étant déterminée par plusieurs points successifs , on a pu, sans crainte d erreurs graves, la prolonger jusque des charges Jtrès- voisines de zéro, ainsi qu'on le voit par les nombres de la table. Néanmoins il parait évident que la courbe ne doit pas se prolonger indéfiniment du coté de l'axe désordonnées, et doit revenir brusquement sur elle-même de façon à donner un coefficient nul pour les très -petites charges où l'action capillaire de la paroi de l'orifice finit par contre-balancer entièrement celle de la gravité ( 1 6y).

H est encore évident que la branche inférieure de la courbe, , au lieu de se prolonger indéfiniment en suivant un cours parabolique , comme l'indique la figure y doit , dans la réalité , subir un nouveau changement de forme à une certaine distance au-dessous du premier point d'inflexion , puis reprendre une direction qui soit asymptote d'une droite parallèle à Taxe des abscisses , et située beaucoup plus près de cet axe que la parallèle qui répond à l'ordonnée négative — o,4oo. Autrement, en effet, la valeur du coefficient pourrait encore devenir nulle ou négative ; ce qui est impossible. Il faudrait de nouvelles expériences sur des charges beaucoup plus fortes que 20 centimètres, pour mettre ces circonstances en évidence , et pour qu'il fut permis de hasarder quelques recherches sur la loi. qui. est. alors suivie par les coefficient de la fbrxmile.

I p 2r On remarquera, dans la première colonne de la table qui nous occupe, les charges de o™,2 1 7, o"™, 1 1 z4f o^^^ojp i, o"*,o3 73, o"^yOz6 1 , o"™,o 1 4^ f qui interrompent la suite naturelle formée par les autres^ charges; elles se rapportent à celles qui correspondent à l'instant de la formation du déversoir pour les orifices fermés à la partie supérieure de 20, de I o , de 5 , de 3 , de 2 et de I centimètre. On les a ainsi intercalées poiu: mettre en état de comparer aisément entre elles les valeurs des coefEciens qui doivent affecter les formules D et d\ considérées comme applicables à - la - fois aux orifices découverts et non découverts, quand on y substitue pour A Les charges totales dont il s'agit , et , pour h\ les charges moyennes sur le sommet ou les dépressions. En extrayant , par exemple , des deux tables qui composent le tableau n"* XII, les valeurs dont il s'agit relatives à la formule d , on arrive à ce résultat :

Charges totales

îs totales •. o^jiiy o*,ii24 o",oj9i. c",q}73 o"?/>26i o%oi46

«poariesj fexDiés.. O ,569 O ,591 O ,6o6 o ,631 o ,661 o ,706 1 découv. o ,572 o ,594 o ,624 o ,6j7 o ,688 o ,759

oriiiccs.

Or la comparaison des coefliciens, dans les deux cas, montre que leur différence, qui est presque nulle pour la charge de o", 217, croît de plus en plus à mesure que la charge ou la hauteur de l'orifice diminue: circonstance dont la cause est ÉEicîle à saisir (138 et suîv. ) ; car l'adhérence qui a lieu contre le bord supérieur des orifices fermés exerce d'autant plus d'influence pour soulever la surface libre du liquide , que leur hauteur est elle-même moindre, et l'effet de ce soulèvement est de donner à la s^ection de la veine , comprise dans le plan de l'orifice , une aire un peu plus forte que celle qu'elle possède naturellement dans le cas où le déversoir se trouve complètement formé sous la même charge totale de liquide ,

2o8 EXPÉRIENCES

charge qui est toujours censée mesurée fort en avant dans le réservoir.

En d autres termes , les valeurs de K qui entrent dans la formule D, ou, ce qui revient au même, dans

y ^jT '*-'",'-'•' .

sont réellement un peu plus fortes pour les orifices découverts que pour ceux qui ne le sont pas, la charge h restant la même ; de sorte que cette formule donne aussi moins dans le premier cas que dans le second. Ce fait, étant d'accord avec l'augmentation même du coefficient, semblerait prouver que les dépenses effectives sont à très-peu près égales dans les deux cas, malgré l'action capillaire exercée dans l'un sur le sommet de l'orifice. C'est ce qu'il eût été intéressant de vérîfier directement sur l'orifice de i ou de 2 centimètres de hauteur, par exemple , en recueillant le produit d'eau à l'instant où le déversoir est près de se former, et à celui où il est complètement formé sous la même charge totale au-dessus de sa base.

193. Comme il a été fait par différens auteurs un grand nombre d'expériences sur les déversoirs , nous en avons ici réuni les résultats en un même tableau , afin de pouvoir les comparer facilement aux nôtres. M. Navier ayant déjà rapporté , dans K avertissement de sa nouvelle édition de \ Architecture hydraulique de Bélidor, page xii, les résultats des expériences de Dubuat, de Brindley et Smeaton, calculés d'après la formule /=2,526^i Mi, nous avons adopté la même disposition pour la table qui suit , et nous n'avons eu qu'à y ajouter les résultats dus à MM. Bidone, Eytelwein et Christian, qui se trouvent consignés dans les ouvrages de ces auteurs souvent cités dans le cours du présent mémoire.