QUANTITÉ

pour

de

le poids

soulevé

équilibre

soulevé

d'action

a5 tours

Tourt

est élevé

y compris

aux

nftr

fournie

de roue.

partecoode.

par seconde.

celui do sac.

résisunets

par la roue.

par la roue.

étrangères.

Ln.

3o,io

' 2,5oo

ftO

ai

o,5iii

o,5ii8

3,3oo

3,5oo

0,528a aaz.

o,ii5

4,io3

o,5ioo

Obseï

rvations.

22. On voit que les vitesses et les quantités d^acdon fournies par la roue y ^vent une marche très-rëgulière , quoique les évaluations des nombres soient poussées jusqu^à la quatrième décimale. Pour reconnaître si les lois ainsi données par les expériences se rapprochaient de celles qu^indique la théorie , nous avons mis en usage le mojen très-expéditif et très^mple des courbes ^ et comme d après les formules établies n^. 4) ^^^ pressions ou efforts P exercés sur la roue^ suivent une loi beaucoup plus facile à vérifier que les quantités d'action qui leur correspondent , nous avons pris ces pressions ^ ou plutôt les poids soulevés qui leur sont proportionnels , pour les ordonnées de la courbe , et pour abscisses les vitesses ou plutôt les nombres de tours de roue pendant Tunité de temps.

IP. PARTIE, EXPÉMEHCES SUR LES EFFETS DE CES ROUES. 3l

Afin d^obteoir une approiimation suffisante , xm a représenté par n milli-^ mètres chaque centième de tour de la roue ^ et chaque dixième de lilogramme du poids élevé , de façon qu'on put construire aisément les millièmes de tours et les centièmes de kilogrammes : le nombre des uns et des autres étant donné immédiatement par les colonnes 3 et 7 du tableau , il a été facile d^établir la courbe des poids BMC (Jîg. 7), qui ne se trouve id représentée que sur une échelle beaucoup plus petite.

Cette courbe ne diffère senstUement d^une ligne droite qu^à partir de Tor* doimée qui appartient à Texpérience n^* 3i^ dans tout le reste de son cours ^ les différences ne s^élèvent pas en plus ou en moins au^elà d'un 7 millimètre ^ représentant diaprés Féchelle ^5 grammes : ces différences n^étant pas même le centième des poids correspondans , on doit uniquement les attribuer aux erreurs inévitables des observations^ et en effet ^ pour les Êiire disparaître entièrement, il suffit d'^altérer d^vax quart de seconde seulement les nombres portés dans la seconde colonne du tableau, ce qui est tout-à-fàit en dehors des évaluatioDS données par Pinstrument mis en usage.

aS. La théorie exposée (n^. 4)^ donnant pour calculer les pressions P cor* respondantes aux différentes vitesses 1; de la roue, la formule

on voit que la loi générale qu^elle indique se trouve confirmée, dWe manière en quelque sorte rigoureuse, par toutes les expériences comprises entre les n^^ i et3i du tableau. Quant aux expériences suivantes^ dont les résultats s^écartent trop sensiblement de cette loi pour qu^on puisse attribuer les différences aux erreurs d^observation , rappelons -nous (8) que la formule ci -dessus n^a été établie que dans la supposition où les aubes de la roue auraient une hauteur suffisante pour ne pas laisser échapper Peau par-dessus : or cette condition cesse d^être remplie ici aux environs de Fexpérience 3i.

Pour le constater, on remarquera que la plus grande hauteur à laquelle Peau puisse s^éleyer dans les courbes en les pressant est (1 3) de o™,o6a, et que la vitesse 1°^, 10:28, qui serait due à cette hauteur, doit, diaprés les raisons données^ art. 8, égaler ou surpasser même la vitesse relative correspondante de Peau et de la roue, exprimée par \-v. Or, en admettant que la vitesse de Peau, à Pinstant où elle entre dans la roue, ne diffère pas beaucoup de celle qui est due à la chute moyenne o°',234 — o™,oi5=o™,2i9, au-dessus du centre de Pouverture de vanne (ai), hypothèse qui doit s'écarter fort peu de la

réalité^ on aura V=a™,07a7 et V — 1^=1^,1028, tfoù 1^=0°*, 9699: telle

est donc, dans le cas actuel , la vitesse de la roue , au delà de laquelle Peau cesse

d^agir comme le réclame la théorie. La circonférence de cette roue étant d^ail-

leurs de i™,59 environ, le nombre de tours qui correspond à cette vitesse e^

o™ q6qq

—^^^=0,61, nombre qui se rapporte à peu près à l'expérience trentième

du tableau.

a4- Au surplus, nous avons déjà fait remarquer (i3) que le défaut d'excentricité de la roue et sa mauvaise construction sont d'autres causes qui font que, pour les faibles vitesses, le mouvement du système cesse d'être régulier et uniforme : l'expérience a même appris que , dans toutes les espèces de roues, le mouvement s'arrêtait long-temps avant le terme assigné par la théorie, circonstance qui doit également être attribuée à ce que l'imperfection des roues de la pratique exerce une grande influence sur les petites vitesses.

On pourra donc être surpris d'après ces diverses réflexions , que l'accord de la théorie et de l'expérience se soit maintenu aussi long-temps pour le cas de notre appareil^ mais on ne saurait l'attribuer au hasard, puisqu'il s'est manifesté de la même manière dans toutes les séries d'expériences dont nous avions pris soin de déterminer un grand nombre de termes \ souvent même les ordonnées de la courbe des poids , ne différaient que d'une quantité tout à fait inappréciable de celles d'une véritable ligne droite. Ainsi l'on doit considérer comnïe suffisamment exacts et conformes à l'expérience, les principes d'où nous sommes partis (4) pour établir la théorie de la roue verticale à aubes courbes : nous verrons d'ailleurs bientôt de nouvelles confirmations de l'exactitude de nos formules

a5. Si l'on examine les nombres portés à la dernière colonne de droite du tableau ci-dessus , on remarquera que le maximum de quantité d'action de la roue a eu-lieu pour l'expérience 27, répondant à 0,6667 ou y de tour de cette roue. Pour comparer cette vitesse à celle qui est assignée par la théorie dans le même cas , il faudrait connaître la vitesse moyenne de l'eau à l'instant où elle entre dans les courbes : or il n'y a que des expériences directes de la nature de celles qui seront décrites à la fin de ce Mémoire , qui puissent nous la donner d'une manière suffisamment exacte ; le moyen employé d'abord par Smeaton pour le cas des roues ordinaires, conduirait en effet ici à des résultats peu satisfaisans , attendu la forme particulière des aubes.

D'un autre côté , pour connaître la valeur moyenne et absolue de la vitesse

ée notre roue , correspondante au nombre de tours ci-dessus ^ il faudra d^abord savoir à quelle distance du centre de cette roue on doit supposer le centime d^impression moyenne de Teau ^ tout ceci rend en conséquence difficile reValuation du rapport eitact de la vitesse de la roue et de Teau pour l'instant du maaoimum d^effet.

Or on peut y arriver d^une autre manière à Faide des constructions établies ci-dessus (âg. 7). Il est évident^ en effet, que si Ton prolonge ^usqu^à son intersection en D, avec Faxe AT des abscisses, la ligne droite MC , qui représente la loi des poids donnés par Pexpérience , la distance AD de ce point à Forigine pourra être prise , selon Féchelle , pour celle qui exprime le nombre de tours^ répondant à une pression nulle exercée par Feau sur la roue , et par conséquent à la vitesse moyenne de Feau elle-même. On trouve ainsi que ce nombre est égal à 1^,3775, dont le rapport inverse à celui 0,6667, qui répond au maximum d'effet , est o,52 ^ ce qui s'écarte très-peu du rapport as^gné par la théorie (4 ) ] encore la légère différence peut-elle être attribuée à l'incertitude qui existe naturellement dans la véritable position du maximum , puisque les valeurs des quantités d'action ne varient vers cette position que par degré9 presque insensibles , comme Findique le tableau des expériences.

26. n nous reste à comparer la quantité d'action fournie par la roue pour le cas du maximum d'effet, quantité qui, d'après le tableau , est égale à 0^,5282 élevés à 1". par seconde , avec cellç qqi a été réellement dépensée par Feau motrice.

Le volume d'eau dépensé par seconde ayant été (21) , d'après Fexpérience, de 3*^*- ,894a , ce qui équivaut en poids à 3'',8942 , il s'agit de multiplier cette quantité par la hauteur due à la vitesse moyenne et effective que possède Feau à l'instant de son arrivée sur les aubes de la roue , afin d'obtenir des résultats comparables avec ceux de la théorie^ et avec ceux qui ont été publiés par divers auteurs , notamment par Smeaton : nous éprouvons donc ici une difficulté pareille à celle que nous avons rencontrée plus haut (â5) , sans avoir les mêmes moyens pour la lever. "

Toutefois, si l'on veut se contenter d'une approximation , on pourra estimer la vitesse dont il s'agit, d'après le nombre de tours qui répond à la roue supposée sans charge et soumise néanmoins à l'action du courant : la construction nous a donné (a5) pour ce nombre 1^,2775, qu'il faut maintenant multiplier par la circonférence de la roue répondant au filet moyen de Feau dans le eoursier \ en supposant ce filet placé au milieu de la section , il resterait encore

i déterminer la hauteur de cette dernière^ ce qui n^est pas facile , pdsqa'eUe dépend elle-même de la vitesse qu^il s^agit de trouver. Mais, en considérant que la hauteur «de la section de Teau à PendrcHt de la roue ne doit pas différer beaucoup de celle o"^,o3 qui appartient à Touverture de la vanne ^ de sorte que la différence , si elle existe, ne peut qu^être une fraction très-pettee du rayon moyen qu^on cherche, on sera suffisamment autorisé à prendre, pour ce rayon , la distance du centre de la roue au point qui se trouve placé à o™,oi5 au-dessus du fond du coursier, sous Taxe de cette roue : la distance jusqu^au fond du coursier, étant d'après les mesures directes, o™, sSi, le rayon moyen de la roue sera deo"*, a36, et sa circonférence moyenne de i",483. Ainsi la vitesse cherchée aura pour valeur i™, 483- 1^,3775=1^,895, à laquelle répond la hauteur de chute o"^,i83: en multipUant donc cette hauteur par la dépense 3^,894^ que donne Texpérience , il viendra , pour la quantité d^action fournie par l'eau du réservoir, 0^,7126 élevés à i"*. par seconde ; le maximum de celle qui est fournie par la roue, étant o^'^^S^Sa^ son rapport à la première sera la fraction 0,741*

Ce rapport est près de ^ 7 fois celui qui a été trouvé par Smeaton pour les roues ordinaires , et ne s^écarte guère du résultat donné par les meilleures roues hydrauliques connues. La théorie exposée dans la F®. Partie de ce Mémoire , se trouve donc encore justifiée pour les valeurs absolues des quantités d^action , autant qu'elle peut Pêtre par Texpérience 5 car on se rappellera que cette théorie ne tient pas compte de plusieurs circonstances qui ont lieu dana la pratique , telles que la perte due au jeu dans le coursier , le dKx; de Feau contre la roue , la vitesse qu'elle conserve après en être sortie , enfin la résistance qu'elle éprouve par son ascension le long des courbes.

2 7 . S'il était permis de regarder comme entièrement exacte la vitesse moyenne 1™, 895 obtenue ci-dessus, on trouverait , en la comparant à la vitesse a™, 073, due théoriquement à la hauteiu* d'eau o°*,ai9 au-dessus du centre du pertuis, qu'elle n'en est environ que les 0,9^, de sorte que les 8 centièmes de la vitesse de l'eau au sortir de cette vanne, se trouveraient perdus par FefiTet des résistances et des contractions qu'éprouve le liquide tant à l'extérieur que dans l'intérieur du réservoir. Nous verrons plus tard , par des expériences directes , que ces nombres s'écartent très-peu des véritables , et que la diminution 0,08 est due principalement à ce que l'eau s'échappe du pertms avec une vitesse moindre que ne l'indique la théorie. En comparant d'ailleurs les chutes qui répondent aux vitesses i", 896 et a"*, 073, on trouvera qu'elles sont entre

IP. PARTIEj EXPERIENCES SUR LES EFFETS DE CES ROUES. 35

elles dans le rapport de (i^^SgS/à (^",073)% égal à (0,9a)* ou 0,846: de sorte que la chute de Feau à la yanne se trouve affaiblie d^environ i5 centièmes par les causes ci-dessus. Pour comparer également la dépense effective , qui est de 3^,894^? ^ là dépense théorique, on remarquera ^e Pouverture du pertuis est ici de 3 centimètres , et sa largeur de 76 millimètres à très-peu près ^ ce qui donne, pour Paire par laquelle Peau sMchappe, o"*'^,ooaa8: la vitesse due à la hauteur au-<lessus du centre de Pouverture étant d^ailleurs, diaprés ce qui précède, de 3"^, 07^7 par seconde, la dépense théorique pendant le même temps sera de o, 00238 . a, 0737=0"*, 0047:258 ou de 4*") 7^58 en poids, quantité dont le rapport inverse à celle que donne Pexpérience est 0,8:24 •

28. On sera peut-être curieux de savoir si le rapport 0,741 des quantités d^action trouvées au n^. 216, est précisément le coefficient qui doit affecter la formule théoricpe des pressions P, rappelée au n^. ^3. Pour y parvenir, il n'y a pas d^autre moyen que de comparer cette formule à celle qui serait donnée par Péquation de la droite MC (fig. 7) des poids soulevés par la roue. Or nous avons déjà trouvé que Pabsdsse du point D, qui répond à un poids nul, représentait i^,:2775 de roue, et d^une autre part la construction donne pour le poids AP, qui correspond à une vitesse nulle de la roue, 7^,55 : donc on a , en ayant égard aux échelles respectives des ordonnées et des abscisses (22), et t étant d^ailleurs le nombre de tours qui répond à un poids quelconque p soulevé par la roue ,

Mais (ai et 26), le poids p s^élève à la hauteur o"^,2i88, tandis que le centre d^impression moyenne de la roue décrit la circonférence i™,483 : donc on a entre ^ et la pression P exercée sur cette circonférence, la relation ;?.o,2i88=P.i,483. D'une autre part, v étant en général la vitesse du centre d'impression dont il s'agit, on a a;=i™,483<: tirant de là les valeurs de t et de p et les substituant dans Péquadon ci-dessus , on obtiendra tous calculs faits^

C'est cette équation qu'il faut maintenant comparer avec la suivante, p=a,n(V— v)=2o3,894D(V— f)"trœxvée art. 4 7 et dans laquelle D exprime le volume de Teau écoulée pendant ime seconde; mais on a ici (31 et 26),

D=o-,oo38942, V=i'",895i

donc cette équation deviendra ^

On voit qu'elle ne diffère absolument de la première que par la valeur dei coef&ciens , et que le rapport oJi^g^ ' oL = o?74o ^^ ces coefficiens ne s'écarte que d'un miiUème de celui 0,741 qui a été trouvé cirdessus pour les quantités d'ac^ tion de Peau et de la roue ^ relatives au maacimum d'effet ; ce qui est un degré d'approximation auquel on ne devait pas s'attendre dan^ des expériences du genre de celles qid nous occupent.

39. Nous avons cru devoir insister beaucoup sur l'exemple qui précède et 1 examiner sous tous les points de vue, parce que les expériences qui le concernent et qui sont représentées par le tableau du n^. 31, ont été faites avec beaucoup de soin , et qu'elles tendent & conârmcT d'une manière en quelque sorte rigoureuse , les applications du principe des forces vives aux roues hydrauliques , non pas seulement comme on s'est contenté de le faire jusqu'à présent, pour les circonstances toutes particulières du maximum d'effet de ces roues , mais pour la série entière des effets qu'elles peuvent produire sous l'action d'une même force motrice ; car les résultats qui précèdent prouvent que les mêmes coefficiens sont applicables à toutes les valeurs des formules déduites de ce principe.

Nos vérifications , au surplus , ne se sont pas bornées à ce seul exemple , et nous pourrions en rapporter d'autres si nous ne craignions d'alonger trop ce Mémoire , et de nous écarter de l'objet spécial qu'on s'y propose.

3o. On se rappellera, en effet, qu'il s^agit de comparer entre elles dans les différens cas , les quantités d'acbon fournies par la nouvelle roue et par l'eau qui agit sur elle , afin de pouvoir apprécier d'ime manière exacte les avantages qui peuvent être propres à cette roue , et les circonstances particulières où ces avantages auront lieu par son emploi dans la pratique. Or nous ne sommes pas encore en état de résoudre ces questions d'une manière satisfaisante , attendu que nous ne connaissons pas avec exactitude la vitesse moyenne de l'eau à l'endroit où elle atteint les courbes , et que c'est néanmoins cette vitesse qu'il faut déterminer (36) , si l'on veut obtenir des résultats comparables à ceux de la théorie et à ceux qu'ont obtenus divers auteurs.

Le moyen employé ci-dessus (36) , outre qu'il est long et pàiible , est d'ailleurs trop indirect pour qu'on puisse regarder comme suffisamment approchées de la vérité, les valeurs ;auxquelles il fait parvenir : c'est pourquoi la

n*. PARTIE, EXPÉEIENCES SVH LES EFFETS DE CES ROUES. 3j

première chose dont nous ayons à nous occuper maintenant est de déterminer^ par une série. d^expériences^ les circonstances de l'écoulement de Peau par la vanne et le courner que noua avons mis en usage ^ nous ferons de ces expéitences Fobjet de la dernièi^ partie de ce Mémcnre ; et ^ pour compléter celle-ci autant qu^elle peut Pâtre quant à présent^ nous terminerons en donnant le tableau des divers résultats des expériences et des calculs que nous avons faits sur la roue pour le cas du maximum d^effet ^ en variant les ouvertures de vanne et la hauteur d^eau dans le réservoir, entre des limites assez étendues quant aux dimensions admises pour cette roue*

TABLEAU, des résultcUs des expériences faites sur la roue^ sous différentes charges d-eau et ouvertures de vanne.

DÉPENSE

RAPPORT

NOMBRE

VITESSE

de Veau

effecÛTe

delà

des tours

delà

d'aclion

de

au - dessus

de Teau

Dépense

de roue

circonférence

maximum

l'oaverture

du seuil

par

efifecUve

pour

extérieure

fournie

de

de

■ecuude ,

à la Dépense

le maximum

de la roue

. par

la vanne.

la vanne

en poids.

théorique.

d'effet.

au rhaximum»

la roue.

kii.

o,oi

o,ioo

. lO

la

3,45oo

Ohsi

Ti^ations.

3i . D'après ca qui a, été dit précçd^uw^DI ^ U paraît peu nécessaire d-entrer dans des détails sur la. .fonnation 4e ce tableau 7 je me contenterai ^implanent

de présenter quelques réflexicms sur les anomalies qui se trouvent dans k dnquième colonne ^ entre les rapports des dépenses effectives et des dépenses théoriques- Ces anomalies ont lieu plus particulièrement, comme on voit, pour les ouvertures de vanne de 3 centimètres, correspondant à de grandes dépoises d'eau : or cela n'offi^e rien de bien étonnant , si Ton considère qu'il doit alors régner une plus grande incertitude dans l'observation directe des dépenses. On se tromperait néanmoins » on les attribuait à cette seule causé, car les nombres de la cinquième colonne dépendent non^seulement de la dépense effective de Feau , mais encore de la mesure directe de Faire de Forifice , qu'il n'est pas fadie^ d^évàluer dans notre cas ^ et sur laquelle il suf6t de se tromper d'un 3o^. pour obtenir des différences de plusieurs centièmes dans les rapports des dépenses effectives aux dépenses théoriques.

Ces rapports tels qu'ils sont portés à la cinquième colonne, ne doivent donc point être regardés comme des nombres absolus , d'autant plus que les expériences qui les concernent ont été faites à des époques souvent éloignées de plusieurs jours : de sorte qu'outre l'impossibilité de régler d'une manière constante les hauteurs de la vanne , il a pu encore survenir quelque déranrgement dans le système de la charpente. Or, les circonstances de Fécoulement n'ayant pas été les mêmes dans les différens cas, il est impossible que les résultats concordent parfaitement entre eux. Tout ce qu'il nous importe pour le moment de faire reconnaître et admettre, c'est qu'individuellement ces résultats sont tous très- exacts quant à ce qui concerne Fobservatîon directe de la hauteur d'eau et de la dépense, seules données indispensables pour évaluer la quantité d'action fournie par Feau, et qui ont toujours été déterminées, à plusieurs reprises et au moment même d'opérer sur la roue, avec, toute la précision qu'on peut attendre d'expériences de ce genre.

3â. Pour ne laisser absolument aucim doute à cet égard, il suffira d^une seule observation : les expériences numérotées 6 et 1 1 sont celles dont les nonibres portés à la cinquième colonne offrent la plus grande anomalie relativement aux expériences voisines, puisqu'ils sont plus faibles de quelques centièmes. Or ces expériences ont été faites toutes deux le même jow et à une époque éloignée de celle qui se rapporte aux autres ^ et, quant au dérangement qui peut survenir dans la charpente du vannage, nous en avons acquis la preuve , lorsqu'au bout d'un certain temps, nous avons voulu reprendre la mesure de la iai^geur du pertuis et dti coursier : cette laideur, qui d'abord ^tait

de 8 centimètres , s'est trouvée de o^^6^6 et même de 0^,074 î de sorte que par Teffet de Thumidîté ou d'autres causes , elle avait varié de plus d'un vingtième.

Dans l'évaluation des nombres de la cinquième colonne ^ on a cherché à tenir compte , autant qu'il était possible , de cette cause d'erreur ^ néanmoins ^ comme elle n'a été observée qu'au bout d'un certain temps ^ on ne saurait regarder ces nombres comme indiquant avec exactitude les rapports des dépenses effectives aux dépenses théoriques. Nous reviendrons plus tard sur cet objet , en reprenant la série entière des expériences sur l'écoulement , de façon à obtenir des résultats entièrement comparables. Il nous suiBt, quant à présent, d'avoir constaté que les anomalies des nombres de la cinquième colonne du tableau cidessus ne sont pas dues entièrement aux erreurs de l'observation dans les dépenses effectives, qui, je le répète, ont toutes été faites avec le plus grand soin et à diverses reprises , au moment d'opérer avec la roue.