TURIN

DE L’iMPRIMERIE ROYALE.

SUR DIVERS CAS DE LA CONTRACTION DE LA VEINE FLUIDE, ET REMARQUE SUR LA MANIÈRE D’AVOIR ÉGARD A LA CONTRACTION DANS LE CALCUL DE LA DÉPENSE DES ORIFICES.

Lu dans La séance du ai avril i8aa.

Dans ces expériences j’ai considéré en premier lieu la contraction de la veine qui sort par des orifices rectangulaires : lorsque l’écoulement se fait par des orifices quarrés ou circulaires , percés en minces parois , la quantité de la contraction est parfaitement connue et déterminée , et loutes les expériences sont d’accord sur sa valeur. Mais 1' n a révoqué en doute l’exactitude de l’emploi de cette même valeur dans l’écoulement par des orifices rectangulaires , dont les côtés sont inégaux entr’eux , pareeque les expériences faites avec des orifices circulaires et quarrés, ne prouvent pas que la contraction demeure la même quelle que soit la figure de l’orifice (*). À la vérité M. Hachette,

(*) Del moi’imento e délia misura délie acquc corrcnti, di Antonio Tadini. Milano 1816 pag. 18a et a 5 o.

d’après une belle suite d’expériences qu’il a faites dernièrement sur 1 écoulement des lluides , a conclu que la forme de I orifice en minces parois n’influe pas d’une manière sensible sur la dépense (*). Mais on ne voit pas, du moins par les rapports imprimés , faits à l’Académie des Sciences de Pans sur ces expériences , que >1. Hachette ait vérifié cette proposition sur des orifices rectangulaires , dont la largeur soit fort-grande en comparaison de la hauteur (**).

Je me suis donc proposé de chercher directement par l’expérience la contraction relative à ces orifices, dont l’usage est très-fréquent dans les grandes distributions des eaux courantes. Pour cela j ai employé des orifices rectangulaires , percés dans de minces parois , et par lesquels l’eau s’écoulait librement dans l’air. La hauteur de ces orifices était la même pour tous ; mais la largeur augmentait d un orifice à l’autre , jusqu’à devenir seize fois plus grande que la hauteur. Le résultat de ces expériences est que jusqu’à cette limite la valeur du coefficient de la contraction est sensiblement constante , et la même que celle des orifices quarrés et circulaires.

Il y a un autre cas assez étendu sur lequel on n’a pas

(*) Annales de Chimie et de Physique tom. 3 . e (i 8 i 6 ) pag. 80.

(**) Rapport de MM. Ampère, Girard et Poisson. (Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France année 1816 tom. i.er pag. XXXVI). Rapport de MM. Poisson, Ampère et Cauchy. ( Annales de Chimie et de Phjsique tom. 3 . c (1816) pag. 78). ~

fait , que je sache , d’expériences directes et telles qu’on en puisse conclure avec précision la contraction dont il s agit. Ce cas est relatif aux orifices , pour lesquels la contraction n a lieu que sur une partie de leur périmètre. L’on a reconnu depuis long-tems que la manière dont le fluide parvient à l’orifice , a une influence essentielle sur la quantité de la contraction • et M. De Proiny a remarqué que la situation de l’orifice par rapport aux parois du vase doit certainement influer sur la contraction de la veine (*). Or en détruisant la contraction sur une partie du périmètre de l’orifice, il est visible que l’on change la manière dont l’eau parvient à l’orifice, et que la situation de celui-ci par rapport aux parois que l’eau doit suivre pou y parvenir, n’est plus dans les memes circonstances, que lorsque la contraction se fait sur tout le périmètre.

D’après ces considérations les auteurs qui ont parlé des orifices dont il est question ici, admettent que la contraction totale diminue lorsqu’elle n’a pas lieu sur tout le périmètre de l’orifice ; mais ils ne sont pas d’accord sur la manière d’évaluer cette diminution: car les uns ne proposent à cet égard aucune règle déterminée , ne croyant pas que l’on puisse , au moins d’après nos connaissances actuelles , établir rien de certain sur cet objet sans l’appui de

(*) Nouvelle Architecture Hydraulique par M. De Prony. Paris 1790 tom. i.er o.° 832.

l’expérience (*) : d’autres supposent que le déchet de la dépense pour un orifice où la contraction est détruite sur une partie de son périmètre , doit être exprimé par le déchet total, relatil aux orifices percés en minces parois, multiplie par le rapport de la partie du périmètre sur laquelle la contraction a lieu , au périmètre total de l’orifice (**).

J’ai donc cru qu’il ne serait pas inutile ni pour l’exactitude des applications, ni pour le progrès de la théorie ellemême , de faire des expériences propres à donner la valeur de la contraction relative à ce cas. Pour^cela je me suis servi d’orifices quarrés, préparés de manière que la contraction pouvait avoir lieu sur trois côtés, sur deux, ou sur un seulement. Ces orifices étaient d’ailleurs, par rapport aux côtés sur lesquels la contraction avait lieu , dans les mêmes circonstances que les orifices percés en minces parois, et l’eau s’écoulait librement dans l’air.

Il résulte de ces expériences qu’il y â une diminution sensible dans la contraction , lorsqu’elle n’a pas lieu sur fout le périmètre de l’orifice , et que cette diminution devient plus considérable à mesure que la partie du périmètre sur laquelle la contraction n’a pas lieu, est plus grande:

C) Elémenti di Meccanica e d'Idraulica d* Giuseppe Venluroli. Milano 1818 tom. 2. e n.° 359.

{ ) Del rfiovinxcnto e délia misura delle acrjuè correnli } di Antonio Tadini.

Milano 1816 pag. 224.

parlant la valeur du coefficient de la contraction augmente a mesure que la contraction a lieu sur une moindre partie du périmètre.

Cette augmentation est telle , qu’en prenant le nombre 0,6190 pour la valeur du coefficient de la contraction, lorsqu’elle se fait sur tous les côtés d’un orifice percé dans une mince paroi , ce coefficient devient 0,6389 > 0,6567 ; 0,6940 , lorsque la contraction n’a lieu que sur trois côtés , sur deux ou sur un seulement, l’orifice étant quarré, et percé en mince paroi par rapport aux côtés, sur lesquels la contraction a lieu. De ces résultats il est facile de voir que le déchet de la dépense des orifices dont il s’agit, est beaucoup plus grand que celui qu’on obtient d’après la supposition rapportée plus haut.

Les expériences dont j’ai l’honneur de rendre compte à la Classe dans ce Mémoire , ont été faites dans le mois d’octobre dernier. Chaque expérience a été répétée plusieurs fois et dans des jours différons. Tous les élémens ont été pris avec le plus grand soin , et particulièrement les aires et les côtés des orifices ont cté déterminés et mesurés avec des moyens très-précis , en poussant aussi loin qu’il a été possible , l’exactitude dans la mesure de ces quantités.

Les dimensions des orifices, que j’ai employés , sont toutes plus grandes que les limites pour lesquelles M. Hachette a reconnu que la contraction est exempte des irrégularités, qui ont lieu pour des orifices de moindres dimensions (*).

(*) Annales de Chimie et de Physique tym. 3 .® (1816) pag. 80.

Ainsi ces expériences sont assez en grand soit par rapport aux orifices , soit par rapport aux charges d’eaux , et à la durée de l'écoulement , pour que l’on puisse compter sur la généralité des résultats. On trouve en effet des expériences semblables sur les écoulemens , et même pas si en grand, faites par Bossut , et par d’autres Auteurs, et les résultats qu’ils en ont obtenus , sont conformes à ceux donnés par des expériences exécutées avec de charges d’eau et d’orifices plus grands. Et à cet égard l’on sçait que quoique on apperçoive quelque légère différence dans la valeur de la contraction lorsque la charge d’eau augmente, cette différence ri’est pas assez sensible ni connue dans sa marche pour que l’on puisse en tenir compte dans le coefficient de la contraction à mesure que la hauteur de la charge d’eau vient à changer.

Le dernier paragraphe de ce mémoire contient une remarque sur la manière d’introduire le coefficient de la contraction dans le calcul de la dépense des. orifices. Lorsque l’orifice est horizontal, la manière ordinaire de corriger la dépense théorique , en la multipliant par le coefficient de la contraction, est exacte: elle est encore bonne lorsque, l’orifice étant vertical, la charge d’eau est plusieurs fois plus grande que la hauteur de l’orifice. Mais dans les écoulemens par des orifices verticaux , où la charge d’eau est moindre que le double ou le triple de la hauteur de l’orifice, la manière précédente de corriger la dépense théorique n’est pas exacte, et les dépenses ainsi calculées sont, dans certains

cas, sensiblement différentes des véritables. La cause en est, que pour les orifices verticaux il faut introduire les quantités relatives à la contraction dans l’élément différentiel de la dépense, et avoir égard à ces mêmes quantités dans les limites de l’intégration. En opérant ainsi, l’expression analytique de la dépense qu’on obtient, est différente de l’expression ordinaire, et l’une ne peut coïncider avec l’autre que dans le cas où la charge d’eau est très-grande par rapport a la hauteur de l’orifice.

Appareil et procédé avec lesquels ces expériences ont été faites.

i. Le réservoir dont je me suis servi pour faire ces expériences , est une caisse rectangulaire , formée avec des madriers d’environ deux pouces d’épaisseur. Sa longueur

pied. pouc. lign.

( fig. i ) est de 2. ii. i i ; sa largeur ainsi que sa hauteur est de 2 pieds, toutes ces dimensions étant prises en dedans , et rapportées au pied de Paris que l’on prend pour l’unité de mesure. Le fond et les quatre parois verticales étaient chacune d’une seule pièce , bien polie et bien dressée. L’assemblage a été exécuté avec beaucoup de précision et de solidité de sorte qu’il ne s’échappait point d eau par les joints , et que les dimensions de la caisse n ont éprouvé aucune altération sensible pendant le cours de ces expériences.

IO

2. Dans une des parois de la caisse j’ai fait pratiquer une ouverture rectangulaire , évasée au déhors. La hase de celte ouverture élait élevée au-dessus du fond intérieur de la caisse de i y lignes: la hauteur de l’ouverture était

pouc. lign. pouc.lign.

de 4. et 6. sa largeur de 9. 2. Dans l’intérieur de la caisse, et sur la face de la même paroi on a adapté deux coulisses verticales , une de chaque côté de l’ouverture précédente : ces coulisses étaient destinées à recevoir la pièce qui portait l’orifice, avec lequel on voulait faire l’expérience.

3 . Chaque orifice ( fig. 2 ) était percé dans une large plaque de cuivre bien dressée , de l’épaisseur d’une demili<me. Cette plaque était adaptée d’une manière fixe et invariable à une pièce rectangulaire de bois , épaisse et solide et bien dressée , qui avait elle-même une large ouverture , évasée au déhors , au milieu de laquelle répondait l’orifice percé dans la plaque de cuivre. Cette piece de bois , garnie d’un manche , entrait dans les coulisses dont on a parlé dans le n.° précédent. Lorsque cette pièce était à sa place , elle touchait par sa base le fond du réservoir, et par une de ces faces la paroi de la caisse , en présentant à l’intérieur l’autre face sur laquelle était adaptée la plaque de cuivre , le plan de cette face étant parlaitement uni et vertical , et très-étendu en tous sens par rapport a l’orifice , de sorte que celui-ci qui était au milieu de ce plan , se trouvait à l’égard de l’écoulement de l’eau, dans

les mêmes circonstances que les orifices que l’on nomme en minces parois.

4. L’orifice étant a sa place , et après avoir employé les moyens propres pour empêcher toute issue à l’eau , hormis que par 1 orifice , on disposait la caisse de manière que le plan de son fond fût horizontal. Ensuite dans la face intérieure de la paroi du réservoir, opposée à l’orifice , et sur une ligne verticale qu’on y avait tracé , on fixait deux épingles perpendiculairement à cette face, l’une près du fond et l’autre à une plus grande hauteur. La position de ces épingles, par rapport au fond et à l’orifice , était connue par la mesure immédiate. Après cela 011 bouchait l’orifice par le moyen d’un tampon de liege, et l’on remplissait d’eau la caisse pour toute sa hauteur, et l’on donnait à l’eau le temps de se calmer parfaitement.

5 . Dès que l’eau était calme , on ouvrait l’orifice , et l’ou en nettoyait les bords, en les examinant avec soin pour voir si rien ne s’y était attaché : l’on s’assurait ainsi que la veine touchait partout , en sortant , les arêtes intérieures de l’orifice. Pendant ce temps l’écoulement s’établissait, et la surface de l’eau s’abaissait. Lorsqu’elle était à quelque distance de l’épingle supérieure , une personne, exercée à ce genre d’observations , suivait attentivement l’abaissement de la surface de l’eau , et donnait le signai à l’instant que cette épingle venait a se découvrir. Je notais cet instant avec une montre à secondes , véiifiée et bien réglée. La surface de Peau s’abaissant toujours, la

même personne donnait le signal à 'l’instant que l’épingle inférieure se découvrait: je notais cet instant et l’expérience était achevée. Après cela si on voulait répéter la même expérience, on bouchait l’orifice , et l’on remplissait de nouveau la caisse : ou bien si l’on voulait faire une expérience semblable avec un autre orifice , on laissait vuider la caisse , et l’on remplaçait l’orifice par celui qu’on s’était proposé. La durée de chaque expérience , c’est-à-dire le temps de l’écoulement depuis l’épingle supérieure jusqu’à l’épingle inférieure étant assez long, on examinait de nouveau, pendant ce temps, les bords de l’orifice et la veine pour s’assurer que rien n’altérait l’écoulement.

6 . D’après cela on avait par la mesure directe et immédiate toutes les données relatives à l’écoulement dans chaque expérience, à l’exception de la contraction de la veine , qui était l’inconnue qu’il s’agissait de chercher par ces expériences : ainsi pour en déduire l’aire de la section de la veine contractée, ou, plus simplement, le coefficient de la contraction , il est clair qu’il faut se servir des formules relatives à l’écoulement des vases prismatiques, qui se vuident sans recevoir de nouvelle eau. Et puisque dans ces expériences les aires des orifices sont toutes extrêmement petites comparativement à l’aire de la section du réservoir • et que de plus la hauteur de chaque orifice est aussi très-petite par rapport à la charge d’eau , soit au commencement, soit à la fin de l’expérience ; et qu’enfin 1 écoulement se fait librement dans l’air, on prendra les

formules relatives à ces, circonstances , e’est.àrdire à celles de l’écoulement libre par un orifice très-petit par rapport n la section du vase et tel que tous ses points sont censés à la même distance de la surface de l’eau, celte distance étant prise depuis le milieu de la hauteur de l’orifice.

7 - En posant donc les dénominations suivantes , m , 1 aire de la section horizontale du réservoir ; l’aire de l’orifice ;

a , la hauteur de Peau au-dessus du centre de l’orifice au commencement du temps t ; le temps de l’écoulement, exprimé en secondes;

Z», la hauteur de Peau au-dessus du centre de l’orifice , à la fin du temps t ;

ju , le coefficient de la contraction de la veine;

Q , le volume de Peau écoulée pendant le temps t ; g, 1 » gravité terrestre - 3 o/' ec/ -19^7875 ; on aura ces équations (*)

Q=»k'tV^-Sj£l£..

d’où l’on tire

( ) Elcmenti di Meccamca e d'Jdraulica di Giuseppe Venturoli. Milano 18j 8 loin. 2. e pag. 74-75.

PiouTelle Architecture Hydraulique par M. De Prony tooo. i.er n.* 733.

Cette équation donnera la valeur de p , lorsque celles de a , b , ni y k et / seront connues.

Expériences avec des orifices verticaux et rectangulaires, percés en minces parois.

8 . Les expériences que je rapporte dans ce paragraphe, ont été faites avec des orifices rectangulaires et verticaux. La hauteur de ces orifices était constante, savoir de 4 lignes , à quelque petite fraction près , dont on tiendra compte dans chaque cas particulier: mais la base, variait d’un orifice à l’autre -, jusqu’à devenir seize fois plus grande que la hauteur. Les orifices étaient d’ailleurs tous percés en minces parois , et l’écoulement se faisait librement dans l’air. Pour toutes ces expériences l’on a..

lign. quar.

m 2 = 124128 ; ainsi l’équation (1) du n.° 7 deviendra

(2662,26065) (Va — VI)

où a y b et k doivent être exprimés en lignes. De cette équation on tirera la valeur de p , en y substituant celles de a y b , k et / , données dans chaque expérience.