Expériences sur la depense des reversoirs et sur l'acceleration et la courbure qu'ils occasionnent a la surface du courant

SUR LA. DÉPENSE DES REVERSOIRS ET SUR L’ACCÉLÉRATION ET LA COURBURE QU’ILS OCCASIONNENT À LA SURFACE DU COURANT.

Par George Bidone.

Lu dans la séance du i juin 18a 3 .

Ijorsqu’un liquide contenu dans un vase s’écoule par une ouverture rectangulaire et verticale , dont le côté inférieur est horizontal , et la hauteur est indéfinie, de manière que l'ouverture n’est jamais terminée en haut, la surface du liquide prend dans le vase une courbure, qui est d’autant plus grande , que les points de la surface que l’on considère sont plus près de l’ouverture. En vertu de cette courbure la hauteur effective de l’eau au-dessus du côté inférieur de l’ouverture est moindre que la hauteur du niveau de l’eau du vase au-dessus du même côté , ce niveau étant pris à une telle distance de l’ouverture , que la courbure de la surface y soit insensible. Il suit encore de cette courbure , que les molécules du liquide situées à la surface , arrivent à l’ouverture avec une certaine vitesse , et que par conséquent l’on ne peut pas supposer ici que la vitesse de ces molécules, à l’instant de leur sortie, soi nulle.

Cette courbure et cette vitesse établissent ainsi une différence remarquable entre l’écoulement par cette espèce d’ouvertures , et celui qui se fait par des orifices , dans lesquels le liquide , en sortant, en occupe toute la hauteur , et il y forme en outre une charge d’eau qui est soutenue par la paroi située au-dessus du côté supérieur de l’orifice. C’est d’après cela que M. De Prony (*) a remarqué que la formule ordinaire de la dépense des orifices verticaux qui ont une charge d’eau au-dessus de leur côté supérieur, cesse d’être exacte pour les ouvertures dans lesquelles cette charge d’eau n’existe pas. Car en faisant zéro la quantité qui représente cette charge dans la formule ordinaire , on conserve encore les hypothèses que le liquide se tient de niveau jusque contre le plan de l’ouverture^ «t que la vitesse à sa surface est nulle : or ces deux conditions n’ont plus lieu dans les ouvertures dont il s’agit ici.

Cependant la formule de la dépense de ces ouvertures, déduite de celle plus générale dont nous venons de parler, est si simple et d’une application si facile , qu’on l’a conservée dans l’usage ordinaire , malgré les défauts qu’on vient d’y remarquer. Partant si en conservant cette même formule , on peut la rendre exacte et sûre, elle réunirait

(*) Voyez son Hydrodynamique n.° 446 dans le tom. III. du Journal de l'École Polytechnique.

alors à la simplicité et à la facilité de son application, l’avantage bien plus important , celui de l’exactitude. Je me suis donc proposé de chercher par l’expérience de quelle manière on doit appliquer cette formule aux diflerens cas particuliers pour qu’elle soit exacte , et de déterminer en meme temps, la véritable signification des quantités qu’elle contient.

Les ouvertures dont il est ici question , sont d’un usage fréquent dans l’écoulement des eaux , et l’on en voit souvent à travers les canaux et les rivières. Si sur le fond et sur toute la largeur d’un canal , on construit une digue d’une hauteur moindre que celle des parois du canal , les eaux en amont regonfleront, et lorsqu’elles auront dépassé la hauteur de la digue , elles y passeront dessus , et retomberont dans le canal en aval de la digue. Cette digue ainsi établie est ce que d’après Bossut et Dubuat (*) je désigne sous le nom de reversoir , et l’ouverture au-dessus de la digue par laquelle l’eau s’écoule , donne un exemple des ouvertures dont je considère ici l’écoulement.

Pour abréger je nommerai aussi reversoir toute ouverture verticale, d’une largeur quelconque , soit lorsque cette ouverture n est pas terminée en haut, ainsi que cela a

(' ) Recheicbes sur la construction la plus avantageuse des digues par Bossut Pt Vinllet Chap. IV.

Principes d’Hydraulique par Dubuat ( Paris iSv6 ) Tom. i. er pag. 193 , et Tom. 2. e pag. ni et suiv.

lieu pour les déversoirs qu’on établit le long des canaux; soit lorsque l’ouverture est terminée en haut par un côté , pourvu que dans ce cas l’eau n’arrive pas à toucher ce côté pendant l’écoulement : telle est, par exemple , l’ouverture d’un déchargeoir, lorsque le côté inférieur de la vanne est élevé au-dessus de la surface du courant, pour donner aux eaux la plus grande issue possible (*).

D’après cela les reversoirs présentent deux cas qu’il faut d’abord distinguer. L’un a lieu lorsque la section de l’eau qui passe sur le reversoir , est petite par rapport à celle du canal sur lequel le reversoir est établi : on a 1 autre cas lorsque la différence entre ces deux sections n’est pas fort grande. J’ai considéré chacun de ces cas séparément dans les premier et deuxième paragraphes de ce Mémoire. Dans les expériences que je rapporte dans le premier paragraphe, la section du canal est depuis i5 jusqu’à 22 fois plus grande que la section de l’eau qui passait sur le reversoir. Dans les expériences rapportées dans le deuxième paragraphe la section du canal n’était plus que depuis 2 jusqu’à 4 fois aussi grande que celle de l’eau qui coulait sur les reversoirs , la largeur de ceux-ci étant toujours égale à la largeur du canal , à travers lequel ils étaient établis. Dans tous les cas la chute de l’eau par le reversoir était parfaitement libre et se faisait dans l’air.

(*) Les ouvertures dont on considère ici l'écoulement, se nomment chez les Auteurs Italiens slramazri ou scaricatori a fior iT acc/ua. ( Venturoli Elernenti d'Idraulica. Milano 1818 pag. 86 ).

De cm expériences il résulte en premier lieu que la formule de la dépense est la même pour tous ces reversoirs , quelque soit le rapport de la section du courant prise sur le reversoir à celle prise dans le canal : en deuxieme lieu que le coefficient de la contraction a sensiblement la même valeur que celui relatif aux orifices percés en minces parois: en troisième lieu que pour la hauteur de la section de l’eau qui passe sur le reversoir , il faut, en partant de la base inférieure de celte section , prendre la hauteur du niveau auquel s’élève Peau dans la branche verticale d’un tube dont la branche horizontale est plongée par son bout ouvert et opposé au courant, dans la nappe d’eau qui coule sur le reversoir. Dans toutes les expériences rapportées dans ce mémoire , Peau dans la branche verticale de ce tube s’est toujours élevée au niveau de la surface du courant dans le canal , pris à peu de distance , et en amont du reversoir , et où cette surface n’ayant plus de courbure sensible, peut être regardée comme plane et horizontale.

Partant la formule de la dépense des reversoirs coïncide avec celle que Pon tire de la formule générale de la dépense des orifices rectangulaires et verticaux percés en minces parois, en y faisant nulle la charge d’eau au-dessus du côté supérieur de l’orifice. Mais dans la formule ainsi modifiée et réduite, il ne faut pas prendre pour la hauteur de la section occupée par Peau sur le reversoir, la hauteur effective de Peau au-dessus du côté inférieur de la même

section ; mais il faut prendre et substituer dans 1# formule la hauteur à laquelle monte l’eau dans la branche verticale du tube dont nous venons de parler , cette hauteur étant toujours comptée depuis le sommet du reversoir, c’est-à-dire depuis le côté inférieur de la section occupée par l’eau sur le reversoir.

Dans le §. 3. e j’expose les observations et les expériences que j’ai faites sur la courbure et l’accélération ainsi que sur l’abaissement que l’écoulement de l’eau par un reversoir occasionne à la surface du courant (*). Lorsque la section de l’eau sur le reversoir est petite par rapport à celle du canal , cet abaissement est peu considérable , et la courbure et l’accélération ont peu d’étendue autour du reversoir , et en général leurs limites sensibles sont à peu près égales à celles du conoide qui se forme dans l’intérieur d’un vase près d’un orifice dont la section est petite par rapport à celle du vase.

Mais si le reversoir lient toute la largeur du canal , et la section occupée par l’eau qui y coule dessus , n’est pas petite par rapport à celle du cajial , alors cet abaissement devient plus considérable , et la courbure occasionnée à la surface du courant s’étend plus loin, et d’autant plus à mesure que le rapport de ces deux sections approche

{*) Les Auteurs Italiens désignent d’une manière très-expressive et trèssignificative l’accélération du courant dont il s agit ici : ils la nomment In chiamata dello sbocco.

davantage de l'imité. C’est ce qui résulte des profils numériques de la surface du courant que je rapporte , et que j’ai tirés des profils naturels tracés à la main. Cependant cette courbure décroit dans tous les cas assez rapidement à mesure que l’on s’éloigne du reversoir , et le profil longitudinal de la surface du courant converge vers une droite horizontale , avec laquelle il se confond sensiblement à peu de distance du reversoir.

Mais pour voir mieux l’accélération occasionnée par l’abaissement et la courbure de la surface , j’ai fait des expériences sur la vitesse superficielle du courant depuis le reversoir jusqu’à une telle dislance , où cette vitesse demeurait à peu-près constante. Ces expériences sont également rapportées dans ce paragraphe.

Enfin j’ai aussi examiné la courbure que prend à sa surface la nappe d’eau qui tombe librement par des reversoirs établis à travers un canal et de meme largeur que celui-ci. Pour cela j’ai pris sur une certaine étendue^ depuis le reversoir, le profil naturel de la face supérieure de la nappe dans les diverses expériences que j’ai faites.

Il résulte que tous ces profils ont une courbure parabolique comme celle des projectiles , ce qui paraîtra d’abord fort naturel. Mais si l’on observe , ainsi que l’expérience le prouve , que le paramètre de ces paraboles est beaucoup plus grand que celui qui serait dû à la vitesse propre des molécules placées à la surface du courant au moment de leur arrivée au reversoir } on verra qu’il y a

ici un fait assez remarquable , et qu’il ne faut pas passer sous silence. Il consiste en ce que les molécules situées sur la verticale qui représente la hauteur de la section du courant sur le reversoir, ayant des vitesses de projection de plus en plus grandes depuis le point supérieur jusqu’au point inférieur de cette verticale , se gênent dans leurs mouvemens , et les paraboles que ces diverses molécules décriraient si chacune d’elles était libre et isolée , se croisent et s’altèrent mutuellement : cependant cette altération due à l’action mécanique et réciproque des diverses molécules situées sur une même verticale est telle que la courbe décrite par la molécule placée au point supérieur de cette verticale , est encore une parabole , mais dont le paramètre est beaucoup plus grand, que si cette molécule était isolée , et ne se mouvait qu’en vertu de la vitesse qu’elle a au moment de son arrivée au reversoir. Le plus grand paramètre qu’acquiert ainsi la parabole décrite par la molécule placée à la surface de la nappe d’eau , lui donne une plus grande amplitude ; mais on voit que l’on ne pourrait pas dans ce cas juger de la vitesse propre de cette molécule à sa sortie de l’ouverture par l’amplitude de la parabole qu’elle décrit.

Eu terminant ici l’exposition succincte des résultats des expériences contenues dans ce Mémoire , je noterai qu’elles ont été faites le mois d’octobre dernier à l’Etablissement Hydraulique de l’Université Royale, et que toutes les mesures se rapportent au pied de Paris.,

Expériences sur la dépense des rever soir s pour lesquels la section de Veau qui y coule dessus , est petite par rapport à celle du courant dans le canal.

1. Les reversons sur lesquels j’ai fait les expériences que je vais rapporter ici , ont la base horizontale et les deux côtés verticaux : leurs ouvertures sont percées dans de minces plaques de cuivre de l’épaisseur d’une demi-ligne. Chaque plaque était ajustée au milieu d’une vanne , qui fermait le bout d’un canal en maçonnerie , dont le fond est horizontal , les parois sont verticales et parallèles , et les surfaces internes parfaitement planes et polies. La section du courant prise sur ces reversoirs était fort petite par rapport à la section de l’eau dans le canal, de sorte que cette eau était sensiblement stagnante. Pendant l’écoulement la surface supérieure de l’eau n’était jamais soutenue par la paroi à l’endroit de l’ouverture , de manière que , cette condition étant toujours remplie , les ouvertures par lesquelles Peau sortait , étaient de véritables reversoirs.

2 . L’écoulement se faisait librement dans l’air : lorsque il était parfaitement établi et réduit à un état permanent, on recevait l’eau dans un grand réservoir inférieur, et l’on avait ainsi par la mesure immédiate le volume de

l’eau dépensée dans un temps observé et connu. Pareillement, pendant que l’écoulement était établi et permanent, je prenais d’abord , à quelque distance de la vanne , la hauteur du niveau de l’eau dans le canal au-dessus du côté inferieur de l’ouverture. Ce niveau était toujours , dans ces expériences , à la même hauteur que celui auquel s’élevait l’eau dans la branche verticale d’un tube de cristal , dont la branche horizontale était plongée dans la veine liquide à sa sortie de l’ouverture , et en recevait directement un filet par son bout ouvert ; et l’observation prouve que le niveau de l’eau dans la branche verticale de ce tube demeure toujours à la même hauteur quelque soit le point au-dessus de la base de l’ouverture , auquel on place le bout de la branche horizontale du tube , pourvu que ce bout plonge dans la veine ( fig. i. ère )..

Ensuite je prenais l’abaissement de la veine à sa sortie de l’ouverture, par rapport au niveau de l’eau du canal ; ou proprement je prenais le profil de la section de l’eau contre la vanne et contre la plaque où était percée l’ouverture. Ces profils sont représentés-dans les figures 3. e , et 5. e . Par là j’obtenais l’abaissement moyen de la face supérieure de la veine à sa sortie de l’ouverture par rapport au niveau de l’eau du canal, et par suite la hauteur moyenne de la partie de l’ouverture occupée par la veine , cette hauteur étant comptée depuis le côté inférieur de l’ouverture.

3. Chaque expérience relative à une même hauteur d’eau dans le canal, était répétée plusieurs fois, et ensuite je

changeais ou la hauteur de Peau dans le canal, ou la largeur de l’ouverture et la hauteur de Peau à la fois.

Le tableau suivant contient les résultats de ces expériences , par rapport aux-quels , pour apprécier les limites des erreurs inévitables de l’observation dans ce genre d’écoulement, il est essentiel de remarquer qu’ici une légère variation dans la hauteur de Peau d’une expérience à l’autre de la même suite, en produit une beaucoup plus considérable dans la dépense de l’ouverture , car elle fait varier à la fois la section et la vitesse de la veine.

i. ère ouverture.

a. ft ouverture