ouverture

lign.

L ou largeur de Pouverlure ;=:34,33 Il ou hauteur du niveau de

Peau du canal au-dessus du côté inférieur de l’ouverture = 39.

h ou hauteur moyenne de la veine à sa sortie de Poui verture. —36.

lign.

Lz=l 75,70

Dépen«e$ obtenues en 480".

ou dépense par 1 ,r .

Dépenses obtenues en 480".

ou dépensé p a r i'\

Dépenses oblcnues en 480".

ou dépense par 1".

pied. cub.

o,io338

i 3 9>7 6ii 7

Somme =

Moyenne =

4 - Nous avons dit que la section du courant sur le reversoir, c’est-à-dire la partie de l’ouverture occupée par la veine à sa sortie , était petite par rapport à la section ABCD ( fig. 2. c ) de l’eau du canal. Effectivement on avait pour la i. ère ouverture AB= io4 ,ign * 5 pour la 2. c AB= 14o lign -; et A Z?“2o2j 1,en *y pour la troisième , AB étant la hauteur de la section de Feau contenue dans le Qanal 5 dont BC

représente le fond : la largeur AD ou BC de cette section, la meme pour toutes ces expériences, était de 285 lignes- D’après cela le rapport de la section de l’eau du canal à la section PMNO du courant sur le reversoir, est , pour la i. ère ouverture, 22 ; pour la a. e , i 5 , 5 ; et pour la 3 . e , 17. Dans ces rapports on n’a pas tenu compte de la contraction de la veine à sa sortie de l’ouverture; en ayant egard à la contraction que nous déterminerons bientôt, les rapports précédens deviennent 37 , 26 et 28 respectivement. Si l’on divise les dépenses Q données dans le tableau précédent par les sections correspondantes de l’eau du canal , on trouve que les vitesses moyennes de ces

pied. pied. pied.

sections , étaient de 0,073; 0,149; o,ioi : On peut doue regarder la surface de l’eau du canal prise à quelque distance de Tou vertu re , comme horizontale et stagnante.

5 . Cherchons maintenant les relations qui existent entre les dépenses que nous venons de rapporter , et les dimensions des ouvertures. Pour cela en désignant comme cidessus par

L la largeur de l’ouverture ;

II la hauteur du niveau de l’eau du canal, prise à quelque distance de la vanne , au-dessus du côté inférieur de l’ouverture ;

h la hauteur moyenne de la veine ou de la section occupée par l’eau à la sortie de l’ouverture , au-dessus du côté inférieur de la meme ouverture ;

Q la dépense dans une seconde ;

g la gravité terrestre ;

nous pourrons essayer trois manières différentes de représenter les dépenses de ces ouvertures , d’après la théorie ordinaire de l’écoulement des liquides par des orifices rectangulaires et verticaux , dont la section est petite par rapport à celle du vase. Car on peut en premier lieu regarder le reversoir comme un orifice rectangulaire et vertical, dont la hauteur de l’eau est MA—h ( fig. i. ère ) et dont la charge d’eau au-dessus du point A est nulle : En deuxième lieu on peut regarder le reversoir comme un orifice rectangulaire et vertical , dont la hauteur de l’ouverture est MA—h , et dont la charge d’eau au-dessus du point A est AB—H—h : En troisième lieu ôn peut regarder le reversoir comme un orifice rectangulaire et vertical ^ dont la hauteur de l’ouverture et de l’eau est MB—II , et dont la charge d’eau au-dessus du point B est nulle. D’après ces trois manières de considérer l’écoulement par le reversoir , on aura les formules suivantes pour en représenter la dépense , savoir

{A) Q—M.Lhy/^;

où M , m et fx sont les coefficiens de la contraction relatifs à chaque formule. Maintenant il est clair que si l’une quelconque de ces formules représente réellement les dépenses des ouvertures dont il s’agit , le coefficient de la contraction qu’elle renferme, doit être sensiblement constant.

Or ces coefficiens sont donnés respectivement par les formules suivantes

ainsi les deuxièmes membres de ces équations étant connus par l’expérience ^ et prenant pour Q les dépenses moyennes données ci-dessus , on en déduira les valeurs suivantes de y}/, in, et (x .

Valeurs de

Ouvertures

j ère

o, 63 oa 5

o, 6 oo 5 i

Sommes . .

Moyennes .

6 . Il résulte donc que le coefficient M ne conserve pas la même valeur pour les trois ouvertures , tandis que les coefficiens ni et \x sont sensiblement constans pour ces

mêmes ouvertures , et leurs valeurs sont peu différentes entr’elles et de la valeur du coefficient de la contraction pour les orifices percés en minces parois. Il suit de là que pour calculer les dépenses des ouvertures dont il s’agit ici , on peut se servir de la formule {B) ou de la formule (C) , et prendre pour le coefficient de la contraction celui qu’on emploie pour les orifices percés en minces parois.

La formule (A) ne peut pas être employée avec assez d'exactitude \ mais si l’on voulait s'en servir comme pour une simple approximation , il faudrait prendre pour le coefficient M de la contraction la valeur 0,69 , ou 0,70 ; car sans cela elle ne pourrait pas même être regardée comme une formule approchée pour ce genre d’écoulement. En effet il est facile de voir par le seul raisonnement et sans l’appui de l’expérience, ejue le coefficient M de la formule (A) doit être beaucoup plus grand que le coefficient ordinaire j car d’abord en prenant dans cette formule (A) la hauteur h pour celle de l’ouverture même, il n’y a pas de contraction sur la face supérieure de la veine ; par conséquent le coefficient de la contraction doit être ici un peu plus grand que le coefficient ordinaire (*) De plus, en prenant la hauteur h pour la hauteur de l’ouverture occupée par l’eau , on suppose dans la formule (A)

(*) Mémoires de l'Àcad. Roy. des Sciences de Turin tom. XXVII. page 118 .

que la surface supérieure de l'eau à sa sortie de l’ouverture soit horizontale et stagnante : or elle est réellement inclinée vers l’ouverture et son inclinaison commence à quelque distance en amont de celle-ci ? d’où il suit que les filets superficiels arrivent à l’ouverture avec vitesse , et la dépense en est augmentée. Il en résulte donc qu’en rejetant ces deux causes d’augmentation de la dépense sur le coefficient M de la contraction , la valeur de celui-ci doit ^ être plus grande que celle du coefficient ordinaire ; c’est ce qui est conforme à l’expérience , qui nous apprend en outre que la valeur du coefficient M n’est pas constante.

7. Les formules (B) et (C) sont à peu-près également conformes à l’expérience ; et c’est ce qui doit arriver dans les ouvertures que nous considérons ici , où la quantité (H—h y H—h étant fort petite par rapport à la quantité H\/H, les valeurs de m et de p tirées des formules (B) et (C) doivent aussi être fort peu différentes eutr’elles. Mais on voit que pour la simplicité du calcul et la facilité dans la pratique on doit préférer l’emploi de la formule (C) : car pour le coefficient de la contraction qu’elle contient , on peut prendre le coefficient ordinaire relatif aux orifices percés en minces parois , et pour la hauteur JI 011 doit prendre celle dû niveau du canal ou du vase au-dessus du côté inférieur de l’ouverture , hauteur qu’il est trèsaisé de mesurer avec la plus grande précision. 11 suit encore de la formule (C) que les quarrés des dépenses des reversoirs dont il s’agit ici , sont entr’eux comme les cubes

des hauteurs du niveau de l’eau du canal au-dessus du côté inférieur de la section prise sur le reversoir , la longueur de ce côté étant supposée égale dans les reversons dont on compare entr’elles les dépenses.

Expériences sur la dépense des reversoirs pour lesquels la section de Veau qui y coule dessus , a une largeur égale à celle du canal , et une hauteur qui il est pas fort petite par rapport à la hauteur du courant dans le canal.

8 . Le canal dont je me suis servi pour ces expériences, est en maçonnerie ; son fond est plan et horizontal ; ses parois sont verticales et parallèles, et les surfaces internes parfaitement planes et polies. L’extrémité de ce canal , par laquelle l’eau s’écoule , finit brusquement, de sorte qu'il y a ici une chîile verticale , d’où le courant tombe dans un grand réservoir , et de celui-ci il peut être amené dans d’autres réservoirs inférieurs. A celte extrémité du canal il y a dans son fond et dans ses parois des rainures pour y établir des vannes ou des digues de telle hauteur que l’on veut. C’est à cette extrémité et dans ces rainures que j’ai établi une digue sur toute la largeur du canal , au-dessus de laquelle tout le courant était obligé de passer, et de se précipiter en bas. La partie des rainures pratiquées dans les parois , laquelle se trouvait au-dessus du sommet

de la tligue , a été remplie avec des pièces solides , de manière que les parois du canal étaient , en cet endroit , aussi unies et planes que par tout ailleurs 5 et l’eau qui passait sur la digue , n’eprouvait pas de contraction latérale.

9. Le canal était nourri par de l’eau qu’on y introduisait par son extrémité supérieure éloignée de i 38 . p,ed ' de la digue , et où l’eau était parfaitement réglée par des moyens précis et certains. La manière avec laquelle le canal était nourri et conservé dans un état permanent par l’affluence continuelle d’une même quantité d’eau , mérite d’être rapportée et remarquée. La longueur totale du canal dont le fond est horizontal, est de i 38 . pied ' et son extrémité supérieure se trouve au bout d’un autre canal, dont le fond est de 12 pouces plus haut que celui du canal ^lont il s’agit : ainsi l'eau du canal supérieur , ( lig. 8. c ) réglée par une vanne et par un déchargeoir , tombe librement dans le canal horizontal inférieur. Par là, lorsque le cours est établi d’une manière permanente dans le canal inférieur, la surface de Peau y demeure très-sensiblement plane et horizontale sur toute la longueur du canal , à la réserve d’une petite étendue près de l’extrémité supérieure où l’eau en tombant cause quelque agitation dans le courant , et près de l’extrémité inférieure du canal, où l’écoulement de Peau par dessus la digue , c’est-à-dire par le reversoir , occasionne un abaissement dans la surface du courant , qui s’étend à quelque distance en amont de la digue.

10. Lors donc que la digue était établie et que le cours de l’eau dans le canal était parvenu à un état permanent, on recevait la dépense du canal , laquelle passait toute sur la digue , dans les réservoirs inférieurs, et Ton avait par la mesure immédiate la Valeur précise de celte dépense. Je prenais aussi la hauteur de l’eau au-dessus du sommet de la digue , ainsi que la hauteur à laquelle s’élevait l’eau dans la branche verticale d’un tube de cristal, dont l’autre branche horizontale était plongée dans le courant qui passait sur la digue ( fig. q. e ) et en recevait directement un filet par son ouverture.

11. Après avoir achevé ces opérations pour une meme dépense du canal , je faisais la mêm& suite d’opérations sur une dépense plus forte que j’y introduisais , en conservant à la digue la meme place et la même hauteur. J ai fait ainsi et répétp plusieurs fois les six expériences 7 dont le tableau suivant présente les résultats.

Uauteur de la digue au-dessus du fond du canal, == 6^!^. Longueur de la digue = 285 lign> = à la largeur du canal. Epaisseur de la digue =i 5 li8n ’.

ou dépense du re-

ou hauteur efle-

ou hauteur de l’eau

versoir obtenue

clive de l’eau au-

dans la branche ver-

par la mesure

dessus de l’arète

ticale d’un tube, dont

immédiate.

d’amont du som-

la branche horizon-

met de la digue.

taie recevait directe-

ment par son ouverture un Blet du cou-

rant qui passait sur la digue.

lign.

, dhi

-Oiuiii'iol t)iiu Ij oJuoi

Les hauteurs h~MA , H—MB ( fig. 9 . c ) sont comptées depuis l’arête d’amont M du sommet de la digue : et il faut noter que la hauteur II mesurée de celte manière , est la même , pour chaque expérience , à quelque point de la hauteur MA que l’on fasse correspondre l’ouverture de la branche horizontale du tube , opposée directement au courant qui passe sur la digue.

12. Maintenant pour lier entr’elles les quantités Q, L , 11 et h d’où dépendent les dépenses des reversoirs, nous essayerons encore ici les formules rapportées au n.° 5 : elles sont

(A) Q= jM.L.hV / 2 gh ;

(B) Q=jm.L[/^ ;

où Q , L , // et h ont la signification que nous avons déjà énoncée \ g est la gravité terrestre , et M , m , tx sont les coefliciens de la contraction de la veine fluide , relatifs à chaque formule.

i 3 . En appliquant ces formules aux expériences précédentes, on voit que toutes les quantités dont elles sont composées , sont connues , à l’exception des coefliciens M, m et [x. Il est clair en outre , que sl l’une de ces formules , ou chacune d’elles , représente réèllement la dépense du reversoir, le coefficient de la contraction doit être constant pour la même formule , quoique sa valeur pufsse être différente d’une formule à l’autre.

Dans les expériences rapportées ci-dessus au n. 11 on a Z=285 ,if5n -; et en prenant 2£=6o pie %391 57 5 , les valeurs de M , ni et [x tirées des formules précédentes, seront

n\/H—(H—hy H—h. *

hv'h ’

ou il faut substituer pour // et h les mêmes nombres que ceux que nous avons rapportés dans le tableau du n.° ii, savoir il faut exprimer Q en nombres de pieds cubes , et II et h en lignes : on aura ainsi les valeurs suivantes de M , m et u.

ou hauteur ou hauteur ou coefficient ou coefficient ou coefficient

effective de de l'eau dans de la contrac- de la contrac- dela contrac-

oblenue par l’eau au-dcs- la branche lion , calculé lion , calculé lion , calculé |

la mesure im- sus de l’aréte verticale d'un avec la formu- avec la formu- avec la formu- | médiate. d’amont du tube dont la le (i). le (2). le (3).

sommet de fa branche horidigue. zontale rece¬

vait directement par son ouverture un filet du courant qui passait sur la digue

Sommes . . . 5 ,ioi 83 Moyennes . . o, 85 o 3 o

14. On voit par ce tableau, que la valeur de p. demeure à très-peu-près la même pour toutes ces expériences , et que ses variations d’une expérience à l’autre, trèspeu sensibles en elles-mêmes , sont beaucoup plus petites que celles de M et ni : on voit aussi que les variations les plus considérables sont celles du coefficient M. On doit donc conclure que la formule (C) est celle qui convient au calcul de la dépense des reversoirs dont nous nous sommes servi , et des reversoirs analogues ; c’est-à-dire que l’on a

où pour p on peut prendre sa valeur 'moyenne 0,60842 donnée par les expériences précédentes , ou bien la valeur du coefficient relatif aux orifices percés en minces parois, la différence entre ces deux valeurs ne pouvant produire d’erreurs sensibles dans les résultats ; et pour II on prendra la hauteur à laquelle s’élève l’eau dans la branche verticale d’un tube , dont la branche horizontale plongée dans le courant qui passe sur la digue , en reçoit directement un filet par son ouverture. Il suit de là que pour

un meme reversoir la quantité — est constante , savoir

que les quarrés des dépenses sont entr’eux comme les cubes des hauteurs II (*).

(*) Elémenti d'Idraulica di Giuseppe Venturoli. Milano 1818. n.° 191.

Ces résultats sont parfaitement conformes à ceux que nous avons trouvés plus haut ( n.° 6 et 7 ) pour les reversons, pour lesquels la section du courant qui y coule dessus , est fort petite par rapport à la section du fluide dans le canal. Ainsi dans ce genre d’écoulement, en prenant II comme nous l’avons dit ci-dessus , le coefficient [x demeure constant, et il s’établit, entre les quantités d’où dépend l’écoulement, une compensation telle que le deuxième membre de l’équation (C) donne dans tous les cas la dépense exacte du reversoir.

1 Il résulte encore du tableau précédent que si pour calculer la dépense des reversoirs dont il est ici question, on voulait se servir de la formule

(A) Q— ~ M.Lli \^ 2 gk ,

h étant la hauteur effective de l’eau au-dessus de l’arête d’amont de la digue , c’est-à-dire la hauteur de la section du courant sur le reversoir , on ne pourrait pas employer pour le coefficient A/, la valeur ordinaire 0,619 : ma * s il faudrait, pour ne pas avoir des écarts trop forts, mettre pour M sa valeur moyenne o, 85 o 3 o trouvée précédemment. On fera une remarque semblable sur l’emploi de la formule (B) pour laquelle la valeur du coefficient m de la contraction doit être 0566490.

Expériences sur la courbure et sur Vaccélération que hs reversairs occasionnent à la surface du courant.

16. Lorsque la section du fluide qui coule sur le reversoir ? est petite par rapport à celle du canal , la surlace de l’eau du canal est sensiblement horizontale dans toute son étendue , et ce n’est que très-près du reversoir ? que la surface du courant prend rapidement une courbure et une accélération sensibles. L’étendue de celte courbure et de cette accélération suit à peu-près les mêmes lois que l’étendue du conoïde qui se forme dans l’intérieur d’un vase tout autour d'un orifice percé , à son fond , par lequel l’eau s’écoule et dont la section est petite par rapport à celle du vase. Dans l’un et dans l’autre cas c’est la même cause qui produit l’accélération et la convergence des filets de l’eau vers l’ouverture : mais cette accélération et cette convergence ont toujours très peu d’étendue , et elles deviennent insensibles à peu de distance de l’orifice.

Mais lorsque la section du courant sur le reversoir a un rapport sensible avec celle du courant dans le canal ? la courbure et l’accélération de la surface du courant s’étendent plus loin et deviennent plus considérables. Les expériences que j’ai rapportées ci-dessus sur la dépense des reversoirs m’ont aussi fourni l’occasion d’observer la

courbure et l’accélération qu’ils occasionnent à la surface du courant. Ce sont ces observations que je vais rapporter ici.

17. Dans les expériences du J.° I. , pour lesquelles la section occupée par le eourant sur le reversoir était petite par rapport à la section de l’eau contenue dans le canal, la surface de cette eau était toujours horizontale, et presque sans mouvement jusqu’à une petite distance du reversoir. A cette distance les molécules placées à la surface commencent à s’incliner vers le reversoir , et s’y précipitent rapidement lorsqu’ils en sont très-près.

Les flgur^<4 -L 6 , 4 - C ‘ 5 . e représentent le profil de la surface de l'eau pris à l’endroit même où elle est en contact avec la face d’amont de la vanne dans laquelle est pratiquée l’ouverture pour l’écoulement du fluide. Les dimensions de ces profils sont comme il suit : D'BDIIG est la partie de l’ouverture occupée par le courant, ou la section de l’eau qui coule sur le reversoir. TSSV est la ligne du niveau de l’eau du canal’. ISD BCDLSf^ est le profil de la surface de l’eau qui est en contact avec la vanne et avec le plan de l’ouverture : la verticale JL prolongée, coupe par moitié la largeur du reversoir et du canal.

Pour la fig. 3 . e on a

JQ*= 17,^16: ensuite JB= 3 , lien * 7 ^ •

* PC= QD~ QR= -fi Æ£=o.

Pour la fig. 4 - C on a

AL= 7 5 lign -; ^=17,^16: ensuite \

QR= ~ ; PC= 5 U6 "- : ÇZ}=3' i! " :

QR=JQ ; AÆ=2 li8 " : RS=QR ; «Sf^o.

Pour la fig. 5 . e on a

^=44,f- 7 ; : ensuite ^Z?= 5," 6 “' 7 5 :

/^P= ^ ; PC=6“’“ : QD=l i '*°- :

<?/?= RE=i" s “ : /?5=Ç«; 5F=o.

C est d’après ces profils que j’ai déterminé , pour chaque figure , la hauteur moyenne A ( n.° 3 ) de la veine à sa sortie de l’ouverture , par rapport au côté inférieur GU de la même ouverture.

Dans la figure 6. c l’orifice est le même que celui de la figure 5 . e ; mais le niveau TSSF de l’eau du canal a été élevé à la hauteur du côté supérieur QQ de l’orifice : la dépression de la surface de l’eau à la sortie de cet orifice a encore lieu , et le profil de la section en contact avec le plan de l’orifice est comme il suit':

./Z?=4," 6 " 5: AP= ; PC= QD= 3“ 6 " :

QR= ^ ; RE= i 1 *-: RS=fAQ-, SF=o.

La figure 7.® est encore relative à l’orifice précédent et donne le profil de la surface de l’eau à sa sortie d® l’orifice ? lorsque le niveau de l’eau dans le canal est élevé

de manière , que la surface de la veine , a sa sortie de l’orifice , affleure le point A du côté supérieur de l’orifice. Dès que la surface de la veine est à celte position , on a

ÀP= — : PC= 3 1 ' 6 ”- :

et la surface de l’eau touche les extrémités Ç, Ç du côté supérieur de l’orifice; mais son niveau TSSF dans le canal surpasse de 5 lignes le meme côté supérieur QQ de l’orifice.

Enfin la courbure et la dépression de la surface de l’eau n’ont disparu entièrement, pour le même orifice, que lorsque le niveau NA de l’eau du canal a été 17 ligues plus haut que le côté supérieur QQ de l’orifice ( fig. 7.® ).

Par ces divers profils on voit que la plus grande distance à laquelle la courbure de la surface de l’eau du canal commence à être sensible , est égale à la largeur de l’oiifice , cette distance étant comptée depuis les côtés verticaux de l’orifice ( fig. 4.*).

18. Passons maintenant aux reversoirs des expériences rapportées au §. c II. Ces reversoirs tenaient toute la largeur du canal , de sorte que les filets de l’eau qui y coulait dessus, ne souffraient aucune déviation dans le sens horizontal. La déviation de ces filets était toute dans le sens vertical, de manière que les molécules placées à la surface décrivaient des courbes planes, parfaitement égales entre elles , et situées dans des plans verticaux et parallèles ; ainsi la section transversale du courant prise plus ou moins

près du reversoir , et sur le reversoir même , donne une ligne droite horizontale pour le profil transversal de la surface du courant. Partant pour avoir les déviations des molécules superficielles dans le sens vertical à mesure qu* elles s’approchaient du reversoir, j’ai pris le profil longitudinal du courant. Ce profil a été pris , pour chaque reversoir, en dimensions naturelles depuis 3 o pouces en amont de la digue jusqu’à 9 pouces en aval. Pour cela j’ai appliqué une planche de bois très-mince et plane, à l’une des parois internes du canal de manière que le plan de cette planche était vertical.

Sur cette planche je traçais à la main la ligne qui lui élait commune avec la surface du courant , savoir la section longitudinale de cette surface ; ce qui était facile de faire avec beaucoup de précision , parceque le courant étant bien établi et permanent, sa surface n’éprouvait aucun changement de position et de forme pendant l’opération et demeurait la même que si elle eût été immobile. Cette surface est cylindrique , et on peut la concevoir engendrée par une droite horizontale qui dans json mouvement est toujours parallèle à elle-même et perpendiculaire au plan vertical de la courbe décrite par une molécule placée à la surface du courant , et passe successivement par tous les points de cette courbe.

Outre ces profils , j’ai pris aussi la vitesse superficielle du courant depuis quelque distance en amont du reversoir jusqu’au reversoir, et celte vitesse a été prise partiellement

et séparément sur diverses parties cle la distance totale à laquelle s’étendait la mesure de la vitesse superficielle.

19. Considérons d’abord les profils de la surface du courant rélatifs aux six expériences rapportées au §. c IL Ils sont représentés dans la figure io. e laquelle est tirée des profils naturels , et réduite à l’Jchelle de trois lignes pour deux pouces. La verticale MA , tirée de l'arête d’amont M du sommet de la digue , coupe les profils dans les points F , E etc., de manière que les hauteurs MF , ME , etc. sont celles que nous avons nommées effectives et

que nous avons résignées par h! r Ji r etc. ( D. os II. et

suivans ).

Mais comme par les figures de ces profils , réduites à une petite échelle , 011 ne pourrait pas se former une idée assez exacte et précise des résultats de ce genre d’observations , je donne ici les mêmes profils en nombres pris sur les profils naturels. Les abscisses x dans le tableau suivant sont, comptées sur l’axe horizontal MT tiré du commet de la digue et dirigé en amont parallèlement à l’axe du canal. Les ordonnées jr sont perpendiculaires aux abscisses , et l’origine des unes et des autres est au sommet meme de la digue , et à son arête d’amont M •

Abscisses prises sur l’axe horizontal MT comptées de M vers 7 1 , l’origine étant au point M (fig. 10 )

Valeurs correspondantes des ordonnées y pour chaque courbe de la figure io. e

i. e courbe