ème TABLEAU

Expériences sur la propagation du remous sur une longueur de 4° pieds , comptés depuis la vanne .

Largeur du canal, Z=288. llgn '

dépense du canal mesurée directement.

hauteur du courant naturel dans le canal.

vitesse moyenne du courant naturel dans le canal.

temps employé par le remous à remonter 40 pieds et donné par l’observation.

vitesse de la propagation du remous déduite de l’espace parcouru ( 4 o pieds ) dans le temps t observé.

hauteur totale de l’eau dans le canal sur la longueur où le remous était établi, donnée par la mesure

iinmédi.ili'.

hauteur du regonflementau dessus de la surface du courant naturel.

pied. cub.

lign.

pied.

lign.

IOI

io,"35

Dans chacune de ces expériences comme il à été dit dans le premier

l’écoulement de l’eau à l’extrémité du canal se faisait tableau,

7 * Aux résultats contenus dans ces tableaux je dois ajouter que dans les parties du canal , où le fond était horizontal et plan , et la surface du courant naturel sensiblement horizontale, j’ai constamment observé , par l’expérience directe , que la propagation du remous occasioné de la manière qu’on a exposé ci-dessus , a toujours été uniforme. Ainsi dans les 20 premiers pieds du canal à partir de la vanne , cette uniformité a toujours eu lieu depuis 5 pieds comptés de la vanne jusqu’à 20 pieds. Car dans cet espace de i 5 pieds le fond du canal est parfaitement plan et horizontal , et la surface du courant naturel est sensiblement horizontale. J ai observé la meme uniformité de propagation dans la partie du canal comprise depuis 20 pieds jusqu’à 4 o pieds, comptés depuis la vanne, où le fond du canal est pareillement plan et horizontal ainsi que la surface du courant.

Je îemarquerai encore que la différence qui existe entre les îésultals des expériences consignées dans les deux premiers tableaux , relatifs à la propagation du remous pour les 20 premiers pieds , et à la propagation du meme remous pour les auties 20 pieds successifs, provient de deux causes distinctes; savoir, en premier lieu, parceque le fond du canal dans les 20 derniers pieds est à un niveau de deux lignes plus bas que le niveau du fond des 20 premiers pieds, ainsi qu’on l’a dit plus haut ( n.° 6 ); en deuxième lieu , parceque la surface du courant dans la partie du canal comprise entre les 20 premiers pieds , n’est pas , lorsque 1 écoulement a lieu , plane et horizontale sur toute sa longueur , mais à quelque distance de l’extrémité par laquelle le courant naturel tombe dans le réservoir , la surface prend une courbure, et la hauteur des sections diminue à mesure qu’elles sont plus pies de cette extrémité. Ces deux causes , ainsi qu’on le verra cans le §. suivant, font que le temps de la propagation du remous P oui les 20 premiers pieds comptés depuis la vanne, est uu peu plus long que le temps de la propagation du meme remous pour les 20 pieds suivans.

Principes desquels dépend la propagation du remous , et for - 'mules pour représenter les résultats des expériences précédentes .

8 . Les principes desquels dépendent les loix de la propagation du remous observée dans les expériences précédentes, se présentent d'eux mêmes en partant d’un fait donné par l’expérience. Il consiste en ce que , lorsque la vanne est baissée et pendant que le regonflement par son mouvement apparent acquiert une plus grande longueur , sa surface conserve toujours le même niveau, de sorte que la hauteur de la surface du regonflement au-dessus de la surface du courant naturel est constante pendant la propagation du remous , quelque soit l’endroit où l’on observe la rencontre du courant naturel avec le regonflement, pourvu que le fond du canal soit constamment plan et horizontal, et toutes les sections du courant soient égales. Lorsque ces conditions ont lieu, la propagation du remous est uniforme. Gela posé , soit ( fig. 4 e . et 5 . e )

L la largeur du canal horizontal et rectangulaire.

II la hauteur du courant naturel dans le canal t qu’on suppose la même sur toute la longueur du canal.

Q la dépense constante du canal dans une seconde.

V la vitesse moyenne du courant.

h la hauteur de la surface du regonflement au-dessus de celle du courant naturel, ou la grandeur de la différence de niveau entre la surface du courant naturel et celle du regonflement.

E la longueur parcourue dans le canal par le remous dans le temps t.

t le temps employé par le remous à parcourir la longueur E , c’est-à-dire le temps employé par le regonflement à acquérir cette longueur.

v la vitesse de la propagation ou du mouvement avec lequel le regonflement s’étend et remonte le canal.

Maintenant il est évident que le volume de l’eau écoulée pendant le temps t par une section quelconque du courant naturel, est Qt , et que ce volume est celui qui a rempli le canal sur la longueur E , et à la hauteur h au-dessus de la hauteur primitive II du courant naturel. On aura donc <? t = ELh ;

mais on a

Q = FMI ;

par conséquent

/ ■“ ir ]

ou bien , à cause de — = v ,

Cette équation donnera la vitesse v de la propagation du remous , lorsqu’on connaîtra la hauteur h de la surface du regonflemendt au-dessus de celle du courant naturel dans le canal.

9. La recherche directe de la hauteur h parait devoir présenter de très-grandes difficultés, provenant de 1 imperfection de la théorie du choc des fluides , imperfection qui doit être plus grande encore dans le cas que l’on considère ici et que l’on peut énoncer de la manière suivante. » Un canal horizontal et rectangulaire contient un courant dont la section transversale est LII , et la vitesse horizontale est V : ce courant frappe avec cette section et cette vitesse une section transversale L ( Il+h ) d’une eau stagnante, contenue dans le même canal, de sorte qu’après le choc la largeur L de la tranche verticale et élémentaire du courant, avec laquelle s’est fait le choc , reste la même , mais son épaisseur diminue, et sa hauteur qui était II , augmente et devient 11 +h. Celle tranche ainsi transformée , n’a plus aucun mouvement, et elle s’ajoute par juxta-posilion à l’eau stagnante que celte tranche a d’abord frappée. La même chose a lieu pour les tranches suivantes du courant. »

Dans ce cas il y a cela de particulier , que les eaux de la tranche du courant en frappant la section L(H-ï-h) de l’eau stagnante, n’ont d’autre issue pour se répandre, que celle de s’élever verticalement par la face supérieure de la tranche.

Il est cependant visible que la hauteur h doit dépendre de la hauteur II et de la vitesse V du courant ; car cette vitesse , dirigée horizontalement, est aussitôt détruite dans ce sens à l’endroit où le courant frappe l’eau stagnante du regonflement; et de ceLte destruction il résulte l’équilibre qui existe continuellement entre le choc de la section du courant et la pression de l’eau stagnante du regonflement ; ou, plus exactement, chaque section LH du courant, douée de la vitesse horizontale V se transforme à l’instant du choc , en une section L ( H-\-h ), dont la vitesse est nulle dans tous les sens.

En formant pour chacune des expériences rapportées dans les y*

tableaux précédens , la valeur de — , 2g étant 6o, pied '39.6, on trouve

que cette valeur est beaucoup plus petite que la hauteur correspondante h donnée par l’observation ; ainsi dans ce cas on a

. En posant/i = m . — , on trouve que le coefficient m n’est

pas constant.

De plus, si pour chacune des memes expériences on forme la

valeur H — , on trouvera-]>//.— . Or si l’on observe que les a as-

sections dont les hauteurs respectives sont II et h , ont la meme

largeur L , on verra que LH .— représenté, d’apres la théorie ordinaire , la valeur du choc direct de la section LII du courant contre

, , . , Lh x , ,

un obstacle immobile ; et la quantité — représente la pression

exercée par l’eau stagnante du regonflement sur la section Lh.

. „ Ik\ LTir'

Donc, puisqu ici I on a—-> —— , on peut conclure que la pres-

sion qui se transmet continuellement par le courant à la section

Lli, est plus grande cpie celle qu’on attribue, dans la théorie ordinaire , à la section LH douée de la vitesse V . Ce qui provient sans doute de la manière particulière avec laquelle la pression ou le choc de la section LH se transmet et agit sur la section Lh. Il y a donc dans ce cas quelque cause en vertu de laquelle la tranche du courant , arretée par l’eau stagnante, et poussée par la tranche qui la suit, et ne pouvant d’ailleurs s’échapper que par la partie supérieure du canal, se transforme dans une autre tranche de même volume et de même largeur, mais dont la hauteur verticale surpasse la hauteur de la tranche primitive d’une quantité plus grande que la hauteur due à la vitesse horizontale qu’avait cette tranche à l’instant du choc.

io. Quoi qu’il en soit, je trouve qu’on satisfait assez bien à l’ensemble des expériences précédentes, en posant

d’où l’on tire

En mettant celte valeur dans l’équation ~ =

va T 7

on a

cette équation donnera le temps employé par le remous à se propager

sur une longueur E dans un canal horizontal et rectangulaire.

„ . VH .. . .

Enfin puisqu on a v =-y- > n viendra

En calculant avec les formules (i), (3) et ( 3 ) les valeurs de h , te t 0 d’après les élémens connus H et V du courant dans le canal, j’ai formé les tableaux suivans dans lesquels j’ai désigné par (/i), (*)et(V)les valeurs de h y t et v tirées des formules (1), (2) et ( 3 ).

Résultats des expériences consignées résultats donnés par les

dans le i. cr tableau ? comparés aux formules (i), ( a ) et (3).

dam le a.*- tableau , comparés aux

formules (,),.(*) et (3) .

hauteur due à la vitesse

doyenne du

courant naturel dans le canal.

valeur de h tirée de l’équation (1).

valeur de t tirée de l’équation (2).

valeur de v tirée de l’cquation ( 3 ).

lign.

io, 18 i 6,34 0,688 2,5 6

l'gn.

pied.

-HO,o 43

-l-o,oo 3

-HO,o 52

Résultats des expériences consignées résultats donnés par les

vitesse moyenne du courant naturel dans le caual

temps employé p«r le remous à remonter 20 pieds et donné par l’observation.

vitesse de la propagation du remous déduite de l’espace paroouru^opteds) dans le temps

t observé.

hauteur totale de l’eau dans le caualsur la longueur où le remous était établi, donnée par la mesure immédiate.

hauteur du regonflement au-dessus de la surface du courant naturel.

pied.

P ied -

li".».

IOI

io M ,35

ii p ar ces tableaux on voit que les formules (i) , (2) et ( 3 ) satisfont assez bien aux expériences, et qu’en admettant dans les données de petites erreurs, inévitables dans ce genre d’observations, on pourrait rapprocher davantage les résultats de ces formules de ceux des expériences : mais nous croyons cette opération inutile , parce qu’on ne voit pas comment la formule {B) peut être déduite de la théorie ordinaire du choc des fluides. Nous remarquerons seulement, que si l’on admet cette équation, c’est-à-dire la valeur de h donnée par l’equation (1) , les équations (2) et ( 3 ) sont rigoureuses ; par l’équation (1) Y on aura

h < H lorsque - < - ;

h = H lorsque —^ = - ;

h>H lorsque ->T •

VH.

De l’équation = — on déduit pareiUement

v<^V lorsque h^> H ;

y—/ 7 lorsque h — H\

v^> V lorsque h <// :

ces dernières relations entre v et F sont toujours vraies, quelle que soit l’expression de h en H et en V.

\. - rs r V9 t

Puisqu’on a dans ces expériences v = — ; v = -jp \ etc. , U

suit que lorsqu’on aura Vffli = F'H'h , on aura aussi 0 = 0'. Les tableaux précédens offrent une vérification particulière de cette loi ; car les expériences 4- c et 6. e du deuxieme tableau sont dans ce cas , et en prenant les quantités V, H, h , V 1 , ü\ h!, relatives à ces expériences, telles qu’elles sont données par 1 observation , on trouve que les produits VHH y V'Hh sont respectivement 40,2.75, 39,3617 *, aussi l’expérience a donné y = v' =

Sl dans la formule - — Ç/I+. on î nlrot l u | t lm coc flicieni

^déterminé m de sorte que l’on ait

et q„e l’on détermine n, à laide des expériences précédentes, on tiouvera m=i,o4 7 ; l a valeur de h deviendra F*r

e xaleui satisfera dune manière plus approchée aux memes expériences. Mais puisque la valeur de m diffère peu de l’unité, nouS t é refendrons f ° lmUle (0 * CaUSe de sa P* ,,s S-nde sim-

• ! Da ' 1S , leS ex P? ne “ ces ff l,e “««s venons de rapporter, on voit que la hauteur h à laquelle est soutenue l’eau stagnante du ie a on ement par le choc continuel du courant à l’endroit où le regonflement et le courant se rencontrent, est depuis 3 jusqu’à

17 fois aussi grande que la valeur correspondante de ^. (expériences 3 .' du 1.» tableau et 4.' du a.* tableau). Ce grand effet doit certainement être attribué à la manière particulière avec laquelle le choc se fait dans ces expériences. Car ici l’eau du courant naturel venant frapper l'eau stagnante du regonflement, a autre moyen pour s’échapper après le choc, que de s’élever n liant par la partie supérieure et ouverte du canal.

augmentation de vitesse qu’acquièrent ces eaux , lorsqu’elles langent tout-a-coup de direction et s’élèvent, semble indiquer ou

celle D °“Tr eSeCti0n . par laq " elle eUes P assent > moindre que une I quelles occupaient dans leur direction primitive, ou bien J c 10c se fait ici en quelque sorte à la manière de celui

rie nr T ’ ° tl ^ maSS,! eiUre ‘ lanS Sa ValeUr ’ Dans la tllé °du bélier hjrdrauUque il est essentiel d’y considérer le choe

comme dans les corps solides (*), et divers autres phénomènes de ce genre paraissent exiger également cette meme considération pour être expliqués.

i3. Les principes d’après lesquels nous avons formé l’équation (A) relative à la propagation du remous dans un canjil horizontal, conduisent aussi aux équations relatives à la propagation du remous dans un canal incliné, car l’un et l’autre cas se réduit a celui d’un vase qui se remplit par l’affluence continuelle d’un volume constant d’eau.

Soit donc ( fig. 6. e ) un canal incliné dont le fond fait l’angle avec la verticale , et considérons le cas où la digue établie en A , et les parois du canal ont une hauteur indéfinie, de sorte que les eaux du regonflement sont toutes contenues par la digue et par les parois pendant la propagation du remous. Supposons de plus que le courant naturel soit dans un état permanent, et sa surface parallèle au fond, et que les parois soient verticales et parallèles.

Kn conservant les dénominations précédentes ( n.°8)et prenant sur la verticale la hauteur h = PQ , qui exprime ici la différence de niveau entre la surface du courant naturel et celle du regonflement, prise à l’endroit où le courant et le regonflement se rencontrent , supposons que cette hauteur soit toujours la meme pendant le mouvement , supposition qui est vraie pour les canaux horizontaux, et qui parait devoir l’être de même pour le canal incliné que l’on considère ici , où la vitesse et les sections du courant sont constantes.

Cela posé, si I on nomme E la longueur AC prise dans la direction du canal, de manière qu’après le temps t le regonflement soit parvenu du point A , où est la digue , à un point quelconque C, il est clair que le volume d’eau contenu dans le prisme QPHK sera égal au volume d'eau qui s'est écoulé dans le canal

(*) Analisi geomelrica delîAriete Idraulico del sig. Pvnfessore Giüseppe Vestürolï ( M-marie délia Socielà Jlaliana delle Scienze tom. XIX fascicol. i .0 pag. 70 Modena ïSîi ).

pendant le même temps ». On aura ainsi cette équation {(-) E\ . cos.^h- 2 h E sin. 9 — 2HFt=o

du 'T*r t VW ' q 7*r- Ct <{lW Ia llauteur H de la section du courant est perpendiculaire au fond du canal

J . C "“ ' * '“T"' * “ <* l>» -i»» Je .

nul, des que Ion connu,ira la hauteur h. De plu, on anra aussi

la marche du resonflement d^c i , 1 , aussi

vertical nnr, ’ ^ Seas honzontal et dans le sens

vertical , putsqu on a

^B = E . sin.p ;

. TJ II

^ ~ “f- h —E . cos 3

SI n.<p ^ * CUÎ) -? •

fl nS o C °clronT SSl<m d ° M \ U faUt SU PP ri “- le terme 4 lorsque Lorsque © est”^ 0 ^ \ llaUteur h se forme clans un instant.

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