CHAPITRE NEUVIÈME

EXPÉRIENCES SUR IA ROUE A AUGETS DU GROS MARTEAU DE FORCE DE l’ USINE DE LA RENARDIÈRE A FRAMONT .

77 . Description sommaire. L’usine de la Renardière de Framont est alimentée par un cours d’eau qu’amène un canal en bois de 3 ” environ de largeur près de la roue, et d’une largeur moyenne de 2",3o sur le reste de sa longueur (PI. III, Fig. 3 ). Le volume d'eau qu’il débite n’étant pas assez grand pour suffire à la consommation de l’usine, quand le marteau doit battre à grande vitesse, le niveau s'abaisse rapidement pendant le travail, et cet effet est d’autant plus sensible que les ouvriers lèvent la vanne beaucoup plus qu’il ne serait nécessaire pour obtenir le même nombre de coups de marteau. Dans les, expériences dont il va être question , le niveau n’a pas varié sensiblement pour la première série où la levée de

la vanne était très-faible, mais pour la seconde il s’ est graduellemement abaissé. Toutefois, cet abaissement se faisant assez lentement, il a été possible d'adopter, pour chaque expérience, un niveau moyen, que l’on obtenait en observant à plusieurs reprises, pendant sa durée, les variations de niveau, de sorte que les valeurs extrêmes ne différaient pas entr elles de plus d'un centimètre, et que par conséquent la valeur moyenne ne s'écartait au plus que de o,oo 5 de chacune des extrêmes , ou de 7*7 à 777 de la hauteur adoptée.

78 . Formules employées pour le calcul de l’effet théorique. Le fond du canal est dans le prolongement du côté inférieur de l'orifice , et la contraction a lieu sur les deux côtés latéraux et sur le côté supérieur; d'après ces circonstances et à l’aide des résultats des expériences de MM. Poncelet et Lcsbros (*), et de celles de M. Bidone, on a pu déterminer la valeur du coefficient de la dépense théorique. Elle est égale à

m = 0,644 pour la 1" série, m = 0,649 pour la 2' série.

11 en résulte, qu'en appelant

U et H' les hauteurs respectives du niveau au-dessus du seuil et du sommet de l’orifice,

L = 1 "',27 la largeur de cet orifice,

Q le volume d’eau dépensée par seconde, exprimé en mètres cubes, on aura la valeur de ce volume par la formule

Q = mL(H — H 1 ) y/ay— +. 11 ' ,

en y faisant m — o,644 pour la première série et m = 0,649 pour la seconde.

La valeur de H — H' est égale à la levée de la vanne et fournie par la seconde colonne du tableau suivant, celle de ou la charge sur le centre

de l’orifice, se trouve dans la troisième colonne, et le résultat de la formule ci-dessus traduit en poids d’eau dépensé, est contenu dans la quatrième.

On a pris pour la chute totale, dans chaque expérience, la hauteur du niveau dans le canal , au-dessus du point inférieur de la roue , quoique celle-ci fût un peu élevée au-dessus du fond du canal de fuite, et la quantité

(*) Expériences hydrauliques par MM. Poncelet et Lcsbros, page a5o , tableau XII. Paris, i83i.

de travail absolu fournie par le moteur est indiquée dans la sixième colonne.

L’eau qui sort de cet orifice est animée d’une vitesse moyenne sensiblement égale à celle qui est duc à la charge sur le centre de l’orifice , mais , à une petite distance , égale à une fois ou une fois et demie la hauteur de l’orifice, elle rencontre les parois , la veine fluide se dilate , la vitesse se ralentit et devient, d’après les résultats d’expériences connus jusqu’à ce jour

À partir de cet endroit, le mouvement de l’eau soumise à l'action de la pesanteur, s’accélère, et en appelant h la pente totale du coursier et négligeant la résistance des parois, la vitesse moyenne du fluide devient

A cette extrémité du coursier, l’eau, animée de la vitesse u dans le sens parallèle à son fond , s’écoule librement dans l’air, et le filet moyen , dont ont peut déterminer la hauteur au-dessus du fond du coursier à l’aide de la relation

dans laquelle

Q et u ayant les significations connues , on représente de plus par L la largeur du coursier,

E l’épaisseur de la lame d’eau à son extrémité,

ce filet moyen , dis-je , décrit une parabole dont l’équation est

X et y étant les abeisses horizontales et les ordonnées verticales de cette courbe, et 5 l’angle formé par le coursier et l’horizontale.

Au moyen de l’équation ci-dessus, on peut construire la courbe du filet moyen, déterminer grapliiqueinent sa rencontre avec la circonférence extérieure, ainsi que l’angle y formé par sa tangente en ce point, et la tangente à la circonférence, ou celui de la vitesse d’arrivée d’eau avec la vitesse de la circonférence de la roue.

En appelant de plus

A, la hauteur du point de rencontre du filet moyen avec la circonférence de la roue, au-dessous de l’origine de la courbe ou du milieu de la section d’eau d’épaisseur E au bout du coursier, la vitesse d’arrivée de l’eau sur la roue sera

d’où l’on déduira ensuite la valeur de Vcos y .

79 . Position du centre de courbure des surfaces de niveau de l’eau dans les aurjets. Une autre quantité qu’il importe de connaître, c’est la distance verticale du centre de courbure de la surface du niveau de l’eau dans les augets à celui de la roue. On sait (*) que cette distance mesurée sur la verticale, qui passe par le centre de la roue, est

g étant égal à 9”,8o88, et « la vitesse angulaire ou à l’unité de distance

de la roue , déduite de l’observation et donnée par a — - en appelant

v la vitesse à la circonférence extérieure de la roue et R son rayon.

D’après la position de ce centre de courbure, on pourra reconnaître d’abord, si l’eau fournie par le moteur peut être admise sur la roue en totalité, et vers quelle position elle le sera, ou, si elle ne peut l’étre, déterminer le volume réellement introduit dans les augets; puis, à l’aide des méthodes indiquées dans le cours cité (n° 52 , septième section) fixer la hauteur à laquelle le versement de l’eau commence.

Il ne peut entrer dans le cadre de ce Mémoire de détailler les opérations à faire, et nous devons nous borner à en indiquer les résultats.

80 . Calcul de l’effet utile théorique , en ayant égard aux effets de h force centrifuge. La distance verticale du centre de courbure des suçfaces de niveau à l’axe de la roue est, pour chaque expérience, indiquée dam la treizième colonne du tableau , et l’on a reconnu , qu’aux vitesses obtenue; dans ces expériences, l'eau était toujours admise en totalité dans le premici ou dans le second anget, à partir de la verticale. Par conséquent, connaissant le nombre d’augets de la roue n = 20 , le nombre p de tours de

(*) Cours de Mécanique appliquée aux machines, par M. Poncelet, section VII, n° 46.

EXPÉRIENCES SUR LES ROLES A AÜGETS. I r3

la roue en i', on a pu déterminer le poids q' d'eau introduit dans chaque auget, à l'aide de la relation

1000Q nu

gÔ

Ayant précédemment déterminé le point où le versement de l'eau commence, et appelant h' la hauteur de ce point au-dessous du point d'introduction, ou, ce qui revient ici sensiblement au même, au-dessous du sommet de la roue, on a pu calculer la quantité de travail développée par la gravité sur le poids d’eau q' admis dans chaque auget, depuis son introduction jusqu’à l'instant où le versement commence. Cette quantité de travail a pour expression

A partir de cette position, la pesanteur développe sur le poids d’eau contenue dans chaque auget des quantités de travail variables avec ce poids et avec la hauteur h, et dont la somme totale, prise depuis cet instant jusqu’au point inférieur de la roue, est exprimée par l’intégrale

fqdh ,

prise pour un auget dans l’étendue indiquée ci -dessus.

Pour déterminer par approximation la valeur de cette quantité de travail, nous avons eu recours au théorème connu de Th. Simson, d’après lequel, en partageant la hauteur h" du point où commence le versement au-dessous du bas de la roue, en quatre ou six parties égales (PI. IFI , Fig. 3), puis menant par les points de division 1,2,3, etc. des horizontales, construisant aux points de rencontre 1, 2, 3, etc. de ces lignes avec la circonférence extérieure de la roue le profd de l’auget , supposé parvenu à ces positions successives, traçant les lignes de courbure des surfaces correspondantes de niveau par le bord de l’auget, et déterminant, par le cubage, le volume ou le poids d'eau g,, q,, g if etc., q s contenus dans l’auget à chacune de ces positions , on a obtenu , lorsque h" était divisé en quatre parties égales

fqdh = ^ [< 7 , + 4 (q, + qù + 2?i + Çs] ,

dans laquelle q, = q[, q s est toujours et presque toujours nul ; et dans le cas ou h" a été divisé en six parties égales

fqdh = ^[ 9 ,+ 4(9* + 9 < + Çe) + 2 (?) + <7i) + ?;] >

dans laquelle <7, = 9', 9. est toujours et q 5 ainsi que q 6 presque toujours nuis.

A l'aide de ces moyens on a donc pu calculer la quantité de travail total

q'K +fqdh = q'h! + ^ [9, + 4(9- + <lù + 2 9s] »

que la pesanteur développe sur le poids d’eau q 1 introduit dans chaque auget , puis en la multipliant par le nombre ^ d’augels , qui passent par seconde devant l'extrémité du coursier, on a obtenu la quantité de travail développée par seconde par la pesanteur sur l’eau introduite dans la roue, depuis son entrée jusqu’à sa sortie, et en l'ajoutant à la quantité de travail

- (V COS y V) V ,

due à la variation de force vive de l'eau pendant le même intervalle, on a obtenu la quantité totale de travail théorique transmise à la roue

p v — (Y cos j, v)v jr; (q'h' + fqdh] .

Telle est la marche suivie pour appliquer les données de l’observation au calcul de l’effet utile de cette roue, en tenant compte de l’action de la force centrifuge sur le versement de l'eau, ainsi que l’indique la théorie due à M. Poncelet.

81. Formule employée pour le calcul de V effet utile total, d’après t expérience. La charge totale F du frein est indiquée dans la seizième colonne du tableau, la vitesse que son point de suspension tendait à prendre se déduit facilement de la vitesse v de la circonférence de la roue, d’après la valeur 1 ”,37 du rayon de cette circonférence, et la distance horizontale du point de suspension au plan vertical de l'axe de la roue et égale à 3". Le produit de cette charge F par la vitesse de son point de suspension, a donné la quantité de travail disponible ou l’effet utile mesuré par le frein.

Il a été ensuite facile de calculer la quantité de travail totale développée par l'eau, tant pour produire ce travail disponible que pour vaincre le frottement des tourillons de la roue. En effet, en appelant, comme par le passé.

F la charge totale du frein ,

L = 3 ” la distance horizontale de son point de suspension au plan vertical de l’axe de la roue,

f = o, i o le rapport du frottement à la pression pour ces tourillons graissés et mouillés d'eau, mais peu alimentes d'enduit,

N" = 1 ) 97 8 1 ' 1 le poids total de la roue, de son arbre, de ses ferrures, de l’anneau à cames et des tourillons,

p = 28 1 ' 1 la composante du poids du levier du frein qui agit sur l’axe de la roue,

I = o”,o 63 le rayon des tourillons,

R = i m ,37 le rayon extérieur de la roue,

P l’effort que l’eau doit transmettre à la circonférence du rayon R pour équilibrer la charge F du frein et le frottement des tourillons, on a P - FL+/(M + F+f)f ® — ft

Puis en multipliant cet effort par le chemin parcouru dans sa direction propre en une seconde ou v, on en a déduit le travail total transmis à la circonférence de la roue.

Le résultat de ces calculs est consigné dans la 20° colonne du tableau. 82 . Comparaison des résultats de la théorie et de ceux de l'expérience. En comparant ce résultat de l’expérience à la quantité de travail théorique calculée par la formule du n” 80 , on en a déduit d’abord la différence absolue, tantôt positive, tantôt négative de ces deux quantités, puis on a pris le rapport de ces différences à la quantité de travail. Ce rapport , consigné dans la trentième colonne du tableau, n’excédant presque jamais o,o 5 à 0,06 ; on voit que la formule théorique représente à près , et presque toujours à moins de les résultats de l’expérience.

Cette approximation , entre des résultats déduits de données dont quelques-unes ne pouvaient être obtenues avec une plus grande exactitude, paraîtra sans doute bien suffisante pour justifier et confirmer la théorie des roues à augets à grandes vitesses, donnée par M. Poncelet, ce qui était le but principal de ces expériences.

La dixième colonne donne le rapport de la vitesse v de la circonférence de la roue à la vitesse V d’arrivée de l’eau , et l’on peut voir que , dans toute l’étendue des variations de ce rapport , qui est toujours resté au-dessous de l’unité, La formule représente également bien les résultats de l’expérience.

85 . Comparaison du travail disponible au travail absolu du moteur. En comparant ensuite la quantité de travail disponible avec la quantité de travail absolue fournie par le moteur, on voit que le rapport de la première à la seconde augmente à mesure que la vitesse diminue, et que, depuis

- = o, 5 o jusqu’à - = o, 3 o environ, l’effet utile disponible est d'à-peu-

près o ,55 à 0,60 du travail absolu. Mais la ronc devant marcher à une vitesse plus grande que celles qui correspondent à ces limites , pour pouvoir fournir le nombre de coups de marteau convenable au travail , la quantité de travail disponible , transmise pendant que l’outil fonctionne , est beaucoup moindre. Ce nombre de coups dans l’usine de la Renardière, ne s’élève pas au-delà de ioo par .minute, ce qui correspond à io tours de roue en 24", ou à la vitesse de la troisième expérience de la seconde série, pour laquelle on voit que le rapport du travail disponible au travail absolu du moteur n'est que de o, 4 o. S'il fallait obtenir 120 coups à la minute, ou 10 tours de roue en 20", comme dans la première expérience de la même série , le rapport ne serait que de o, 25 .

Expériences sur la roue