POUTRES DROITES POSÉES

sant^ c est-à-dire au moment des forces extérieures qui agissent sur la pièce d'un même côté du plan sécant. Si l'on prend la fibre neutre avant la déformation pour axe des abscisses, le moment des forces élastiques est approximativement égal au produit du coefficient d'élasticité , du moment d'inertie de la section , et enfin de la seconde dérivée par rapport à l'abscisse de l'ordonnée de la fibre déformée. L'effort tranchant est en chaque point la dérivée du moment fléchissant par rapport à l'abscisse, prise positivement ou négativement, suivant les conventions.

Un grand nombre de problèmes usuels trouvent leur solution dans ces simples formules. On y considère une pièce horizontale posée ou encastrée en un point ou en deux points, et chargée de poids appliqués en des points déterminés, et en outre d'une charge également répartie. Le calcul exigeant une double intégration, il y a dans chaque question particulière deux constantes arbitraires à déterminer. Dans les problèmes de cette nature, on admet que la déformation n'altère pas sensiblement les positions des points où s'appliquent les forces données, de sorte qu'on peut prendre les moments des forces dans l'état naturel de la pièce, au lieu de les prendre dans son état déformé, ce qui serait plus rigoureux, mais ce qui compliquerait beaucoup plus la question. Nous verrons tout à l'heure un problème particulier où l'on ne peut suivre celte méthode.

Lorsqu'une poutre continue donnée repose sur plusieurs appuis, la question de la détermination des constantes devient beaucoup plus difficile. Les équations générales suffisent assurément pour la résoudre, car elles ne dépassent pas le premier degré. Mais le nombre des inconnues s'accroît rapidement avec le nombre des appuis, et l'on arriverait bientôt à des calculs d'une longueur rebutante. C'est dans cet état que Navier avait laissé la question. Elle

pellent moment d'élatticité le produit du par le coefficient d'élasticité de la matière, moment d'inertie de la section du prisme La confusion est du reste peu à craindre.

âUR PLUSIEURS APPUIS. 159

n'avait pas dé son temps Tintérèt pratique qu'elle a acquis depuis peu d années, par suite de rétablissement des ponts métalliques à plusieurs travées. M. Clapeyron , le premier, a indiqué une nouvelle méthode , beaucoup plus simple que celle de Navier, et dont l'esprit consiste à chercher d'abord les moments fléchissants sur les appuis, au lieu des réactions de ces appuis. Sa méthode a été presque sur-le-champ perfectionnée par la découverte d'un beau théorème, exprimant, sous forme linéaire, une rela!ion qui He entre eux les moments fléchissants sur trois appuis consécutifs. Ce théorème est dû à M. Bertot, ingénieur civil. 11 contient une transformation de la première méthode de M. Clapeyron, transformation bien vite reconnue par M. Clapeyron lui-même, et développée par lui dans une Note présentée en 1867 à l'Académie des sciences.

Depuis on a encore perfectionné et développé cette méthode, grâce à laquelle un ingénieur peut aujourd'hui faire, en quelques heures, des calculs qui autrefois lui auraient pris plusieurs journées de travail ^

La flexion des pièces droites sollicitées par des forces obliques se ramène aux mêmes équations que la flexion des pièces droites soumises à des forces normales, lorsqu'on admet, ce qui n'est pas rigoureusement vrai, que la flexion de la pièce n'est pas changée par suite des variations de longueur que les forces obliques font subir à la fibre moyenne. Les composantes parallèles à la pièce des forces extérieures influent sur la valeur des pressions locales, mais leur influence peut être négligée quand on cherche la figure de la pièce déformée. L'incertitude qui règne et qui régnera probablement toujours sur la valeur exacte du coefficient d'élasticité, nombre extrêmement grand, et la petitesse des variations de

* Voir, surceltequestion, M. Clapeyron, M. Piarron de Montdësir, Ponts métallique»

Note présentée en iSSy à TAcadémie des à poutres droites continues, Paris, 1869 ;

sciences; — M.Bresse, Cours de résistance — M. Ed. Collignon, Théorie élémentaire

des matériaux, t. III, Paris, i865; — des poutres droites, Paris, i865.