PROBLÈME

ces belles et consciencieuses recherches, il reste encore peut-être à perfectionner les méthodes de calcul au moyen desquelles on parvient à les établir. La théorie mathématique de l'élasticité peut opérer d'heureuses transformations dans l'exposition de ces doctrines.

Une des plus belles applications de l'analyse à la théorie de la flexion se rencontre dans le problème des poutres vibrantes. Nous avons déjà rappelé que d'Alembert avait résolu la question de la vibration des cordes; celle de la vibration longitudinale des verges, celle des colonnes d'air renfermées dans les tuyaux, etc. se résolvent par les mêmes équations. Le problème devient plus compliqué quand on cherche les vibrations transversales d'un système qui a de la rigidité , par exemple d'une poutre sur laquelle passe une surcharge mobile. La mise en équation du problème n'offre pas de difiiculté spéciale : il y a toujours à exprimer l'équilibre des forces réelles qui agissent sur les éléments de poutre, des pressions et des tensions qui s'y développent, et des forces d'inertie où entrent les masses des divers éléments mobiles. Mais les équations aux dérivées partielles que l'on obtient ne sont pas intégrables sous forme finie ; la solution ne peut s'exprimer que par des séries d'un nombre indéfini de termes. Ces séries peuvent, d'ailleurs, recevoir deux formes difi'érentes , qu'on utilise suivant la question spéciale qu'on a en vue d'étudier. S'il s'agit de mesurer les flèches prises par la poutre , on ordonnera les séries suivant les puissances entières de l'abscisse.; si l'on veut seulement constater les lois du mouvement vibratoire, le développement en sinus et cosinus est préférable. On peut ensuite passer à la détermination des arbitraires et à la recherche des flèches, au moyen de la méthode fort élégante que, pour la première fois, Fourier a appliquée dans sa Théorie mathématique de la chaleur, et que Navier a suivie pour traiter le problème de l'oscillation des ponts suspendus. Dans les recherches plus récentes, on a généralement suivi la première méthode, la seule applicable au cas d'une charge mobile.