FORMULES DES PILES VOLTAJQUES

Nous avons vu dans la première partie de cet ouvrage, que par suite de Tassimilation qu'il avait faite de la propagation de Télectricité à celle de la chaleur, Ohm avait été conduit à admettre, comme formule de l'intensité d'un courant, l'expression très-simple :

E représentant la force électro-motrice mise en jeu, R la résistance du circuit. Dans un générateur voltaîque dont le courant est fermé sur luimême par la réunion de ses deux lames polaires^ la force électro-motrice £ étant développée à la surface du zinc, la résistance R est très-complexe, car elle est représentée: 1® par l'épaisseur de la couche liquide inter* posée entre ces lames; ^ par la résistance des parois du diaphragme poreux du générateur; 3^ enfin, par celle des lames polaires elles-mêmes et de leurs appendices métalliques, y compris les soudures ou contacts qui les réunissent. On désigne ordinairement cet ensemble de résistances sous le nom de résistance intérieure de la pile; et, comme les liquides ainsi que les diaphragmes poreux, mtoe après leur imbibition, sont assez mauvais con-

ducteurs ; que, d'an autre côté, les contacts des lames polaires avec les électrodes sont le plus souvent oxydés et en mauvais état, cette résistance intérieure de la pile ne laisse pas que de présenter un chiffre assez élevé pour certaines piles. Quoiqu*il en soit, on est convenu de représenter par R cette résistance; de sorte que la formule précédente, appliquée aux cour ants voUatques^ ne peut se rapporter qu'au circuit d'un élément depile dont le courant est fermé sur lui-même. Que devient cette formule quand on réunit les lames polaires de cet élément par un conducteur de résistance r qui, cette fois, constitue un circuit extérieur ?.... Il nous suffira, pour répondre à cette question, de considérer que la résistance de ce nouveau conducteur s'ajoutant à celle de la pile, la résistance totale sera représentée par R 4" ^'v ^t par suite la formule devient :

Sans doute, en réduisant r en fonction de R, on pourrait ramener cette dernière formule à la première ; mais comme les valeurs de R sont des quantités qui peuvent être déterminées une fois pour toutes pour chaque espèce de pile, et qui peuvent être regardées théoriquement comme invariables, il vaut mieux distinguer Tune de Tautre ces deux parties du circuit dans la formule qui représente l'intensité du courant.

Il s'agit de savoir maintenant ce que deviendra cette formule quand on réunira ensemble plusieurs éléments :

1® Si on opère cette réunion de telle manière que le pôle négatif du premier élément soit uni au pôle positif du second, le pôle négatif du second au pôle positif du troisième, etc., on aura un circuit voltaïque dont la résistance se composera de la somme des résistances partielles de chaque élément de pile, c'est à-dire, en désignant par n le nombre de ces éléments, de n fois R, plus la résistance du circuit extérieur r ; et ce circuit présentera à chaque résistance R un développement de tension qui, pour n fois R, déterminera un nombre n de forces électro-motrices égales à E agissant toutes dans le même sens. Or, comme d'après ce que Ton a vu page 18, l'intensité d'un courant est égale à la somme de toutes les forces électro-motrices développées dans le circuit qu'il traverse, divisée parla somme de toutes les résistances réduites, on aiTive à la formule :

dans laquelle R et r doivent être exprimés en unités de même nature»

Nous remarquerons que cette expression étant la même que celle qui résulterait (le Taddition des quantités,

+ ^D , ^ + - i> .—1 ete , etc.,

wR + r ' nR + r ' «R + r' qui représentent les intensités individuelles de chacun des courants fournis par les différents éléments de la pile, on peut considérer l'intensité totale du courant, avec cette disposition, comme égale à la somme des intensités partielles de chaque élément, absolument comme si les courants marchaient séparément dans le circuit en se superposant.

Cette disposition de la pile est dite disposition en tension^ et cette désignation est bien justifiée, car elle permet au courant de vaincre nu circuit plus résistant, ou, si Ton veut, elle rend la rësistcmce de ce circuit beaucoup moins grande. On peut s'en convaincre facilement en divisant par n les deux termes de l'expression précédente qui devient :

n ^^ Si on réunit les différents éléments d'une pile par les pôles semblables, ce qui revient à faire de ces différents éléments un seul élément de grandeur beaucoup plus considérable, la force électro-motrice E ne doit pas changer y car la différence des tensions aux deux extrémités du circuit reste toujours la même. Seulement la résistance R étant représentée par un conducteur {semi liquide, semi métallique) dont la surface de section se trouve augmentée proportionnellement au nombre d^éléments ainsi réunis^ doit avoir sa résistance diminuée dans le même rapport; ce qui équivaut à une augmentation d'intensité dans le rapport de

R + r R-fr' n

Dès lors, on a: I = p . (15)

A -|- nr ^ '

Cette disposition de la pile est dite disposition en quantité,

La discussion de ces formules montre plusieurs conséquences importantes que l'expérience confirme.

D'abord, si dans les deux équations (U) et (15) on fait r=o ou tellement petit, qu'il puisse être négligé par rapport à nR, elles deviennent :

1** Pour la pile en quantité : ^g

TECHNOLOGIE ÉI.ECTRIQUE. 145

2® Pour la pile en tension :

ce qui montre que dans le premier cas Tintensîté du courant croit proportionnellement au nombre des éléments, et que dans le second cette intensité reste la même, quel que soit le nombre des éléments, c'est-à-dire celle d'un seul élément.

Si dans les mêmes formules (14) et (15) on fait croître la résistance r proportionnellement aux éléments de la pile, elles deviennent, la première :

la seconde :

R+nV-'

d'où il résulte qu'avec la pile en tension, l'intensité reste toujours la même, c^ est-à-dire celle d'un élément, tandis que cette même valeur décroit presque proportionnellement à la résistance qu'on ajoute, quand la pile est disposée en quantité.

Enfin, si dans les formules (14) et (15) la valeur de r devient tellement considérable, que la quantité fiR puisse être négligée (ce qui suppose à R une valeur très-petite), ces formules deviennent :

I = — etl = — r r *

et alors l'intensité du courant devient, dans le premier cas, proportion nelle au nombre des éléments de la pile réunis en tension, et, dans le second cas, elle se trouve réduite à celle d'un seul élément.

Les conclusions pratiques de ces formules sont : 1® que quand la résistance du circuit est considérable, il est préférable de réunir les éléments de la pile en tension ; 2® que quand elle est peu considérable, il faut les réunir en quantité.

Déterminatioii de la meUleore dyispositlon et du nombre d'élémente é, donner îk une pile dans de» cirisonstaneea données, pour obtenir un effet donné. — Les conditions favorables de groupement des éléments de pile ne consistent pas seulement à les réunir en quantité ou en tension suivant les valeurs plus ou moins grandes de r, on peut les disposer en séries^ c'est-à-dire par

groupes composés chacun de plusieurs éléments réunis en quantité, et composer ainsi avec une pile d'un certain nombre d'éléments à petite surface une pile d'un moins grand nombre d'éléments, il est vrai, mais de dimensions plus grandes, et telles qu'on peut les désirer. Quels sont les cas où ce système doit être employé de préférence aux deux autres ? C'est ce que nous allons chercher à établir en partant des formules précédentes.

Soit 6 un certain nombre d'éléments groupés en quantité et ne formant conséquemment qu'un seul élément : l'intensité du courant fourni sera, d'après la formule (15), représentée par :

Et, si on groupe en tension un nombre a de ces éléments multiples, l'intensité sera :

*= aR + 6r '^ aR + *r ' ^*^^

Et, si l'on compare cette formule avec les formules (14) et (15) qui représentent les valeurs de I, les éléments de la pile étant tous disposés en tension, ou tous réunis en quantité, on voit que les limites de la résistance du circuit extérieur r auxquelles ces intensités deviennent égales

sont obtenues quand r est égal, d'un côté, à -r- et de l'autre, à — ; de

telles sorte, qu'en faisant 6 successivement égal à % 3, 4, 5, etc., on trouve que les valeurs correspondantes de r sont :

nR R fiR R nR R

D'où Ton conclut que les limites de résistance du circuit extérieur auxquelles les accouplements par éléments doubles, triples, quadruples, etc., comparés aux accouplements en tension et en guantilé fournissent la même intensité, correspondent, d'une part à la moitié, au tiers, au quart de la résistance totale de la pile, et, d'autre part, à la moitié, au tiers, au quart de la résistance d'un seul élément.

Si on détermine maintenant et de la même manière, les limites d^ cette même valeur r auxquelles les différents systèmes d'accouplements multiples, comparés les uns aux autres, fournissent la même intensité, on obtiendra pour chaque genre d'accouplements, deux limites de la valeur de r

différentes^ et si un fil entre lesquelles tonte résistance intermédiaire correspondra à l'un ou à Vautre de ces systèmes d'accouplements. Or, ces limites sont :

1® Pour les accouplements par éléments doubles : — — et —^ ; 2® Pour les accouplements par éléments triples : — ^— et

3® Pour les accouplements par éléments qua-

^ , fiR , nR

druples : -rrr- et

4® Enfin, pour les accouplements par 6, éléments

reunis en quantité^: -rr — r^ir ®*

Si on considère qu'entre les deux limites que nous venons ainsi de déterminer pour chaque genre de groupement des éléments de la pile, il doit exister une résistance intermédiaire qui corresponde plus efficacement que les autres à ce genre de groupement, et que cette résistance doit être précisément celle dont l'expression se trouve aussi rapprochée

d® "TT — TTT ^^^ ^^ ^rrréTT ^ ^^ arrive à conclure, que V intensité

maxima^ fournie par tel ou tel genre de groupement de pile, doit correspondre à cette valeur moyenne der, et que pour l'obtenir pour un groupement de 6 éléments en quantité, il suffira de prendre la moyenne des quantités (6 — 1)6 et (6-f 1)6 et d'en faire le dénominateur de nR. En procédant ainsi on a :

nR «R

d'où il résulte, que les résistances du circuit extérieur les plus favorablés au groupement des éléments de la pile par éléments doubles^ triples^ quadruples^ etCy correspondent précisément à la résistance totale de tous les éléments^ dont se compose la pile^ divisée par le carré du nombre d'éléments en quantité qui constituent chaque groupe de ces différentes combinaisons.

Cette déduction va nous permettre de poser les conditions de maxima

TlE

de la formule : ^ , . .

aR + 6r

lis TECHNOLOGIE ÉLECTRIQUE.

En effet) de réquation :

nR f — ^, ,

on tire : ri' = nR ou 6'r = oéR,

ou enfin : aR = hr ;

^one /e maximum d^ intensité du courcmt fourni par une pile^ dont les

éléments sont disposés en séries^ est atteint quand le produit du^nomàre

des éléments en tension multiplié par leur résistance propre^ est égal au

produit du nombre des éléments en quantité multiplié par la résistance

extérieure du circuit.

On peut avoir la preuve de cette déduction par le calcul algébrique de ces deux valeurs : en effet, dans le cas ou aR = 6r, le dénominateur de l'expression (16) aR -^ br devient égal à 2aR ; dans le cas, au contraire, ou aR n'est pas égal à 6r, parce que le groupement des éléments de la pile ne sera pas fait de la même manière, la valeur de ce dénominateur sera

représentée par a'R -{- b'r^ ou si on rend 6' fonction de a', par j^ ;

a'R 4- nr , a'R

mais comme on a aussi : ' =2aR, on en déduit r == ,

et en substituant cette valeur de r dans l'expression correspondante aux quantités de a' et 6', celle-ci devient en fin de compte :

Or, il est facile de voir que cette expression, quelque valeur qu'on donne à a', soit au-dessus, soit au-dessous de a, ne peut jamais être aussi petite que ^R. En effet, si on suppose a' <^ a, il existera toujours un coefficient q plus grand que Tunité qui^ en multipliant a', pourra le rendre

égal à a, de sorte qu'on aura a' = — et en substituant cette valeur dans

la dernière expression que nous avons obtenue, elle devient :

Çaq -f ~^R,ou,rç -| ^ aR,ou enfin,^2 -f ^IZLI JàR.

Gomme q est plus grand que 1, cette expression sera toujours pins

grande que ^R.

En supposant a' plus grand que a , on arriverait à la même déduction,

car en divisant af par un facteur (f plus grand que Tunité, on p:r.rrait toujours rendre d égal à a ; de sorfce que Ton aurait al •= aq\(xt la substitution de cette valeur dans la formule primitive la ferait devenir :

(^ + a^.)Ro.(s + Î2l^).R.

Il n'y a donc que quand y ou ç' = 1 , c'est-à-dire quand of -=: a que l'expression aR + hr devient «imma, et par suite I maxima (1).

De la démonstration de cette proposition résulte plusieurs conséquences importantes : d'abord il devient facile d'obtenir une formule qui fasse connaître immédiatement et sans tâtonnement la meilleure disposition des n éléments. qui composent une pile donnée, eu égard aune résistance de circuit r également donnée. En effet, de l'équation aR = 6r on tire :

D'un autre côté, il devient possible de déterminer le nombre des éléments d'une pile et la meilleure disposition de celle-ci pour obtenir, sur un circuit donné, une intensité I également indiquée.

En eff'et, de ce que aR -|- (r est égal à ^R ou à 2ir dans les conditions de maxima, on déduit :

. nE nE

et par suite :

(19) a=iet6=^^. (20)

Ces formules sont trës-précieuses pour les applications électriques, parce qu'elles sont trës-simples et qu'elles déterminent d'un seul coup deux conditions du problème tout en satisfaisant à une double donnée ;

(1) Pour démoatrer ceite proposition par le calcul difTérentiel, il suffit de prendre la dérivée de a R 4- frr, dans laquelle on fait fr » — Cette dérivée est alors exprimée par

UT

R ^, Or, pour que cette expression soit zéro, c'est-à-dire pour le minimum, il faut

que R "* -: ; mais -^ i* — et on a en définitive comme conditîoos de maximum fl«' a' «

aR"*6r.

mais il faut toutefois^ pour qu'elles puissent être appliquées avantor getAsementy que la résistance t soit inférieure à nR. Car ce n'est que dans le cas ou \y a une valeur supérieure à 1 que le maximum esi atteint avec aR = br (1).

Le groupement des pfles peut non-seulement s*effectuer ainsi qne nom venons de le voir par la réunion plus ou moins complexe de leurs appendices polaires, maisil peut se faire encore par rintermédiaire d'un circuit. Supposons, par exemple, qu'à une station A (fig.37)se trouve disposée une pile en tension P, et qu'à une autre station B, placée au milieu du circuit, se trouve disposée une autre pile F également disposée en tension et que nous supposerons, pour simplifier les calculs, composée d^un même nombre d'éléments que la première.

Fig. 87.

Fig. 518.

En reliant les pôles dé ces deux piles avec le circuit, comme nous l'indiquons sur la figure, il es^ clair que les deux générateurs électriques ne forment plus qu'une seule et même pile montée en tension, et la formule qui exprimera l'intensité du courant transmis sera naturellement :

nE nE 2nE

nR + r-fnR "^ nR + r + nR ~ 2nR + r'

Mais si les pôles des deux piles étaient placés d'une manière inverse comme dans la fig. 28, des tensions égales seraient opposées l'une à l'autre, et il ne pourrait circuler aucun courant dans le circuit r. Toutefois, les deux parties qui le composent seraient chargées à des tensions

(1) Voir à ce sujet un Mémoire de M. Gaugain {Annales télégraphiques fiom^ IV, p. S9).

différentes, et si un fil abl' les réunissait par le milieu, celui-ci pourrait être sillonné par un courant, et l'intensité de ce courant serait représentée par la formule : ^£

fiR-f r

car le circuit entier 2nR -f-r constituerait alors la résistance propre d*une seule et même pile, composée de deux éléments disposés en quantité, dont les appendices polaires seraient représentés par les deux fils constituant le circuit r. De plus, l'intensité de ce courant serait la même en quelque point du circuit r qu'on put opérer la liaison métallique entre les deux fils de jonction des deux piles, car la somme des résistances du circuit resterait alors toujours la même et la tension électrique étant uniforme sur chacun des deux fils, donnerait toujours naissance à une même force électro-motrice.

Si la pile F, au lieu d'être placée en B à l'extrémité du circuit, était placée en a ou en 6 ou sur la dérivation l\ le cas pourrait être ramené à celui que nous venons d'étudier, sites deux piles étaient disposées en quantité. Tune par rapport à l'autre. En effet, dans ce cas, la dérivation /' joue-*

Fig. Sd.

rait le rôle de la partie oBb du circuit et réciproquement, de sorte qu'il suffirait de changer les désignations des deux résistances pour que la même formule fût applicable aux deux cas. Si, au contraire, les piles étaient disposées en tension, l'une par rapport à l'autre, comme dans la figure %9 ci-dessus, les effets seraient plus compliqués, car alors le circuit fournirait une double voie à la propagation électrique et il s'agirait d'examiner ce que peut devenir, dans les différentes parties de ce circuit.

rintensîté du courant tHansmis. Nous ne nous occuperons pas toutefois ici, des formules relatives à cette intensité, car nous anticiperions sur le chapitre qui va suivre, mais nous examinerons ce qui doit se passer comme effet produit, eu égard à la manière dont les tensions se trouvent distribuées dans ces différentes parties du circuit.

Si le pôle positif de la pile P', communique au point A du circuit de la pile P et le pôle négatif au point B^ le courant des deux piles dans le circuit AFBP' se trouvera toujours dans les conditions d'un courant issu de deux piles placées aux deux extrémités d'un même circuit comme dans la fîg. 27, mais avec une dérivation ACE, et cette partie du circuit ACB ne pourra être parcourue par un courant qu'autant que la tension électrique au point A sera différente delà tension au point B. Or, si la résistance du circuit AP'B est égale à la résistance des circuits APB, ACB, ces deux tensions seront les mêmes, car à la tension affaiblie de la pile P au point A vient s'ajouter la tension non affaiblie de la pileP', et pour peu qu'on représente graphiquement cette distribution des tensions, d'après le système d'Ohm, comme on le voit fig. 30, on reconnaît que dans les conditions signalées plus haut, il y a une complète égalité des tensions en A et en B, lesquelles sont représentées par les lignes AT, BT. Il ne peut donc

Fig. 30.

alors circuler aucun courant dans la partie ACB et, par conséquent, le courant circulant dans le reste du circuit a une intensité déterminée par

la formule : — . Dans le cas où l'égalité des résistances n'existe pas,

il se produit dans cette partie un courant différentiel qui, pour être déterminé, exigerait le calcul des tensions aux points A et B^ et, par suite, celui des forces électro-motrices dans les différentes parties du circoii,

ce qui ne laisse pas que d*ètre assez compliqué ; toutefois, nous n'insisterons pas sur ces calculs, car ils ne sontguere susceptibles d'application (1). Nous dirons seulement qu'on peut arriver à déterminer les intensités du courant dans les différentes parties du circuit en les calculant pour chacune des piles prises isolément, à Taide des formules des courants dérivés, en additionnant ces intensités ainsi calculées dans les parties où les deux courants marchent dans le même sens et en les différentiant dans les parties où ils tendent à marcher en sens contraire, comme cela a lieu dans la dérivation. Ce calcul est d'ailleiurs facile ; car, en représentant par r et r' les résistances des deux parties du circuit dans lesquelles sont intercalées les piles (y compris la résistance de celle-ci), et d la résistance de la dérivation, on a^ pour la valeur de la résistance totale T du circuit pour la pile P :

T'a rd

T =r r -f 3^-r-i, et pour la pile P, T' =

Les intensités se calculent ensuite à Taide des formules (14), (15), (16).

Toute cette question du groupement des piles est assez complexe dans ses détails et a été Tobjet de plusieurs mémoires que j'ai présentés à l'Académie des sciences dans ses. séances du 4 et 25 juin 1860, du 21 août 1860 et du 13 septembre 1869. Ce qui précède en est un résumé très-succinct.

Courants dérivés avec les piles* — Nous avons vu page 2t, quelles étaient les formules représentant la résistance totale d'un circuit soumis à des dérivation3, et les modifications que ce changement de résistance avait fait subir à la formule représentant l'intensité du courant. Nous allons examiner maintenant ces formules au point de vue des courants provenant des piles, et par rapport au nombre d'éléments qui les composent.

Les formules que nous avons posées, si on se le rappelle, donnent pour valeurs des intensités dans les différentes parties des circuits dérivés.