FORMULES DES PILES VOLTAÎQUES

Nous avons vu dans la première partie de cet ouvrage, que par suite de l'assimilation qu'il avait faite de la propagation de l'électricité à celle de la chaleur, Ohm avait été conduit à admettre, comme formule de l'intensité d'un courant, l'expression très-simple :

E représentant la force électro-motrice mise en jeu, R la résistance du circuit. Dans un générateur voltaïque dont le courant est fermé sur luimême par la réunion de ses deux lames polaires^ la force électro-motrice E étant développée à la surface du zinc, la résistance R est très-complexe, car elle est représentée: 1** par l'épaisseur de la couche liquide interposée entre ces lames; ^^ par la résistance des parois du diaphragme poreux du générateur ; 3^ enfin, par celle des lames polaires elles-mêmes et de leurs appendices métalliques, y compris les soudures ou contacts qui les réunissent. On désigne ordinairement cet ensemble de résistances sous le nom de résistance intérieure de la pile; et, comme les liquides ainsi que les diaphragmes poreux, même après leur imbibition, sont assez mauvais con-

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ductenrs ; que, d'un autre côté, les contacts des lames polaires avec les électrodes sont le plus souvent oxydés et en mauvais état, cette résistance intérieure de la pile ne laisse pas que de présenter un chiffre assez élevé pour certaines piles. Quoiqu'il en soit, on est convenu de représenter par R cette résistance; de sorte que la formule précédente, (zppliquée aux courants voUaiques y ne peut se rapporter qu'au circuit (Tunélémentdepile dont le courant est fermé sur lui-même. Que devient cette formule quand on réunit les lames polaires de cet élément par un conducteur de résistance r qui, cette fois, constitue un circuit extérieur ?.... Il nous suffira, pour répondre à cette question, de considérer que la résistance de ce nouveau conducteur s'ajoutant à celle de la pile, la résistance totale sera représentée par R 4* ^) 6^ P^ s^^^ ^ formule devient :

» = RT-r (*»>

Sans doute, en réduisant r en fonction de R, on pourrait ramener cette dernière formule à la première ; mais comme les valeurs de R sont des quantités qui peuvent être déterminées une fois pour toutes pour chaque espèce de pile, et qui peuvent être regardées théoriquement comme invariables, il vaut mieux distinguer l'une de Tautre ces deux parties du circuit dans la formule qui représente Tintensité du courant.

n s'agit de savoir maintenant ce que deviendra cette formule quand on réunira ensemble plusieurs éléments :

1® Si on opère cette réunion de telle manière que le pôle négatif du premier élément soit uni au pôle positif du second, le pôle négatif du second au pôle positif du troisième, etc., on aura un circuit voltaîque dont la résistance se composera de la somme des résistances partielles de cha^que élément de pile, c'est à-dire, en désignant par n le nombre de ces éléments, de n fois R, plus la résistance du circuit extérieur r ; et ce circuit présentera à chaque résistance R un développement de tension qui, pour n fois R, déterminera un nombre n de forces électro-motrices égales à E agissant toutes dans le même sens. Or, comme d'après ce que l'on a vu page 18, l'intensité d'un courant est égale à la somme de tontes les forces électro-motrices développées dans le circuit qu'il traverse, divisée parla somme de toutes les résistances réduites, on arrive à la formule :

dans laquelle R et r doivent être exprimés en unités de même nature.

Nous remarquerons que cette expression étant la même que celle qui résulterait de l'addition des quantités,

nR + r ^ fiR + r ^ tiR + r ' qui représentent les intensités individuelles de chacun des courants fournis par les différents éléments de la pile, on peut considérer l'intensité totale du courant, avec cette disposition, comme égale à la somme des intensités partielles de chaque élément, absolument comme si les courants marchaient séparément dans le circuit en se superposant.

Cette disposition de la pile est dite disposition en tension^ et cette désignation est bien justifiée, car elle permet au courant de vaincre un circuit plus résistant, ou, si Ton veut, elle rend la résistance de ce circuit beaucoup moins grande. On peut s'en convaincre facilement en divisant par n les deux termes de l'expression précédente qui devient :

n 2** Si on réunit les différents éléments d'une pile par les pôles semblables, ce qui revient à faire de ces différents éléments un seul élément de grandeur beaucoup plus considérable, la force électro-motrice Ene doit pas chamger^ cwr la différence des tensions aux deux extrémités du circuit reste toujours la même. Seulement la résistance R étant représentée par un conducteur {semi liquide, semi métallique) dont la surface de section se trouve augmentée proportionnellement au nombre d'éléments ainsi réunis^ doit avoir sa résistance diminuée dans le même rapport; ce qui équivaut à une augmentation d'intensité dans le rapport de

Dès lors, on a : I = ^r—, . (i5)

R--\-nr ^ ^

Cette disposition de la pile est dite disposition en quantité.

La discussion de ces formules montre plusieurs conséquences importantes que l'expérience confirme.

D'abord, si dans les deux équations (14) et (15) on fait r = o ou tellement petit, qu'il puisse être négligé par rapport à nR, elles deviennent :

1" Pour la pile en quantité : ^j.

^ Pour la pile en tension :

* R ' ce qui montre que dans le premier cas l'intensité du courant croît proportionnellement au nombre des éléments^ et que dans le second cette intensité reste la même, quel que soit le nombre des éléments, c'est-à-dire celle d'un seul élément.

Si dans les mêmes formules (14) et (15) on fait croître la résistance r proportionnellement aux éléments de la pile, elles deviennent, la première :

d'où il résulte qu'avec la pile en tension^ l'intensité reste toujours la même, c'estrà-dire celle d'un élément, tandis que cette même valeur décroît presque proportionnellement à la résistance qu'on ajoute, quand la pile est disposée en quantité.

Enfin, si dans les formules (14) et (15) la valeur de r devient tellement considérable, que la quantité nR puisse être négligée (ce qui suppose à R une valeur très-petite), ces formules deviennent :

et alors l'intensité du courant devient, dans le premier cas, proportion nelle au nombre des éléments de la pile réunis en tension, et, dans le second cas, elle se trouve réduite à celle d'un seul élément.

Les conclusions pratiques de ces formules sont : 1^ que quand la résistance du circuit est considérable, il est préférable de réunir les éléments de la pile en tension ; ^^ que quand elle est peu considérable, il faut les réunir en quantité.

Détermlnatloii de la meUlenre disposition et du nombre d'éléments à, donner à, une pile dans des circonstances données, pour obtenir nn effet donné. — Les conditions favorables de groupement des éléments de pile ne consistent pas seulement à les réunir en quantité ou en tension suivant les valeurs plus ou moins grandes der, on peut les disposer eu séries^ c'est-à-dire par

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groupes composés chacun de plusieurs éléments réunis en quantité, et composer ainsi avec une pile d'un certain nombre d'éléments k petite sorface une pile d'un moins grand nombre d'éléments, il est vrai, mais de dimensions plus grandes, et telles qu'on peut les désirer. Quels sont les cas où ce système doit être employé de préférence aux deux autres ? C'est ce que nous allons chercher à établir en partant des formules précédentes.

Soit b un certain nombre d'éléments groupés en quantité et ne formant conséquemment qu'un seul élément : l'intensité du courant fourni sera, diaprés la formule (15), représentée par :

Et, si on groupe en tension un nombre a de ces éléments multiples, rintensité sera :

^= aR + br ^^ aR + br' (*^>

Et, si l'on compare cette formule avec les formules (14) et (15) qui représentent les valeurs de I, les éléments de la pile étant tous disposés en tension, ou tous réunis en quantité, on voit que les limites de la résistance du circuit extérieur r auxquelles ces intensités deviennent égales

fiR R

sont obtenues quand r est égal, d'un côté, à y— et de l'autre, à — ; de

telles sorte, qu'en faisant b successivement égal à % 3, 4, 5, etc., on trouve que les valeurs correspondantes de r sont :

nR R nR R nR R

D'où l'on conclut que les limites de résistance du circuit extérieur auxquelles les accouplements par éléments doubles, triples, quadruples, etc., comparés aux accouplements en tendon et en quantité fournissent la même intensité, correspondent, d'une part à la moitié, au tiers, au quart de la résistance totale de la pile, et, d'autre part, à la moitié, au tiers, au quart de la résistance d'un seul élément.

Si on détermine maintenant et de la même manière, les limites de cette même valeur r auxquelles les différents systèmes d'accouplements multiples, comparés les uns aux autres, fournissent la même intensité, on obtiendra pour chaque genre d'accouplements, deux limites de la valeur de r

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différentes^ et si un fil entre lesquelles toute résistance intermédiaire correspondra à l'un ou à l'autre de ces systèmes d'accouplements. Or, ces limites sont :

nR. *iR

lo Pour les accouplements par éléments doubles : — ^r- et

2* Pour les accouplements par éléments triples : — ^ et -r^ ;

3® Pour les accouplements par éléments qua-

, , nR - nR

druples : -r^r- et -ttt- ;

4^ Enfin, pour les accouplements par 6, éléments réunis en quantité : -jr — -rj- et

Si on considëre qu'entre les deux limites que nous venons ainsi de déterminer pour chaque genre de groupement des éléments de la pile, il doit exister une résistance intermédiaire qui corresponde plus efficacement que les autres à ce genre de groupement, et que cette résistance doit être précisément celle dont l'expression se trouve aussi rapprochée

d^ -77 — TTT que de .. , ... , on arrive à conclure, que t intensité

maxima^ fournie par tel ou tel genre de groupement de pile, doit correspondre à cette valeur moyenne der, et que pour l'obtenir pour un groupement de b éléments en quantité, il suffira de prendre la moyenne des quantités (6 — 1)6 et (6-f 1)6 et d'en faire le dénominateur de nR. En procédant ainsi on a :

^^ nR nK

^"' -" t (6 — 1) 4, 6 (6 + 1) — ér;

d'où il résulte, que les résistances du circuit extérieur les plus favorables au groupement des éléments de la pile par éléments doubles^ triples^ quadruples^ etc»^ correspondent précisément à la résistance totale de tous les éléments^ dont se compose la pile^ divisée pa/r le carré du nombre dC éléments en quantité qui constituent chaque groupe de ces différentes combinaisons.

Cette déduction va nous permettre de poser les conditions de mazima

nE de la formule : ^ , , .

aR-fèr

En effet, de l'équation :

on tire : r6* = nR ou 6V = aèR,

ou enfin : àR = br ;

donc le maximum (Tintensité du courant fourni pa/r une pile^ dont les

éléments sont disposés en séries^ est atteint quand le produit du nombre

des éléments en tension multiplié pa/r leur résistance propre^ est égal au

produit du nombre des éléments en quantité multiplié par la résistance

extérieure du circuit.

On peut avoir la preuve de cette déduction par le calcul algébrique de ces deux valeurs : en effet, dans le cas ou aR = 6r, le dénominateur de l'expression (16) aR -{- br devient égal à ^R ; dans le cas, au contraire, ou aR n'est pas égal à 6r, parce que le groupement des éléments de la pile ne sera pas fait de la même manière, la valeur de ce dénominateur sera

a'^R + nr

représentée par a'R -{• b'r^ ou si on rend b' fonction de a', par

. a'R + nr ^ ,,. ..