aR, on en déduit r

mais comme on a aussi ;

et en substituant cette valeur de r dans Texpression correspondante aux quantités de a' et 6', celle-ci devient en fin de compte :

Or, il est facile de voir que cette expression, quelque valeur qu'on donne à a', soit au-dessus, soit au-dessous de a, ne peut jamais être aussi petite que ^R. En effet, si on suppose a' <ia^ il existera toujours un coefficient q plus grand que Tunité qui^ en multipliant a', pourra le rendre

égal à a, de sorte qu'on aura a' = — et en substituant cette valeur dans

la dernière expression que nous avons obtenue, elle devient :

Çaq + -)r,ou,(^ + 1) aR,ouenfin,^2 + ^^^ )aR.

Comme q est plus grand que 1, cette expression sera toujours plus grande que 2aR.

En supposant a' plus grand que a, on arriverait à la même déduction.

car en divisant a> par un facteur 9' plus grand que Tunité, on pourrait toujours rendre a' égal à a ; de sorte que Ton aurait a' = a q\ or la substitution de cette valeur dans la formule primitive la ferait devenir :

Il n'y a donc que quand ^ ou ^' = 1, c'est-à-dire quand a* ^=- a que l'expression aR -{- hr devient miniv^a^ et par suite I maxima (1).

De la démonstration de cette proposition résulte plusieurs conséquences importantes : d'abord il devient facile d'obtenir une formule qui fasse connaître immédiatement et sans tâtonnement la meilleure disposition des n éléments qui composent une pile donnée, eu égard à une résistance de circuit r également donnée. En effet, de l'équation aR = ^ on tire :

(17) a=V /-;- et6 = V / -^. (18)

D'un autre c6té, il devient possible de déterminer le nombre des éléments d'une pile et la meilleure disposition de celle-ci pour obtenir, sur un circuit donné, une intensité I également indiquée.

En effet, de ce que aR -f- br est égal à2aR ou à 26r dans les conditions de maxima, on déduit :

nE , nE

et par suite :

(19) a=^et6=^. (20)

Ces formules sont très-précieuses pour les applications électriques, parce qu'elles sont très-simples et qu'elles déterminent d'un seul coup deux conditions du problème tout en satisfaisant à une double donnée ;

(i) Pour démontrer cette proposition par le calcul différentiel, il suffit de prendre la dérivée de a R -f >r, dans laquelle on fait 6 = -. Cette dérivée est alors exprimée par

R !!r. Or, pour que cette expression soit zéro, c'est-à-dire pour le minimum, il faut

que R « -= ; mais A. «« — et on a en définitive comme conditions de maximum ««• a* a

aR-6r.

mais il faut toutefois^ powr qu'elles puissent être appliquées avantor geusemenê^ que la résistance r soit inférieure à nR. Car ce n'est que dans le ca^ ouh a une valeur supérieure à 1 que le maximum est atteint avec aR = br (1).

Le groupement des piles peut non-seulement s'e£Peetuer ainsi que nous venons de le voir par la réunion plus ou moins complexe de leurs appendices polaires, mais il peut se faire encore par Fintermédiaire d'un circuit. Supposons, parexemple, qu'à une station  (fig.27)se trouve disposée une pile en tension P, et qu'à une autre station B, placée au milieu du circuit, se trouve disposée une autre pile F également disposée en tension et que nous supposerons, pour simplifier les calculs, composée d'un même nombre d'éléments que la première.

FIg. V.

Fig. J8.

En reliant les pôles de ces deux piles avec le circuit, comme nous l'indiquons sur la figure, il est clair que les deux générateurs électriques ne forment plus qu'une seule et même pile montée en tension, et la formule qui exprimera l'intensité du courant transmis sera naturellement : nE nE 2nE

«R-fr + nR ' nR -f r + «R 2nR + r'

Mais si les pôles des deux piles étaient placés d'une manière inverse comme dans la fig. 38, des tensions égales seraient opposées l'une à l'autre, et il ne pourrait circuler aucun courant dans le circuit r. Toutefois, les deux parties qui le composent seraient chargées à des tensions

1(1) Voir à ce sujet un Mémoire de M. Gaugain {Annales téUgrafMques^Uim!^ IV, p. 99).

différentes, et si un fil abV les réunissait par le milieu, celui-ci pourrait être sillonné par un courant, et l'intensité de ce courant serait représentée par la formule : ^£

fiR + r

car le circuit entier 3nR -|-r constituerait alors la résistance propre d'une seule et même pile, composée de deux éléments disposés en quantité, dont les appendices polaires seraient représentés par les deux fils constituant le circuit r. De plus, Tintensité de ce courant serait la même en quelque point du circuit r qu'on put opérer la liaison métallique entre les deux fils de jonction des deux* piles, car la somme des résistances du circuit resterait alors toujours la même et la tension électrique étant uniforme sur chacun des deux fils, donnerait toujours naissance k une même force électro-motrice.

Si la pile F, au lieu d'être placée en B à l'extrémité du circuit, était placée en a ou en 6 ou sur la dérivation l\ le cas pourrait être ramené à celui que nous venons d'étudier, si les deux piles étaient disposées en quantité, l'une par rapport à l'autre. En effet, dans ce cas, la dérivation /' joue-

Fig. 29.

rait le rôle de la partie oBb du circuit et réciproquement, de sorte qu'il suffirait de changer les désignations des deux résistances pour que la même formule fût applicable aux deux cas. Si, au contraire, les piles étaient disposées en tension. Tune par rapport à l'autre, comme dans la figure %9 ci-dessus, les effets seraient plus compliqués, car alors le circuit fournirait une double voie à la propagation électrique et il s'agirait d'examiner ce que peut devenir, dans les différentes parties de ce circuit.

rintensité du courant ti^nsmîs. Nous ne nous occuperons pas toutefois ici, des formules relatives à cette intensité, car nous anticiperions sur le chapitre qui va suivre, mais nous examinerons ce qui doit se passer comme effet produit, eu égard à la manière dont les tensions se trouTent distribuées dans ces différentes parties du circuit.

Si le pôle positif de la pile P', communique au point À du circuit de la pile P et le pôle négatif au point B^ le courant des deux piles dans le circuit AP'BP' se trouvera toujours dans les conditions d'un courant issu de deux piles placées aux deux extrémités d'un même circuit comme dans la fig. 27, mais avec une dérivation ACB, et cette partie du circuit ACB ne pourra être parcourue par un courant qu'autant que la tension électrique au point  sera différente delà tension au point B. Or, si la résistance du circuit AP'B est égale à la résistance des circuits ÂPB, ACB, ces deux tensions seront les mêmes, car à la tension affaiblie de la pile P au point A vient s'ajouter la tension non affaiblie de la pileP', et pour peu qu'on représente graphiquement cette distribution des tensions, d'après le système d'Ohm, comme on le voit fig. 30, on reconnaît que dans les conditions signalées plus haut, il y a une complète égalité des tensions en A et en B, lesquelles sont représentées par les lignes AT, BT. Il ne peut donc

Fig. 30.

\ rà^

alors circuler aucun courant dans la partie ACB et, par conséquent, le courant circulant dans le reste du circuit a une intensité déterminée par

la formule - ^ . — . Dans le cas où l'égalité des résistances n'existe pas, 2nR -\- r

il se produit dans cette partie un courant différentiel qui, pour être déterminé, exigerait le calcul des tensions aux points A et B^ et, par suite, celui des forces électro-motrices dans les différentes parties du circuit.

ce qui ne laisse pas que d*ètre assez compliqué ; toutefois, nous n'insisterons pas sur ces calculs, car ils ne sont guère susceptibles d'application (1). Nous dirons seulement qu'on peut arriver à déterminer les intensités du courant dans les différentes parties du circuit en les calculant pour chacune des piles prises isolément, à l'aide des formules des courants dérivés, en additionnant ces intensités ainsi calculées dans les parties où les deux courants marchent dans le même sens et en les différentiant dans les parties où ils tendent à marcher en sens contraire, comme cela a lieu dans la dérivation. Ce calcul est d'ailleurs facile ; car, en représentant par r et r' les résistances des deux parties du circuit dans lesquelles sont intercalées les piles (y compris la résistance de celle-ci), et d la résistance de la dérivation, on a, pour la valeur de la résistance totale T du circuit pour la pile P ;

T = r 4- ■/. „ et pour la pile F, T' = ^, ^.

Les intensités se calculent ensuite à l'aide des formules (14), (15), (16).

Toute cette question du groupement des piles est assez complexe dans ses détails et a été l'objet de plusieurs mémoires que j'ai présentés à TAcadémie des sciences dans ses séances du 4 et 25 juin 1860, du 21 août 1860 et du 13 septembre 1869. Ce qui précède en esl un résumé très-auceinct.

CJouFAiits dérivés avec les piles* — Nous avons vu page 21, quelles étaient les formules représentant la résistance totale d'un circuit soumis à des dérivations, et les modifications que ce changement de résistance avaittait subir k la formule représentant Fintensité du courant. Nous allons examiner maintenant ces formules, au point de vue des courants provenant des piles, et par rapport au nombre d'éléments qui les composent.

Les formules que nous avons posées, si on se le rappelle, donnent pour valeurs des intensités dans les différentes parties des circuits dérivés.